01不等关系与不等式

不等关系与不等式1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：;;a b a b a b >=<；0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<．这是比较两实数（多项式型）大小的方法——求差比较法,其步骤是：作差，变形，定号． 2．不等式的性质：（1）对称性：a b b a >⇔<；a b b a <⇔>． （2）传递性:,a b b c >>⇒. （3）可加性:a b a c >⇔+>．移项法则:a b c a c b +>⇔>-推论：同向可加: ,a b c d >>⇒a c +>.（4）可乘性:,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ><⇒.推论1：同向(正)可乘:0,0a b c d >>>>⇒.推论2：乘方法则:0a b >>⇒(,2)n N n *∈≥(5)开方法则:0a b >>⇒(,2)n N n *∈≥.(6)倒数法则：110a b a b>>⇒< 典型题目1、用比较法比较两个数（式）的大小 例1. 比较a m b m ++与ab（其中0,0b a m >>>）的大小变式训练2．当0a b <<时，比较1a b -与1a的大小．2、不等式性质的考查例3.已知下列三个不等式①0ab >;②c da b>;③bc ad >,以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成 个正确命题.变式训练3.若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是 A.11a b>B.22a b >C.a b >D.1122a b < 3．用不等式的性质精确的估算变量或参数的取值范围例3. 已知－1＜a b +＜3且2＜a b -＜4，求23a b +的取值范围.变式训练4.已知关于x 的不等式0ax b +>的解集是（1，＋∞）求0ax b -<的解集．课堂练习1．已知a b a <<，则( ) A.11a b> B ．1ab < C ．ab ＞1 D ．22a b >2．下列命题中的真命题是( )A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22a b >3．已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是( ) A ．a b b a >>->- B ．a b a b >->-> C ．a b b a >->>- D ．a b a b >>->-4．若0x y +>，0a <，0ay >，则x y -的值为( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．符号不能确定 5．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则αβ-的取值范围是 .课时训练题一、选择题1.设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c d >，则下列结论中正确的是（ ） A. a c b d +>+ B.a c b d ->- C. ac bd > D.a b d c> 2. 对于实数a ，b ，“()0b b a -≤”是“1ab≥”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.若110a b <<,则下列不等式:①a b ab +<;②a b >;③a b <;④b aa b+2>中,正确的不等式有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．如果0a <，0b <，那么，下列不等式中正确的是（ ） A.11a b< B.a b -< C.22a b < D.a b > 5．设3log 2a =，ln 2b =，125c -=则A.a b c <<B.b c a <<C. c a b <<D. c b a <<6．若0a b >>，则下列不等式中一定成立的是 （ ） A.11a b b a +>+ B.11b b a a +>+ C.11a b b a ->- D.22a b a a b b+>+ 7．下列命题正确的是( )A ．若22a b >，则a b > B ．若11a b>，则a b < C ．若ac bc >，则a b > D ．若a b <，则a b <8．“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．如果a ，b ，c 满足c b a <<且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ac > B ．()0c b a -> C ．22cb ab < D ．()ac a c - ＜0二、填空题（第小题6分，共18分） 7.若22ππαβ-<<<,则αβ-的取值范围是 ．10．设412A x =+，B ＝322x x +，x ∈R ，则A ，B 的大小关系是________．11. 已知m 、n ∈R ，则11m n>成立的一个充要条件是 ． ( ) 三、解答题12.已知a b >，e f >，0c >，求证：f ac e bc -<-.13.已知0,0a b >>，试比较a bb a+与a b +的大小．14．已知()23f x x x =-，()221g x x x =+-，比较()f x 与()g x 的大小．参考答案 考点梳理 2．（2）a ＞c （3） b+c b+d (4) ac ＜bc 负数 改变 ac ＞bd 正数an ＞bn (5)nn a b > 正数课前热身1．设最低生活保障金为x 元，则x≥300.2．选D.考虑a 、b 为负值或一正一负的情况，对于选项C ，还要考虑c 取正、负值的两种情况，选项A 、B 、C 均有不成立的情况． 3．A4．选C.当b ＝0时，b2＝0，cb2＝ab2，故选C. 5．f(x)-g(x)=3x2-x-(2x2+x-1)= x2-2x+1=(x-1) 2 当x=1时, f(x)=g(x); 当x ≠1时, f(x)＞g(x) 重点难点方法例1．设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥变式训练1．依题意47＋47k ＜1，且三次后全部进入，即47＋47k ＋47k2≥1，故不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k <147＋47k ＋47k2≥1.k ∈N*例2．()()()()()a m a b a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m ab m b +>+ 变式训练2．解：利用“作差法”等价转化． ∵1a －b －1a ＝ba(a －b)＜0， ∴1a －b ＜1a. 也可利用“作商法”等价转化．例3. (1) 对②变形0c d bc ad a b ab ->⇔>,由0,ab bc ad >>得②成立,∴①③⇒②.(2) 若0,0bc adab ab ->>,则bc ad >,∴①②⇒③.(3)若,0bc ad ac bd ab ->>,则0ab >,∴①②⇒③.综上所述可组成3个正确命题.变式训练3．由a ＜b ＜0知ab ＞0，因此a ·ab 1＜b ·ab 1，即a 1＞b 1成立； 由a ＜b ＜0得－a ＞－b ＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.又（21）x 是减函数，所以（21）a ＞（21）b 成立.故不成立的是B.当然对不等式性质的选择题，常用特殊值法求解，如本题可取a=－2,,b=－1验证 例4. 设2a+3b=x （a+b ）+y （a －b ）＝（x+y ）a+(x －y)b ， ∴⎩⎨⎧=-=+.32y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x ， ∴－25＜25（a+b ）＜215，－2＜－21（a －b ）＜－1.∴－29＜25（a+b ）－21（a －b ）＜213，即－29＜2a+3b ＜213. 变式训练4.ax+b ＞0得ax ＞－b 的解集是x ＞１，故 a ＞０且a ＝－b∴ax －b ＜0得ax ＜b ，x ＜1-=a b∴ax －b ＜0的解集为（－∞，－1） 及时突破1．选D.若b ＝0，可排除A ，C ，无论b>0还是b<0，D 均成立．2．选D.∵a>|b|≥0，∴a2>b2，故选D.3．选C. ∵A 、B 、C 、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法． 令a ＝2，b ＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2， 即a>－b>b>－a.4．选A.因为a<0，ay>0， 所以y<0，又x ＋y>0，所以x>－y>0，所以x －y>0.应选A. 5．∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4. ∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.6．设步行速度与跑步速度分别为v1，v2， 显然v1<v2，总路程为2s ，则甲用时间为s v1＋s v2，乙用时间为4sv1＋v2，而s v1＋s v2－4sv1＋v2＝s(v1＋v2)2－4sv1v2v1v2(v1＋v2) ＝s(v1－v2)2v1v2(v1＋v2)>0，故s v1＋s v2>4s v1＋v2，故乙先到教室． 课时训练题１. 选A.∵a>b ，c>d ，∴a+c>b+d ；２．选 C.由b a ≥1⇒b b-a ≥0⇒b(b-a)≤0.反之不成立.３．选B.由110a b <<得0b a <<,0ab >,则①④正确,②③错误.４．选A.显然0,0a b <>，但无法判断b a ,-与|||,|b a 的大小.５．选C ． a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e ,而22log 3log 1e >>,所以a ＜b.c=125-=15,而2252log 4log 3>=>,所以c ＜a,综上c ＜a ＜b.6．选A ． ∵0a b >>，∴11b a >，∴11a b b a +>+。