当前位置：文档之家 › 概率公理化定义渊-林宁宁

概率公理化定义渊-林宁宁

  • 格式：doc
  • 大小：16.50 KB
  • 文档页数：3

概率公理化定义渊源

(林宁宁，材料1108，41130228）

【摘要】概率的公理化和严密化趋势起源于17、18世纪以来所产生的一些新的数学学科缺乏严密的基础。对于概率论的公理化的思考和尝试开始于19世纪中叶。

【关键词】概率，公理化

1.严密化的需求

概率论在 17世纪中叶由研究赌博问题而诞生。到了19世纪，由于获得新的研究动机以及分析方法的引入，使得概率论获得了重要进展。可是在发展过程中 ，概率论没能演绎成一门逻辑上完美的数学学科 ，它的基础存在着缺陷。这是因19世纪的分析本身就没有严格化 ，以它为研究工具的概率论的严格化就可想而知了。虽然，后来分析的基础严密了，但概率论公理化所必须的测度论还未发明 ，故不严密是难以避免的。在这种情况下，出现了“贝特朗悖论 ”等问题。

“贝特朗悖论”是由法国数学家贝特朗在《概率论 》 一书中首先提出的：在半径为 1的圆内随机地取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率为多少？贝特朗用3种不同的解法，得到3个不同的结果。这似乎与数学论断的确定不变性相矛盾。同一时期还出现了许多悖论，这些问题不仅推动数学家更加精确地用公式表示问题的条件，且促使人们思考概率论的基础问题。

2.最初的尝试

19世纪下半叶，概率论在统计物理学中的应用及概率论的自身发展已突破了概率的古典定义，但关于概率的一般定义则始终未能明确化和严格化。这种情况既严重阻碍了概率论的进一步发展和应用，又落后于当时数学的其他分支的公理化潮流。1900年,希尔伯特在世界数学家大会上提出建立概率论公理化体系的倡议，属于著名23个问题中的第六种。最先涉足这方面研究的有庞加莱、波莱尔、伯恩斯坦等。法国数学家波莱尔是巴黎高师1893年的毕业生，数学分析中的有限覆盖定律便是波莱尔的杰作，以他的名字命名的波莱尔可测集，构成了测度论的基础，波莱尔率先将概率论与测度论挂起钩来，定义了科数事件集的概率，这项贡献填补了古典有限概率和几何概率的之间的裂谷。伯恩斯坦于1917年构造了概率论的第一个公理化系。1919年，奥地利数学家米泽斯，将概率的频率定义与统计定义进行了公理化的处理，并创立了概率的频率理论学派；有“布尔什维克主义的死敌”之贬称的英国经济学家凯恩斯也做出了一定的贡献，凯恩斯将任何命题都看成是事件，将事件的概率看成为人们根据经验对该事件的可信程度，凯恩斯定义的概率与随机试验十分隔膜，因而是一种主观概率。

严格说来，这第二条公理没有确切的数学含义。因此，这种所谓公理化在数学上是不可取的。此外，像某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率，在米泽斯理论中是无法定义的。这种频率法的理论依据是强大数律，它具有较强的直观性，易为实际工作者和物理学家所接受。但随着科学的进步，它又已逐渐被绝大多数物理学家所抛弃。

3.公理化的建立

主观概率学派与概率的频率理论学派的长期对峙与无所作为，致使概率论的公理化运动改到测度论的河床。事件与集合非常相似，概率与测度一拍即合，显示了雷同的相互关系及也运算规律。不仅如此，随着大数定律研究的不断深入，概率论与测度论的深层联系愈加清晰。1933年，前苏联数学家科尔莫哥洛夫（1903——1987）在《概率论的基础概念》一书，提出了概率论的公理化定义。科尔莫哥洛夫借助实变函数论和测度论来定义概率概念，形成了概率论的公理化定义：考察任一随机事件，则每次试验或观察，总可以得到一个结果，称为基本事件，基本事件对应标准测度空间中的点，这些基本事件的全体，称为基本事件集合，即基本空间。而试验或观察的有利结果，就是基本事件集合中的某些子集，称为事件，即可测集合。而事件的概率就是各子集合的标准测度。科尔莫哥洛夫以5条公理为基础，构建了整个概率论的公理化理论体系。

