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概率的公理化是概率论的基础，它提供了一种严格的数学框架来描述不确定性和随机现象。
概率的公理化由俄国数学家安德雷·科尔莫哥洛夫在20世纪30年代首次提出，并被广泛接受和应用。
概率的公理化基于三条基本原则，它们构成了概率论的基础。
以下是对这三条原则的详细阐述。
1. 非负性：概率是非负的。
这意味着对于任何事件A，它的概率必须大于等于零。
即P(A) ≥0。
这个原则表明概率不能为负数，即任何事件都至少有一定的可能性发生。
2. 规范性：全样本空间的概率为1。
全样本空间是指所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
规范性要求全样本空间的概率等于1，即P(Ω) = 1。
这个原则确保所有可能结果的总和为1，表示了一定会发生某个结果的确定性。
3. 可加性：对于互斥（互不相交）事件的概率，可以通过求和计算。
如果事件A和B是互斥事件（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和等于它们分别的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
这个原则允许我们通过计算各个可能事件的概率来得到复合事件的概率。
在这三条基本原则的基础上，可以推导出概率论中的其他重要定理和性质。
例如，可以通过可加性原理推导出条件概率和乘法规则，用于计算事件之间的依赖关系。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
乘法规则则用于计算多个事件同时发生的概率。
概率的公理化还涉及到概率空间的定义。
概率空间由样本空间Ω和一个叫做事件域的集合F组成。
事件域是样本空间的子集合的集合，它包含了我们感兴趣的所有事件。
概率被定义为一个函数P，它将事件映射到实数，即P：F→[0,1]。
满足非负性、规范性和可加性的概率函数被称为概率测度。
概率的公理化使得概率论成为一门严密的数学理论，并被广泛应用于统计学、风险管理、金融学、物理学等领域。
它提供了一种计算和分析不确定性的工具，帮助我们做出决策、预测事件的发生概率，并评估风险。
总结起来，概率的公理化是概率论的基础，它建立了一套数学框架来描述不确定性和随机现象。
概率公理化的定义概率公理化是概率论的基本公理系统，用于定义和推导概率的性质和规则。
它由三个基本公理组成，分别是非负性公理、规范性公理和可列可加性公理。
首先，非负性公理指出概率是一个非负的实数，即概率值始终大于或等于零。
这是因为概率是表示事件发生的可能性的度量，而任何事件的发生概率都不应该是负数。
因此，对于任何事件A，其概率P(A)满足P(A)≥0。
其次，规范性公理指出概率的最大值是1，即整个样本空间的概率是1。
样本空间是所有可能事件的集合，而其中的某一个事件一定会发生。
因此，整个样本空间的概率等于1。
即对于整个样本空间S，有P(S) = 1。
最后，可列可加性公理是概率公理化的核心内容，它指出对于任意可列个互不相容的事件Ai（i=1，2，3，...），其概率P(Ai)的和等于它们各自概率的和。
这表示当我们考虑多个事件同时发生的情况时，可以将它们的概率逐个相加来求得总概率。
即对于事件A1，A2，A3，...，有P(A1∪A2∪A3∪...) =P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...。
这三个基本公理共同构成了概率公理化的定义，通过这些公理我们可以进行概率的形式化描述和推导。
同时，这些公理也满足概率的一些基本性质和规则，如辅助定理、概率的有限可加性、概率的递减性等。
其中，辅助定理是基于这三个公理得到的，它指出对于事件A 和事件B，当A包含于B时，A的概率一定小于等于B的概率。
即当A⊆B时，有P(A)≤P(B)。
概率的有限可加性指出对于任意有限个互不相容的事件A1，A2，A3，...，它们的概率P(A1∪A2∪A3∪...)等于它们各自概率的和。
即对于有限个事件A1，A2，A3，...，有P(A1∪A2∪A3∪...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...。
概率的递减性指出对于事件A和事件B，当A包含于B时，B的概率一定大于等于A的概率。
即当A⊆B时，有P(B)≥P(A)。
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质一、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间Ω,文件域 F 和概率P 已在前面得到解决。
在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。
在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。
例如，若我们在一个面积为ΩS 的区域Ω中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域Ω中有任意一个小区域A ，若它的面积为A S , 则点A 落在A 中的可能性大小与A S 成正比，而与A 的位置及形状无关。
如果点A 落在区域A 这个随机事件仍记为A ，则由P(Ω)=1可得Ω=S S A P A)(, 这一类概率称为几何概率。
同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。
例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
解：以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则600,600≤≤≤≤y x 。
