【精品】高等数学习题详解第2章 极限与连续

第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）. A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）. A、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1. [单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个.[单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctanx【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=. [单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】x=1时，分母为0，无意义。

第二章 极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．第一节 极限的定义教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．一、数列的极限定义 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时)(∞→n ，n x 无限趋近于一个确定的常数A ， 则称A 为数列{}n x 的极限．记作=∞→n n x lim A 或 A x n →（n ∞→）． 亦称数列{}n x 收敛于A ；如果数列{}n x 没有极限，就称数列{}n x 是发散的．数列极限的运算法则为：如果∞→n lim =n x A , ∞→n lim =n y B ，那么 法则1 ∞→n lim (n x ±n y ) ∞→=n lim n x ±∞→n lim =n y A ±B ；法则2 ∞→n lim (nx n y ) ⋅=∞→n n x lim n n y ∞→lim AB =；法则3 ∞→n lim lim n n n Cx C x →∞==CA (C 是常数)； 法则4∞→n lim B A y x y x nn n n n n ==∞→∞→lim lim ()0≠B ． 以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．二、函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f 的极限定义 如果当x 的绝对值无限增大（即∞→x ）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为 A x f x =∞→)(lim 或 当∞→x 时，A x f →)(． 如图1－5（b ）所示, 函数xx f 1)(=当x 的绝对值无限增大时, 函数xx f 1)(=的图象无限接近于x 轴．也就是，当∞→x 时，)(x f 无限地接近于常数零，即01lim=∞→xx ． 在上述定义中，自变量x 的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为+∞→x ），同时也取负值而绝对值无限增大（记为-∞→x ）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义 如果当+∞→x (或-∞→x )时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当+∞→x (或-∞→x )时的极限，记为 lim ()x f x A →+∞=或当x →+∞时，()f x A →； lim ()x f x A →-∞=或当x →-∞时，()f x A →． 由图1－5（b ）可以看出，01lim=+∞→xx 及01lim =-∞→x x ，这两个极限与01lim =∞→x x 相等，都是0．由图1－11（b ）可以看出，2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ．由于当+∞→x 和-∞→x 时，函数x y arctan =不是无限趋近于同一个确定的常数，所以x x arctan lim ∞→不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理： 定理 A x f x =∞→)(lim 的充要条件是： )(lim x f x +∞→A x f x ==-∞→)(lim ．（证明略）2．当0x x →时，函数)(x f 的极限定义 设函数()y f x =在点0x 的某个近旁（点0x 本身可以除外）内有定义，如果当x 趋于0x （但0x x ≠）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f xx =→)(lim 0或 当0x x →时，A x f →)(．例1 考察极限C x x 0lim → (C 为常数)和x xx 0lim →． 解 因为当0x x →时，)(x f 的值恒为C ，所以=→)(lim 0x f x x C C xx =→0lim ． 因为当0x x →时，()x ϕx=的值无限接近于x ，所以lim ()x x x ϕ→=00lim x x xx =→． 3．当0x x →时，)(x f 的左、右极限因为0x x →有左右两种趋势，而当x 仅从某一侧趋于0x 时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义 如果当x 从0x 左侧趋近0x （记为0x x -→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的左极限，记为 0lim ()x x f x A -→=．如果当x 从0x 右侧趋近0x （记为0x x +→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为 0lim ()x x f x A +→=定理 A x f xx =→)(lim 0的充要条件是： 0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==． （证明略）例2 讨论函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩当0→x 时的极限．解 观察图2－1可知：0lim ()x f x -→1)1(lim 0-=-=-→x x ，0lim ()x f x +→1)1(lim 0=+=+→x x ．因此，当0→x 时，)(x f 的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 )(lim 0x f x →不存在． 例3 研究当x →0时, x x f =)(的极限．解 观察图2－2可知：⎩⎨⎧≥<-==0)(x x x x x x f 由于)(lim 0x f x -→0)(lim 0=-=-→x x ,=+→)(lim 0x f x 0lim 0=+→x x ．所以当x 0→时，)(x f 的左, 右极限都存在且相等．由定理2知x →0时, x x f =)(的极限存在，且等于0．三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：1．无穷小量的定义定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小． 如果0lim ()0x x x α→=，则变量()x α是0x x →时的无穷小，如果lim ()0x x β→∞=，则称()x β是x →∞时的无穷小，类似的还有0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞等情形下的无穷小．根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．2．无穷小量的性质定理 有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n →∞时，21n ，22n ，2nn 都是无穷小，但是222212(1)2n n n n n n n +++⋅⋅⋅+=，当n →∞时2(1)122n n n +→，所以不是无穷小．定理 有界函数与无穷小的积为无穷小． （证明略） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）图2－1图2－2推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略） 例4 求极限01lim sin x x x→． 解 因为x 是当0→x 时的无穷小，而x1sin 是一个有界函数，所以1lim sin0x x x→=． 3．函数极限与无穷小的关系 设A x f xx =→)(lim 0，即0x x →时()f x 无限接近于常数A ，有()f x A -就接近于零，即()f x A -是0x x →时的无穷小，若记()()x f x A α=-，于是有 定理 3 （极限与无穷小的关系）A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是()()f x A x α=+，其中()x α是0x x →的无穷小．例如11x x +→当()x →∞时，有111x x x +=+，其中1x就是()x →∞时的无穷小．四、 无穷大量 1．无穷大的定义定义 6 若当0x x →（x →∞）时，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.函数()f x 当0x x →（或x →∞）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为lim ()x x f x →=∞ 或 lim ()x f x →∞=∞． 例如，当0→x 时，x1是一个无穷大，又例如， 当x →+∞时，x e 是一个无穷大．注意，说一个函数()f x 是无穷大，必须指明自变量x 的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．2．无穷大与无穷小的关系我们知道，当2x →时，2x -是无穷小，12x -是无穷大；当x →∞时，x 是无穷大，1x是无穷小．一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 是无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 0≠，则)(1x f 是无穷大． 利用这个关系，可以求一些函数的极限．例5 求极限13lim1-+→x x x ． 解 因为031lim1=+-→x x x ，由无穷大与无穷小的关系，所以∞=-+→13lim 1x x x ．五、无穷小量比较 由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x →时， x 2、2x 、x sin 均为无穷小，而02lim 20=→x x x ，∞=→202lim x x x ，1sin lim 0=→xx x ．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度．一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义 设α和β都是同一过程的两个无穷小量，即lim 0α=，lim 0β=，1．若lim0αβ=，则称α是β的高阶无穷小量；记作()o αβ=，此时也称β是α的低阶无穷小量．2．若lim 0C αβ=≠，则称α与β是同阶的无穷小量．记作()O αβ=．3．若lim 1αβ=，则称α与β是等价无穷小量．记作βα~．例16 当1x →时，比较无穷小1x -与31x -的阶． 解 由于 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 31=-→x x ，且 3111limx x x --→3111lim 21=++=→x x x ， 所以当1x →时，1x -与31x -是同阶无穷小．例17 当0→x 时，证明x cos 1-与22x 等价．解 由于 0)cos 1(lim 0=-→x x ，02lim20=→x x ，且=-→2cos 1lim 20xx x 122sin 2lim 220=→x xx ．所以，当0→x 时，x cos 1-与22x 为等价无穷小．习题训练1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限： （1）21limx x →∞； （2）lim 2x x →-∞； （3）1lim ()10x x →+∞； （4）1lim(2)x x→∞+；（5）2lim(45)x x →-； （6）2lim sin x x π→． 2．设2,1()1,1x x f x x ⎧≥-=⎨<-⎩，作出它的图象，求出当1-→x 时，()f x 的左极限、右极限，并判断当1-→x 时，()f x 的极限是否存在？3．设1()1x f x x -=-，求(10)f -和 (10)f +，并判断()f x 在1→x 时的极限是否存在？4．设21()1x f x x-=-，求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →． 5．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？ （1）31y x = ； （2）211y x=+；（3） ln y x =；（4）y =6．求下列函数的极限：（1） sin limx x x →∞； （2）01lim cos x x x→； （3） 1lim1x xx →-； （4）32222lim (2)x x x x →+-．第二节 极限的运算教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。

