第二章分析 极限与连续

第二章 极限与连续一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点（一）重点：极限的定义与性质、数列极限和一元函数极限的计算、两个重要极限的运用、归结原则、柯西准则以及有界闭集上连续函数的性质.（二）难点运用柯西准则和归结原则进行证明、理解多元函数重极限与累次极限的概念、有界闭集上连续函数的性质以及一致连续性.三、本章的基本知识要点本章符号说明：:∀ 每一个或任给的；:∃ 至少有一个或存在；⇔：充分必要条件. （一）数列极限1. 数列极限定义lim 0,0,n n a a N ε→∞=⇔∀>∃>当n N >时，有.n a a ε-<注：定义中的N 可不取整数，n a a ε-<可以是.n a a ε-≤定理：增加、改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性.数列极限的等价定义:(1) 0,0,N ε∀>∃> 当n N >时有,n a a k ε-< 其中k 为某个正数. (2) 0,0,c N ε∀<<∃> 当n N >时有,n a a k ε-<其中c 与k 为某个正数. 2. 收敛数列的性质(1) 唯一性定理：每个收敛的数列只有一个极限. (2) 有界性定理：收敛的数列必定有界.(3) 保号性定理：若lim n n a a →∞=,则对任意(),r a r a <>或 ,N n N ∃∀>, 有n a r > (或n a r <).(4) 保不等式性定理：若lim ,lim n n n n a b →∞→∞都存在，且,n n N n N a b ∃∀>≤有，则lim lim .n n n n a b →∞→∞≤(5) 迫敛性定理：设lim lim .n n n n a b a →∞→∞== 数列{}n c 满足：,N n N ∃∀>有 n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim .n n c a →∞=(6) 四则运算法则：lim ,lim ,i)lim();ii)lim ;iii)lim,0,0.n n n n n n n n n n n n n na ab b a b a b a b a b a ab b b b →∞→∞→∞→∞→∞==±=±⋅=⋅=≠≠设则其中(7) 与子列的关系：数列{}n a 收敛⇔数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛. 3. 数列极限存在的条件 递增数列：121n n a a a a +≤≤≤≤； 递减数列：121n n a a a a +≥≥≥≥.(1) 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.(2) 柯西收敛准则：0,,,,||.n m N n m N a a εε∀>∃∃∀>-<（二）函数极限1. 函数极限和非正常极限概念 函数极限定义(通过对比加以理解)：(1) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→+∞=⇔∀>∃>>-<当时恒有(2) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→-∞=⇔∀>∃><--<当时恒有(3) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→∞=⇔∀>∃>>-<当时恒有(4) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<-<当时恒有(5) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε-→=⇔∀>∃>-<-<-<当时恒有 (6) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε+→=⇔∀>∃><-<-<当时恒有 上述左极限0lim ()x x f x -→和右极限0lim ()x x f x +→也可以写成0(0)f x -和0(0)f x +. 定理：000lim ()(0)(0).x x f x A f x f x A →=⇔-=+=非正常极限定义（只列出2个，其余可以类似写出）：(1) 0lim ()x x f x →=-∞00,0,0||,().M x x f x M δδ⇔∀>∃><-<<-当时恒有(2) lim ()x f x →∞=+∞0,0,||,().M k x k f x M ⇔∀>∃>>>当时恒有2. 函数极限的基本性质下面只以0lim ()x x f x →为代表来说明，其余类型极限的性质可以类似写出.(1) 唯一性定理：若0lim ()x x f x →存在,则极限唯一.(2) 局部有界性定理：若0lim ()x x f x →存在，则()f x 在0x 的某个空心邻域00()U x 内有界.(3) 局部保号性定理：若0lim (),x x f x A →=则r A ∀<(或r A >),0,δ∃>当00(,)x U x δ∈时，有()f x r >(或()f x r <).(4)保不等性定理:设0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在，且在某邻域00(;)U x δ内有()(),f xg x ≤则0lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤(5) 迫敛性定理：设00lim ()lim (), x x x x f x g x A →→==且在某邻域00(;)U x δ内有()() ()f x h x g x ≤≤ 则0lim ().x x h x A →=(6) 四则运算法则：lim (),lim (),(1)lim(()());(2)lim ()();()(3)lim,0.()x x x x x x x x x x f x A g x B f x g x A B f x g x A B f x AB g x B→→→→→==±=±⋅=⋅=≠设则其中3.函数极限存在的条件(1) 归结原则（也称为海涅定理）：设()f x 在00(;)U x δ内有定义. 0lim ()x x f x →存在⇔任意含于邻域00(;)U x δ且以0x 为极限的数列{},n x 极限lim ()n n f x →∞存在且相等.(2) 柯西准则：设函数()f x 在邻域00(;')U x δ内有定义. 0lim ()x x f x →存在⇔0,ε∀>∃正数('),δδ<00',''(;),x x U x δ∀∈有|(')('')|.f x f x ε-<4. 两个重要极限(1) 0sin lim1.x xx→=(2) 1lim(1).xx e x→∞+=由归结原则得1lim(1).nn e n→∞+=5. 无穷小量与无穷大量 (1) 无穷小量定义：i) 设函数()f x 在某邻域00(;)U x δ内有定义. 若0lim ()0x x f x →=， 则称()f x 为当0x x →时的无穷小量.ii) 设函数()g x 在某邻域00(;)U x δ内有界，则称()g x 为当0x x →时的有界量.由无穷小量的定义可知，两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．(2) 定理：0lim ()()(),x x f x A f x A x α→=⇔=+其中()x α是当0x x →时的无穷小.(3) 无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢． 若无穷小量f 与g 满足()()lim0x x f x g x →=，则称当0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，g 为f 的低阶无穷小量，记作()()()f x g x ο=（0x x →）．特别，f 为当0x x →时的无穷小量，记作()()1f x ο=（0x x →）．若存在正数K 和L ，使得在某邻域()00U x 上有()()f x K Lg x ≤≤，则称无穷小量f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量．特别当()lim0()x x f x c g x →=≠时，f 与g 必为同阶无穷小量． 若无穷小量f 与g 满足()()f x Lg x ≤，()00x U x ∈，则记作()()()0( ).f x O g x x x =→ 特别，若f 在某()00Ux 内有界，则记为()()1f x O =（0x x →）．甚至当()()()0( )f x o g x x x =→ 时，也有()()()f x O g x =（0x x →）．若无穷小量f 与g 满足()lim1()x x f x g x →=，则称f 与g 为当0x x → 时的等价无穷小量，记作()()~f x g x （0x x →）．应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当0x → 时，1sinx x和2x 都是无穷小量，但它们的比 21sinx x x =11sin x x 或 21sin x x x =1sin x x当0x → 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较． 下述定理表明了等价无穷小量在求极限问题中的作用． 定理： 设函数f ，g ，h 在邻域()00Ux 内有定义，且有()()~f x g x （0x x →）．ⅰ) 若()()0lim x x f x h x A →=，则()()0lim ;x x g x h x A →= ⅱ) 若()()limx x h x B f x →=，则 ()()0lim .x x h x B g x →=(4) 无穷大量定义：对于自变量x 的某种趋向（或n →∞时），所有以∞、+∞或-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称无穷大量．定理：ⅰ)设f 在()00U x 内有定义且不等于0．若f 为当0x x →时的无穷小量，则1f为当0x x →时的无穷大量．ⅱ)若g 为当0x x →时的无穷大量，则1g为当0x x →时的无穷小量． 由上述定理，对无穷大量的讨论可归结为无穷小量的研究．（三）一元函数的连续性1. 函数在点0x 连续的定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若()()00lim ,x x f x f x →= 则称函数()f x 在0x 点连续.