科尔莫哥洛夫的公理体系，着眼于规定事件及事件概率的最基本的性质和关系，并用这些规定来表明概率的运算法则，从而使概率理论更加严密完备；而且为论述无限随机序列或一般随机过程提供了足够的逻辑基础，从而应用更加方便。这个公理体系是从客观实际中抽象出来的，既概括了概率的古典定义、几何定义、频率定义的基本特性，又避免了各自的局限性和含混之处。从此，原来众说纷纭的概率终于有了一个统一而明确的定义，概率论中的其他概念和命题，也都置于一个严密的逻辑系统之中，至此，概率论才真正成为了一门演绎的数学理论，概率论公理体系的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，为现代概率论的蓬勃发展打下了坚实的基础。这一公理体系一经出现，便迅速地获得了举世公认。但是，科尔莫哥洛夫公理化概率定义的提出，并没有也不可能结束概率定义的争论。

参考文献 ：

[1] 华罗庚、苏步青、中国大百科全书.数学卷[K]

[2] 徐传胜 ，吕建荣.亚伯拉罕 ·棣莫弗、概率思想与正态概率曲线[J]、西北大学学报

[3] 林诒勋、关于概率的统一定义观点[N]、郑州大学报

合集下载

概率公理化定义的直观背景介绍

概率公理化定义的直观背景介绍

1.2 概率公理化定义的直观背景

这里之所以改变认识事物的常规进程，目的在于强调感性认识与理性认识之不同，理性认识源于感性认识却高于感性认识。

1 等可能概型

如果随机试验E具有性质：

(1) 只有有限个基本事件(又称为样本点)：,,,n；

(2) 每个基本事件等可能发生，

则称随机试验E是等可能概型的随机试验。于是合情地定义nnAPA)(。鉴于由概率

公理化定义可推出这个定义，从而可见，公理化定义是古典定义的理性升华。

求解等可能概型问题的若干要点

计数四原理

 （1）乘法原理

若某项工程依赖k个步骤完成，而每个步骤分别有knnn,,,21个完成方案，则完成该项工程的方案总数是kiinN1。

[例2.1] n个不同质点放入N个不同盒子中，假定盒子的容量不限，求不同的放置方式的总数。

解

每个质点有N个放入选择，从而依乘法原理，n个质点放入完毕，共有nN个不同的放置方式。

[例2.2] 用数字1,2,9能组成多少个不同的12位数字？

解

注意到每个数字可重复使用(最多为12次)，于是12位数字的每一位均有9个选择。从而依乘法原理，共可组成129个不同的12位数字。

 （2）加法原理

如果某项工程由k家共同完成，而每家分别有knnn,,,21个完成方案，则完成该项工程的方案总数1kiiNn。

[例2.3] 在4女5男中选取3人，求其中至少有一男一女的不同的选取方法的总数。

解

在选中的3人中至少有1男1女，有且仅有两种情况：1女2男和2女1男，依乘法

原理，各自不同的选取方法总数分别为4152和4251，从而依加法原理，不同的选取方法总数为45451221。

 （3）一般加法原理*(容斥原理)

设ia(i=1,2…,n)表示关于有限集S的元素的n个性质,iA表示由性质ia确定的元素所成之集,iA表示集iA所含元素的个数，则S中至少有一个性质的元素之总数

古典概率，几何概率，概率频率的定义，再到概率公理化定义

古典概率，几何概率，概率频率的定义，再到概率公理化定义

古典概率，⼏何概率，概率频率的定义，再到概率公理化定义

古典概率 古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发⽣的可能性是相同的。若事件A包含m个基

本事件，则定义事件A发⽣的概率为p（A）＝m／n，也就是事件A发⽣的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的

古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰⼦⼀类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率，可以⽤穷举法列出所有基本事件，再数清⼀个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计