-----高等数学第2章课后习题及答案习题211 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 [0 t]内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的 那么称为该物体旋转的角速度 如果旋转t是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻t 0 的角速度？解 在时间间隔 [t 0 t 0t] 内的平均角速度为(t 0t ) (t 0 )tt故 t 0 时刻的角速度为l i ml i m l i m(tt) (t 0) (t )t 0t 0 tt 0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却 若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔 [t 0 t 0t]内 温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为T T (t t) T(t) t t故物体在时刻 t 的冷却速度为limT lim T (t t ) T (t ) T (t) t 0t t 0 t 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本 f (x)的实际意义解 f(x x)f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量f (x x) f (x)表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本xf (x)lim 0f (x x) f ( x)表示当产量为 x 时单位产量的成本x x4 设 f(x)10x 2 试按定义 求 f ( 1)解 f ( 1)limf ( 1 x) f ( 1)10( 1x)2 10( 1)2xlimxxx 010 lim0 2 xx 2 10 lim ( 2x) 20xxx 05 证明 (cos x) sin x解 (cosx) limcos(x x) cosxxx2s i nx(x) s i nxlim2 2x 0 xlim [ s i nx(x ) s i n x] s i nx 2 x 0 2x26 下列各题中均假定 f (x 0)存在 按照导数定义观察下列极限指出 A 表示什么(1) lim f ( x 0x) f ( x 0 ) A xx 解 Alim0f (x 0x) f (x 0)xxl i mf ( xx) f (x 0) f ( x 0 )x 0x(2) lim f (x)A 其中 f(0) 0 且 f (0)存在x 0 x解 Alim f ( x) lim f (0 x) f (0) f (0)x 0 x x 0x (3) lim f (x 0 h) f (x 0 h)Ah 0h解A lim f ( x 0 h 0 lim[ f (xh 0limf (xh 0h)f (x 0 h) hh) f ( x 0 )] [ f (x 0 h) f (x 0)]h h) f (x 0)limf (xh) f ( x 0 ) hh 0hf (x 0) [ f (x 0)] 2f (x 0)7 求下列函数的导数(1)y x 4(2) y 3 x 2(3) y x1 6-----(4) y1 x(5) y1x23 5 x(6) y x232(7) y x x解 (1)y (x 4) 4x 4 1 4x 322 1 2 x (2) y (3 x 2 ) ( x 3 )2x 3331 3(3)y (x 1 6) 1 6x 1 6 1 1 6x 0 61 1 x(4) y ( 1) (x 2)x21 121 x 23 2(5) y(1)( x 2 )2x 3x 23 516 16 16 116 11 (6) y (x x) (x 5)x 5 x 555(7) y ( x2 3 x21 111 x ) (x 6) 1 x 6x 5665 68 已知物体的运动规律为 s t 3(m) 求这物体在 t 2 秒 (s)时的速度解 v(s) 3t 2 v|t 2 12(米 /秒)9 如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在 证明 f(0)证明 当 f(x)为偶函数时 f( x) f(x)所以f (0) l i mf (x)f (0) l i m f (x) f (0) l i m f ( x) f (0)x 0xx 0x 0x 0x 0从而有 2f (0) 0 即 f (0) 010 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x 解 因为 y cos x 所以斜率分别为2 1k 1 c o sk 2 cos 13 2f (0)2x311 求曲线 y cos x 上点 ( , 1) 处的切线方程和法线方程式3 2解 ysin x ysin3x3 23故在点 (, 1) 处 切线方程为 y 1 3(x)3 22 23法线方程为 y 1 2(x )23 312 求曲线 y e x在点 (0 1)处的切线方程 解 y e xy |x 0 1 故在 (0 1)处的切线方程为y 1 1 (x 0)即 y x 113 在抛物线 y x 2上取横坐标为 x 1 1 及 x 2 3 的两点 作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 yy(3) y(1)9 1 42x 割线斜率为 k132令 2x 4 得 x 2因此抛物线 y x 2 上点 (2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在 x 0 处的连续性与可导性(1)y |sin x| (2) yx 2sin 1x 0xx 0解 (1)因为y(0) 0 lim y lim |sin x | lim ( sin x) 0x 0x 0x 0 lim ylim |sin x|lim sin xx 0x 0x所以函数在 x 0 处连续又因为y (0)l i m y( x)y(0) l i m |si nx | |si n0 |l i m s i nx1x 0x 0x 0x 0x 0xy (0) lim y( x) y(0) lim |sin x | |sin0|lim s i nx 1x 0 x 0 x 0x 0 x 0 x而 y (0) y (0) 所以函数在 x 0 处不可导-----解 因为 lim y(x) lim x 2sin10 又 y(0)0 所以函数在 x 0 处连续x 0 x 0x 又因为21 0y(x) y(0)xs i n1 l i mx l i ml i mxs i n 0 x 0xx 0xx 0x所以函数在点 x 0 处可导 且 y (0) 015 设函数 f (x)x 2x 1为了使函数 f(x)在 x 1 处连续且可导a b 应取什ax b x 1么值？解 因为lim f ( x) lim x 21 limf (x) lim (ax b)a b f(1) a bx 1x 1x1x 1所以要使函数在 x1 处连续 必须 a b 1 又因为当 a b1 时f (1)x 2 12l i m1x 1 xf (1) lim ax b 1 lim a( x 1) a b 1 lim a(x 1) ax 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 所以要使函数在 x 1 处可导 必须 a 2 此时 b 116已知 f (x)x 2x 0求 f (0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？x x 0解 因为f(0) lim f (x) f (0)lim x 0x 0 x x 0x f(0) lim f (x) f (0)lim x 2 0xxx 0x 而 f (0) f (0) 所以 f (0)不存在17 已知 f(x)sin x x0 求 f (x)x x解 当 x<0 时 f(x) sin x f (x) cos x 当x>0 时 f(x) x f (x) 11因为 f (0) lim f (x) f (0) lim sin x 0 1x 0 x x 0xf (0) lim f (x)f (0) lim x 0 1所以 f (0) 1 从而x 0x x 0x f (x)cosx x1 x18 证明 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2解 由 xy a 2得 ya 2k ya 2xx 2设 (x 0 y 0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为y a2x 0 ) y 02 ( xx 02y x 2令 y 0并注意 x 0y 0a 解得 xx 0 2x 0为切线在 x 轴上的距 a 2令 x 0并注意 x 0y 0 a 2 解得 y a 2y 2 y0 为切线在 y 轴上的距x 0 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为S1|2x 0 ||2y 0 | 2|x 0 y 0 | 2a 22习题221 推导余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x(csc x)csc xcot x解 (cot x)(cosx )sin x sin x cosx cosxsin xsin 2 x2 21 2s i nx c o s x2 2 c s cxs i nxs i nx( c sxc) ( 1 ) c o xsc s cx c o xt s i nx 2s i n x 2 求下列函数的导数(1) y4 7 2 12x 5 x 4x-----(2) y 5x 3 2x 3e x (3) y 2tan x sec x 1 (4) y sin x cos x (5) y x 2ln x (6) y 3e x cos x(7) yln xxx(8) y e 2 ln 3x(9) y x 2ln x cos x(10) s 1 sint1 cost解 (1) y ( 4 7 2 12)(4x 5 7x 4 2x 112)x 5 x 4 x20x628x52x220282x6x5x2(2) y (5x 32x 3e x ) 15x22xln2 3ex(3) y (2tan x sec x 1)2sec x tan x sec x(2sec x tan x)2sec x (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x)cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x(5) y (x 2ln x) 2x ln x x 21 x(2ln x 1)x(6) y (3e x cos x) 3e x cos x 3e x ( sin x) 3e x(cos x sin x)ln x1 x ln x1 ln x(7) y ( ) xx x 2 x 2(8) y ( e x ln 3) e x x 2 e x 2x e x ( x 2)x 2 x 43x(9) y221cos x x 2ln x ( sin x)(x ln x cos x) 2x ln x cos x x x2x ln x cos x x cos x x 2 ln x sin x(10) s (1sin t ) cost(1 cost) (1 sin t)( sin t)1 sin t cost1 cost(1 cost)2(1 cost)23 求下列函数在给定点处的导数(1) y sin x cos x 求 y和 yxx46(2)sin1cos 求d2d4(3) f (x)3 x 2求 f (0)和 f (2)5 x 5解 (1)ycos x sin xyc o s s i n3 1 3 1x22266 6yc o s s i n22 2x2 244 4(2)dsincos1sin1sincosd22d1s i nc o s 1 2 422(1)d4 244 4 2 22 42(3) f (x)32x f (0)3 f (2) 17(5 x)2525154 以初速 v 0 竖直上抛的物体其上升高度 s 与时间 t 的关系是 s v 0t 1gt 22求(1)该物体的速度 v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解 (1)v(t) s (t) v 0 gt(2)令 v(t) 0 即 v 0 gt 0 得 t v 0这就是物体达到最高点的时刻g5 求曲线 y 2sin x x 2 上横坐标为 x 0 的点处的切线方程和法线方程 解 因为 y 2cos x 2x y |x 0 2又当 x 0 时 y 0 所以所求的切线方程为y 2x所求的法线方程为-----y 1x即x 2y 0 26求下列函数的导数(1)y (2x 5)4(2)y cos(4 3x)(3) y e 3x 2(4)y ln(1x2)(5)y sin2x(6) y a2x2(7)y tan(x2)(8)y arctan(e x)(9)y(arcsin x)2(10) y lncos x解 (1) y4(2x 5)4 1 (2x5) 4(2x 5)3 2 8(2x 5)3 (2)y sin(4 3x) (4 3x)sin(4 3x) ( 3) 3sin(4 3x)(3) y e 3 x2 ( 3x2 )(4)y1 (1 x2)1x2(5)y 2sin x (sin x) e 3x 2(6x)6xe 3x212x2x1 x2 1 x22sin x cos x sin 2x(6) y [( a21] 1 (a211(a2 x2 ) x2) 2x2) 221 (a2x2 )1x2 ( 2x)x2 2a2 (7) y sec2(x2) (x2)2xsec2(x2)(8) y1x2 (e x)e x2x1(e ) 1 e2 arcsin x (9) y2arcsin x (arcsin x)1x2(10) y1 (cosx)1( sin x) tan xcosx cosx 7 求下列函数的导数(1) y arcsin(1 2x)(2) y11 x 2x(3) y e 2 cos3x(4) y arccos 1x(5) y1 ln x1 ln x (6) y sin 2xx(7) y arcsin x(8) y ln(x a 2 x 2 ) (9) y ln(sec x tan x)(10) y ln(csc x cot x)解 (1) y1(1 2x)21 1 (1 2x)2x x 21 (1 2x) 2(2) y [(111 1 x 2)x 2) 2]1(1 x 2) 2(1213x(1 x 2 ) 2 ( 2x)x 22(1 x 2 ) 1xxxx) cos3xx(3) y (e 2) cos3x e 2(cos3x) e 2(e 2( sin 3x)(3x)21 e xxx2 c o 3sx 3e 2 s i n3x 1e 2( c o3sx6s i n3x)22-----(4) y1 1 (1)1 1 ( 1 )|x|1 (2 x 1 ( ) 2x2x 2x21)xx1(1 l n x) (1 ln x)12(5) yxx(1ln x) 2x(1 ln x)2(6) ycos2x 2 x sin 2x 1 2x cos2x sin2xx2x2(7) y1( x)1111 ( x)21 ( x )22 x 2 x x 2(8) y1x 2 (xa 2x 2 )1x 2 [1 1(a 2 x 2) ]xa 2x a 22 a 2 x 21[112 (2x)]1x a 2 22 a 2x a 2x 2x(9) y1(secx tan x) secxtan x(10) y1(csc x cot x)csc x cot xsecx tan x sec 2x secxsecx tan x cscx cot x csc 2 x cscxcscx cot x8 求下列函数的导数(1) y (arcsin x )22(2) y ln tan x2(3) y 1 ln 2 x(4) y e arctan x(5) y sin nxcos nx(6) y arctanx 1x 1(7) y arcsinxarccosx(8) y=ln[ln(ln x)](9) y1x 1 x 1 x1 x(10) y arcsin1 x1 x解 (1) y2(arcsin x ) (arcsin x)2 22( a r c s xi)n 1( x)2 1 ( x )2 222( a r c s xi) n1 x 12 1 ( ) 222x2a r c s i n24 x 2(2) y1x (tan x) 1 x sec 2 x( x)tan 2 tan2 22 2(3) y(4) y1 2 x 1x s e c2 c s cxt a n 22 1 ln 2 x 2 1 (1 ln 2 x)1 ln2 x1 2ln x ( l nx)12ln x12 1 ln 2x2 1 ln 2xxln xx1 ln2 xearctan x(arctan x)e arctan x1 x) 2( x)1 (-----e a r c t axn11x e a r c t axn1( x)2 2 2 x(1 x)(5) y n sin n 1x (sin x) cos nx sin n x ( sin nx) (nx)n sin n 1x cos x cos nx sin n x ( sin nx) nn sin n 1x (cos x cos nx sin x sin nx) n sin n 1xcos(n 1)x(6) y1( x 1) 1(x 1) ( x 1)11 ( x 1) 2x 11 (x 1)2(x 1)2 1 x 2x 1x 11arccosx 1 arcsin x1 x2 1 x 2(7) y(arccos x)21 a r c c oxs a r c s ixn1 x22( ar c c ox)s2 1 x 2 ( a r c cxo)2s(8) y1 ln(ln x)1ln(ln x)[ln(ln x)] 11(ln x)ln(ln x) ln x 1 1 1 ln x x xln x l n ( lxn)(1 1 )( 1 x1 x) ( 1 x1 x)(1 1)(9) y2 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 x( 1 x1 x)211 x 21 x2(10) y1 (1 x) 1 (1 x) (1 x)1 1 x 1 x 1 1 x(1 x)21 x1 x1(1 x) 2x(1 x)9. 