第六章 第一节 不等关系与不等式

第六章 第一节 不等关系与不等式
1.使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1
k (k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的4
7，请从这件实事
中提炼出一个不等式组是________．
答案：⎩⎪⎨⎪
⎧
47＋47k
<147＋4
7k ＋47k 2
≥1k ∈N
*
2．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式． 解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则 ⎩⎪⎨⎪⎧
40x ＋90y ≤1 000x ≥5y ≥6x ，y ∈N
*
，即⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋9y ≤100
x ≥5y ≥6
x ，y ∈N
*
.
3.如果a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系为 ( ) A ．a 2＞a ＞－a 2＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 2＞a C ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2 D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2
解析：因为a 2＋a ＜0，即a (a ＋1)＜0，所以－1＜a ＜0，因此－a ＞a 2＞0，则0＞－a 2＞a ，有－a ＞a 2＞－a 2＞a . 答案：B
4．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则
b a －
c 与a
b －d
的大小关系为________． 解析：b a －c －a
b －d ＝b 2－bd －a 2＋a
c (a －c )(b －
d )
＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )(a －c )(b －d )
.
因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，
所以a －c ＞0，b －d ＞0，b －a ＜0， 又－c ＞－d ＞0，则有－ac ＞－bd ， 即ac ＜bd ，则bd －ac ＞0， 所以(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )＜0， 所以b a －c －a
b －d ＝(b ＋a )(b －a )－(bd －a
c )(a －c )(b －
d )
＜0， 即
b a －
c ＜a b －d
. 答案：b a －c ＜a b －d
5.设[x ]表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝3[x ]＋13
y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是
整数，那么x ＋y 的取值范围是 ( ) A ．(35,39) B ．(49,51) C ．(71,75) D ．(93,94)
解析：∵[x －3]＝[x ]－3，解⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝3[x ]＋13y ＝4[x －3]＋5，得[x ]＝20，y ＝73，∵x 不是整数，
∴20<x <21，∴93<x ＋y <94. 答案：D
6．已知0＜α－β＜π2，π2＜α＋2β＜3π
2，求α＋β的取值范围．
解：设α＋β＝A (α－β)＋B (α＋2β) ＝(A ＋B )α＋(2B －A )β.
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
A ＋
B ＝1，2B －A ＝1. ∴⎩⎨⎧
B ＝23
，
A ＝13.
∴α＋β＝13(α－β)＋2
3(α＋2β)．
∵α－β∈(0，π
2)，
∴1
3(α－β)∈(0，π6)． ∵α＋2β∈(π2，3π2
)，
∴2
3(α＋2β)∈(π3，π)． ∴α＋β∈(π3，7π6
)．
∴α＋β的取值范围是(π3，7π
6)．
7.已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是 ( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y | 解析：由已知3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0， ∴x >0，z <0.
由⎩⎨⎧
x >0y >z
得：xy >xz . 答案：C
8．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －d
b ＞0(其中a 、b 、
c 、
d 均为实数)，用其中
两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：由ab ＞0，bc －ad ＞0. 两端同除以ab ，得c a －d
b ＞0.
同样由c a －d
b ＞0，ab ＞0可得b
c －a
d ＞0.
⎩⎪⎨⎪
⎧ bc －ad ＞0c a －d b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
bc －ad ＞0bc －ad ab ＞0⇒ab ＞0. 答案：D 9．给出下列命题： ①若a ＞b ，则1a ＜1b ；
②若a ＞b ，且k ∈N *，则a k ＞b k ； ③若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ④若c ＞a ＞b ＞0，则
a c －a ＞
b
c －a
.
其中假命题是________(只需填序号)． 解析：当a ＞0＞b 时，1a ＞1
b ，故命题①错误； 当a ，b 不都是正数时，命题②是不正确的； 当a
c 2＞bc 2时，可知c 2＞0，∴a ＞b ，即命题③正确； 对于命题④，∵c ＞a ，∴c －a ＞0，从而1
c －a
＞0，又a ＞b ＞0， ∴
a c －a ＞
b
c －a
，故命题④也是正确的． 答案：①②
10．2009年第十一届全国运动会在美丽的泉城济南胜利召开，下表为济南全运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12 000元预订15张下表中球类比赛的门票：
若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数． 解：设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n (n ∈N *)张， 则男篮比赛门票预订(15－2n )张，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
800n ＋500n ＋1 000(15－2n )≤12 000800n ≤1 000(15－2n )， 解得427≤n ≤55
14.由n ∈N *，可得n ＝5，
∴15－2n ＝5.
答：可以预订男篮比赛门票5张．。