算过程。

⼏何概率 若随机试验中的基本事件有⽆穷多个，且每个基本事件发⽣是等可能的，这时就不能使⽤古典概率，于是产⽣了⼏何概率。⼏何概率的基本思想是把事件与⼏何区域对应，利⽤⼏何区域的度量

来计算事件发⽣的概率，布丰投针问题是应⽤⼏何概率的⼀个典型例⼦。

概率的频率定义 随着⼈们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同⼀事件，可以从不同的等可能性⾓度算出不同的概率，从⽽产⽣了种种悖论。另⼀⽅⾯，随着经验的

积累，⼈们逐渐认识到，在做⼤量重复试验时，随着试验次数的增加，⼀个事件出现的频率，总在⼀个固定数的附近摆动，显⽰⼀定的稳定性。R.von⽶泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是

概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。

概率公理化定义：

⼀是⾮负性。亦即概率的取值不能是负数。

实际上，任何“测度”，例如长度、⾯积、体积、重量等，都不能取负数。因此，作为针对“可能性”的测度，概率⾃然也不能取负数。

⼆是正则性。亦即概率的取值不能超过1。

相较于其它的测度，正则性是概率这种测度的特别之处。因为诸如长度、⾯积、体积以及重量之类的测度都没有取值上限这种约束。⽽概率的取值之所以要求不能超过1，实在是基于我们对“可能性”⼤⼩这⼀判断的经验（或习惯）做

概率的公理化定义及其确定方法

概率的公理化定义及其确定方法

1 / 7

概率的公理化定义及其确定方法

随着中学教材改革的深入，许多原来只在大学教材中才出现的一些概念现在已经出现在中学教材中.但是，由于中学教材的难度的限制，很多概念和方法并没有象大学教材中叙述的那么系统、严格.本文主要针对概率的定义及其确定方法进行归纳总结.

1 概率的公理化定义

在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义，这些定义各适合一类随机现象.为了给出适合一切随机现象的概率的最一般的定义，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化定义，该定义既概括了上述几种概率定义的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处.

概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的函数，对给定的样本空间及事件域F，若定义在F上的函数满足上述三个条件，就被称为概率.

概率的公理化定义没有告诉人们如何去确定概率，它只是规定了概率应该满足的性质.历史上在公理化定义出现之前的概率的古典定义、几何定义、频率定义和主观定义都在一定的场合下给出了各自的确定概率的方法，因此在有了概率的公理化定义之 2 / 7

后，把它们看作确定概率的方法是恰当的.

2 确定概率的古典方法

确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形，它简单、直观，不需要做大量重复试验，只是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出事件的概率.它的基本如下：

（1）所涉及的随机现象只有有限个结果，即样本空间中只有有限个样本点，设为n；

（2）每个样本点发生的可能性相等（称为等可能性）；

（3）若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为

P(A)=事件A所含样本点的个数中所有样本点的个数=kn.

容易验证，由上述方法确定的概率满足概率的公理化定义，这种概率模型通常称为古典概型.用古典方法求概率的关键是计算样本空间所包含的点的个数和事件A所含的样本点的个数.在我们日常生活中经常遇到可以用古典方法解决的问题，如下例：

这就是著名的概率公理化定义概率公理化定义概率公理化定义概率公理化定义

这就是著名的概率公理化定义概率公理化定义概率公理化定义概率公理化定义

这就是著名的概率公理化定义概率公理化定义概率公理化定义概率公理化定义。在这个定义出现之前曾有过概率的古典定义，概率的统计定义，概率的主观定义。这些定义各适合一类随机现象。那么适合一切随机现象的概率的最一般定义应如何给出呢？很多人思索过这个问题。1900年大数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上公开提出要建立概率的公理化体系，即从概率的少数几条特性来刻画概率的概念。直到1933年前苏联数学家柯莫哥洛夫在他的《概率论基本概念》一书中首次提出概率的公理化定义。这个定义概括了历史上几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足定义中的三条公理才能说它是概率。这一公理化体系的出现迅速获得了举世公认。为现代概率论发展打下了坚实基础。从此数学界才承认概率论是数学的一个分支。有了这个公理化体系后，概率得到很快发展。这个公理化体系是概率论发展史上的一个里程碑。