设函数 f(x)和 g(x)可导且 f 2(x) g 2(x) 0 试求函数 y f 2 (x) g 2 (x) 的导数解 yf 1[ f 2(x) g2 (x)]22 (x)g 2(x)1[2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)] 2f 2(x)g2(x)f (x) f (x)g(x)g (x)f 2 (x)g 2 (x)10设 f(x)可导求下列函数 y 的导数dy dx(1) y f(x2)(2)y f(sin2x) f(cos2x)解 (1) y f (x2) (x2)f(x2) 2x 2x f (x2)(2)y f(sin2x) (sin2x) f (cos2x) (cos2x)f(sin2x) 2sin x cos x f (cos2x) 2cosx ( sin x)sin 2x[f (sin2x)f(cos2x)]11求下列函数的导数(1)y ch(sh x )(2)y sh x e ch x(3)y th(ln x)(4)y sh3x ch2x(5)y th(1 x2)(6)y arch(x2 1)(7)y arch(e2x)(8)y arctan(th x)(9)y ln chx12 x 2ch(10)y ch2( x 1) x 1解 (1) y sh(sh x) (sh x) sh(sh x) ch x(2) y ch x e ch x sh x e ch x sh x e ch x(ch x sh2x)(3) y1(ln x)12 (ln x)2 (ln x)ch x ch-----(4) y3sh 2x ch x 2ch x sh x sh x ch x (3sh x 2) (5) ych 21 2 (1 x 2)2 2xx 2 )(1 x )ch (1 (6) y1 1(x 2 1)2x( x 2 1)x 4 2x 2 2(7) y1(e 2x)2e2x(e 2x )21 e 4 x 1 (8) y 1(th x) 1 1 1 1 1 (thx) 2 1 th 2 x ch 2 x 1 2 2sh x ch xch 2x 1 1ch 2 x sh 2x 1 2sh 2 x(9) y1 (ch x) 1 (ch 2x)ch x2ch 4 xsh x 1 2ch x shxch x2ch 4 xsh x shx sh x ch 2x shxch xch 3x ch 3xsh x (ch 2 x 1) sh 3x th 3xch 3xch 3x(10) y2ch(x1) [ch(x1)] 2ch(x1) sh(x1) ( x 1)x 1x 1x 1 x 1 x 1sh(2x 1(x 1) (x 1)2sh(2 x 1)(x 1)2( x 1)2 )x 1x 112 求下列函数的导数(1) y e x (x 2 2x 3)(2) y sin 2x sin(x 2) (3) y (arctan x )22(4) yln xx ne t e (5) ye t ett(6) y ln cos 1x(7) y e sin 2 1x(8) y x x(9) yxarcsinx4 x 22(10) y arcsin2t1 t 2解 (1) y e x (x 2 2x 3) e x (2x 2) ex( x 2 4x 5)(2) y2 222sin x cos x sin(x ) sin x cos(x ) 2xsin2x sin(x 2) 2x sin 2x cos(x 2)(3) y 2arctanx1 1 4 arctan x2 1 x 2 2 x 2 4 241 xnln x nxn 11 n ln x(4) yxx 2nx n 1(5) y(e te t )(e t e t ) (e t e t )(e te t )4e 2t(e t e t )2(e 2t 1) 211111 1 1(6) y sec x (cos x ) sec x ( sin x ) ( x 2 ) x 2tanx(7) y esin 21 ( sin 21) e sin 21xxx( 2sin 1) cos1( 1 ) xxx2122 1s i nx 2 s i nexx(8) y1x (x x )2 1 (1 1 ) 2 xxx2 x2 x 1 4 xxx(9) y arcsinxx1 12 1 ( 2x) arcsin x21 x2 2 4 x 2 24-----(10) y1 ( 2t ) 12 (1 t 2) 2t (2t) 1 (2t)2 1 t 21 ( 2t )2 (1 t 2) 21 t21 t21 t22(1 t 2)2(1 t 2)(1 t 2)2 (1 t 2 )2 |1 t 2 |(1 t 2 )习题231 求函数的二阶导数(1) y 2x 2ln x (2) y e2x 1(3) y xcos x (4) y e t sin t (5) y a 2 x 2 (6) y ln(1 x 2)(7) y tan x1(8) yx 3 12(9) y (1 x )arctan x(10) ye xx(11) y x 2xe(12) y ln( x 1 x 2 )解 (1) y 4x1 y4 1xx2(2) y e 2x 12 2e 2x 1y 2e2x 1 2 4e 2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) ye tsin t e tcos t e t(cos t sin t)ye t (cos t sin t) e t ( sin t cos t) 2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xa2ya2x2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1 x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x6x(2x3 1) (x3 1)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n2x1 x2(10)y e x x e x 1e x( x 1)x2x2y [e x( x 1) e x] x2 e x( x 1) 2x e x(x2 2x 2)x4x3(11)y e x 2x e x2(2x)e x2(12x2 )yx22x24xx22 e2x (12x )e2xe(32x )(12)y12( x1x2 )12(12x 2 )12x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x y1(1 x2 )12x x1 x2 1 x22 1 x2)(1 x) 2 1 x-----2 设 f(x)(x6(2)?10)f解 f(x) 6(x5f(x)43 10)30(x 10) f (x) 120(x 10)f(2)120(210)32073603若 f (x)存在求下列函数 y 的二阶导数d2ydx2(1)y f(x2)(2)y ln[ f(x)]解 (1)y f(x2) (x2) 2xf(x2)y2f(x2)2x 2xf(x2)2f(x2) 4x2f(x2)(2) y1 f (x)f (x)f(x) f (x) f ( x) f(x)f( x) f (x)[ f ( x)] 2 y[ f ( x)]2[ f ( x)]24试从dx 1导出dy y(1) d 2 x ydy 2( y ) 3(2)d 3x3( y )2y y dy3( y )5解(1) d 2x d dx d1d1dx y1ydy2dy dy dy y dx y dy( y )2y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2 s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy2y (C12e x C22e x)2(C1e x C2e x)(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2)y sin2x(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y nx n 1(n1)a1x n 2 (n2)a2x n 3a n 1y n(n1)x n 21 n 32n 4n 2 (n 1)(n2)a x(n 2)(n 3)a x ay(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y 2sin x cos x sin2xy 2c o 2sx 2s i n2(x)2-----y22 c o s2x()22 s i n2x( 2)22y(4)23 c o s2x(2) 23 s i n2(x 3 )22y(n)2n 1s i n2x[ (n 1)]2(3)y ln x 1y 1 x1xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3y(n)(1)( 2)( 3) ( n 2)x n 1( 1)n 2(n 2)!( 1)n (n 2)!x n 1x n 1(4) y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3) y x2sin 2x求y(50) .xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4) cos x所以y(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x v(99)ch x v(100) sh x所以y(100)u(100)v C1 u(99) v C2u(98) v C 98 u v(98) C99 u v(99)u v(100)100100100100100ch x xsh x(3)令 u x2 v sin 2x则有u2x u 2 u0v(48)248 sin(2x48)248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)C5048u v(48)C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x2sin 2x50xc o 2sx12252 (s i n2x)2习题231求函数的二阶导数(1)y 2x2 ln x(2)y e2x 1(3)y xcos x(4)y e t sin t(5)y a2 x2(6)y ln(1 x2)(7)y tan x1(8) yx3 1(9) y (1 x2)arctan x(10) y e xx-----(11) y xe x2(12) y ln( x1x2 )解 (1) y4x1y41x x2(2) y e2x 1 2 2e2x 1y2e2x 1 2 4e2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) y e t sin t e t cos t e t (cos t sin t)y e t(cos t sin t) e t (sin t cos t)2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xx2a2ya2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x 6x(2x3 1) (x31)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n 2x21 x(10)y e x x e x1 e x( x 1)x2x2y[e x ( x 1) e x ] x 2 e x ( x 1) 2x e x (x 2 2x 2)x4x3(11) ye x 2 x e x 2 (2x) e x 2 (1 2x 2 )yx 22x (1 2x 2x22e 2x ) e4x 2xe (3 2x )(12) y1( x1x 2 ) 1 (1 2x ) 1x 1 x 2x 1 x 22 1 x 21 x 2y1(1 x 2) 12xx1 x21 x 22 1 x 2)(1 x) 21 x2 设 f(x) (x 10)6f (2) ?解 f (x) 6(x 10)5 f (x) 30(x 10)4f (x) 120(x 10)3f(2) 120(2 10)3 2073603 若 f (x)存在 求下列函数(1) y f(x 2)(2) y ln[ f(x)]解 (1)yf(x 2) (x 2) 2xf (x 2) y 2f(x 2) 2x 2xf (x 2) (2) y1 f (x)f (x)f (x) f (x) f( x) f (x) y2[ f ( x)]4 试从dx 1导出dy y(1) d 2xydy 2( y ) 3(2)d 3x 3( y )2 y ydy3( y )5解 (1) d 2xd dxd 1dy2dy dydyyd 2 yy的二阶导数d x 22f (x 2) 4x 2f (x 2)f ( x) f (x) [ f ( x)] 2[ f ( x)]2d1dx y 1y dx y dy( y )2 y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy212e x C22x21x2e x)y (C e ) (C e C(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2) y sin2x-----(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y n 11n 2(n2 n 3n 1nx(n 1)a x2)a x ay n(n1)x n 2 (n1)(n2)a1x n 3(n 2)(n 3)a2x n 4a n 2y(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y2sin x cos x sin2xy2c o 2sx 2s i n2(x)2y22 c o s2x() 22 s i n2x( 2)22y(4) 23 cos(2x2) 23 sin(2x 3 )22(n)n 1y 2 s i n2x[ (n 1)](3)y ln x 1y 1x 1 xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3(n)( 1)( 2)( 3)( n 2)x n 1( 1)n 2 (n 2)!( 1)n (n 2)!y x n 1x n 1 (4)y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3)y x2sin 2x 求 y(50) .所以所以xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4)cos xy(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x(99)ch x(100)sh xv vy(100) u(100) v C1 u(99)v C2u(98)v C 98 u v(98)C99 u v(99)u v(100) 100100100100(3)令 u x2u 2xv(48)100ch x xsh xv sin 2x 则有u 2 u0248 sin(2x 48 )248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50) C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x 2sin 2x50xc o 2sx1 2 2 52 (2s i n2x)习题241求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数dydx(1)y2 2x y 9 0(2)x3 y3 3axy 0(3)xy e x y(4)y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得-----2y y 2y 2x y 0于是(y x)y yyyy x(2)方程两边求导数得3x 2 3y 2y 2ay 3axy 0于是(y 2 ax)y ayx 2yay x 2y2ax(3)方程两边求导数得y xy e x y (1 y )于是(x e x y )y e x y ye x yyyx e x y(4)方程两边求导数得y e y xe yy于是(1 xe y )y e yyey1 xey222在点 ( 2a, 2a) 处的切线方程和法线方程2 求曲线 x3y 3a34 4解 方程两边求导数得 2 x31 13 2y 3 y 031于是yx31y3在点 (2a,2a) 处 y 144所求切线方程为y2a ( x2a) 即 x y 2 a442所求法线方程为y2a (x2a) 即 x y 04423 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d ydx22 2(1) x y 1(2) b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2 (3) y tan(x y)(4) y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得2x 2yy 0yx yy ( x)y xxy xy y y 2x 21yy 2y 2y 3 y 3(2)方程两边求导数得2b 2 x 2a 2 yy 0yb 2 xa2yy x( b 2 x)b 2 y xy b 2 a 2 y ya2y2a2y 2b 2 a 2 y 2 b 2 x 2b 4a2a 2 y3a 2 y3(3)方程两边求导数得y sec 2(x y) (1 y )2y)1y s e c( x2y) 2y) 11 s e c(xc o s( x2y)21s i n(xc o s(x y)12y)y 2s i n( xy23 y23( 112 )2(1 y 2 )y 5yyy(4)方程两边求导数得yyy e xe y-----yeyeyey1 xe y1 (y 1)2 yye y y (2 y) e y ( y ) e y (3 y) y e 2 y (3 y)(2 y)2(2 y)2(2 y)34 用对数求导法求下列函数的导数(1) y ( x )x1 x (2) y5x 525 x2(3) yx 2(3 x)4( x 1)5(4) y xsin x 1e x解 (1)两边取对数得ln y xln|x| xln|1 x|，两边求导得1 y ln x x 1 l n1( x) x 1y x 1 x 于是y ( x)x[ l nx1 ]1 x 1 x 1x(2)两边取对数得ln y1ln |x 5|1l nx(22)两边求导得5251 y1 1 12x2y5 x 525 x 2于是y 1 5x 5[11 2x ]5 5 x 2 2x 5 5 x 2 2(3)两边取对数得ln y1l nx( 2) 4 l n3( x) 5l n x( 1)2两边求导得1 y 1 3 45y 2(x 2)x x 1于是yx 2(3x)4 [ 12)4 5 ](x 1)52(x x 3 x 1(4)两边取对数得ln y1ln x1ln s i nx1l n1( e x )两边求导得22 41 y1 1 c o xte xy 2x24(1 e x )于是yxs i nx 1 e x[11c o xte x]2x 2 4(1 e x )1 x 22c o tx e x ]4 xs i nx 1 e [ x e x1 dy5求下列参数方程所确定的函数的导数dxx at 2(1)y bt2x (1 sin ) (2)ycos解 (1)dyy t 3bt 2 3b tdxx t 2at 2ady ycos sin(2) dx x 1 sincos6 已知xe tsin t, 求当 t 3 时 dy的值y e tcost. dx解dy y te t cost e t sin t costsin t dxx t e tsin t e tcost sintcostdy 1 3 1 3 当 t 时 2 2 3 2dx 1 3 1 3 32 27 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)x sin t在 t处y cos2t4x3at (2)1 t 2在 t=2 处y 3at 21 t 2解 (1) dyy t2sin 2tdxx tcost-----dy 2sin(2)当 t时42 2 2 x02y0 0 dx4cos2242所求切线方程为y 2 2(x2) 即2 2x y 2 0 2所求法线方程为y1(x 2 )即 2x 4y1222(2) y t 6at (1t2 )3at 2 2t6at(1t 2 )2(1t 2 )2x t 3a(1t 2)3at2t3a3at 2 (1t 2 )2(1t 2)2dy y t6at2tdx x t3a3at 21t 2当 t 2 时dy 2 24x 6a ydx1223050所求切线方程为012a 5y12 a 4(x6a)即 4x 3y 12a 0535所求法线方程为y12 a3(x 6a)即 3x 4y 6a 0545d 2 y8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2 x t 2(1)2y 1 t. xacost(2)y bsin t(3)x3e t y2e t(4)x f t (t )设 f(t)存在且不为零y tf t (t) f (t)dy y t1 d 2 y(y x)t1解 (1)t 21 dx x t t dx2x t t t3(2) dy y tbcostbcot tdx x t asin t ab 2 d 2 y (y x )t a csc t b dx 2 x t asin ta 2 sin 3 tdy y t 2e t22t(3) dx x t3e t3ed 2y( y x )t2 2t3 2e4 3tdx 2x t3e te9 (4) dy y t f (t) tf (t) f (t)dx x tf (t)td 2 y ( y x )t 1dx 2x tf (t)9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数(1) x 1 t 2y t t3(2)x ln(1 t 2) y t arctan t解 (1)dy (t t 3)1 3t2dx (1 t 2 )2t1 3t 2d 2y ( 2t )1 ( 1 3) dx 22t4 t 3 t1 1 3d 3y 4 ( t 3t )3(1 t 2)dx 32t8t 5dy (t arctan t)11(2)1 t 21 tdx [ln(1 t 2)]2t 21 t21d 2 y ( 2t) 1 t 2 dx 22t 4t1 t 23d y-----1 t 2d 3 y ( 4t ) t 4 1dx 3 2t 8t 31t 210 落在平静水面上的石头 产生同心波纹 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为 r 对应圆面积为 S 则 S r 2 两边同时对 t 求导得S t 2 rr当 t 2 时 r 6 2 12 r t 6故 S t t 22 126 144( 米 2 秒)| 其速率为 4m 2/min11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中 当水深为 5m 时 其表面上升的速度为多少？解水深为 h 时 水面半径为 r1 h 水面面积为 S 1 h 21hS 1 h 1 h 224水的体积为 Vh 33 34 12dV 12 3h 2dh dh 4 dVdt dt dt h 2 dt已知 h 5(m)， dV 4 (m 3/min) 因此 dh 4 dV 4 4 16(m/min)dtdt h 2 dt252512 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时 其表面下 降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在 t 时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有1 62 18 1r 2 y 52hy 3y3由 r得 r 代入上式得 6 18 31 62 18 1 ( y ) 2 y 23 3 3 5 h即162 18 1y 3 52 h 两边对 t 3 33求导得1 y2 y 52 h32t当 y 12 时 y t1 代入上式得1 122( 1) 16h t32 52 0.64 (cm/min).25。

