第1节不等关系与不等式【选题明细表】一、选择题1.(2013泰安模拟)如果a>b,则下列各式正确的是( D )(A)a·lg x>b·lg x (B)ax2>bx2(C)a2>b2(D)a·2x>b·2x解析:∵a>b,2x>0,∴a·2x>b·2x.故选D.2.(2013山东省德州市期末联考)设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b ≥2”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若a≥1,b≥1,则a+b≥2.当a=5,b=时有a+b≥2成立,但b<1,所以“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分而不必要条件.故选A.3.(2013潍坊模拟)若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是( B )(A)-,(B)-,0(C)0,(D)-,0解析:∵-<α<β<π,∴-<α<π,-π<-β<,∴-<α-β<,又α-β<0,∴-<α-β<0.故选B.4.若a<b<0,则以下结论正确的是( C )(A)a2<ab<b2(B)a2<b2<ab(C)a2>ab>b2(D)a2>b2>ab解析:法一由a<b<0得即所以a2>ab>b2.故选C.法二由a<b<0得a-b<0,则a2-ab=a(a-b)>0,即a2>ab,ab-b2=b(a-b)>0,即ab>b2,因此a2>ab>b2.故选C.5.(2013南平模拟)如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( C )(A)ab>ac (B)c(b-a)>0(C)cb2<ab2(D)ac(a-c)<0解析:由条件知a>0,c<0,则选项A、B、D一定正确,当b=0时,选项C 不正确.故选C.6.(2013浙江龙泉市模拟)如果a<b<0,那么,下列不等式中正确的是( D )(A)<(B)a2<b2(C)>(D)<解析:法一由a<b<0,所以>0,a<b两边同乘以得:<,故选项A错;由a<b<0,得-a>-b>0,两边平方得:a2>b2,故选项B错;由a<b<0,得a-b<0,所以a(a-b)>0,若>成立,则>成立,即a>a-b成立,也就是b>0成立,与已知矛盾,故选项C错;由a<b<0得<<0,所以->->0,则=-2<-2=,故选项D正确.法二∵a<b<0,故可取a=-3,b=-2,∴=->-=,故选项A错;a2=9,b2=4,∴a2>b2,故选项B错;a-1=-1,∴=-1<-=,故选项C错;=,=,∴<,故选项D正确.故选D.7.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则( D )(A)c>b>a (B)b>c>a(C)a>c>b (D)a>b>c解析:∵1<log23<log25<log27,∴>>>0,即log32>log52>log72,a=log3(3×2)=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,∴a>b>c.故选D.二、填空题8.已知a+b>0,则+与+的大小关系是.解析:+-=+=(a-b)=.∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0.∴+≥+.答案:+≥+9.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是. 解析:∵ab2>a>ab,∴a≠0,当a>0时,b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,b2<1<b,即无解.综上可得b<-1. 答案:(-∞,-1)10.(2013南昌一模)现给出三个不等式:①a 2+1>2a;②a 2+b 2>2a-b-;③+>+.其中恒成立的不等式共有 个.解析:①∵a 2+1-2a=(a-1)2≥0,故①不恒成立; ②∵a 2+b 2-2a+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,∴a 2+b 2>2a-b-恒成立. ③∵(+)2=17+2,(+)2=17+2,又∵>,∴17+2>17+2, ∴+>+,成立.答案:211.(2013滨州模拟)A 杯中有浓度为a 的盐水x 克,B 杯中有浓度为b 的盐水y 克,其中A 杯中的盐水更咸一些.若将A,B 两杯盐水混合在一起,其咸淡的程度可用不等式表示为 .解析:依题意知混合后盐水的咸淡程度m 应满足b<m<a,又m=,所以混合后的咸淡程度用不等式表示为:b<<a.答案:b<<a12.(2013南京一模)给出下列四个命题:①若a>b>0,则>;②若a>b>0,则a->b-;③若a>b>0,则>;④设a,b是互不相等的正数,则|a-b|+≥2.其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上).解析:①作差可得-=,而a>b>0,则<0,①是假命题.②a>b>0,则<,进而可得->-,所以可得a->b-,②是真命题;③-===<0,③是假命题;④当a-b<0时此式不成立,④是假命题.答案:②三、解答题13.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7枝,练习本至少买6本.写出满足条件的不等式.解:设铅笔买x枝,练习本买y本(x,y∈N*),总钱数为0.6x+0.7y,且不大于10,∴14.若α,β满足试求α+3β的取值范围.解:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.由解得∴α+3β=-(α+β)+2(α+2β),∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,∴两式相加,得1≤α+3β≤7.15.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.解:设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x·(n-1)=x+xn,y2=nx.所以y1-y2=x+xn-nx=x-nx=x.当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.。
第01讲不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集(5类热点题型讲练)1.了解不等式的概念；将自然语言转化为符号语言．2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.3.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式.4.理解不等式的解与解集的意义.知识点01不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．特别说明：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量于”(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x ＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点02不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或a b c c<)．特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．知识点03不等式的解与解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．注意：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中题型01不等式的定义【例题】（2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末）下列数学式子：①30-<；②230x y +≥；③1x =；④222x xy y -+；⑤13x +≠；其中是不等式的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【变式训练】1．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列式子：①30-<；②350+>x ；③26x -；④2x =-；⑤0y ≠；⑥220x +≥．其中不等式的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．52．（2023下·河北保定·八年级统考阶段练习）下列各式：①8x -；②523x -≤；③3x >；④3210x x -+=，不等式的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4题型02列不等式题型03不等式的基本性质【例题】（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）下列判断不正确的是（）A ．若a b >，则44a b -<-B ．若23a a >，则0a <C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a b>【变式训练】题型04利用不等式的基本性质解不等式【例题】（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（）A ．不等式28x <-的解集是4x <B ．5x =是不等式28x <-的一个解C ．不等式28x <-的整数解有无数个D ．不等式28x <-的正整数解有4个【变式训练】1．（2023下·八年级课时练习）下列说法错误的是（）A ．5是不等式26+>x 的解B ．2是不等式350x ->的解C ．284x -<的解集是6x <D ．3x <的解集就是1、2、32．（2023下·七年级课时练习）下列说法错误的是（）A ．不等式5100x ->的解是3B ．3是不等式5100x ->的解C ．不等式5100x ->的解集是2x >D ．2x >是不等式5100x ->的解集题型05不等式的解集【例题】（2023下·河南周口·八年级校联考阶段练习）将下列不等式化成“x a >”或“x a <”的形式：(1)541x x >-；(2)27x --<．【变式训练】一、单选题1．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）在下列数学表达式中，不等式的个数是（）①30-<；②430x y +>；③3x =；④5x ≠；⑤23x y +>+．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．（2021下·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（）A ．x ＝3是不等式2x ＞1的解B ．x ＝3是不等式2x ＞1的唯一解C ．x ＝3不是不等式2x ＞1的解D ．x ＝3是不等式2x ＞1的解集3．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列表示的不等关系中，正确的是（）A ．a 不是负数，表示为0a >B ．m 比3至少多1，表示为31m -≥C ．x 与1的和是非负数，表示为10x +>D ．x 不大于3，表示为3x <4．（2023上·浙江·八年级校考期中）下列不等式的变形正确的是（）A ．由a b <，得ac bc <B ．由ac bc <，得a b <C ．由a b <，得22ac bc <D ．由22ac bc <，得a b<二、填空题。
