第三章 函数极限
引言
在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。
通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。
我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即
:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.
研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势。
此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？
为此，考虑下列函数:
1,0;
()0,0.x f x x ≠⎧=⎨
=⎩
类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,
由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，
这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。
下面，我们就依次讨论这些极限。
§1 函数极限的概念
一、x →+∞时函数的极限
１．引言
设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。
例如 1
(),f x x x
=无限增大时，()f x 无限地接近于０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于
2
π
；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑
x →+∞时，()f x 的变化趋势。我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于
某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”。
[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下. 2. x →+∞时函数极限的定义
定义１ 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数。若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当
x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限。记作
lim ()x f x A →+∞
=或()()f x A x →→+∞.
３．几点注记 （１）
定义１中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数
列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n 。 （２） lim ()x f x A →+∞
=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈
（３）
lim ()x f x A →+∞
=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中
心线，以2ε为宽的带形区域。“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线
()y f x =全部落在这个带形区域内。
如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。 （４）
现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无
限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作， lim ()x f x A →-∞
=或()()f x A x →→-∞，
lim ()x f x A →∞
=或()()f x A x →→∞。
这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：
lim ()x f x A →-∞
=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，
lim ()x f x A →∞
=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<。
（５）推论：设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则
lim ()x f x A →∞
=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞
→-∞
==。
４．利用lim ()x f x →+∞
＝Ａ的定义验证极限等式举例
例１ 证明 1
lim
0x x
→∞=. 例２ 证明 １）lim 2
x arctgx π
→-∞
=-
；２）lim 2
x arctgx π
→+∞
=
.
二、0x x →时函数的极限
１．引言
上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即
f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ。
本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数，。现在讨论当00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列。 先看下面几个例子：
例１ ()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0
(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →）
例２ 24()2
x f x x -=-.（()f x 是定义在0
(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）
例３ 1()f x x
=
.（()f x 是定义在0
(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →） 由上述例子可见，对有些函数，当00()x x x x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当00()x x x x →≠时，()f x 的变化趋势。
我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0
lim ()x x f x A →=。
和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？
作如下分析：
“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0x 就可以了。即对
0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<。此即0
lim ()x x f x A →=。
２．00()x x x x →≠时函数极限的εδ-定义
定义２ 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域()0
0;U x δ'内有定义，Ａ为定数，若对任给的
0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以Ａ为极限
（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0
lim ()x x f x A →=或（0()()f x A x x →→.