若记()()00,x x x y f x f x ∆=-∆=- ，则()()00lim x x f x f x →= 的等价叙述为lim 0x y ∆→∆=，于是函数()f x 在0x 点连续的定义又可以写成:定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若0lim 0x y ∆→∆=,则称()f x 在0x 点连续.改用εσ-语言叙述，则()f x 在0x 点连续可以定义为：定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若对0ε∀>，0δ∃>使得当0x x δ-<时，都有()()0f x f x ε-<， 则称()f x 在0x 点连续.2. 函数在点0x 左、右连续的定义相应于在0x 的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：定义: 设函数()f x 在0x 的某左（右）邻域内有定义. 若()()00lim x x f x f x -→=（或()()00lim x x f x f x +→=）, 则称()f x 在0x 左（或右）连续.定理: 函数()f x 在0x 点连续⇔()f x 在0x 点既左连续又右连续. 与上述定理等价的否定叙述：定理: 函数()f x 在0x 点不连续⇔()f x 在0x 点或不左连续或不右连续. 3. 函数的间断点（不连续点）及其分类 定义：设函数f 在某领域()00Ux 内有定义. 若f 在点0x 无定义，或在点0x 有定义但不连续，则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点.由连续的定义知，函数()f x 在0x 点不连续必出现如下3种情形之一:i ）()0lim x x f x A →=，而f 在点0x 无定义，或有定义但()()00lim x x f x A f x →=≠；ii ） 左、右极限都存在，但不相等； iii ） 左、右极限至少一个不存在.据此，函数()f x 的间断点可作如下分类： i ） 可去间断点若()0lim x x f x A →=（存在），而f 在点0x 无定义，或有定义但()()00lim x x f x A f x →=≠，则称0x 为可去间断点（或可去不连续点）.ii ）跳跃间断点若0)(x x f 在点的左、右极限都存在，但不相等（即0(0)f x +与0(0)f x - 均存在，但00(0)(0)f x f x +≠-），则称0x 为()f x 的跳跃间断点.注：可去间断点与跳跃间断点统称)(x f 的第一类间断点. iii ） 第二类间断点若0(0)f x +与0(0)f x -至少有一个不存在，则称0x 为)(x f 的第二类间断点. 定义: 若函数)(x f 在区间I 上每一点都连续，则称)(x f 为I 上的连续函数. 对于区间端点上的连续性，则按左、右连续来确定.定义: 如果)(x f 在区间[],a b 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数)(x f 在区间[],a b 上按段连续.4. 连续函数的性质局部有界性定理: 若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界. 局部保号性定理: 若函数)(x f 在0x 点连续，且()0f x α>(或()0f x β<)，则对'αα∀<(或'ββ>)，∃某邻域()0,U x 当()0x U x ∈时，有()'f x α>(或()'f x β<).四则运算性质： 若函数()(),f x g x 在区间I 上有定义，且都在0x I ∈连续，则()()()()()(),,f x g x f x g x f x g x ±（()00g x ≠）在0x 点连续.复合函数连续性定理: 若函数()f x 在0x 点连续，()g u 在0u 点连续，()00u f x =，则复合函数()()g f x 在0x 点连续.定义：设()f x 为定义在数集D 上的函数. 若∃0x D ∈，使得对∀x D ∈都有()()0f x f x ≥(或()()0f x f x ≤)，则称在D 上有最大值（或最小值），称0x 为f 在D 上的最大值点（或最小值点），并称()0f x 为f 在D 上的最大值（或最小值）.闭区间上连续函数的基本性质:最大最小值定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有最大值与最小值.有界性推论：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有界. 介值性定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠，μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<）,则在开区间(),a b 内至少存在一点0x ，使得()0.f x μ=根的存在定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则至少存在一点()0,x a b ∈ 使得()00,f x =即()0f x =在(),a b 内至少有一个实根.反函数的连续性定理: 若连续函数()f x 在闭区间[],a b 上严格递增（递减），则其反函数()1f y -在相应的定义域()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦（或()(),f b f a ⎡⎤⎣⎦）上递增（递减）且连续.5. 一致连续性一致连续性定义：设函数()f x 在区间I 上有定义. 若0,ε∀>()0δδε∃=>， 当12,x x I ∈且12x x δ-<时，有()()12,f x f x ε-< 则称()f x 在区间I 上一致连续.注意：这里的δ只与0ε>有关，与(1,2)i x i =的位置无关.区间I 上的连续函数()f x ⇔1,x I ∀∈0,ε∀>()1'',0,x δδε∃=> 当2x I ∈且12'x x δ-<时，有()()12.f x f x ε-< 这就是说，连续函数里的'δ与预先取定的点1x 的位置有关，区间I 上的无穷多个点，对应无穷多个'δ，这无穷多个'δ的下确界可能为零，也可能大于零. 如果这无穷多个'δ的下确界为零，则不存在对I 上所有点都适合的公共()0δδε=>，这时()f x 在I 上连续，但不一致连续；如果这无穷多个'δ的下确界大于零，则必存在对I 上每一点都适用的公共()0δδε=>，如我们可取inf{'},δδ=则对I 上任意两点12,x x I ∈，当12x x δ-<时，便有()()12.f x f x ε-< 这种情况，()f x 在I 上连续就成为一致连续.一致连续性定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续. 定理：一切基本初等函数都是定义域上的连续函数.因为任何一个初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,故任何初等函数都是定义域上的连续函数.（四）多元函数的极限与连续1．点列与二元函数的极限 (1) 点列极限与二重极限设{}n x 是X 轴上的一个点列，{}n y 是Y 轴上的一个点列，则以n x ，n y 为坐标的所有点(){},nnx y 组成平面上的一个点列记作{}nP .又设0P 是平面上的一点，坐标是()00,x y .若0,ε∀>∃正整数N ，当n N >时，有()0,n P P ρε=<，就称{}n P 收敛于0P ，记作0lim .n n P P →∞= 点列收敛的柯西准则：平面点列{}n P 收敛⇔0,0,N ε∀>∃>当N n >时，对一切正整数k ，都有(),.n n k P P ρε+<定义： 设f 为定义在2D R ⊂上的二元函数，0P 为的D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若0,ε∀>∃0,δ> 使得当()D P UP oδ;0∈时，都有(),ε<-A P f 则称f在D 上当0P P →时以A 为极限，记作()0lim .P P P Df P A →∈=在对D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作()0lim .P P f P A →= 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，()0lim P P f P A →=也常写作()0(,)(,)lim ,.x y x y f x y A →=定理：()0lim P P P Df P A →∈=⇔对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有()0lim P P P Ef P A →∈=.推论：i) 设1E D ⊂,0P 是1E 的聚点. 若极限()01lim P P P E f P →∈不存在,则极限()0lim P P P Df P →∈也不存在.ii) 设12,E E D ⊂, 0P 是1E 和2E 的聚点. 若存在极限()011lim P P P E f P A →∈=,()022lim P P P E f P A →∈=, 但12A A ≠, 则极限()0lim P P P Df P →∈不存在.iii) 极限()0lim P P P Df P →∈存在⇔对D 内任一点列{}n P , 0n PP →但0n P P ≠,数列(){}nf P 收敛.定义: 设D 为二元函数f 的定义域，),(000y x P 是D 的一个聚点. 若对0,M ∀>总存在0P 的一个δ邻域()00;U P δ，使得当()()0,;P x y U P D δ∈时,都有()f P M >，则称f 在D 上当0P P →时，存在非正常极限+∞，记作()()()00,,lim,.x y x y f x y →=+∞ 类似定义()()()00,,lim,x y x y f x y →=-∞和()()()00,,lim,.x y x y f x y →=∞(2) 累次极限 在前面研究的极限),(lim),(),(00y x f y x y x →中，两个自变量y x ,同时以任何方式趋于00,,x y这种极限也称为二重极限. 这一段考察x 与y 依一定的先后顺序相继趋于0x 与0y 时f 的极限，这种极限称为累次极限．定义：设,,x y E E R ⊂ 0x 是x E 的聚点，0y 是y E 的聚点，二元函数f 在集合x y D E E =⨯上有定义. 