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§1.3__概率的公理化定义与概率的性质

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概率的公理化定义

概率的公理化定义
§2.4 概率的公理化定义
一、概率的公理化定义 二、概率的基本性质
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几 何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题 中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局 限性.
为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.
思考题
1.已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 ,
P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件A，B，C 全不发生的概率为 2.已知A、B两事件满足条件 P( AB) P( AB ) 且P ( A ) = p，则P ( B ) = （上述题是考研填空题）
i 1
n
P ( Ai A j ) 1 i j n

P ( Ai A j Ak ) ( 1) 1 i j k n
n 1
P ( A1 A2 An ).
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB) 8
2
中提出的“概
率 为1的事件为什么不一定发生?”这一问题. Y 如图，设试验E 为“ 随机地向 长为 1 的正方形内投点” 事件A 边 1 为“点投在黄、蓝两个三角形内” , 求 P( A) 0 1 x 1 S黄三角形 S蓝三角形 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 1 1 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) 6 2000

概率论与数理统计 第一章 1.3等可能概型

概率论与数理统计 第一章 1.3等可能概型
C1C1 + C1C1 = 9⋅ 3 + 3⋅ 9 = 54 . 9 3 3 9
概率论
54 3 P(C) = 2 = . 所以 8 12 (2) 采取不放回抽样.
从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12⋅ 11 . ⋅
⋅ 即样本空间中所含有的基本事件总数为 12⋅ 11 . 1 1 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 C9C8 = 9⋅ 8 . 9⋅ 8 6 = . 所以 P( A) = 12⋅ 11 11 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 C1C1 = 9⋅ 3 . 9 3 9⋅ 3 9 所以 P( B) = = . 12⋅ 11 44
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
我们用 i 表示取到 i 号球， 号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
S={1,2,…,10} ,
且每个样本点(或者说基本 且每个样本点 或者说基本 事件)出现的可能性相同 事件 出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古 称这样一类随机试验为古 典概型. 典概型
乘法原理
概率论
完成某件事情需先后分成m个步骤 做第一步有 完成某件事情需先后分成 个步骤,做第一步有 1 个步骤 做第一步有n 种方法,第二步有 种方法,依次类推 第二步有n 依次类推,第 步有 步有n 种方法 第二步有 2种方法 依次类推 第m步有 m种方 特点是各个步骤连续完成. 法,特点是各个步骤连续完成 特点是各个步骤连续完成 则完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法 则完成这件事共有 × 种不同的方法,
即样本空间中所含的基本事件数为122 . C1C1 = 92 . 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 = 2 = . 所以 P( A) 12 16 C1C1 = 9⋅ 3 . 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 9 3 9⋅ 3 3 所以 P( B) = 2 = . 16 12 事件C 事件 中所含有的基本事件数为

概率定义与性质

概率定义与性质
确定先验概率。先验概 率是指在进行观察或实 验之前，对某个事件或 某个参数的估计概率。
第二步
收集证据。收集与目标 事件或参数相关的证据 或数据。
第三步
计算后验概率。根据贝 叶斯定理，利用先验概 率和证据，计算出目标 事件或参数的后验概率。
第四步
做出决策。根据后验概 率的大小，做出相应的 决策或推断。
独立性的数学表达
如果两个事件A和B满足$P(A cap B) = P(A) times P(B)$，则称事件A和B是独立的。
3
独立性的性质
独立性具有传递性，即如果A与B独立，B与C独 立，那么A与C也独立。
独立事件的概率
独立事件的概率计算
条件概率与独立性
对于两个独立事件A和B，其同时发生 的概率是各自概率的乘积，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
如果两个事件A和B在给定第三个事件 C的条件下是独立的，那么A和B本身 也是独立的。
独立事件的性质
如果两个事件是独立的，那么其中一 个事件的发生不会影响到另一个事件 的概率。
独立试验与大数定律
01
独立试验
在相同的条件下进行多次试验， 每次试验的结果之间相互独立， 这样的试验称为独立试验。
大数定律
02
全概率公式如下：P(A) = Σ P(Bi) * P(A | Bi)，其中Bi是所有可能的基本事件，P(Bi)是基本事件Bi发生的概率，P(A | Bi)是在基本事 件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
04
独立性
独立性的定义
1 2
独立性定义
如果一个事件的结果不会影响到另一个事件的结 果，那么这两个事件就是独立的。
学习、决策理论等。

§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式

§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式

11
三、概率的加法公式
定理1.1 (关于两个互斥事件的概率加法公 式) 对任意两个事件A和B，有
P A B P( A) P( B) P( AB) .