【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。

(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

练习2.11.写出下列数列的前五项.()12312+-=n n a n (n=1,2,3,…) ()23)1(1n nn a --= (n =1,2,3, …)()3n n na )11(+= n=1,2,3, …)()4)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …)，其中x 是固定的实数.解：()1由2312+-=n n a n (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 51，83，115，147，179. ()2由3)1(1nnn a --= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 ２，０，332，０，352. ()3由n n na )11(+= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为２，2)23(，3)34(，4)45(，5)56(.()4由)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …) 得数列的前五项为!1x，!33x -，!55x ，!77x -，!99x .2.做出下面各数列在数轴上的点，并说出哪些数列有极限？哪些没有极限？()1n n a 21=()2n nna )1(-= ()3n n n a 1)1(-= ()41+=n n a n ()5n n a n πsin 1= ()62sin πn n a n =. 解：作图略.()1有极限为0 ()2没有极限 ()3有极限为0 ()4有极限为1 ()5有极限为0 ()6没有极限.3*（略） 4*（略） 5*（略）6.设()⎩⎨⎧≥-<=1,131,x x x x x f ，作()x f 的图形，并讨论当1→x 时()x f 的左右极限，问)(lim 1x f x → 是否存在？ 解：图略.因为 2)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1=-→x f x)(lim )(lim 11x f x f x x -+→→≠所以)(lim 1x f x →不存在.7.求下列函数在指定点的极限.()1xx x f ||)(=在0=x 处 ()2⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x ，1=x ，2=x 处. 解：()1⎩⎨⎧-==11||)(x x x f Θ00<>x x 11lim )(lim 00==++→→x x x f ，11lim )(lim 0-=-=--→→x x x f所以xx x f ||)(=在0=x 处极限不存在. ()24)4(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ，4)4(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x 处极限为4.1)12(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，5)4(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在1=x 处极限不存在.3)12(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x ，3)12(lim )(lim 22=-=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在2=x 处极限为3.8.下列函数在什么情况下是无穷大量，什么情况下是无穷小量？()111-=x y ()2x y ln = ()32x y = ()4x e y =.解：()1当1→x 时11-=x y 是无穷大量，当∞→x 时11-=x y 是无穷小量.()2当+∞→x 时x y ln =是无穷大量，当+→0x 时x y ln =是无穷大量，当1→x 时x y ln =是无穷小量.()3当∞→x 时2x y =是无穷大量，当0→x 时2x y =是无穷小量.()4当+∞→x 时x e y =是无穷大量，当-∞→x 时x e y =是无穷小量.9.下列各题中哪些是无穷小，哪些是无穷大？()1221,0xx x +→ ()212,0-→-x x()3x x lg ,0+→ ()4θθθsec 1sin ,0+→.解：()1、()3是无穷大，()2、()4是无穷小. 10.下列说法是否正确？()1无穷大量是极限为无穷大的变量()2无穷大量是无界变量，无界变量也是无穷大量 ()3无极限的数列一定无界.解：()1不正确。