若对每一个0,y y E y y ≠∈，存在极限),,(lim 0y x f xE x x x ∈→由于此极限一般与y 有关，因此记作()),,(lim 0y x f y xE x x x ∈→=ϕ而且进一步存在极限(),lim 0y L yE y y y ϕ∈→=则称此极限为二元函数f 先对()0x x →后对()0y y →的累次极限，并记作 ),(lim lim 00y x f L xy E x x x E y y y ∈→∈→=或简记作).,(lim lim 00y x f L x x y y →→=类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限 ).,(lim lim 00y x f K x x y y →→=注：i) 两个累次极限存在时,可能不相等. 例如:设yx y x y x y x f +++-=22),(，它关于原点的两个累次极限分别为.1)1(lim lim limlim 0202200-=-=-=+++-→→→→y yyy y x y x y x y y x y 与.1)1(lim lim limlim 0202200=+=-=+++-→→→→x xxx y x y x y x x x y x ii) 两个累次极限中的一个存在时,另一个可能不存在.例如函数1(,)sin f x y x y=在点(0,0)的情形.iii) 二重极限存在时,两个累次极限可能不存在（见例题）.iV) 两个累次极限存在(甚至相等)，二重极限可能不存在（见例题）.综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系. 但有以下确定关系： 定理：若二重极限()()()00,,lim,x y x y f x y →和累次极限()00lim lim ,x x y y f x y →→ (或另一次序)都存在, 则二者必相等.推论：i) 二重极限和两个累次极限三者都存在时，三者相等. ii) 两个累次极限存在但不相等时，二重极限不存在. 3. 二元函数的连续性 (1) 连续性概念定义： 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数. 0P D ∈（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点）. 若0,0,εδ∀>∃>只要()，；D P U P δ0∈就有()()ε<-0P f P f ，则称f 关于集合D 在点0P 连续. 在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续.设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量. 和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0lim),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x 时，f 在点0P 连续.如果在全增量中取0=∆x 或0=∆y ，则相应的函数增量称为偏增量，记作 ()00,y x f x ∆()()0000,,y x f y x x f -∆+=， ()00,y x f y ∆()().,,0000y x f y y x f -∆+=一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.若一个偏增量的极限为零，例如()000lim ,0,x x f x y ∆→∆=它表示在f 的两个自变量中，当固定0y y =时，()0,y x f 作为x 的一元函数0x 在连续. 同理，若().0,lim 000=∆→∆y x f y y 则表示一元函数()y x f ,0在0y 连续.容易证明，当f 在其定义域的内点()00,y x 连续时，()0,y x f 在0x 和()y x f ,0在0y 都连续. 但是反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.(2) 连续函数的性质局部保号性定理：若二元函数f 在点()000,y x P 连续，并且存在实数A (或B )使得0()f P A >(或0()f P B <)，则存在0P 的邻域0(;)U P δ，当0(;)P U P δ∈时有()f P A >(或()f P B <).局部有界性定理：若二元函数f 在点()000,y x P 连续，则f 在0P 的某个邻域0(;)U P δ上有界.四则运算性质: 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数. 复合函数的连续性定理：设函数()y x u ,ϕ=和()y x v ,φ=在xy 平面上点()000,y x P 的某邻域内有定义，并在点0P 连续；函数()v u f ,在uv 平面上点()000,v u Q 的某邻域内有定义，并在点0Q 连续，其中()000,y x u ϕ=，()000,y x v φ=.则复合函数()[]),(),,(,y x y x f y x g φϕ=在点0P 也连续．(3) 二元初等函数及其连续性与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.4. 有界闭区域上连续函数的性质(1) 有界性与最值性定理： 若函数f 在有界闭域2R D ⊂上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.(2) 一致连续性： 若函数f 在有界闭域2R D ⊂上连续，则f 在D 上一致连续， 即0,0,εδ∀>∃>使得,,P Q D ∀∈只要(),,P Q ρδ<就有()()ε<-Q f P f .(3) 介值性与零点定理：设函数f 在区域2R D ⊂连续，若21,P P 为D 中任意两点，且()()21P f P f <，则对任何满足不等式()()21P f P f <<μ的实数μ，存在点D P ∈0，使得()μ=0P f .四、基本例题解题点击【例1】按N ε-定义证明!lim0.nn n n →∞=【提示】在用N ε-定义证明极限时,先写出定义,运用放缩法，找到合适的N 即可． 【证明】0,ε∀> 1,N ε∃=当n N >时，有!110.n n n n Nε-≤<= 因此 !lim 0.nn n n →∞= ■【例2】求极限111lim().1223(1)n n n →∞++⋅⋅+【提示】111.(1)1n n n n =-++【解】111lim()1223(1)n n n →∞++⋅⋅+11111lim[(1)()()]2231n n n →∞=-+-++-+ 1lim(1) 1.1n n →∞=-=+ ■【例3】求极限n →∞+【提示】用极限的迫敛性定理.【解21,nn<++<=+且lim1,lim11,n nn →∞→∞===由极限的迫敛性定理，得 1.n →∞+= ■【例4】应用柯西收敛准则，证明数列{}n a 收敛，其中2sin1sin 2sin .222n nna =+++【提示】利用柯西收敛准则和三角函数有界性. 【证明】0ε∀>，21log ,N ε∃=,n m N ∀>> 有()()12sin 1sin 2sin 222n m m m nm m na a ++++-=+++12111111121222212n m m m n m -+++-≤+++=⋅- 11111.122212m mN ε+<⋅=<=-故由柯西收敛准则知数列{}n a 收敛. ■【例5】计算.n nπ【提示】定义函数(),f x nπ= 再用极限四则运算、归结原则和等价无穷小量求解.【解】记函数(),f x xπ=则有sin limlim )0.x x x xxπππ→+∞==故由归结原则得 l i s i n 0.n nπ=■【例6】设()10111011m m m mn n n na x a x a x a f xb x b x b x b ----++++=++++,000,0,a b m n ≠≠≤，求()lim x f x →+∞.【提示】极限的四则运算法则和12lim lim lim 0.n x x x xx x ---→+∞→+∞→+∞====【解】因()10111011lim lim m n m n nm n n x x n na x a x a x f xb b x b x b x -------→+∞→+∞-+++=++++, 12lim lim lim 0,n x x x x x x ---→+∞→+∞→+∞====当m n ≤时,12lim lim lim 0;m n m n n x x x xx x -----→+∞→+∞→+∞====当m n =时，lim 1m nx x-→+∞=； 当m n <时，lim 0.m nx x-→+∞=故由极限的四则运算法则，有()00,;lim 0,.x a m n b f x m n →+∞⎧=⎪=⎨⎪<⎩■【例7】设()()00,lim x x f x f x A →>=.证明limx x →= 其中2n ≥为整数.【提示】当0A =时，直接利用函数极限定义证明.当0A >分子有理化，然后利用放缩法证明.【证明】因为()0f x >，故()0lim 0x x f x A →=≥.若0A =，由()0lim x x f x A →=，则0,0,εδ∀>∃>当00x x δ<-<时，有()().f x A f xε-=<=<即0lim 0x x →==.若0A >，由()0lim x x f x A →=，则0,0,εδ∀>∃>当00x x δ<-<时，有().f x A ε-<从而有2n nA-=++()1.f x A ε<-<故lim x x →=■【例8】求极限0x → 【提示】利用重要极限0sin lim1x xx→=及函数极限的运算法则.【解】 当11x -<<2.2x ==故22002lim lim 1cos 2sin 2x x x x x →→=-⎛⎫⎪⎝⎭222220sin 22lim[]11sin 22x x xx x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⨯=⎛⎫ ⎪⎝⎭ ■【例9】证明：若f在点0x 连续，则f 与2f 也在0x 连续. 又问：若f 或2f 在I 上连续，那么f 在I 上是否必连续？【提示】要证2f 连续，证2ff f =⋅即可，要证f连续，证f =f 或2f 连续不一定有f连续.【证明】由()f x 在0x x =连续，得()()00lim x x f x f x →=，从而()()()()0220lim lim lim ,x x x x x xfx f x f x f x →→→=⋅=再由例7的结论知 ()()00lim lim,x x x x f x f x →→===故f 与2f 也在0x x =连续.