第二章 极限与连续 基础练习题(含解答)

第二章 极限与连续 基础练习题（作业）

§2.1 数列的极限

一、观察并写出下列数列的极限：

1．4682,,,357极限为1

2．11111,,,,,2345极限为0

3．212212nnnnnnan为奇数为偶数极限为1

§2.2 函数的极限

一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限：

1．limxxe

极限为零

2．2limtanxx

无极限

3．limarctanxx

极限为2

4．0limlnxx

无极限，趋于

二、设2221,1()3,121,2xxfxxxxxx，问当1x，2x时，()fx的极限是否存在？

211lim()lim(3)3xxfxxx；11lim()lim(21)3xxfxx

1lim()3.xfx

222lim()lim(1)3xxfxx；222lim()lim(3)53xxfxxx

2lim()xfx不存在。

三、设111xfxe，求 0x时的左、右极限，并说明0x时极限是否存在．

1001limlim01xxxfxe

1001limlim11xxxfxe

0lim()xfx不存在。

四、试讨论下列函数在0x时极限是否存在．

1．绝对值函数||fxx，存在极限为零

2．取整函数[]fxx 不存在

3．符号函数sgnfxx 不存在

§2.3 无穷小量与无穷大量

一、判断对错并说明理由：

1．1sinxx是无穷小量．

错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x时，1sin0xx；当1x时，1sinsin1xx不是无穷小量。

2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．

对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。

3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．

对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。

二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：

1．221xx，

2x时，或x时，为无穷小量；

1x时，或1x时，为无穷大量。

2．1lntanx , kZ

()2xk时，tanx，则lntanx，从而+10lntanx为无穷小量；

xk时，tan0x，则lntanx，从而10lntanx为无穷小量；

4xk时，tan1x，则lntan0x，从而1lntanx为无穷大量；

三、当0x时，2x，x和3x都是无穷小量，它们是否为同阶无穷小量，如果不是它们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁？

200limlim01xxxxxx，所以当0x时，2x是x的高阶无穷小量。

223300()limlim01xxxxxx，所以当0x时，2x是3x的高阶无穷小量。

6300limlim01xxxxx，所以当0x时， x是3x的高阶无穷小量。

通过比较可知，当0x时，2x，x和3x不是同阶无穷小量，其中2x是x和3x的高阶无穷小量，因此2x是三者中最高阶的无穷小量。2x和x都是3x的高阶无穷小量，因此3x是三者中最低阶的无穷小量。

四、利用无穷小量与极限的关系证明：000lim()()lim()lim()xxxxxxfxgxfxgx．

证明：设0lim()xxfxA，0lim()xxgxB，则由无穷小量与极限的关系，()fxA，()gxB，其中,为0xx时的无穷小量。

则0lim()()xxfxgx00lim()()lim()xxxxABABBAAB

00lim()lim()xxxxfxgx

§2.4 极限的性质与运算法则

一、如果0lim()0xxfxA，则存在0x的空心邻域，使得（1）（2）（4）成立．

（1）()fx有界；（2）()fx非负；（3）()fx落入其中；（4）|()|fxA，>0．

二、求下列函数的极限

1．113(2)lim3(2)nnnnn 2．11321211limnnn

3．2134lim1xxxx 4．3113lim11xxx

5．2lim412xxxx 6．33lim1xxx

原式21lim412xxxx 原式3323321lim1(1)xxxxx

211lim4142xx 2233331/0lim031111(1)xxxx

三、求,ab，使得21lim0.1xxaxbx

2211limlim0111xxbxaxabxaxaxbxbxxxx原式

必有1()a否则原式；同时有0(0)ab否则原式；

四、若3214lim1xxaxxbx为有限值，求,.ab

321lim404xxaxxa由题意必有（否则商的极限不可存在）

321144(1)(1)(4)lim=lim1011xxxxxxxxbbxx原式

§2.5 极限存在性定理与两个重要极限

一、判断题：

1．1sinlim1xxx错

2．1sin(1)lim11xxx对

3．sinlim1xxx错

4．1limsin1xxx对

5．01limsin1xxx错

6．01lim(1)xxex对

7．当0x时，sin,arcsin,tan,arctan,ln(1),1xxxxxxe都是x的等价无穷小．对

二、求下列函数极限：

1．0sin2limtan3xxx 2．22sin(4)lim2xxxsin220tan33xxxxx，220sin(4)4xxx，00sin222limlim.tan333xxxxxx 224lim4.2xxx原式

3．0limarctanxxx 4．1lim1xxxx

0arctanxxx， 2112222lim1111xxxx

00limlim1.arctanxxxxxx 21122222lim11.11xxexx

5．111limxxx111lim(11)xxx 6．22lim1xxxxlim11xxxxxxx

1111lim(11).xxxe 111lim111.xxxeexx

7．2301limln(1)xxxxx 8． 0sin(sin)limln(1)xxx

2323ln(1)(0)xxxxxxx sin(sin)sin;ln(1)(0)xxxxx

2323001limln(1)lim1xxxxxxxxxx00sin(sin)sinlimlim1.ln(1)xxxxxx

三、求极限22212lim()12nnnnnnnnn ．

22222121212121nnnnnnnnnnnnnnn

2212(1)/21limlim,2nnnnnnnnnnn2212(1)/21limlim.112nnnnnnnnn且

由两面夹法则

222121lim().122nnnnnnnnn

四、设222111123nun，证明数列{}nu的极限存在．

1210,{}(1)nnnuuun为单调递增数列.

22222111111112323nunn又

由单调有界定理，数列{}nu的极限存在.

五、设0a，10x，且有11()2nnnaxxx，(1,2,)n，证明数列{}nx的极限存在，并求极限．

11(),2nnnnaxxaxx有下界.

2111()()0,22nnnnnnnaxaxxxxxx又单调递减(从第二项起).

由单调有界定理，数列{}nx的极限存在

1lim().2nnaxAAAAaA若，有，可解得

§2.6 函数的连续性

一、填空题

1．设函数xxxf1ln，若补充0f -1 可使xf在0x处连续．

2．1x是函数23122xxxy的第 1 类间断点，且为 可去 间断点．

3．0x是函数tanxyx的第 1 类间断点，且为 可去 间断点．

2,1kkx是函数tanxyx的第 2 类间断点，且为 无穷 间断点．

2,12kkx是函数tanxyx的第 1 类间断点，且为 可去 间断点．

4．ax是函数axaxy的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点．

5．0x是函数xy1cos2的第 2 类间断点．

二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型：

1．221cos,0()1,0xxfxxxx

22001cos1limlim(1)12xxxxx；，0x为第一类跳跃间断点。

2．1()xfxe

1100lim0limxxxxee；，0x为第二类无穷间断点。

3． 22()||(1)xxfxxx(1)||(1)(1)xxxxx

0x为第一类跳跃间断点。

1x为第一类可去间断点。

1x为第二类无穷间断点

四、sin,0(),01sin,0xxxfxaxbxxx，确定,ab使

1．()fx在0x处有极限00sin1limlim(sin)xxxbxxx，1.b