第二章 极限与连续习题2-11、观察下列数列的变化趋势,判别哪些数列有极限,如有极限,写出它们的极限. (1)nn a x 1= )1(>a ； 有. 0lim =∞→n n x .(2) nx n n 1)1(1--=； 有. 0lim =∞→n n x .(3) n x n n 1)1(--=； 无.(4) 2sin πn x n =； 无. (5) 11+-=n n x n ； 有. 1lim =∞→n n x . (6) nn x )1(2-=； 无.(7) nx n 1cos =； 有. 1lim =∞→n n x .(8) nx n1ln =. 无.2、设9.01=u ,99.02=u ,个n n u 999.0,=,问 (1) ?lim =∞→n n u(2) n 应为何值时,才能使n u 与其极限之差的绝对值小于0001.0？ 解：(1) 显然,n n u 1011-=,可见1lim =∞→n n u ；(2) 欲使41010001.0101|1|=<=-n n u ,只需5≥n 即可.3、对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=1}{n n x n ,),2,1( =n ,给定(1)1.0=ε;(2)01.0=ε;(3)001.0=ε时,分别取怎样的N ,才能使当N n >时,不等式ε<-|1|n x 成立,并利用极限定义证明此数列的极限为1.解：欲使ε=<+=-+=-k n n n n x 1011111|1|,只需110->k n .(1)若给定1.0=ε,此时1=k ,取91101=-=N 即可;(2)若给定01.0=ε,此时2=k ,取991102=-=N 即可; (3)若给定001.0=ε,此时3=k ,取9991103=-=N 即可; 下面证明1lim =∞→n n x . 欲使ε<<+=-n n x n 111|1|,只需ε1>n .0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<-|1|n x ,所以 1lim 1lim==+∞→∞→n n n x n n.4、用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？(1)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越小,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nx n 11+=,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越小,但a x n n =≠=∞→01lim .(2)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越接近于0,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nx n 11+=,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越接近于0,但a x n n =≠=∞→01lim .(3)设数列}{n x ,0>∀ε,N ∃,当N n >时,有无穷多个n x 满足ε<-||a x n ,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nn x )1(-=,1=a ,显然0||2=-a x k ,),2,1( =k ,那么0>∀ε,1=∃N ,当N n >时,有无穷多个n x ,满足ε<-||a x n , 但显然n n x ∞→lim 不存在.(4)设数列}{n x ,若对0>∀ε,}{n x 中仅有有限个n x 不满足ε<-||a x n ,则a x n n =∞→lim .解：结论正确.0>∀ε,假设仅有k n n n x x x ,,,21 不满足ε<-||a x n ,于是取+∈=N },,,max {21k n n n N ,那么当N n >时,ε<-||a x n ,所以a x n n =∞→lim .5、用极限性质判别下列结论是否正确,为什么？ (1)若}{n x 收敛,则k n n n n x x +∞→∞→=lim lim (k 为正整数)；解：结论正确.显然}{k n x +是}{n x 的子数列,故n n k n n x x ∞→+∞→=lim lim .(2)有界数列}{n x 必收敛；解：结论错误.例如取nn x )1(-=,虽然}{n x 有界,但显然}{n x 发散.(3)无界数列}{n x 必发散；解：结论正确. 因收敛数列必有界,那么无界数列必发散.(4)发散数列}{n x 必无界.解：结论错误.例如取nn x )1(-=,虽然}{n x 发散,但显然}{n x 有界.6、利用数列的“N -ε”分析定义证明下列极限： (1) 01lim2=∞→n n ；分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-nn x n 11|0|2,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-nn x n 11|0|2,所以 0lim 1lim 2==∞→∞→n n n x n .(2) 321312lim=++∞→n n n ；分析：0>∀ε,欲使ε<<+=-++=-n n n n x n 1)13(3132131232, 只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有 ε<<+=-n n x n 1)13(3132,所以 32lim 1312lim ==++∞→∞→n n n x n n .(3) 1)311(lim =-∞→nn ；分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-nn x n 131|1|,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-n n x n 131|1|,所以 1lim )311(lim ==-∞→∞→n n n x n .(4) 0sin lim=∞→nnn .分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-n n n x n 1sin |0|,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可. 证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-n n n x n 1sin |0|,所以 0lim sin lim ==∞→∞→n n n x nn.7、若0lim =∞→n n u ,证明0||lim =∞→n n u ,并举例说明,如果数列|}{|n u 有极限,但数列}{n u 未必有极限.证明：因0lim =∞→n n u ,有0>∀ε,+∈∃N N ..t s N n >时,ε<-|0|n u ,于是 ε<-=-|0|0||n n u u , 所以0||lim =∞→n n u .而若取nn u )1(-=,显然1||lim =∞→n n u ,但显然}{n u 没有极限.8、对于数列}{n x ,若a x k →-12,)(∞→k ,a x k →2,)(∞→k ,证明a x n →,)(∞→n .证明：因0lim 12=-∞→k k x ,有0>∀ε,+∈∃N1N ..t s 1N k >时,ε<--||12a x k ,又因0lim 2=∞→k k x ,对0>ε,+∈∃N 2N ..t s 2N k >时,ε<-||2a x k ,取+∈=N }2,2m ax {21N N N ,当N n >时,若12-=k n ,有1122221N N N n k =≥>+=,ε<-=--||||12a x a x k n , 若k n 2=,有222222N N N n k =≥>=,ε<-=-||||2a x a x k n ,总之,当N n >时,ε<-||a x n ,所以a x n →,)(∞→n .习题2-21、用极限定义证明： (1) 12)25(lim 2=+→x x ；分析：0>∀ε,欲使ε<-=-|2|5|12)(|x x f ,只需5|2|ε<-x 即可.证明：0>∀ε,取05>=εδ,当δ<-<|2|0x 时,恒有ε<-=-|2|5|12)(|x x f , 所以 12)(lim )25(lim 22==+→→x f x x x .(2) 424lim22-=+--→x x x ； 分析：0>∀ε,欲使ε<+=--|2||)4()(|x x f ,只需ε<+<|2|0x 即可. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<--<|)2(|0x 时,恒有ε<+=+-=--+-=--|2||4)2(|)4(24|)4()(|2x x x x x f ,所以 4)(lim 24lim222-==+--→-→x f x x x x .(3) 8)13(lim 3=-→x x .分析：0>∀ε,欲使ε<-=-|3|3|8)(|x x f ,只需3|3|ε<-x 即可.证明：0>∀ε,取03>=εδ,当δ<-<|3|0x 时,恒有ε<-=-|3|3|12)(|x x f , 所以 8)(lim )13(lim 33==-→→x f x x x .2、用极限定义证明： (1) 656lim=+∞→xx x ；分析：0>∀ε,欲使ε<=-x x f 5|6)(|,只需ε5||>x 即可. 证明：0>∀ε,取05>=εK ,当ε5||>x 时,恒有ε<=-x x f 5|6)(|,所以 6)(lim 56lim ==+∞→∞→x f xx x x .(2) 0sin lim=+∞→xxx .分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-xx x x f 1sin |0)(|,只需21ε>x 即可.证明：0>∀ε,取012>=εK ,当K x >时,恒有ε<≤-x x f 1|0)(|,所以 0)(lim sin lim ==∞→+∞→x f xxx x .3、当2→x 时,42→=x y ,问δ等于多少,则当δ<-<|2|0x 时,001.0|4|<-y ？(提示：因为2→x ,所以不妨设31<<x ).解：欲使|2||4)2(||2||2||4||4|2-⋅+-=-⋅+=-=-x x x x x y3101001.0|2|5|2|)4|2(|=<-≤-+-≤x x x ,只需0002.01051|2|3=⋅<-x 即可.因此,取0002.0=δ,当δ<-<|2|0x 时,有001.0|4|<-y .4、设⎩⎨⎧≥-<=.3 ,13,3,)(x x x x x f 作)(x f 的图形,并讨论3→x 时, )(x f 的左右极限(利用第1题(3)的结果).解：(1) )(x f 的图形.(2) 令x x g =)(,13)(-=x x h ,已知3lim )(lim 33==→→x x g x x ,8)13(lim )(lim 33=-=→→x x h x x ,于是3)(lim 3=-→x g x ,8)(lim 3=+→x h x .显然,当3<x 时,)()(x g x f =,于是3)(lim )(lim 33==--→→x g x f x x ；当3>x 时,)()(x h x f =,于是8)(lim )(lim 33==++→→x h x f x x .5、证明||)(x x f =,当0→x 时的极限为零. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<<||0x 时,恒有ε<=-=-||0|||0)(|x x x f , 所以 0)(lim ||lim 0==→→x f x x x .6、函数xx x f ||)(=,回答下列问题： (1)函数)(x f 在0=x 处的左右极限是否存在？ 答：)(x f 在0=x 处的左右极限是均存在.这是因为：1)1(lim lim )(lim 000-=-=-=---→→→x x x xxx f ；11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x xx f .(2)函数)(x f 在0=x 处是否有极限？ 答：)(x f 在0=x 处是没有极限.这是因为：)(lim 11)(lim 0x f x f x x +-→→=≠-=.(3)函数)(x f 在1=x 处是否有极限？ 答：)(x f 在1=x 处有极限.这是因为：11lim lim )(lim 111===---→→→x x x x xx f ；11lim lim )(lim 111===+++→→→x x x x xx f . 由于1)(lim )(lim 11==+-→→x f x f x x ,故1)(lim 1=→x f x .7、证明A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0.证明:“必要性”A x f x x =→)(lim 0⇒0>∀ε,0>∃δ..t s δ<-<||00x x 时,ε<-|)(|A x f ,从而,当 δ<-<00x x 时, ε<-|)(|A x f ； 也有,当 δ<-<x x 00时, ε<-|)(|A x f , 所以 A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0.“充分性” A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0⇒ 0>∀ε,0,21>∃δδ ..t s当 100δ<-<x x 时, ε<-|)(|A x f ； 当 200δ<-<x x 时, ε<-|)(|A x f ,取0},m in{21>=δδδ,当δ<-<||00x x 时,有ε<-|)(|A x f , 所以 A x f x x =→)(lim 0.8、设)0()(lim ≠=+∞→A A x f x ,证明当x 充分大时2|||)(|A x f >. 证明:因)0()(lim ≠=+∞→A A x f x ,对于02||0>=A ε,0>∃K , 当K x >时, 2|||)(|0A A x f =<-ε. 所以2||2|||||)(||||))((||)(|A A A A x f A A x f A x f =->--≥-+=.习题2-31、根据定义证明：(1) 1-=x y 为当1→x 时的无穷小；证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<-<|1|0x 时,恒有ε<-=|1|||x y ,所以1-=x y 为当1→x 时的无穷小.(2) xx y 1cos =为当0→x 时的无穷小. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<-<|0|0x 时,恒有ε<≤||||x y ,所以xx y 1cos =为当0→x 时的无穷小.2、根据定义证明：函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大,问x 应满足什么条件,能使410||>y ？(1)分析：0>∀K ,欲使K x x x y >-≥+=2||121||,只需21||0+<<K x 即可. 证明：0>∀K ,取021>+=K δ,当δ<<||0x 时,恒有 K x x x x y >-≥+=+=2||12121||,所以 ∞==+→→y xxx x 00lim 21lim .(2) 欲使K y =>410||,取10002121014=+=δ,则x 满足100021||0<<x 即可.3、利用有界量乘无穷小依然是无穷小求下列极限： (1) xx x 1sinlim 20→. 解：因0lim 0=→x x ,11sin≤x)0(≠x ,有)1(o x =(无穷小),)1(1sin O x=(有界), )0(→x ,则)1()1()1()1(1sin 2o O o o x x ==,)0(→x , 所以01sin lim 20=→xx x .(2) xxx arctan lim∞→.