构造函数1(0)(),1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 则,x R ∀∈有2()1,()1,f x f x == 即2(),()f x f x 在R 上连续，但()f x 在0x =不连续，故()f x 在R 上不连续. 因此，由f 或2f 在I 上连续不能断定f在I 上连续. ■【例10】 设f 在[],a b 上连续，[]12,,,n x x x a b ∈.证明：存在[],a b ξ∈，使得()()()()121n ff x f x f x n ξ=++⎡⎤⎣⎦.【提示】f 在[],a b 上连续，则存在最大值和最小值，利用连续函数介值性定理. 【证明】设()()()(){}12max ,,,,i n f x f x f x f x =()()()(){}12min ,,.j n f x f x f x f x = 不失一般性，设.i j x x <（1）若()(),i j f x f x =则()()()12n f x f x f x ===，此时有()()()()121,k n f x f x f x f x n=+++⎡⎤⎣⎦ 1,2,,.k n =取k x ξ=即可. （2）若()()i j f x f x ≠，则()()()()()121.j n i f x f x f x f x f x n<+++<⎡⎤⎣⎦由连续函数介值性定理知，[](,),,i j x x a b ξ∃∈⊂使得 ()()()()121.n ff x f x f x n ξ=+++⎡⎤⎣⎦由此本题得证. ■五、扩展例题解题点击【例1】 设1,m a a 为m 个正数. 证明：{}12max ,,.m n a a a =【提示】运用迫敛性定理和1(0).n m =>【证明】设{}12max ,,,m a a a A = 则有A ≤≤因lim ,lim ,n n A A A →∞→∞==故由极限的迫敛性定理，得{}12max ,,.m n a a a =【延伸】：设<<1,2,...)i a M n =0(. 试证明：{}sup .n n na =【提示】：与前面方法类似（运用 1.n =） ■【例2】设数列{}n a 满足：存在正数M ,对一切n 有21321.n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤证明：数列{}n a 与{}n A 都收敛.【提示】利用单调有界原理，柯西收敛准则及绝对值不等式证明.【证明】由,n A M ≤且11n n n n A A a a +--=-≥0,知{}n A 为单调有界数列. 由单调有界原理知{}n A 收敛.因{}n A 收敛，故由柯西收敛准则知，0,0,N ε∀>∃>当n m N ≥>时有.n m A A ε-< 而 ()()()1121n m n n n n m m a a a a a a a a ---+-=-+-++-1121n n n n m m a a a a a a ---+≤-+-++-.n m A A ε=-<由柯西收敛准则知{}n a 收敛，故{}n a 与{}n A 都收敛. ■【例3】设 1.a > 证明：lim 0.an n n a→∞=【提示】令a b =+1,利用二项式定理把分母na 展开，利用放缩法和基本例题中的例6. 【证明】令[]a 表示a 的整数部分，b a =-1,显然>b 0. 故[][]()110.1a a a nn n n n n a a b ++<≤=+ 当[]2n a >+时，()[][]221.na a nbc b +++>因此，[]()[][][]1122<.1a a na a nn n c bb ++++<+0因[][][]122lim 0,a a a n nn c b+++→∞= 故由迫敛性定理知，当1a >时，lim 0.an n n a→∞= ■【例4】计算1lim .xx x +→ （上海大学2001年考研试题） 【提示】先用数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭代替x ，猜测出极限的值，然后考虑用迫敛性定理. 【解】在区间()0,1内，10,xx x << 而0lim 0,x x +→= 故由迫敛性定理知，1lim 0.xx x +→= ■【例5】已知323lim 0.1x x x ax bx c x →+∞⎛⎫++---= ⎪+⎝⎭求,a b 与c 的值.【提示】此题中2ax bx c ++实际上就是331x x x +++的整式部分.【解】因323lim 0,1x x x ax bx c x →+∞⎛⎫++---= ⎪+⎝⎭故 ()()()()()3233223lim 113lim 0213lim 031x x x x x ax bx c x x x c ax b x x x x x b c a x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎛⎫++⎪--= ⎪+⎪⎝⎭⎪⎛⎫++⎪---= ⎪⎨ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎛⎫++⎪---= ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩由(3)与极限四则运算法则，得：()323lim 1.1x x x a x x →+∞++==+把1a =代入(2)，得：()()3333lim lim 1.11x x x x x x b ax x x x x x →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫++++=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭同理，把1,1a b ==-代入(1)，得c =2. ■【例6】设lim n n a A →∞=（或∞+或∞-），则()121limn n a a a A n→∞+++=（或∞+或∞-）.问：反之是否成立？【提示】利用极限定义和绝对值不等式证明.【证明】由极限定义知，1>0,,N N ε+∀∃∈当1n N >时，有,n a A ε-<故当1n N >时，有1212nn a a a a a a nAA nn++++++--=112N a A a A a An-+-++-≤1112N N n a A a A a An++-+-++-+1121.N a A a A a An N nnε-+-++--≤+⋅ 记112N a A a A a A b -+-++-=，因lim0,n bn→∞= 故2N N +∃∈, 当2n N >时有.bnε< 取{}12max ,N N N =, 当n N >时，1212.na a a n Nb A nn nεεεε+++--≤+⋅<+= 因此 ()121lim.n n a a a A n→∞+++=∞+或∞-的情形可类似进行证明.反之，若()121lim n n a a a A n→∞+++=，则不能得出lim n n a A →∞=. 例如，取(1),n n a =-则()121lim0,n n a a a n →∞+++= 而limn n a →∞不存在; 取2121,n a n -≡- 20,n a = 则()121lim ,n n a a a n →∞+++=+∞ 而lim n n a →∞不存在；∞-的情形类似. ■【例7】设函数f 定义在(),a +∞上，f 在每一个有限区间内有界，并满足()()lim 1,x f x f x A →+∞+-= 则()lim.x f x A x→+∞= 【提示】运用极限的定义，由题设条件推出结论成立.【证明】由题设()()lim 1,x f x f x A →+∞+-= 则00,,x a ε∀>∃> 使得当0x x ≥时，有()()()1.1f x f x A ε+--<∀0,x x > 记[]00,,m x x k x x m =-=-- 则1,k ≤<0 于是0,x x m k =++因而有()()()()000f x f x f x k f x k x k m A A A x x m x x -++⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭ ()()()()0002f x f x k f x k x k m A A x m x x -++⎛⎫+≤-++ ⎪⎝⎭. 由(1)式可得()()0f x f x k m A x m -+⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()00111mi f xk i f x k i mA m=≤++-++--∑()()()001111.3m i f x k i f x k i A m m mεε==++-++--<⋅⋅=∑ 又由于()f x 在()0,1a x +上有界，则()0lim 0x f x k x →+∞+=及0lim 0x x kA x→+∞+=，于是1,x a ∃> 使得当1x x >时，有()()00;.4f x k x kA x xεε++<< 取{}01max ,,X x x = 于是当x X >时，由(2)、(3)与(4)便有()3.f x A xεεεε-≤++= 故 ()lim .x f x A x→+∞= ■【例8】设f 为区间I 上的单调函数，证明：若0x I ∈为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点.【提示】利用确界与极限关系，证明f 在0x 的左右极限均存在.【证明】若f 为区间I 上的单调增函数，取()00U ,x I ⊂ 且满足()0012U ,,,x x x x I ∀∈∃∈使得12,x x x <<则f 在()00U x 上为有界函数. 由()()()000U 0inf ,x x f x f x +∈+=()()()000U 0sup ,x x f x f x -∈-= 知道f 在0x 左、右极限均存在. 因此，0x 若为f 的间断点，则0x 必为f 的第一类间断点. 若f 为区间I 上的单调减函数，则令()(),g x f x =-则()g x 为I 上的单调增函数，从而()()()(){}()()000000U U 00inf sup ,x x x x f x g x f x f x ++∈∈+=-+=--= ()()()(){}()()000000U U 00supinf.x x x x f x g x f x f x --∈∈-=--=--=因此，结论也成立. ■【例9】设函数f 为区间I 上满足利谱希茨条件（Lipschitz ），即存在常数0,L >使得对于I 上的任意两点'x 与''x 都有()()''''''.f x f x L x x -≤- 证明：f 在I 上一致连续.