【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第一节不等关系与不等式文近三年广东高考中对本章考点考查的情况(续上表)本章内容主要包括两个内容：不等式、推理与证明．不等式主要包括：不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式简单应用．推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明，其中合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小．广东高考在这一章的命题上呈现以下特点：1．考查题型以选择题、填空题为主，偶以解答题形式出现，但多数是解答题中的一部分，如与数列、函数、解析几何等结合考查，分值约占10%左右，既有中、低档题，也会有高档题出现．2．重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合，另在推理与证明中将会重点考查．3．对合情推理与演绎推理及证明方法的考查，主要放在解答题中，注重知识交汇处的命题．预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不等式应用、线性规划为重点，将推理与证明和其他知识相融合，更加注重应用与能力的考查．本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意：1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度．3．解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4.注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解．加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论．复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个已知条件向要证结论转化的过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视．5．强化不等式的应用．高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误．6．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系．对于类比型问题可以说是创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的类比问题．关于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了，在复习备考中要把握考试的特点，注重落实．归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重，事实上，在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这一类题目是常考常新的．推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现．第一节 不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.知识梳理 一、不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“<”，“>”，“≤”，“≥”，“≠”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式．二、实数运算性质与大小顺序关系1．a >b ⇔a －b >0.2.a ＝b ⇔a －b ＝0.3.a <b ⇔a －b <0. 它是比较两实数大小的依据，也是作差比较法的依据． 三、不等式的基本性质 双向性：1．定理1(对称性)：a >b ⇔b <a . 单向性：2．定理2(传递性)：a >b ，b >c ⇒a >c .3．定理3(同加性)：a >b ，c 为整式或实数⇔a ＋c >b ＋c . 4．定理3推论(叠加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d . 5．定理4(可乘性)： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc . 6．定理4推论1(叠乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd . 7．定理4推论2(可乘方性)：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *且n >1)．8．定理5(可开方性)：a >b >0⇒n a ＞nb (n ∈N *且n >1)． 四、不等式性质成立的条件例如，重要结论：a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ，不能弱化条件得a ＞b ⇒1a ＜1b .五、正确处理带等号的情况如由a ＞b ，b ≥c 或a ≥b ，b ＞c 均可得出a ＞c ；而由a ≥b ，b ≥c 可能有a ＞c ，也可能有a ≥c ，当且仅当a ＝b 且b ＝c 时，才会有a ＝c .注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“⇒”型；另一类是“⇔”型．要注意二者的区别．基础自测1．已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞a b ＞ab 2B.a b 2＞a b ＞aC.a b ＞ab 2＞a D.a b ＞a ＞a b 2解析：特殊值法，取a ＝－1，b ＝－2，验证知a b ＞ab 2＞a 成立．也可用作差比较法．答案：C2．(2012·广东两校联考)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列各式中最大的是( ) A ．－1 B ．log 2bC ．log 2a ＋log 2b ＋1D ．log 2(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)解析：特殊值法．取a ＝13，b ＝23，则log 2b ＝log 223＝1－log 23>1－log 24＝－1；log 2b －(log 2a ＋log 2b ＋1)＝－1－log 213＝－1＋log 23>0；计算可知，b >a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3，∴log 2b >log 2(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)．故选B. 答案：B3．已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是________． ①ab＞1 ②a 2＞b 2 ③lg(a －b )＞0 ④⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12 b解析：令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故ab＞1不成立；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )＜0；f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f (a )＜f (b )，即⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b.故④正确．答案：④4．a >b >0，m >0，n >0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n 由大到小的顺序是____________．解析：取特殊值．如a ＝2，b ＝1，m ＝n ＝1，则b a ＝12，ab ＝2，b ＋m a ＋m ＝23，a ＋n b ＋n＝32.∴a b >a ＋n b ＋n >b ＋m a ＋m >b a. 答案：a b >a ＋n b ＋n >b ＋m a ＋m >b a1．(2013·北京卷)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当a >b 时，a 3>b 3成立．A 项中对c ＝0不成立．B 项取a ＝1，b ＝－1，则1a <1b不成立；C 项取a ＝1，b ＝－2，则a 2>b 2不成立．答案：D2．(2012·大纲全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x解析：x=ln π>ln e ＝1，y=log 52<log 55＝12，z ＝e －12＝1e >14＝12，1e＜1.综上可得，y＜z ＜x .故选D.答案：D1．(2013·江门一模)若x ＞0，y ＞0，则x ＋y ＞1是x 2＋y 2＞1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：先看充分性，可取x ＝y ＝23，使x ＋y ＞1成立，而x 2＋y 2＞1不能成立，故充分性不能成立；若x 2＋y 2＞1，因为x ＞0，y ＞0， 所以(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＞x 2＋y 2＞1， ∴x ＋y ＞1成立，故必要性成立．综上所述，x＋y＞1是x2＋y2＞1的必要不充分条件．答案：B2．(2013·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2②2a>2b－1③a－b>a－b④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为________．解析：由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数；∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．答案：①②③。