A
证
AB
B
A B A B AB
而且 A B AB ,
所以
P A B P A P B AB P A P B P AB .
P A B C
B
C
A
P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC )
P ( ABC ) .

16
定理1.3 (概率的一般加法公式) 对任意
n n 2 个事件 A1 , A2 ,
, An , 有
P Ai P Ai P Ai A j
12
例1.5 由长期统计资料得知，某一地区在 ４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为 7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份 的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率． 解 在４月份中任取一天，令A={下雨}， B={刮风}，则
P A 4 15 , P B 7 15, P AB 1 10 . P A B P( A) P(B) P( AB)
概率的有限可加性

1 P P A A P ( A) P A .



☎当直接计算一个事件的概率难于实现时，
可以通过计算其对立事件的概率来完成.
8
性质1.4 (真差概率公式) 若 A B , 则
P B A P( B) P( A) .

概率的定义及其性质

概率的定义及其性质

哪一个格子，预先难以确定。但是如果放入大量小球，则
其最后所呈现的曲线，几乎总是一样的。
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§1.3 概率的定义及其性质
7
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§1.3 概率的定义及其性质
2
3
0.6 波25动较大0.50 249 0.498
3
1
0.2
21
0.42 256 0.512
4
随5n 的增1.大0 , 频2率5
波动较小
f
呈0.现50出稳24定7 性0.494
5
1
0.2
24
0.48 251 0.502
6
2
0.4
18
0波.3动6 最小262 0.524
7
4
0.8
27
0.54 258 0.516
15
概率的性质
性质3：设 A, B 是两个事件， 若 A B，
则 PB P A ，且有 PB A PB P A.
证明： 由 A B 知，B A B A
且 A B A
n
则 Ak Ak 且 Ai Aj , i j, i, j 1, 2,3
k 1
k 1
由概率的可列可加性得
P
n k 1
Ak
P
k 1
Ak
P
k 1
Ak
n
n
P Ak 0 P Ak
k 1
k 1
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§1.3 概率的定义及其性质
记

§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式

§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式

W
G
B
V

K
X
JQZ
0.012 0.011 0.0105 0.008 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001
数据引自L.Brillouin, Science and Information Theory, New York, 1956
字母使用频率的研究，对键盘设计、铅字铸造、 信息编码、密码破译等方面都是十分有用的.
An
)
i1
可列可加性公理
P( A1 ) P( A2 )
n
P( Ai ) i 1
性质1.1
P( An ) P() P()
性质1.3 对任意事件A,有P( A) 1 P( A)
证 注意，A与 A 互不相容，且 A A ,
概率的有限可加性
1 P() P( A A) P( A) P( A)
P Ai P( Ai ) i1 i1
则称P( A)为事件A的概率
在概率论发展的历史上，有许多关于概率 的定义，其中包括在下一节的概率的古典定义 和概率的几何定义，这些定义各适合一类随机 现象．概率的公理化定义既概括了历史上几种 概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限 性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足 定义中的三条公理，才能说它是概率．
移项得所需结论． 概率的有限可加性
由真差的概率公式可得下面三条性质：
性质1.5(概率的单调性) 若 A B , 则
P A P(B) .
性质1.6 对任意事件A，有
0 P A 1 .
性质1.7 (概率的减法公式) 对任意两 个事件A和B，有
P A B P(A) P(AB) .
三、概率的加法公式
概率的公理化体系迅速获得举世公认，是 概率论发展史上的一个里程碑．有了这个公理 化定义后，概率论得到很快的发展．