【证明】0,ε∀> 取0,δε=> 则''',,x x I ∀∈ 且''',x x δ-< 有()()''''''.f x f x L x x L ε-≤-<故f 在I 上一致连续. ■【例10】设{}n a 是有界数列，且12,n n n a a b ++= 若lim n n b →∞存在，则lim n n a →∞也存在（北京大学2009年考研试题）.【证明】因{}n a 有界，故,M ∃ 使得,n ∀ 有.n a M ≤因lim n n b →∞存在（令其值为b ），故0,,N ε∀>∃ 当n N >时，有,n b b ε-< 即.n b b b εε<<+-因12,n n n a a b ++= 故有12.n n b a a b εε+<+<+-下面用反证法证明11.33n b a b εε<<-2+2 反设1,3n a b ε≥+2 由12n n a a b ε++<+得 1123n b a b εε+⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭+2，即113.3n a b ε+<-因()2112,,n n n a a b b b εε++++=∈+- 故有2123,3n b a b εε+⎛⎫-+> ⎪⎝⎭-即215.3n a b ε+>+依此类推，于是得()22121.3k n k a b ε+>+-因此，当k 充分大时，有2.n k a M +>（例如当21log 12M b k ε⎛+⎫+⎪⎝⎭>时） 这与{}n a 为有界数列矛盾. 于是1.3n a b ε<+2 同理可证1.3n a b ε>-2 因此，0,,N ε∀>∃当n N >时有1.3n a b ε-<2 故{}n a 收敛. ■六、本章训练题提示点评 【训练题1】证明函数()1cosxf x e x=在()01，内非一致连续.（云南大学2004年考研试题） 【提示】利用非一致连续的定义证明. 【证明】0121110,0,,,222x x k k εδπππ∃=>∀>∃==+当正整数k 充分大时有12||x x δ-<（例如当12k δπ>时），故有 12101211coscos 1.xx x e e e x x ε-=≥= 因此，命题成立. ■【训练题2】已知()112,xx x xna a a f x n ⎛⎫+++=⎪⎝⎭其中123,,,n a a a a 为n 个正数.求（1）()0lim x f x →；（2）()lim x f x →+∞与 ()lim .x f x →-∞（2004年云南大学考研试题）【解】（1）因12112200ln ln ln lim lim x x x x xxn n nx x a a a n a a a a a a nx n→→+++-+++=（洛比达法则）()12ln .n a a a n=故()12121200lim lim 1x x x n x x x n a a a nnn xx x x a a a n n x x a a a n f x n +++-+++-→→⎡⎤⎛⎫+++-⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1212120ln limlim x x xx x xn n n x a a a a a a na a a n nxnxnx eee→+++-+++-→====（2）由（1）知x =0是()f x 的可去间断点. 由初等函数在其定义域内的连续性知，()()()()lim ln lim ln lim ,lim ,x x f x f x x x f x e f x e →+∞→-∞→+∞→-∞==而 ()121lim ln lim ln,x xxnx x a a a f x x n →+∞→+∞+++=⋅()121lim ln lim ln .x xx nx x a a a f x x n→-∞→-∞+++=⋅1 若{}max 1,i ia =则当0x >时，12.x xx n a a a n <+++≤1故()lim ln 0,x f x →+∞= 即()lim 1.x f x →+∞=2 若{}min 1,i ia = 则当0x <时，12.x x xn a a a n <+++≤1故()lim ln 0,x f x →-∞= 即()lim 1.x f x →-∞=3 若{}max 1,i i a ≠则12lnx xxna a a n+++为x →+∞时的无穷大量.故由洛比达法则得，12112212ln ln ln 1lim ln lim x xxx x xnn nx x x x x na a a a a a a a a x na a a →+∞→+∞++++++⋅=+++{}()ln max .i ia =因此，(){}lim max .i x if x a →+∞=4 若{}min 1,i i a ≠则12lnx xxna a a n+++为x →-∞时的无穷大量.故由洛比达法则得，12112212ln ln ln 1lim ln lim x xxx x xnn nx x x x x na a a a a a a a a x na a a →-∞→-∞++++++⋅=+++ {}()ln min .i ia =因此，(){}lim min .i x if x a →-∞=综合,2,3,41知，(){}(){}lim max ,lim min .i i x x iif x a f x a →+∞→-∞== ■【训练题3】设()2122lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+是连续函数，求a ,b 的值.(福建师范大学2006年考研试题)【提示】利用极限的四则运算法则和连续函数的定义.【解】当1x >时，()23222111lim;1n n n n a bx x f x x x x--→∞-++==+当1x <时，()2122lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+2;ax bx =+ 当1x =-时，()()111;2f a b -=-+- 当1x =时，()()111.2f a b =++ 因()f x 在1x =处连续，故()()()111,f f f -+==即 ()111;2a b a b +==++ 因()f x 在1x =-处连续，故()()()111,f f f -+-=-=-即()111.2a b a b -=-=-+- 解方程组可得 0a =, 1.b = ■【训练题4】求α和,β 使得当x →+∞时，量.x βα（上海大学2002年考研试题）.【解】0limlim x t x βα+→+∞→+=122lim .t tβα+→-=在右领域()()0;1U δδ+<内，()211,2t t ο=++()211.2t t ο=-+当11,2αβ==-时，lim 1.x →+∞= 即当x →+∞12.x - ■【训练题5】设()f x 在(),a b 上连续，且f 是一对一（即()12,,x x a b ∀∈且12x x ≠时，有()()12f x f x ≠），证明：()f x 在(),a b 上严格单调. 【证明】反证法. 反设()f x 在(),a b 上非严格单调，即()123,,,x x x a b ∃∈且123,x x x <<有()()()()1232,.f x f x f x f x << 或()()()()1232,.f x f x f x f x >>（因f 是一对一，故不能取等号） 若()()()()1232,f x f x f x f x <<成立， 取()()(){}213max ,,2f x f x f x M +=显然()2M f x <且()()13,.M f x M f x >>在[]12,x x 上()f x 连续，由介值性定理知，()412,,x x x ∃∈ 使得()4,f x M =同理()523,,x x x ∃∈ 使得()5.f x M =于是()()45,f x f x = 这与f 在(),a b 上一对一矛盾.因此，当123x x x <<时，()()12f x f x <与()()32f x f x <不能同时成立. 同理可证，当123x x x >>时，()()12f x f x >与()()32f x f x >不能同时成立. 综上所述知，()f x 在(),a b 上严格单调. ■【训练题6】求202cos 2lim.tan sin x x x e x x x→+--（华南理工大学2004年考研试题） 【解】因()()2tan sin tan 1cos 0,2x x x x x x x -=-⋅→ 而()()22232cos 21212.2xx x e x x x x ο⎛⎫+-=++--+ ⎪⎝⎭（由泰勒公式）于是233002cos 2lim lim 2.tan sin 2x x x x e xx x xx →→+-==- ■【训练题7】设11x >>, 11nn na x x x ++=+, 1,2,n =, 试证{}n x 收敛,并求lim n n x →∞, (华南理工大学2004考研试题).【解】 因11x >>, 故2121101a xx x x --=<+, 即21x x <.因121111111a x ax x x +-==+<+=++故21x <<因 222211111a x a x x x +-==+>=++故3x >同理4x <, ,因此得21k x ->, 211,2,)k x k <<=.因213112()012a x x x a x --=<++, 故31x x <.因224222()012a x x x a x --=>++, 故42x x >.因22212121212212()112k k k k k k k a x a x x x x x a x -+---+--=-=+++且21k x ->故有21210k k x x +--<, 即2121k k x x +-<. 同理得222k k x x +>. 因此, 子列{}21k x -单调减小有下界, 故21limk k x -→∞存在, 设极限为1m . 子列{}2k x 单调增加有上界, 故2lim k k x →∞存在, 设极限为2m .对2212121212()12k k k k a x x x a x -+----=++左右两边取极限, 得21m a =. 由极限保号性知1m =. 同理得2m =. 由数学分析第一册(华东师大)第26页例题7知,lim n n x →∞=. ■【训练题8】证明极限111lim 1ln 23n n n →∞⎛⎫++++- ⎪⎝⎭存在. (哈尔滨工业大学2009考研试题). 