两人能会面的充要条件是15≤-y x 在平面上建立直角坐标系（如教材图）则（x,y ）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。
这是一个几何概率问题，由等可能性 167604560)(222=-==ΩS S A P A例2 蒲丰（Buffon ）投针问题。
平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。
解：假设x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线间的交角，有20ax ≤≤，πϕ≤≤0 由这两式可以确定ϕ,x 平面上的一个矩形 }0,20),({πϕϕ≤≤≤≤=Ωax x ， 这时为了针与平行线相交，其条件为ϕsin 2lx ≤，由这个不等式表示的区域A 是图中的阴影部分 }sin 2,20),({ϕϕlx a x x A ≤≤≤=由等可能性可知 a la d lS S A P A ππϕϕπ22sin 2)(0===⎰Ω 若l,a 为已知，则以π值代入上式，即可计算得P （A ）的值。
一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。
设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
（4）全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容，P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。
五、概率的公理化定义及性质概率的公理化定义：(1)定义：随机试验的样本空间Ω对于随机事件A ，赋于一个实数，记为P A ()，称为事件A 的概率，如果集合函数P ()⋅满足下列条件：1) 对于任一事件A ，有P A ()≥0。
2)P ()Ω=13)设A A 12,, 是两两互不相容的事件，即对于i j A A i j i j ≠=∅=,,,,,12则有P A A P A P A ()()()1212=++1)P ()∅=0证明:设A n n =∅=,,,12 ，，则An n =∅=∞,1 P A P P P n n ()()()(),=∞=∅+∅+=∅1 P ()∅≥0∴P ()∅=0(2)性质：2) A A A n 12,, 是两两互不相容的事件，则有P A A A P A P A P A n n ()()()()1212 =+++ 证明:设 A i n n i =∅=++,,,12 ，则 ∞====∅∅=111i n i n i i i i A A A ,)( n i i i i A P A P 11=∞==)()(=++++∅+P A P A P A P n ()()()()12 =+++P A P A P A n ()()()12 ∴P A A A P A P A P A n n ()()()()1212 =+++3)设B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-且 )()(B P A P ≤。
证明: B A B A A B A =--=∅(),()且由性质2）：P B P A B A P A P B A ()(())()()=-=+- ∴P B A P B P A ()()()-=- P B A ()-≥0∴-≥P B P A ()()0即P B P A ()()≥ABB-A =B -AB 推论：)()()(AB P B P A B P -=-证明:AB B A B -=- BAB ⊂)()()()(AB P B P AB B P A B P -=-=-∴A5)P A P A ()()=-1A A 证明： A A AA ==∅Ω,∴=+=+=P P A A P A P A ()()()()Ω1∴=-P A P A ()()14)P A ()≤1证明： A ⊂Ω,∴≤=P A P ()()Ω1P ()Ω=1B B-AB6))()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 证明：P A B ()))((AB B A P -= )()()(AB P B P A P -+=)()(AB B P A P -+=(2)性质：1)P ()∅=0(逆不成立)2)A A A n 12,, 是两两互不相容的事件，则有P A A A P A P A P A n n ()()()()1212 =+++ (不相容的加法公式)3)设B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-且 )()(B P A P ≤。
（单调性）4)P A ()≤15)P A P A ()()=-1（对立公式）6))()()()(AB P B P A P B A P -+=+（相容的加法公式）推论：)()()(AB P B P A B P -=-(减法公式)2) +-=∑∑≤<≤=)()(j i nj i ni i A A P A P 11+--()()1112n n P A A A P A A A n ()12 推广：1)---P A A P A A P A A ()()()122313+P A A A ()123P A A A P A P A P A ()()()()123123 =++例1.设A 与B 为两个随机事件，P A ()= 0.4，P A B () = 0.7,当A 、B 互不相容时，求P B ()。