解：因01lim =∞→x x ,2arctan π≤,有)1(1o x=(无穷小),)1(arctan O x =(有界), )(∞→x ,则)1()1()1(arctan o O o x x ==,)(∞→x , 所以0arctan lim =∞→xxx .4、函数x x y sin =在区间),0(+∞内是否有界?又当+∞→x 时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)取22ππ+=k x ,则22)22sin()22(ππππππ+=++=k k k y , ,2,1=k ,可见, 函数x x y sin =在区间),0(+∞内无界.(2)取πk x =,则0)sin(==ππk k y , ,2,1=k ,可见,当+∞→x 时,函数x x y sin =不是无穷大.4’、函数xx y 1sin =在区间),0(+∞内是否有界?又当+∞→x 时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)当0>x 时,11||1sin ||1sin=≤≤x x x x x x , 可见, 函数x x y 1sin =在区间),0(+∞内有界.(2)因函数xx y 1sin =在区间),0(+∞内有界,可见,当+∞→x 时,函数x x y sin =不是无穷大.习题2-41、填空题：(1)已知b a ,为常数,3122lim2=-++∞→n bn an n ,则=a 0 ,=b 6 ;解：由于2122lim 1221lim 30022a n n nb a n bn an n n n =-++=-++=⨯=∞→∞→,有0=a . 而2122lim 122lim 122lim 32b nn b n bn n bn an n n n =-+=-+=-++=∞→∞→∞→,有6=b .(2)已知b a ,为常数,1)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ,则=a 1 ,=b -1 ; 解：由于a xba xb ax x x x x x x x -=--+=--+==∞→∞→∞→1)11(lim )1(1lim 1lim 022, 有1=a .而b b x b x x x b ax x x x x x -=-=--+=--+=∞→∞→∞→)1(lim )1(lim )1(lim 12 有1-=b .(3)已知b a ,为常数,21lim 1=-+→x bax x ,则=a 2 ,=b -2 .解：由于0201)1(lim )(lim 11=⋅=-+-=+=+→→x bax x b ax b a x x ,有a b -=.而21lim 1lim 11=-+=--=→→x bax x a ax a x x ,有2-=b2、求下列极限：(1) 4304031413lim 143lim 222=++=++=++∞→∞→nn n n n n n .(2) 510)2(501)52)(2(5)52(1lim )2(5)2(5lim 11=⨯-++=--+-+=-+-+∞→++∞→n nn n n nnn . (3) 340131121101311311211211lim 31313112121211lim1122=--⋅--=--⋅--=++++++++++∞→∞→n n n n n n . (4) )1221(1lim )1231(lim 222nn n n n n n n n n n -+++=-+++∞→∞→1)221(lim )121(211lim =⨯=-+⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n . (5) ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n1)111(lim )]111()3121()2111[(lim =+-=+-++-+-=∞→∞→n n n n n .(6)2110111111lim1lim)1(lim =++=++=++=-+∞→∞→∞→nn n nn n n n n n . 3、求下列极限：(1) 443lim 222---→x x x x .解：由于0423242434lim 22222=-⨯--=---→x x x x ,所以∞=---→443lim 222x x x x .(2) )33(lim 33lim )(lim2203220330h xh x h h xh h x h h h x h h h ++=++=-+→→→ 22230033x x x =+⋅+=.(3) 3001003431153lim 43153lim 2222=++++=++++=++++∞→∞→xx x x x x x x x x . (4)503020503020503020532)15()23()32(lim )15()23()32(lim =++-=++-∞→∞→xx x x x x x x (5) 221)12)(11(lim 2=⋅=-+∞→xx x .(6) 0004000724132lim724132lim 5454253=++++=++++=++++∞→∞→xx x x x x x x x x x . (7) )13)(1)(1()1()3(lim 113lim121x x x x x x x x x x x ++-+-+--=-+--→→ 42)1113)(11(2)13)(1(2lim1-=++-+-=++-+-=→x x x x .(8) 22121311211lim )131(11lim )1311(lim x x x x x x x x x x x x x ++-+⋅-=++--=---→→→ 1111)21(1)2(lim 221-=+++-=+++-=→x x x x .(9) 11lim )1/()1()1/()1(lim 11lim 2121111++++++=----=------→→→ n n m m x n m x n m x x x x x x x x x x xnm n n m m =++++++=----1111112121 .(n m ,是自然数).(10) )1)(1)(1()1)(1)(1(lim11lim3323323131+++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x 321111111lim)1)(1()1)(1(lim33233213322331=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x x x .(11) x x x x x x x x x x 1)651)(1(lim 1)31)(21)(1(lim 200-+++=-+++→→6060116)6116(lim 220=⨯+⨯+=++=→x x x .(12) xx x x x x x x x x x +-+--+=--++∞→+∞→)1)(2()1)(2(lim ))1)(2((lim 21)11)(21(21lim )1)(2(2lim +-+-=+-+-=+∞→+∞→xx x x x x x x x211)01)(01(01=+-+-=.4、求下列极限：(1) 223)3(3lim -+→x xx x ;解：由于0333)33(3)3(lim 22223=⨯+-=+-=→x x x x ,所以∞=-+→223)3(3lim x x x x .(2)432lim 3++∞→x x x ;解：由于001002143lim 243lim 243lim 33233=++=++=++=++∞→∞→∞→xx xx x x x x x x , 所以∞=++∞→432lim3x x x .(3))325(lim 2+-∞→x x x ;解：由于000503251lim 3251lim 222=+-=+-=+-∞→∞→xx x x x x x ,所以∞=+-∞→)325(lim 2x x x .5、设A x f x x =→)(lim 0,)(lim 0x g x x →不存在,证明)]()([lim 0x g x f x x +→不存在.证明：反证.假设B x g x f x x =+→)]()([lim 0,则)(lim )]()([lim )]()()([lim )(lim 0x f x g x f x f x g x f x g x x x x x x x x →→→→-+=-+=A B -=,可见)(lim 0x g x x →存在,这与条件)(lim 0x g x x →不存在冲突,所以)]()([lim 0x g x f x x +→不存在.习题2-51、求下列极限：(1)52151255sin 522sin 2lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=⋅⋅=→→xx x xx x x x .(2)2112122sin 22cos lim2cot lim 00=⨯=⋅=→→xx x x x x x .(3)212)sin 2(lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200=⨯=⋅=⋅=-→→→xxx x x x x x x x x .(4)x x txtxx x n t n nn n=⋅===∞→=∞→1)sin (lim 2sin2lim 21,(x 为不等于零的常数).(5)01111sin 1sin 1lim sin sin lim 00=+-=+-=+-→→xx x xx x x x x x . (6)xx xx xx x x x x x x x x cos 2sin 2sin limcos )cos 1(sin lim sin tan lim3203030⋅=-=-→→→2112111122sin 21cos 1sin lim 220=⨯⨯⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=→x x x x x x .(7)tta t t a t a a x a x t t ax t a x 22cos2sin 2lim sin )(sin lim sin sin lim 00+=-+====--→→-=→ a t a t t t t cos )2cos(lim 22sinlim 00=+=→→.(8))3cos(21sin limcos 21)3sin(lim 033ππππ+-====--→-=→t t x x t x t x t t tt t t t t sin 3cos 1sin lim)3sin sin 3cos (cos 21sin lim 00+-=--=→→ππ 3313101sin 3)2(2sin 2sin lim sin 3cos 1sin lim 2200=⨯+⨯=+⋅=+-=→→tt t t t t tt t t t t .(9))22tan(lim 2)1(tanlim 2tan)1(lim 0011tt t t xx t t xt x ππππ-=-====-→→-=→πππππ2sin cos 2limcot 2lim2cotlim 002=⋅======→→=→uu u u u tt u u tu t .2、求下列极限：(1)ee t t t xtt tt x t xx 1)01(1)1()1(lim 1)1(lim )21(lim 10110212=+=++=+===-→--→-=-∞→.(2)et t xtt t t xt xx 1)1(lim 1)1(lim )22(lim 1010220=+=+===-→-→-=→.(3)211)11()11(lim )11(lim e e e xx x x x xx x x ==+-=+-∞→∞→.(4)11])11()11[(lim )11(lim )11(lim 2=⋅=+-=-===-+∞→+∞→=+∞→e et t t xt t t t t xt xx .(5)111])11()11[(lim 1)11(1lim )1(lim 222=⋅=+-=-=-∞→∞→∞→eex x x x x x x x x x x x .(6)33103tan 3cot 2])1(lim [)1(lim )tan 31(lim 22e t t x t t t t xt xx =+=+=====+→→=→.(7)3213ln 233sin lim3)21ln(lim 233sin 3)21ln(2lim3sin )21ln(lim 02102100=⨯=+=⋅+=+→→→→e xx x xx x x x x x x xx xx x .(8)2ln 2)21ln(2lim )21ln(lim ]ln )2[ln(lim 2==+=+=-+∞→∞→∞→e nn n n n n nn n n .3、利用极限存在准则证明：(1) 1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n . 证明：由于πππππ+≤++++++≤+2222222)1211(n n n n n n n n n n ，而111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n ππ, 111lim lim 222=+=+∞→∞→nn n n n ππ, 所以1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n .(2)设},,,m ax {21m a a a A =,),,2,1,0(m i a i =>,则有 A a a a n nm n n n =+++∞→ 21lim.证明：由于n n n n n m n n nn m A mA a a a A A =≤+++≤=21，而A A m A m A n n n n =⋅==∞→∞→1lim lim , 所以A a a a n n m n n n =+++∞→ 21lim .(3)设21=x ,12-+=n n x x , ,3,2=n ,证明数列}{n x 存在极限并求之.证明：①显然221<=x ,假设21<-n x ,有22221=+<+=-n n x x , 因此,20<<n x , ,3,2,1=n ；②由于11222x x x =>+=,假设1->n n x x ,有n n n n x x x x =+>+=-+1122因此,}{n x 为单调递增数列；③由①②知, 数列}{n x 必存在极限. ④假设a x n n =∞→lim ，显然有20≤≤a ，且a x x a n n n n +=+==-∞→∞→22lim lim 1，即022=--a a ，得2=a (1-=a 舍去), 所以2lim =∞→n n x .(4)数列21=x ,)1(211nn n x x x +=+的极限存在. 证明：①显然121≥=x ,而11221)1(211=⋅⋅⋅≥+=+nn n n n x x x x x , ②由于0121121221)1(21221=⋅-≤-=-=-+=-+n n n n n n n n n x x x x x x x x x , 即n n x x ≤+1,因此,}{n x 为单调递减数列；③由①②知,21≤≤n x , ,3,2,1=n ,因此数列}{n x 的极限必存在.4、某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？ 解：设0A 为发行时每份债券的价格,年利率为%5.6=r ,10=k 年后每份债券一次偿还本息1000=k A 元,若以连续复利计算利息,则krk e A A 0=,即065.01001000⨯=eA ,得05.5521000065.0100==⨯-eA (元).习题2-61、当0→x 时,下列各函数都是无穷小,试确定哪些是x 观的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？ (1) x x +2；解：因为1)1(lim lim020=+=+→→x x xx x x , 所以x x x ~2+,)0(→x .(等价无穷小)(2) x x sin +； 解：因为211)sin 1(lim sin lim00=+=+=+→→x xx x x x x ,所以)(2x O x x =+,)0(→x . (同阶无穷小)(3) x x sin -； 解：因为011)sin 1(lim sin lim00=-=-=-→→x xx x x x x ,所以)(2x o x x =+,)0(→x . (高阶无穷小)(4) x 2cos 1-；解：因为0102)sin sin 2(lim sin 2lim 2cos 1lim0200=⋅⋅===-→→→x xx x x x x x x x , 所以)(2x o x x =+,)0(→x . (高阶无穷小)(5) x tan ； 解：因为111)cos 1sin (lim tan lim00=⋅=⋅=→→xx x x x x x ,所以x x ~tan ,)0(→x .