【证明】 记1111ln 23n a n n =++++-. 则11ln11n n na a n n +-=+++. 因23ln(1)23x x x x -=----, ()[1,1)x ∈-,故2311111ln 112131n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--⋅-⋅-⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因此得10n n a a +-<, 即{}n a 为单调递减数列.由于23ln(1)23x x x x +=-+- ()(1,1]x ∀∈-,故ln(1)x x +<()(1,1]x ∀∈-. 因此得()111ln 11ln 1ln 1ln 1ln 23n a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()ln 2(ln3ln 2)(ln 4ln3)ln 1ln ln n n n =+-+-+++--1ln0n n+=>. 于是{}n a 有下界.综上所述, 知{}n a 为单调递减数列且有下界, 故{}n a 收敛. ■【训练题9】令22(,)xyf x y x y=+，讨论二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →与累次极限00limlim (,)y x f x y →→、00limlim (,)x y f x y →→是否存在.【解】当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时, 由于此时2(,)(,)1mf x y f x mx m ==+, 因而有2(,)(0,0)0lim(,)lim (,)1x y x y mxmf x y f x mx m →→===+.这说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时, 对应的极限值也不同, 因此所讨论的重极限不存在.已经知道(,)(0,0)x y →时f 的重极限不存在. 但当0y ≠时有22lim0x xyx y →=+从而有 2200lim lim0y x xyx y →→=+. 同理可得 2200lim lim0x y xyx y →→=+. ■【训练题10】设11(,)sinsin f x y x y y x=+. 讨论重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →和累次极限。

第二章 极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．第一节 极限的定义教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．一、数列的极限定义 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时)(∞→n ，n x 无限趋近于一个确定的常数A ， 则称A 为数列{}n x 的极限．记作=∞→n n x lim A 或 A x n →（n ∞→）． 亦称数列{}n x 收敛于A ；如果数列{}n x 没有极限，就称数列{}n x 是发散的．数列极限的运算法则为：如果∞→n lim =n x A , ∞→n lim =n y B ，那么 法则1 ∞→n lim (n x ±n y ) ∞→=n lim n x ±∞→n lim =n y A ±B ；法则2 ∞→n lim (nx n y ) ⋅=∞→n n x lim n n y ∞→lim AB =；法则3 ∞→n lim lim n n n Cx C x →∞==CA (C 是常数)； 法则4∞→n lim B A y x y x nn n n n n ==∞→∞→lim lim ()0≠B ． 以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．二、函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f 的极限定义 如果当x 的绝对值无限增大（即∞→x ）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为 A x f x =∞→)(lim 或 当∞→x 时，A x f →)(． 如图1－5（b ）所示, 函数xx f 1)(=当x 的绝对值无限增大时, 函数xx f 1)(=的图象无限接近于x 轴．也就是，当∞→x 时，)(x f 无限地接近于常数零，即01lim=∞→xx ． 在上述定义中，自变量x 的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为+∞→x ），同时也取负值而绝对值无限增大（记为-∞→x ）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义 如果当+∞→x (或-∞→x )时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当+∞→x (或-∞→x )时的极限，记为 lim ()x f x A →+∞=或当x →+∞时，()f x A →； lim ()x f x A →-∞=或当x →-∞时，()f x A →． 由图1－5（b ）可以看出，01lim=+∞→xx 及01lim =-∞→x x ，这两个极限与01lim =∞→x x 相等，都是0．由图1－11（b ）可以看出，2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ．由于当+∞→x 和-∞→x 时，函数x y arctan =不是无限趋近于同一个确定的常数，所以x x arctan lim ∞→不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理： 定理 A x f x =∞→)(lim 的充要条件是： )(lim x f x +∞→A x f x ==-∞→)(lim ．（证明略）2．当0x x →时，函数)(x f 的极限定义 设函数()y f x =在点0x 的某个近旁（点0x 本身可以除外）内有定义，如果当x 趋于0x （但0x x ≠）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f xx =→)(lim 0或 当0x x →时，A x f →)(．例1 考察极限C x x 0lim → (C 为常数)和x xx 0lim →． 解 因为当0x x →时，)(x f 的值恒为C ，所以=→)(lim 0x f x x C C xx =→0lim ． 因为当0x x →时，()x ϕx=的值无限接近于x ，所以lim ()x x x ϕ→=00lim x x xx =→． 3．当0x x →时，)(x f 的左、右极限因为0x x →有左右两种趋势，而当x 仅从某一侧趋于0x 时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义 如果当x 从0x 左侧趋近0x （记为0x x -→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的左极限，记为 0lim ()x x f x A -→=．如果当x 从0x 右侧趋近0x （记为0x x +→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为 0lim ()x x f x A +→=定理 A x f xx =→)(lim 0的充要条件是： 0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==． （证明略）例2 讨论函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩当0→x 时的极限．解 观察图2－1可知：0lim ()x f x -→1)1(lim 0-=-=-→x x ，0lim ()x f x +→1)1(lim 0=+=+→x x ．因此，当0→x 时，)(x f 的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 )(lim 0x f x →不存在． 例3 研究当x →0时, x x f =)(的极限．解 观察图2－2可知：⎩⎨⎧≥<-==0)(x x x x x x f 由于)(lim 0x f x -→0)(lim 0=-=-→x x ,=+→)(lim 0x f x 0lim 0=+→x x ．所以当x 0→时，)(x f 的左, 右极限都存在且相等．由定理2知x →0时, x x f =)(的极限存在，且等于0．三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：1．无穷小量的定义定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小． 如果0lim ()0x x x α→=，则变量()x α是0x x →时的无穷小，如果lim ()0x x β→∞=，则称()x β是x →∞时的无穷小，类似的还有0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞等情形下的无穷小．根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．2．无穷小量的性质定理 有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n →∞时，21n ，22n ，2nn 都是无穷小，但是222212(1)2n n n n n n n +++⋅⋅⋅+=，当n →∞时2(1)122n n n +→，所以不是无穷小．定理 有界函数与无穷小的积为无穷小． （证明略） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）图2－1图2－2推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略） 例4 求极限01lim sin x x x→． 解 因为x 是当0→x 时的无穷小，而x1sin 是一个有界函数，所以1lim sin0x x x→=． 3．