概率公理化的定义

概率公理化的定义概率公理化是概率论的基本公理系统，用于定义和推导概率的性质和规则。

它由三个基本公理组成，分别是非负性公理、规范性公理和可列可加性公理。

首先，非负性公理指出概率是一个非负的实数，即概率值始终大于或等于零。

这是因为概率是表示事件发生的可能性的度量，而任何事件的发生概率都不应该是负数。

因此，对于任何事件A，其概率P(A)满足P(A)≥0。

其次，规范性公理指出概率的最大值是1，即整个样本空间的概率是1。

样本空间是所有可能事件的集合，而其中的某一个事件一定会发生。

因此，整个样本空间的概率等于1。

即对于整个样本空间S，有P(S) = 1。

最后，可列可加性公理是概率公理化的核心内容，它指出对于任意可列个互不相容的事件Ai（i=1，2，3，...），其概率P(Ai)的和等于它们各自概率的和。

这表示当我们考虑多个事件同时发生的情况时，可以将它们的概率逐个相加来求得总概率。

即对于事件A1，A2，A3，...，有P(A1∪A2∪A3∪...) =P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...。

这三个基本公理共同构成了概率公理化的定义，通过这些公理我们可以进行概率的形式化描述和推导。

同时，这些公理也满足概率的一些基本性质和规则，如辅助定理、概率的有限可加性、概率的递减性等。

其中，辅助定理是基于这三个公理得到的，它指出对于事件A 和事件B，当A包含于B时，A的概率一定小于等于B的概率。

即当A⊆B时，有P(A)≤P(B)。

概率的有限可加性指出对于任意有限个互不相容的事件A1，A2，A3，...，它们的概率P(A1∪A2∪A3∪...)等于它们各自概率的和。

即对于有限个事件A1，A2，A3，...，有P(A1∪A2∪A3∪...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...。

概率的递减性指出对于事件A和事件B，当A包含于B时，B的概率一定大于等于A的概率。

即当A⊆B时，有P(B)≥P(A)。

1.3 概率的公理化定义与性质

解 (1) 因为 AB = Φ ，知 B ⊂ A ，因此 A B = B ，从而
P( A B) = P( B) = 1 / 2 ． (2) 因 A ⊂ B ，知 A B = B − A ，所以 P( A B) = P( B − A) = P( B) − P( A) = 1 / 6 ．
(3) 因 P ( AB ) = 1 / 8 ，知 AB ≠ Φ 且 AB ⊂ B ．从而有
= P ( B ) + P ( A ) − P ( AB )
= [1 − P ( B )] + [1 − P ( A)] − [1 − P ( AB )]
= 1− p +1− q + p + q − r −1 = 1− r ．
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[例 3-3] P ( A) = 1 / 3 , P ( B ) = 1 / 2 ，求 P( A B) ．已知 例 (1) A 、 B 互不相容，(2) A ⊂ B ，(3) P ( AB ) = 1 / 8 ． 互不相容，
4 3 2 2 × × = 另解： 另解： 因 5 4 3 5， 2 3 P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − = 故由推论得 5 5． P( A ) =
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尾页
性质 4
设 A、B 为两个事件，且 A ⊂ B ，则 、 为两个事件， P( B − A) = P ( B ) − P ( A) ．
(3-5)
此性质称为概率的单调性． 此性质称为概率的单调性．
证
及概率的非负性， 由性质 4 及概率的非负性， 知 P ( B − A) = P ( B ) − P ( A) ≥ 0 ．
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推论 2
对任意事件 A ，有 P ( A) ≤ 1 ．