不等式考纲链接1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题不等关系与不等式[考点梳理]1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a－b________；(2)a＝b⇔a－b________；(3)a＜b⇔a－b________.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d；(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd；※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠：1．＞0＝0＜02．(1)b<a(2)a>c(3)>(4)ac>bc ac<bc(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd(10)a n>b n(n∈N且n≥2)(11)n a >n b (n ∈N 且n ≥2) [基础自测])已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3 解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．故选D.已知a ＞0，b ＞0，则a a b b 与a b b a 的大小关系为( )A ．a a b b ≥a b b aB ．a a b b ＜a b b aC ．a a b b ≤a b b aD ．与a ，b 的大小有关解：不妨设a ≥b ＞0，则a b ≥1，a －b ≥0.a a b b a b b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ≥1，即a a b b ≥a b b a .同理当b ＞a ＞0时，亦有a a b b ≥a b b a .故选A.已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a b.解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫74－3＞0，从而a ＞b.故填＞.若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d－c )＞b (d －c )中成立的是________(填序号)．解：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确．故填②③④.[典例解析]类型一 建立不等关系设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1得1≤t <2，由[t 2]＝2得2≤t 2<3，由[t 4]＝4得4≤t 4<5，所以2≤t 2<5，由[t 3]＝3得3≤t 3<4，所以6≤t 5<45，由[t 5]＝5得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.故选B.小结：解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x ]表示不超过x 的最大整数，故由[x ]＝k ，可得k ≤x <k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n 的最大值．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计) 解：假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k ，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋47k＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋47k 2，有47＋47k ＋47k2≥1. 所以可从中提炼出一个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k ＜1，47＋47k ＋47k 2≥1.类型二 不等式的性质已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d b ；③bc >ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc －ad ab ＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc －ad ab ＞0，则bc ＞ad ，∴①②⇒③.(3)若bc ＞ad ，bc －ad ab ＞0，则ab ＞0，∴②③⇒①.综上所述可组成3个正确命题．小结：运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜b c .故选D.类型三 不等式性质的应用(1)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________． 解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112. 小结：①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和－4＜β＜2两式相减来得到α2－β的范围．②此类题目用线性规划也可解． (2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.∴－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1. ∴－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132. 小结：由于a ＋b ，a －b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a －b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解． (1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 解：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π2，而α＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围为________．解法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4.①②，f (－2)＝4a －2b. 设4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )(m ，n 为待定系数)，即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.由①×3＋②×1得5≤4a －2b ≤10，即5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1）得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)，后面同解法一．故填[5，10]．类型四 比较大小实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较a ＋mb ＋m 与a b 的大小，则a ＋m b ＋m________a b . 解法一：(作差比较)：a ＋mb ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b －a ）b （b ＋m ）， ∵b ＞a ＞0，m ＞0，∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，∴a ＋m b ＋m ＞a b. 解法二(作商比较)：∵b ＞a ＞0，m ＞0，∴bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0，∴ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m＞a b .故填＞.小结：本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n 的大小，则a n＋b n ________c n .解：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n >0，而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0<a c <1，0<b c <1.当n ∈N ，n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c2＝1，∴a n ＋b n <c n .故填＜.[归纳小结]1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．[课后作业]1．．已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A ．恒为正B ．恒为负C ．与n 的奇偶性有关D ．与a ，b 的大小有关解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n (a －b )＝－(a －b )(a n －b n )，因为(a －b )与(a n －b n )同号，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1<0恒成立．故选B.2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c ≥b －cB ．