函数极限与无穷小的关系 设A x f xx =→)(lim 0，即0x x →时()f x 无限接近于常数A ，有()f x A -就接近于零，即()f x A -是0x x →时的无穷小，若记()()x f x A α=-，于是有 定理 3 （极限与无穷小的关系）A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是()()f x A x α=+，其中()x α是0x x →的无穷小．例如11x x +→当()x →∞时，有111x x x +=+，其中1x就是()x →∞时的无穷小．四、 无穷大量 1．无穷大的定义定义 6 若当0x x →（x →∞）时，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.函数()f x 当0x x →（或x →∞）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为lim ()x x f x →=∞ 或 lim ()x f x →∞=∞． 例如，当0→x 时，x1是一个无穷大，又例如， 当x →+∞时，x e 是一个无穷大．注意，说一个函数()f x 是无穷大，必须指明自变量x 的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．2．无穷大与无穷小的关系我们知道，当2x →时，2x -是无穷小，12x -是无穷大；当x →∞时，x 是无穷大，1x是无穷小．一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 是无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 0≠，则)(1x f 是无穷大． 利用这个关系，可以求一些函数的极限．例5 求极限13lim1-+→x x x ． 解 因为031lim1=+-→x x x ，由无穷大与无穷小的关系，所以∞=-+→13lim 1x x x ．五、无穷小量比较 由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x →时， x 2、2x 、x sin 均为无穷小，而02lim 20=→x x x ，∞=→202lim x x x ，1sin lim 0=→xx x ．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度．一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义 设α和β都是同一过程的两个无穷小量，即lim 0α=，lim 0β=，1．若lim0αβ=，则称α是β的高阶无穷小量；记作()o αβ=，此时也称β是α的低阶无穷小量．2．若lim 0C αβ=≠，则称α与β是同阶的无穷小量．记作()O αβ=．3．若lim 1αβ=，则称α与β是等价无穷小量．记作βα~．例16 当1x →时，比较无穷小1x -与31x -的阶． 解 由于 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 31=-→x x ，且 3111limx x x --→3111lim 21=++=→x x x ， 所以当1x →时，1x -与31x -是同阶无穷小．例17 当0→x 时，证明x cos 1-与22x 等价．解 由于 0)cos 1(lim 0=-→x x ，02lim20=→x x ，且=-→2cos 1lim 20xx x 122sin 2lim 220=→x xx ．所以，当0→x 时，x cos 1-与22x 为等价无穷小．习题训练1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限： （1）21limx x →∞； （2）lim 2x x →-∞； （3）1lim ()10x x →+∞； （4）1lim(2)x x→∞+；（5）2lim(45)x x →-； （6）2lim sin x x π→． 2．设2,1()1,1x x f x x ⎧≥-=⎨<-⎩，作出它的图象，求出当1-→x 时，()f x 的左极限、右极限，并判断当1-→x 时，()f x 的极限是否存在？3．设1()1x f x x -=-，求(10)f -和 (10)f +，并判断()f x 在1→x 时的极限是否存在？4．设21()1x f x x-=-，求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →． 5．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？ （1）31y x = ； （2）211y x=+；（3） ln y x =；（4）y =6．求下列函数的极限：（1） sin limx x x →∞； （2）01lim cos x x x→； （3） 1lim1x xx →-； （4）32222lim (2)x x x x →+-．第二节 极限的运算教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。

第二章第二章 极限与连续极限与连续一、本章提要 1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点，第二类间断点. .2.基本公式 (1) 1sin lim0=®口口口，(2) e )11(lim 0=+®口口口(口代表同一变量代表同一变量).). 3.基本方法⑴ 利用函数的连续性求极限；利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限；利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限；利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限；利用无穷小替换定理求极限；⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求¥¥形式的极限；形式的极限；⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. .4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. .二、要点解析问题1 如果如果如果 A x f x x =®)(lim 0存在，那么函数)(x f 在点0x 处是否一定有定义处是否一定有定义? ?解析 A x f x x =®)(lim 0存在与)(x f 在0x 处是否有定义无关．例如1sin lim0=®xxx ，而)(x f =xx sin 在0=x 处无定义；又如0lim 20=®x x ，而2)(x x f =在0=x 处有定义处有定义..所以，)(lim 0x f x x ®存在，不一定有)(x f 在0x 点有定义点有定义. .问题2 若若A x f x g x x =×®)()(lim 0存在，那么)(lim 0x g x x ®和)(lim 0x f x x ®是否一定存在？是否一定有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®？解析 )(lim 0x g x x x x ®·A x f =)(存在，并不能保证)(lim 0x g x x x x ®与)(lim 0x f x xx x ®均存在均存在..例如0lim 1lim 020==®®x x x x x ，而x x 1lim 0®不存在不存在..又因为只有在)(lim 0x g x x ®与)(lim 0x f x x ®均存在的条件下，才有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®,所以)(lim 0x g x x ®·)(x f 存在，不能保证)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®．问题3 +¥=®xx 1e lim 是否正确，为什么是否正确，为什么? ?解析 不正确不正确..尽管+¥=+®xx 10e lim ，而0e1lim elim e lim 101010===---®-®®xx xx xx .这说明这说明,,0®x 时，x1e 不是无穷大不是无穷大. .三、例题精解 例1 求下列极限求下列极限求下列极限: :(1) ))(cos sin (lim tan 2224πx x x x x ++®；(2) 1)1232(lim +¥®++x x x x ；(3) 3111limxxx --®；(4) )1sin sin (lim 0xx x x x ++®； (5) )2sin(lim x x x -++¥®；(6) xx x x1sin53lim 2-¥®. 解 (1)(1)由于讨论函数由于讨论函数xx x x x f tan222)(cos sin )(++=在4π=x 处有定义，而且在4π=x 处连续，所以有处连续，所以有 ])(cos sin [lim tan 2224πx x x x x ++®4πtan222)4π(cos )4π(sin )4π(++=222)22()22(16π++= 116π2+=． (2)123lim()21x x x x +®¥++1212lim()21x x x x +®¥++=+ 12lim(1)21x x x +®¥=++ （这是¥1型，设法将其化为口口）口（11lim +¥®）11221lim(1)12x x x ++®¥=++2121)2111(lim )2111(lim ++×++=¥®+¥®x x x x x212121)]2111(lim [)2111(lim ++++=¥®+¥®+x x x x x211e ×=e =．(3) 311lim 1x xx®-- （这是（这是00型未定式）23323331(1)(1)1()lim (1)1()(1)x x x x x x x x x ®éù-+++ëû=éù-+++ëû2331(1)1()lim (1)(1)x x x x x x ®éù-++ëû=-+ （分子、分母均含非零因子1-x ） 23311()lim 1x x x x®++=+ 32=． (4))1s i ns i n(l i m 0x x x x x ++®x x x x x x 1sin lim sin lim 00++®®+= 01+=1=．