1-3概率公理化定义及性质


云师大数学学院
第 10 页
2011-10-05
特别，当事件 A1 , A2 , , An 两两互斥时， 公式为 P( A1 ∪ A2 ∪ 证明
∪ An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + + P( An )
可用数学归纳法证明，略.
例 1.3.1 顺序抛掷两颗骰子看成一次 试验， 把该试验重复25次， 问事件A = “至 少掷出一个双6”的概率. 可考 解 这个问题直接求 P ( A) 不容易，
1 10 × 9
； .
P( A1 A2 A3 ) = P ( A1 A2 A4 ) =
1 = P ( A8 A9 A10 ) = 10 × 9 × 8
；… ；
P ( A1 A2
A10 ) =
1 10!
由一般加法公式有
⎛ 10 ⎞ 10 P ⎜ ∪ Ai ⎟ = ∑P( Ai ) − ∑ P( Ai Aj ) + ∑ P( Ai Aj Ak ) − − P( A A2 1 1≤i< j ≤10 1≤i< j <k ≤10 ⎝ i=1 ⎠ i=1 1 1 1 = 1− + − − = 0.6321. 2！ 3！ 10！
云师大数学学院 第 16 页
A ) 10
2011-10-05
这 个 概 率 值 在 Excel 中 利 用 函 数 FACT(n)容易算出.
云师大数学学院
第 17 页
2011-10-05
推论 1.3.4（一般加法公式） 对任意 n 个事件 A1 , A2 , , An ，有
⎛n ⎞ n P⎜ ∪ Ai ⎟ = ∑P( Ai ) − ∑ P( Ai Aj ) + ∑ P( AAj Ak ) − + (−1)n−1 P( A A2 1 i 1≤i< j≤n 1≤i< j<k ≤n ⎝ i=1 ⎠ i=1 An ).