(a －b )c 2≥0C ．ac >bc D.c 2a －b>0 解：A 项：当c <0时，不等式a ＋c <b －c 可能成立；B 项：a >b ⇒a －b >0，c 2≥0，故(a －b )c 2≥0；C 项：当c ＝0时，ac ＝bc ；D 项：当c ＝0时，c 2a －b＝0.故选B. 3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.4．如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB ．cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mC ．cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋mD ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m＜cos b a 解：作商比较：b ＋m a ＋m ÷b a ＝ab ＋am ab ＋bm ＞1，所以1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞0，同理，0＜b －m a －m ＜b a ＜1，∴1＞b ＋m a ＋m＞b a ＞b －m a －m ＞0.而y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －m(也可取特殊值判断)．故选A.5．设a ＝lg e ，b ＝(lg e )2，c ＝lg e ，则a ，b ，c 的大小关系为________．解：∵e ＜10，∴lg e ＜lg 10＝12，∴(lg e )2＜12·lg e ＝lg e ，即b ＜c.又∵e ＜e ，∴lg e ＜lg e ，即c ＜a.故填b ＜c ＜a.6．定义a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b.已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝________．(结果用a ，b ，c 表示)解：∵log 30.3<0<0.33<1<30.3，∴c <b <a ，∴(a *b )*c ＝b *c ＝c.故填c.7．设实数a ，b ，c 满足：①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，②c －b ＝4－4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系．解：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，∴b ＝1＋a 2，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴b ＞a ，从而c ≥b ＞a. 8．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝1 000＋30x 800＋ax(a ∈N *，1≤x ≤10)． 假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1 000＋30x800＋10x ＞1.5，解得x ＞403＞10. 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元．(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1 000＋30x800＋ax ，则f (x 2)－f (x 1)＝1 000＋30x 2800＋ax 2－1 000＋30x 1800＋ax 1＝（30×800－1 000a ）（x 2－x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）＞0， 所以30×800－1 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求c a 的取值范围．解：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，∴a >－(a ＋c )>c ，且3a ＞a ＋b ＋c ＝0＞3c ，则a >0，c <0，∴1>－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞c a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，c a ＞－2，解得－2＜c a ＜－12. 故c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c ；③log b ()a －c >log a ()b －c .其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解：①∵a >b >1，∴0<1a <1b <1，又c <0，∴c a >c b ，①正确；②由于a >b >1，可设f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当x ＝c ＜0时，根据指数函数的性质，得a c <b c ，②正确；③∵a ＞b ＞1，c ＜0，即a －c ＞b －c ＞1，∴log a (a －c )＞log a (b －c )，又由对数函数的性质知log b (a －c )＞log a (a －c )，∴log b (a －c )＞log a (b －c )，③正确．故选D.。
不等式—不等关系，一元二次不等式一、目标要求：1、掌握不等式关系、不等式及一元二次不等式的概念；2、理解不等式的性质及不等式的分类；3、掌握实数比较大小的方法；4、能运用不等式的性质证明简单的不等式；5、理解一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系；6、会解一元二次不等式、含参数的不等式、分式不等式、简单的高次不等式；二、例题讲解：例题1、已知,a b的大小；例题2、在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，S是其面积，求证：222a b c S ++≥；例题3、设函数()122,1,1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨-〉⎩，求满足()2f x ≤的x 的取值范围；例题4、解关于x 的不等式： （1）()2110;ax a x +--〉 （2）220;x kx k +-≤例题5、解关于x 的不等式： ()22210,1;x x x a a a a a +-+〈+〉≠且例题6、解不等式()()22120;x x x +--〉例题7、解不等式2225560;11x x x x +-〈++例题8、已知不等式22412ax x a x ++〉-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；三、巩固练习：1、解下列不等式: (1)2220;3x x -+-〉 (2)2414;x x -≥-2、已知某种商品的定价上涨x 成，其销售量便相应的减少2x 成，按规定，税金是从销售额中按一定的比例缴纳，如果这种商品的定价无论如何变化，从销售额中扣除税金后的金额总比涨价前的销售额少，是列出此时税率p 满足的不等关系。
3、某蔬菜收购点租用车辆，将100t 新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆大卡车载重8t ，运费960元，每辆农用车载重2.5t ，运费360元，运输成本之和不能超过10000元，据此安排两种车型，应当满足那些不等关系？请列出来。
4、解不等式：22;x x -≥5、解不等式：（1）()()1130;2x x x ⎛⎫--+〈 ⎪⎝⎭（2）()()()231120x x x x -++≥。
一元二次方程与不等式的关系一元二次方程和不等式是高中数学学习中重要的内容，它们在数学中有着广泛的应用。
本文将探讨一元二次方程与不等式之间的关系，从而帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
I. 一元二次方程一元二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0的二次方程，其中a、b、c为已知常数，而x是未知数。
一元二次方程具有以下特点：1. 解的性质- 一元二次方程通常有两个解，可能是实数或者复数；- 如果判别式Δ = b^2 - 4ac 大于零，则方程有两个不同的实数解；- 如果判别式Δ =0，则方程有两个相等的实数解；- 如果判别式Δ <0，则方程没有实数解，但有两个共轭复数解。
2. 图像特征一元二次方程的图像是一个抛物线，对称轴为垂直于x轴，方程的解对应于抛物线与x轴的交点。
II. 不等式不等式是数学中用来描述取值范围的一种关系式，比较常见的不等式符号有：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。
不等式也具有以下特点：1. 解的性质- 如果不等式中的未知数有多个解集时，需使用集合符号进行表示；- 在不等式中，有时候需要使用并列符号（∪）和交集符号（∩）来表示多个解集之间的关系。
2. 图像特征不等式描述的解集通常表示在坐标平面上的一个区域。
例如，不等式y > 3x表示位于抛物线y = 3x上方的所有点所构成的区域。
III. 一元二次方程与不等式的关系一元二次方程与不等式之间存在着紧密的联系。
具体来说，一元二次方程可以根据其解的情况，转化为相应的不等式。
1. 大于不等式对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，如果其解为 x1 和 x2，则可以得到一个大于不等式关系：(x - x1)(x - x2) > 0。
2. 小于不等式类似地，一元二次方程也可以转化为小于不等式关系：(x - x1)(x - x2) < 0。
需要注意的是，等号不包含在转化后的不等式中，因为方程等号的解与不等式的解集不完全对应。