(等价无穷小)(6) x 2tan . 解：因为221)2cos 222sin (lim 2tan lim00=⋅=⋅=→→xx x x x x x ,所以)(2tan x O x =,)0(→x . (同阶无穷小)2、证明当0→x 时,有： (1) x x ~arctan ；证明：因为111sin cos lim tan lim arctan lim 00arctan 0========→→=→tt t t t x x t t x t x ,所以x x ~arctan ,)0(→x .(2) 221~1sec x x -； 证明：因为1)2(2sin lim 2sin 22limcos )cos 1(2lim 211sec lim2202202020==⋅=-=-→→→→xxx x x x x xx x x x x ,所以221~1sec x x -,)0(→x .(3) 221~1sin 1x x x -+； 证明：因为1101121sin 1sin 2lim 211sin 1lim 020=++⋅=++⋅=-+→→x x x xxx x x x , 所以221~1sin 1x x x -+,)0(→x .(4) 222~11x x x --+.证明：因为101012112lim 11lim2202220=-++=-++=--+→→xx x x x x x , 所以222~11x x x --+,)0(→x .3、利用等价无穷小的性质,求下列极限：(1) 11lim 2121lim cos 11sin 1lim 02200===--+→→→x x x xxx x x . 其中：221~1sin 1x x x -+,221~cos 1x x -,)0(→x .(2) 22lim 2lim tan )1(2sin lim 02020==⋅=-⋅→→→x x x x x x x x e x . 其中：x x 2~2sin ,x e x ~1-,22~tan x x )0(→x .(3) 52)52(lim 52lim 5sin )21ln(lim000-=-=-=-→→→x x x x x x x .其中：x x 2~)21ln(--,x x 5~5sin ,)0(→x .(4) 21cos 21lim cos 21lim cos sin cos 1lim sin sin tan lim 02202030===-=-→→→→x x x xx x x x x x x x x x . 其中：221~cos 1x x -,x x ~sin )0(→x .(5) 2121lim 21lim sin cos 1lim )tan 1sin 1(1lim 022000===-=-→→→→x x x x x xx x x x x x . 其中：221~cos 1x x -,x x ~sin )0(→x .(6) 22lim )(21lim cos 1lim 22022020m m x mx x mx x x x ===-→→→. 其中：0≠m 时,2)(21~cos 1mx mx -,)0(→x ,而0=m 时,0)(21cos 12==-mx mx .4、证明无穷小的等价关系具有下列性质： (1) αα~(自反性)； 证明：因11lim lim==αα,所以αα~.(2) 若βα~,则αβ~(对称性)； 证明：已知βα~,因1111lim lim===βααβ,所以αβ~.(3) 若βα~,γβ~,则γα~(传递性). 证明：已知βα~,γβ~,因111lim lim )lim(lim=⋅=⋅=⋅=γββαγββαγα, 所以γα~习题2-71、研究下列函数的连续性,并画出函数图形：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=.1 ,1,11 ,,1 ,1)(2x x x x x f 解：显然,函数)(x f 在)1,(--∞,)1,1(-以及),1(+∞连续.由于)(lim 11lim )(lim 1211x f x x f x x x -++-→-→-→=-≠==,则)(x f 在1-=x 间断；由于)(lim 1)1(lim )(lim 1211x f f x x f x x x +--→→→====,则)(x f 在1=x 连续.总之,函数)(x f 在)1,(--∞,),1(+∞-连续,在1-=x 间断.(2) ⎩⎨⎧≤<-≤≤=.21,2,10 , )(2x x x x x f 解：显然,函数)(x f 在)1,0[,]2,1(连续. 由于1lim )(lim 211==--→→x x f x x ,有)(lim )1(112)2(lim )(lim 111x f f x x f x x x -++→→→===-=-=,则)(x f 在1=x 连续.总之,函数)(x f 在]2,0[连续.2、确定常数b a ,使下列函数连续：(1) ⎩⎨⎧>+≤=.0 ,,0 , )(x a x x e x f x解：显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续.由于1lim )(lim 00===--→→e e x f x x x ,a a a x x f x x =+=+=++→→0)(lim )(lim 00,欲使)(x f 在0=x 连续,只需)0(1)(lim )(lim 0f x f x f x x ===-+→→,即1=a . 因此,仅当1=a 时,函数)(x f 在),(+∞-∞连续.(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=.0 ,sin ,0 ,2 ,0 ,)31ln()(x xax x x bxx x f 解：显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续.由于bb bx x bx x x f x x x x 33lim 3lim )31ln(lim )(lim 0000-=-=-=-=----→→→→,)0(≠b ,⎪⎩⎪⎨⎧==≠=⋅==+++→→→.0 ,0,0 ,)sin (lim sin lim )(lim 000a a a a axax a x ax x f x x x , 欲使)(x f 在0=x 连续,只需)0(2)(lim )(lim 0f x f x f x x ===+-→→,有 23==-a b , 即2=a , 23-=b . 因此,仅当2=a ,23-=b 时,函数)(x f 在),(+∞-∞连续.3、下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类型,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.(1) 65422+--=x x x y , 2=x ,3=x ；解：32)3)(2()2)(2()(-+=--+-==x x x x x x x f y , 2≠x .①由于4322232lim )(lim 22-=-+=-+=--→→x x x f x x ,)(lim 4322232lim )(lim 222x f x x x f x x x -++→→→=-=-+=-+=, 可见, 2=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点. 欲使)(x f 在2=x 连续,只需定义4)2(-=f 即可.②由于∞=-+=→→32lim )(lim 33x x x f x x ,可见, 3=x 是函数)(x f y =的无穷间断点,属第二类间断点.(2) xxy sin =, πk x =,),2,1,0( ±±=k ； 解：xxx f y sin )(==, πk x ≠,),2,1,0( ±±=k .①由于1sin lim )(lim 00==--→→xxx f x x ,)(lim 1sin lim )(lim 000x f x xx f x x x -++→→→===, 可见, 0=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点. 欲使)(x f 在0=x 连续,只需定义1)0(=f 即可.②由于∞==-→→xxx f k x k x sin lim )(lim ππ,),2,1( ±±=k可见,πk x =,),2,1( ±±=k 是函数)(x f y =的无穷间断点,属第二类间断点.(3) xy 1cos3=, 0=x ； 解：xx f y 1cos )(3==, 0≠x .显然函数)(x f y =有界, 由于xx f x x 1cos lim )(lim 300→→=不存在,可见, 0=x 是函数)(x f y =的振荡间断点,属第二类间断点.(4) ⎩⎨⎧>-≤-=.1 ,54,1 ,12x x x x y 1=x .解：⎩⎨⎧>-≤-==.1 ,54,1 ,12)(x x x x x f y由于1)12(lim )(lim 01=-=--→→x x f x x , )(lim 13)52(lim )(lim 111x f x x f x x x -++→→→=≠-=-=,可见,1=x 是函数)(x f y =的跳跃间断点,属第一类间断点.4、求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解：21)3)(2()3)(1(633)(22223--=+-+-=-+--+=x x x x x x x x x x x x f ,3-≠x .显然,函数)(x f 在)3,(--∞,)2,3(-以及),2(+∞连续.5821lim )(lim 233-=--=-→-→x x x f x x ,∞=--=→→21lim )(lim 222x x x f x x , 2121lim )(lim 200=--=→→x x x f x x .5、求下列极限： (1) 33020)32(lim 32lim22020=+⋅-=+-=+-→→x x x x x x . (2) 00)2(cos )]42[cos()2cos lim ()2(cos lim 3333434===⋅==→→ππππx x x x . (3) 2)1(2211111lim e e t e t t -=--=--⨯---→. (4) ππππ222sin sin lim 2==→x x x .6、求下列极限： (1) 1lim lim 0011=====→=∞→e e e t t xt x x . (2) )]21cos[ln(lim )]121cos[ln(lim 2012t t x x t x t x -+===-+→=∞→ 10cos )]0021cos[ln()]}21(lim cos{ln[220==-⨯+=-+=→t t t .(3) )1ln(lim 1lim )1(lim lim 010020t t xe x e e x e e t e t x x x x x x x x x +-====-=-=-→-=→→→ 1ln 1)1ln(1lim 10-=-=+-=→e t tt .(4) 202022)1(cos 4lim )]1(cos 1ln[4lim cos ln 4040lim )(cos lim x x x x x x x x x x x e e e x --+→→→→=== 2)2(lim 24lim 0220--⋅-===→→e e e x x x x .7、讨论函数x nx n n e ex x x f ++=∞→1lim )(2的连续性,若有间断点,判别其类型.解：①当0<x 时,x x x e ex x x f x nxnn =+⋅+=++=∞→0101lim )(22； 当0>x 时,2221001lim )(x x x ex xe x f x nxnn =++⋅=++=--∞→, 所以⎩⎨⎧>>=.0 ,,0 ,)(2x x x x x f ②显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续,在0=x 点间断点.③由于0lim )(lim 00==--→→x x f x x , )(lim 0lim )(lim 0200x f x x f x x x -++→→→===, 可见,0=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点.习题2-81、试证下列方程在指定区间内至少有一个实根：(1) 0135=--x x ,在区间)2,1(；证明：显然]2,1[13)(5C x x x f ∈--=,由于03)0(<-=f ,025)2(>=f ,由零点定理知,)2,1(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即01325=--ξξ,所以方程 0135=--x x 在)2,1(内至少有一个根ξ.图形> plot(x^5-3*x^2-1,x=1..2);(2) 2-=x e x ,在区间)2,0(.证明：显然]2,0[2)(C x e x f x∈--=,由于01)0(<-=f ,03)2(2>-=e f , 由零点定理知,)2,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即02=--ξξe ,所以方程 2-=x e x 在)2,0(内至少有一个根ξ.图形> plot(exp(x)-x-2,x=0..2);2、设)(x f 在],[b a 上连续,且b d c a <<<,证明在],[b a 内必存在一点ξ使)()()()(ξf n m d nf c mf +=+,其中n m ,为自然数.证明：若n m ,全为零,则结论显然成立；若n m ,不全为零,因],[)(b a C x f ∈,知)(x f 在],[b a 上存在最小值和最大值βα,, 令)()(d f nm n c f n m m +++=λ,由于 ββαα=++≤+++≤++=nm m m d f n m n c f n m m n m m m )()( 即βλα≤≤,又因],[)(b a C x f ∈,则必],[b a ∈∃ξ..t s λξ=)(f ,即)()()()(ξf n m d nf c mf +=+.3、设函数)(x f 在]2,0[a 上连续,且)2()0(a f f =,证明在],0[a 内至少存在一点ξ,使)()(a f f +=ξξ.证明：若)()0(a f f =,则结论显然成立；若)()0(a f f ≠,已知]2,0[)(a C x f ∈,显然],0[)()()(a C a x f x f x F ∈+-=,由于)]2()()][()0([)()0(a f a f a f f a F F --=0)]()0([)]0()()][()0([2<--=--=a f f f a f a f f ,由零点定理知,),0(a ∈ξ..t s 0)(=ξF ,即)()(a f f +=ξξ.4、一个登山运动员从早晨7:00开始攀登某座山峰,在下午7:00到达山顶,第二天早晨7:00再从山顶沿着原路下山,下午7:00到达山脚,试利用介值定理说明,这个运动员必在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点.证明：用)(x f 和)(x g 表示第一天和第二天运动员在时刻x )197(≤≤x 时距山脚的距离,显然]19,7[)(),(C x g x f ∈,假设山顶距山脚的距离为0>s ,那么,有0)19()7(==g f ,而s g f ==)0()19(,显然]19,7[)()()(C x g x f x F ∈-=,由于0)]19()19()][7()7([)19()7(2<-=--=s g f g f F F ,由零点定理知,)19,7(∈ξ..t s 0)(=ξF ,即)()(ξξg f =,说明运动员必在这两天的相同时刻ξ经过登山路线的同一地点,此时距山脚的距离为)(ξf .友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

