于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
83 3 333 250 1 . 2000 2000 2000 4
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 两个基本概率模型 古典概型：各样本点等可能出现，样本空间只有 有限个样本点。 m P ( A) n 几何概型：各样本点等可能出现，样本空间具有几 何度量。 L A P( A) L
A1 4只鞋子中恰有两只配成一双
于是 A A1 A2，且A1 A2 , 则 P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
1 2 2 2 C5 [C4 2 ] C5 13 4 4 21 C10 C10
另解 设A 4只鞋子都不能配成双
( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 设 x , y 分别为甲,乙两人到达的时
刻, 那末 0 x T , 0 y T .
两人会面的充 T 上点的坐标 , 则有如图区域。
a
针的中点M到最近的一条平行 直线的距离, 表示针与该平行直线的 夹角.
M x
那么针落在平面上的位 置可由( x , )完全确定.
投 针 试 验 的 所 有 可 能果 结 与矩形区域 a {( x , ) | 0 x ,0 } 2 中的所有点一一对应 .
概率的可列可加性
2. 性质 (1) P ( ) 0.
(2) 若A1 , A2 ,, An是两两互不相容的事件, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
概率的有限可加性
( 3) 设 A, B 为两个事件, 且 A B , 则 P ( A) P ( B ), P ( B A) P ( B ) P ( A).
a
M x
由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题. 所关心的事件 A {针与任一平行直线相交} 发生的充分必要条件为中的点，且满足 b 0 x sin ,0 π 2
L(G) G的面积 P( A) L() 的面积
0
π
b sind 2 a π 2
利用上式可计算圆周率π 的近似值.
历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)
试验者 Wolf Smith 时间 1850 1855 针长 0.8 0.6 投掷次数 相交次数 π的近似值 5000 3204 2532 1218 3.1596 3.1554
De Morgan 1860
Fox Lazzerini Reina 1884 1901 1925
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)法进行计算机模拟 取a 1, b 0.85.
二、概率的公理化定义与性质
1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概
L( A) P( A) L ( ) (其中L( ) 是样本空间的度量, L( A) 是构成事件 A 的子区域的度量 ) ，这样借助于几何上的度量来合 理规定的概率称为几何概率.
说明：当试验结果等可能出现，且有连续无穷多 个时, 就可考虑几何概率.
几何概率的性质
(1) 对任一事件A ,有 0 P ( A) 1;
3. 概率的主要性质
(1) 0 P ( A) 1, P ( ) 1, P () 0;
( 2) P ( A) 1 P ( A);
( 3) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB);
(4) 设 A, B 为两个事件, 则 P( A B) P( A) P( AB). 特殊情形：当A B 时， P( A B) P( A) P( B).
柯尔莫哥洛夫资料
Andrey Nikolaevich Kolmogorov Born: 25 April 1903 in Tambov,Tambov province,Russia Died: 20 Oct 1987 in Moscow,Russia
故所求的概率为
y xt
x yt
阴影部分面积 p 正方形面积
o
t
T
x
T 2 (T t )2 T2 t 2 1 (1 ) . T
蒲丰投针问题
蒲丰资料
例2 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( <a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率. 解 以x表示针投到平面上时 ,
2 4 ( 1 4 ) 1 阴影部分面积 p 2 . ( 2 1) 4 正方形面积
1
2、设A,B是两个随机事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7， 问：（1）在什么条件下，P(AB)取得最大值，最大值 是多少？（2）在在什么条件下，P(AB)取得最小值， 最小值是多少？ 分析：P AB min P A , P B
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
n 个事件和的情况 n P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
i 1
P ( Ai Aj ) 1 i j n
( 2) P () 1, P () 0;
(3) 对于两两互斥的有限个事件A1 , A2 ,, An , P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预
定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t
A ，0 P A 1.
P AB P A P B P A B
答案：当 A B 时，P(AB)=0.6为最大；
当 A B 时，P(AB)=0.3为最小。
作业
• 习题一（P25）：15.
• 预习：第四节 条件概率与乘法公式
(2)规范性 : 对于必然事件 , 有 P( ) 1;
(3) 可列可加性 : 设 A1 , A2 ,是两两互不相容的 事件,即对于 i j , Ai A j , i , j 1, 2,, 则有
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
1 i j k n
n1 P ( A A A ) ( 1 ) P ( A1 A2 An ). i j k
例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列
三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB ) . 8
2b . aπ
b a π 2
蒲丰投针问题的应用及意义
2b 已有结论： P ( A) aπ 根据频率的稳定性 ,当投针试验次数 n很大时, m 算出针与平行直线相交 的次数m , 则频率值 即可 n 作为P ( A)的近似值代入上式 , 那么 2bn m 2b π . n aπ am
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
250 2000 . 由于 250, 故得 P ( B ) 2000 8 2000 83 由于 83 84, 得 P ( AB ) . 24 2000
C 2 8 P( A) 4 21 C10
则 P( A) 1 P( A )
8 13 1 21 21
4 5 4
例3 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到 的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是 多少 ? 解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件
P ( A B ). “取到的数能被8整除”则所求概率为 P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
率论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义 ,使概 率论有了迅速的发展.
柯尔莫哥洛夫资料
1. 概率的公理化定义1.7 设E是随机试验, 是它的样本空间对于 . E的
每一事件A赋予一个实数, 记为P( A), 称为事件 A的概率.如果集合函数P()满足下列条件 : (1) 有界 性 : 对于每一个事件 A, 有 0 P( A) 1;
1.3 几何概型和概率的公理化定义
一、几何概型 二、概率的公理化定义
三、小结
概率的古典定义具有可计算性的优点,但 它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样 本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义 就不适用了. 把有限个样本点推广到无限个样本点 的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了 确定概率的另一方法——几何概率.
一般情形：P( B A) P( B) P( AB).
(4) 设 A 是 A 的对立事件, 则 P( A) 1 P( A).
(5) (加法公式 )对于任意两事件 A, B 有 P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB).
推广 三个事件和的情况 P ( A1 A2 A3 )
一、几何概率
定义1.4
若对于一随机试验, 每个样本点出现是等可能的, 样 本空间所含的样本点个数为无穷多个, 且具有非零 的、有限的几何度量,即0 m() , 则称这一随机 试验为几何概型.