解：P A B P A P B P AB ()()()()=+- A ，B 互不相容∴0)()(=∅=P AB P 又P A ()= 0.4，P A B () = 0.7∴P B P A B P A P AB ()()()()=-+ =-+07040..=03.例 2.设A ，B 为随机事件，已知P A () = 0.7 , P B ()= 0.5，P A B ()-= 0.3, 求P AB ()和P B A ()-解：)()()(B A P A P AB P --=∴)()()(AB P B P A B P -=-=-=050401...)()()(AB P A P B A P -=- =-=070304...A BAB解：设A 表示取到的整数能被6整除，B 表示取到的整数能被8整除，则AB 表示取到的整数既能被6整除，又能被8整除;AB 表示取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除. 20006333262000825020002483824===,,,∴=P A (),3332000P B (),=2502000P AB (),=832000)(1)()(B A P B A P B A P -==∴=-+-1(()()())P A P B P A B =-+-133320002502000832000()==150********.即所求概率为0.75。
例3. 在1~2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6，又不能被8整除的概率是多少？1. 定义条件概率──考虑A 已发生的条件下，B 发生的概率。
例1.一枚硬币抛两次，观察其正反面出现的次数。
解：样本空间Ω={正正，正反，反正，反反}事件A 表示至少有一次为正面，事件B 表示两次都是同一面， A ={正正，正反，反正}， 求已知A 发生的条件下，B 发生的概率。
注意：A 发生，样本空间Ω缩小为'Ω={正正，正反，反正}=A其中，只有一个“正正”∈B ，∴=P B A (|)135分国徽B ={正正，反反} P A (),=34P AB ().=14P A (),=34P AB ().=14∴==P AB P A ()()143413∴=P B A P AB P A (|)()()P B A P AB P A (|)()()=恒成立吗？?∴=P B A (|)13古典概型的情形设试验的基本事件总数（即样本空间的容量）为n ，事件A 所包含的基本事件数为m m ()>0，事件AB 所包含的基本事件数为k ，则m k A B P =)|(定义：设A 、B 为两事件，且P A ()>0，称P B A P AB P A (|)()()=为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
nm n k =)()(A P AB P =P A (|)⋅符合概率定义中的三个条件：1)对每一个事件B ，P B A (|)≥02)P A (|)Ω=13)设B B B n 12,,, 是两两互不相容的事件，则有∑∞=∞==11)|()|(i i i i A B P A B P P A (|)⋅具有概率的重要结果：1) 如B B B n 12,,, 是两两互不相容的事件，则∑===ni i n i i A B P A B P 11)|()|( 2)若B B 12,是对立事件，则P B A P B A (|)(|)211=-3)∀B B 12,，P B B A P B A P B A P B B A (|)(|)(|)(|)121212 =+-的区别：与)|()(A B P AB P AA B P AB P ΩΩ的样本空间是的样本空间是)|()(1.."","""",:)|(,:)(关系条件先后主从或包含之间有同时发生事件B A A B P B A AB P 2.例2：一盒装有5只产品，其中有3只是一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”。
试求条件概率)|(A B P 。
解：方法一：条件概率的定义。
P A (),=35103)(251213==A C C AB P 2153103)()()|(===∴A P AB P A B P方法二：在A 已经发生的条件下，第二次只能从剩余的2只一等品、2只二等品中抽取，所以，这时抽到一等品的概率为P B A (|).==2412在计算条件概率时,一般有两种方法:(1) 由条件概率的公式;(2) 由P(B|A)的实际意义,按古典概型计算.2.乘法公式：P AB P B A P A ()(|)()=⋅推广：1) P ABC P C AB P B A P A ()(|)(|)()=⋅2)P A A A n ()12 =-P A A A n n (|)11 )()|()|()|(112123211A P A A P A A A P A A A P n n ⋅⋅⋅-- 注意：条件0)(>A P 0)(>AB P 注意：条件0)(121>-n A A A P 注意：条件)()|()(B P B A P AB P ⋅=0)(>B P例3.一批零件共100个，次品率10%，每次从其中任取一个，取出的不再放回，求第三次才取得合格品的概率。
解：设A i 表示第i 次取得合格品则321A A A =⋅⋅=10100999909800083.即：第三次才取得合格品的概率为0.0083.)(P )|()|()(213121A A A P A A P A P =例4．眼镜落地，第一次落下打破的概率为1/2；第一次未打破，第二次落下被打破的概率为7/10；若前二次未打破，第三次落下打破的概率为9/10，试求：眼镜在三次落下内打破的概率。
方法二：先算对立事件的概率。
B A A A =123P B P A A A P A A P A ()(|)(|)()=⋅312211=⋅⋅=110310123200985.020*********)(1)(==-=-=∴B P B P 即：眼镜在三次落下内打破的概率为0.985。
解：设A i 表示眼镜第i 次落下打破，B 表示眼镜落下三次内打破，则B A A A A A A =++121312方法一：直接计算。
P B P A P A A P A A A ()()()()=++121312=++P A P A A P A P A A A P A A P A ()(|)()(|)(|)()121131221121=21⋅+10721⋅103⋅+109985.0200197==。