第二章极限和连续2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽正六边形的面积A1正十二边形的面积A2正6×2n-1形的面积A nA1，A2，A3，…，A n，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，x n， (1)称为无穷数列，简称数列。

其中的每个数称为数列的项，x n称为通项（一般项）。

数列（1）记为{ x n }。

例如2，4，8，…，2n，…；{ 2n}注意：（1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取（2）数列是整标函数x n=f（n）三、数列的极限1.定义设{x n}是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，x n无限接近于常数a，则称数列{ x n}收敛，a是数列{ x n }的极限，或者称数列x n收敛于a，记为。

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

例如2，4，8，…，2n，…；{ 2n}，发散，发散收敛于02.数列极限的性质（1）唯一性定理每个收敛的数列只有一个极限。

（2）有界性定义: 对数列x n，若存在正数M，使得一切自然数n, 恒有|x n|≤M成立, 则称数列x n有界，否则，称为无界。

例如，数列有界，数列无界数轴上对应于有界数列的点x n都落在闭区间[-M，M]上。

定理收敛的数列必定有界。

注意：有界性是数列收敛的必要条件。

推论无界数列必定发散。

（3）保号性收敛数列的保号性：假设数列{αn}收敛，其极限为α，1）若有正整数N，n＞N时，αn＞0（或＜0），则α≥0（或α≤0）2）若α＞0（或＜0，则有正整数N，使得当n＞N时，αn＞0（或＜0）2.2 级数1.级数的定义:称为数项无穷级数（或简称数项级数），u n为一般项。

2.级数的部分和3.部分和数列4.级数的收敛与发散当n无限增大时，如果级数的部分和数列S n有极限S，即则称无穷级数收敛,这时极限S叫做级数的和,并写成。

第2章 极限与连续§2.1 极 限1. 极限的概念（1）数列的极限：0>∀ε，N ∃（正整数），当N n >时，恒有ε<-A x nA x n n =∞→lim 或 A x n → )(∞→n几何意义：在),(εε+-A A 之外，{}n x 至多有有限个点N x x x ,,,21（2）函数的极限x →∞的极限：0>∀ε，0>∃X ，当X x >时，恒有ε<-A x f )(A x f x =∞→)(lim 或 A x f →)( )(∞→x几何意义：在（)X x X <<-之外，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。

0x x →的极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =→)(lim 0或 A x f →)( )(0x x →几何意义：在0000(,)(,)x x x x x δδ∈-+ 邻域内，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。

（3） 左右极限左极限：0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =-→)(lim 0或 A x f x f =-=-)0()(00右极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ+<<00x x x 时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =+→)(lim 0或 A x f x f =+=+)0()(00极限存在的充要条件：0lim ()lim ()x x x x f x A f x -+→→==（4）极限的性质唯一性：若A x f x x =→)(lim 0，则A 唯一保号性：若A x f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内0A >(0)A < ⇒ ()0f x >(()0)f x <；()0f x ≥(()0)f x ≤ ⇒ 0A ≥(0)A ≤有界性：若A x f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内，)(x f 有界2. 无穷小与无穷大（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。