1.3概率的公理化定义

A = A ∪ A2 ∪ 算 P(A) 不易， 直接计算 不易
A = A ∪ A2 ∪ A3 1
P( A) = P( A ∪ A2 ∪ A3 ) 1
应用加法公式
= P( A ) + P( A ) + P( A ) − P( A A ) 1 2 3 1 2
− P( A A ) − P( A A ) + P( A A A ) 1 3 2 3 1 2 3 2! 1 其中 P( A ) = P( A2 ) = P( A ) = = 1 3 3 3 ! 1 1 P( A A ) = P( A A ) = P( A2 A ) = = 1 2 1 3 3 3 6 ! 1 1 P( A A2 A ) = = 1 3 3 6 !
P( A) = 1− P( A) =0.518
于是
例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的 个人，设每个人的生日是 天的 任何一天是等可能的，试求事件“ 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率. 人同生日”的概率 至少有两人同生日} 解：令 A={至少有两人同生日 至少有两人同生日 则 A={ r 个人的生日都不同 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求 A) 先求P( 为求
将一颗骰子抛掷4次 例2 将一颗骰子抛掷 次，问至少出一次 点的概率是多少？ “6”点的概率是多少？ 点的概率是多少 事件A={至少出一次“6”点} 至少出一次“ 点 令 事件 至少出一次 A发生 发生 {出1次“6”点} {出2次“6”点} 出 次 点∪ 出 次 点 {出3次“6”点} {出4次“6”点} 出 次 点∪ 出 次 点 直接计算A的概率较麻烦 我们先来计算A的 直接计算 的概率较麻烦, 我们先来计算 的 的概率较麻烦 对立事件 次抛掷中都未出“ 点 次抛掷中都未出 A={4次抛掷中都未出“6”点} 的概率. 的概率
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定义： 对于 F上集合函数P，若对于F中的任一单调
不减(增）的事件序列 { A均n}成立:
lim
n
P( An )
P( lim
n
An )
(8)
则称函数为下（上）连续的.
性质：若P是F上的非负、规范的集函数，则P具有可列可
加性的充要条件是 1) P是有限可加的；
2）P在F上是下连续的.
六、应用概率性质计算概率
二 概率的公理化定义
1） 定义在事件域F上的集合函数P称为概率，如果满足：
（P.1）非负性： P( A) 0
（P.2）规范性： P() 1
（P.3）可列可加性：若
Ai F , i 1,2, Ai Aj (i j) , 则 P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
2） 概率是定义在事件域上非负 规范可列可加的集合函数
4 若A B, 则1o P( A B) P( A) P(B) (4) 2o P( A) P(B)
A AB B
A
B AB
A
B
5 对任意两个事件A，B 有：
P( A B) P( A) P(B) P( A B) (5)
特别当A与B互不相容时，P(A B) P(A) P(B) ——加法公式
习题课 概率定义及性质
一 随机事件及运算
1 随机试验 2 样本点 3 样本空间 4 随机事件
5 基本事件 6 必然事件 7 不可能事件
二 事件的概率及性质
1 定义 1） 古典概率
3）统计概率
P( A) k n
f ( A) A
n
2） 几何概率
P( A) SA S
5） 概率的公理化定义
2 概率的性质 （加法公式）
例1
设P（A） P（B） P（C） 1/ 4，P（AB） 0，P（AC） P（BC） 1/ 16
则A,B,C中至少发生一个的概率是多少？ A,B,C都不发生的概率 是多少？
例2 生日问题
1）500个人中至少有一人的生日在7月1日的概率是多少？ 2）n个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？
n 10
15
求 P（AB）
b）P（A） a，P（B） 2a，P（C） 3a，
P（AB） P（AC） P（BC） b
证明：
a
1 4
b1 4
2 、一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷 两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的。 你认为如何？
3、 一间宿舍内有6位同学，求他们之中至少有2人的 生日在同一月份的概率。（设每个人生日在每个月 份的概率相同.
1 ( 5)4 , 1 (35)24
6
36
1
A162 126
谢谢观看！ 2020
解 设Ai 表示i 号球与抽取顺序相同. 利用公式
n
n
P（ Ai） P（Ai）
P（Ai Aj）
P（Ai Aj Ak）
i 1
i 1
1i <j n
1i<j<k N
（1）n1P（A1 An） （6）
例4 将长度为a 线段任意折成三段，试求此三段能构成三 角形的概率。
补充习题
1 a）设P（A） 0 4，P（B） 0 3，P（A B） 0 6，
推广：设A1，A2， ，An F，则有：
n
n
P（ Ai） P（Ai） P（Ai Aj） P（Ai Aj Ak）
i 1
i 1
1i〈jn
1i〈j〈k N
（ 1）n1P（A1 An） （6）
推论： 设Ai F（i 1，2， ），则有
n
n
P（ Ai） P（Ai）
i 1
i 1
（7）
6 概率的连续性
20
23
50 55
p 0.12 0.25 0.41 0.51 0.97 0.99
例3 从1-9这9个数字中有放回地抽取n个数字，求:这n个数字
的乘积能被10整除的概率.
例4 从一副扑克牌（52张）中任取10张，求下列事件的概率： A1 : 至少有一张A。 A2 : 至多有两张A
例5（配对问题）
在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，假设每 个人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的礼物中随 机地抽取一件，问 1）至少有一个人抽到自己的礼物的概率是多少？ 2）恰好有r 个人拿到自己礼物的概率是多少？
所以 n=36 k=2
由古典概型概率计算公式：
P( A) 2 1 36 18
例2 n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求 ①甲、乙两人坐在一起的概率。 ②甲、乙、丙坐在一起的概率。
P(A) (n 2)! n 2! 2
n!
n 1
P(B) (n 3)! n 3!
6
n!
(n 1)(n 2)
例3 袋中有编号为1，2，3，4的4个球，现从袋中 不放回地取4次，每次取一个球，求没有一个球的号码 数与抽取顺序相同的概率。
§1.3 概率的公理化定义及概率的性质
一 事件域
1. -代数 设事件集合F 满足：
1o F 2o 若A F ,则 A F
3o
若Ai F , i 1,2, ,则 Ai F
i 1
则称 F为-代数（域）
2. 事件域 若F由样本空间的一些子集构成一个域，则
称 它为事件域。 F中的元素称为事件。
三 概率模型
概率空间
( F P)
例题分析
例1 同时掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3 的概率。
解 （1）设 i 表示 出现的点数之和为i
{2 ,3 , ,12 }
P( A) 1 11
A {3 }
错误解法
解 2）掷两枚骰子可能出现的点数为（1，1）（1，2）…
（1，6） （2，1）（2，2）…（2，6）…（6，1）…（6空间
F—事件域
P—概率
称三元总体（ , F , ）为概率空间.
四 概率的性质
1 P() 0
………（1）
n
n
2 P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
Ai Aj (1 i j n)
……..（2）
3 对任意事件A有, P( A) 1 P( A) (3)