需要注意，01sin lim 0=+®x x x 是由于x 为+®0x 时的无穷小量，x 1sin ≤1，即x 1si n 为有界函数，所以x x1sin为+®0x 时的无穷小时的无穷小.. (5)lim sin(2)x x x ®+¥+-sin lim (2)x x x ®+¥=+- ( (函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换)) (2)(2)sin lim2x x x x x x x®¥+-++=++（分子有理化）2sin lim2x x x®+¥=++0s i n = 0=． (6)235lim1sinx x x x®¥-(35)lim11(sin )x x xx x ®¥-= （适当变形） lim (35)11lim (sin )x x x x x x®¥®¥-= （利用商的极限公式）105lim (3)111lim (sin )x xx x x ®¥®-= （利用重要极限1sin lim 0=®口口口）3=例2 设ïîïíì<+>=,0,,0,1sin )(22x x a x x x x f 问a 为何值时)(lim 0x f x ®存在，并求此极限值存在，并求此极限值. . 解解 对于分段函数，对于分段函数，讨论分段点处的极限讨论分段点处的极限..由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限一般先求它的左、右极限. .01sin lim )(lim 200==++®®xx x f x x ，a x a x f x x =+=--®®)(lim )(lim 20．为使为使)(lim 0x f x ®存在，必须即),(lim )(lim 0x f x f x x -+®®=0=a . 因此，因此，0=a 时，)(lim0x f x ®存在且0)(lim 0=®x f x ． 例3 设ïïîïïíì<--³+=,0,,0,2cos )(x x x a a x x x x f 问当a 为何值时，0=x 是)(x f 的间断点? ? 是什么间断点是什么间断点是什么间断点? ?解0lim ()lim x x a a xf x x--®®--=0()()lim ()x a a x a a x x a a x -®--+-=+- 0lim ()x x x a a x -®=+-01limx a a x -®=+-12a=，212cos lim )(lim 0=+=++®®x x x f x x ，当ax f x f x x 2121)(lim )(lim 0¹¹-+®®，即，亦即1¹a 时，0=x 是)(x f 的间断点；由于a 为大于0的实数，故)0()0(-+f f 与均存在，只是)0()0(-+¹f f ，故0=x 为)(x f 的跳跃间断点的跳跃间断点. .例 4 已知已知 011lim 2=÷÷øöççèæ--++¥®b ax x x x ，求b a ,的值的值. . 解 因为因为 )11(lim 2b ax x x x --++¥®2(1)()1lim1x a x a b x bx ®¥--++-=+0=，由有理函数的极限知，上式成立，必须有2x 和x 的系数等于0,0,即即îíì=+=-01b a a ，于是1,1-==b a .四、练习题⒈ 判断正误⑴ 若函数)(x f 在0x 处极限存在，则)(x f 在0x 处连续处连续. ( . ( . ( ×× ) 解析 函数在一点连续，函数在一点连续，函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．如函数如函数îíì=¹=,0,1,0,)(x x x x f 0lim )(lim 00==®®x x f x x ，即函数)(x f 在0=x 处极限存在；但1)0(0)(lim 0=¹=®f x f x ，所以函数îíì=¹=0,1,0,)(x x x x f 在0=x 处不连续．处不连续． ⑵分段函数必有间断点⑵分段函数必有间断点. ( . ( . ( ×× )解析 分段函数不一定有间断点．如函数îíì<-³=0,,0,)(x x x x x f 是分段函数，()0lim )(lim 0=-=--®®x x f x x ，0lim )(lim 0==++®®x x f x x ，所以0)(lim 0=®x f x ；又因为0)0(=f ，即)0()(lim 0f x f x =®，所以函数)(x f 在0=x 处连续，无间断点．处连续，无间断点．⑶x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小时的等价无穷小. ( . ( . ( √√ ) 解析 13cos 1lim3sin 3tan lim 00==®®xxx x x ，由等价无穷小的定义，x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小．的等价无穷小．⑷无界函数不一定是无穷大量⑷无界函数不一定是无穷大量. ( . ( . ( √√ ) 解析 无穷大必无界，但反之不真．如函数无穷大必无界，但反之不真．如函数x x x f cos )(=，当¥®x 时是无界函数；但若取2ππ2+=n x ，¥®x （¥®n ）时0cos )(==x x x f ，不是无穷大量．，不是无穷大量． 2.选择题⑴下列极限存在的是⑴下列极限存在的是( B ) ( B )(A) xx 4lim ¥®; (B) 131lim 33-+¥®x x x ; (C)x x ln lim 0+®; (D) 11sin lim 1-®x x . 解析 (A)04lim =-¥®x x ，+¥=+¥®x x 4lim ， 所以所以xx 4lim ¥®不存在；不存在；(B)311311lim 131lim 3333=-+=-+¥®¥®x x x x x x ，极限存在；，极限存在；(C)-¥=+®x x ln lim 0，所以x x ln lim 0+®不存在；不存在； (D)1®x 时，01®-x ，¥®-11x ，所以，所以11sinlim 1-®x x 不存在．不存在． ⑵已知615lim =-+¥®x ax x ,则常数=a ( C ).(A) 1(A) 1；； (B) 5 (B) 5 ；； (C) 6 (C) 6 ；； (D) -1.解析611515lim ==-+=-+¥®a xx a x ax x ，所以，所以6=a ． ⑶xx f 12)(=在0=x 处 ( C ).(A) (A) 有定义；有定义；有定义； (B) (B) 极限存在；极限存在；极限存在； (C) (C) 左极限存在；左极限存在；左极限存在； (D) (D) 右极限存在右极限存在右极限存在. . 解析 因xx f 12)(=，在0=x 处无定义，处无定义，02lim )(lim 1==--®®xx x x f ，即xx f 12)(=在0=x 处左极限存在，处左极限存在，+¥==++®®x x x x f 102lim )(lim ，即xx f 12)(=在0=x 处右极限不存在，处右极限不存在，由极限存在的充要条件，可知函数xx f 12)(=在0=x 处的极限不存在．处的极限不存在． ⑷当⑷当+¥<<x 0时，xx f 1)(=( D ).(A) (A)有最大值与最小值有最大值与最小值有最大值与最小值; ; (B)(B)有最大值无最小值有最大值无最小值有最大值无最小值; ;(C)(C)无最大值有最小值无最大值有最小值无最大值有最小值; ; (D)(D)无最大值无最小值无最大值无最小值无最大值无最小值. . 解析 xx f 1)(=在()+¥,0上是连续函数，图形如下：上是连续函数，图形如下：所以当+¥<<x 0时，xx f 1)(=无最大值与最小值．无最大值与最小值． 3.填空题Oyxx1(1) (1)已知已知b a ,为常数，3122lim2=-++¥®x bx ax x ，则=a 0 0 ，，=b 6 6 ；； 解 ¥®x 时极限值存在且值为3，则分子、分母x 的最高次幂应相同，所以0=a ，那么那么 32122lim 122lim 122lim 2==-+=-+=-++¥®¥®¥®b xx b x bx x bx ax x x x ，所以6=b ．(2)23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ；解 由0232³+-x x ，知函数)(x f 的定义区间为(][)¥+¥-,21, ．又因为初等函数在其定义区间上连续，所以23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ．(3)0=x 是xx x f sin )(=的 可去可去可去 间断点间断点间断点; ;解 0=x 时，函数xx x f sin )(=无定义，但1sin lim0=®xxx ，极限存在，所以0=x 是xx x f sin )(=的可去间断点．的可去间断点．(4)(4)若若a x x =¥®)(lim j (a 为常数为常数))，则=j ¥®)(elim x x ae．解 由复合函数求极限的方法，ax x x x e eelim )(lim )(==j j ¥®¥®．4.解答题⑴ qq q q sin cos 1lim 0-®； 解一 qq q q sin cos 1lim 0-®2cos2sin 22sin 2lim 2q q q qq ®=2cos2122sinlim 0qqqq ×=®2cos 21lim 10q q ®×=21=．解二 无穷小量的等价代换，由于无穷小量的等价代换，由于0®q 时，2~cos 1,~sin 2q q q q -，所以所以 q q q q sin cos1lim 0-®q q q q ×=®2lim 2021= ．⑵ 设x x f ln )(=，求，求 1)(lim1-®x x f x ； 解由无穷小量的等价代换，1®x 即01®-x 时，()[]1~11ln ln )(--+==x x x x f ，所以所以 111lim 1ln lim 1)(lim 111=--=-=-®®®x x x x x x f x x x ．⑶ x xx sin e lim -+¥®；解 +¥®x 时，x-e 是无穷小量，x sin 是有界变量．是有界变量． 因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以 0sin e lim =-+¥®x xx ．⑷ 设îíì>-£=,1,56,1,)(x x x x x f 试讨论)(x f 在1=x 处的连续性，写出)(x f 的连续区间；解 1lim )(lim 11==--®®x x f x x ，()156lim )(lim 11=-=++®®x x f x x ，所以1)(lim 1=®x f x ．且1)1(=f ，即)1()(lim 1f x f x =®，所以函数)(x f 在1=x 处连续．处连续．又因为当1£x 时函数x x f =)(连续，当1>x 时函数56)(-=x x f 也连续，也连续，所以函数所以函数)(x f 的连续区间为()¥+¥-,．⑸ 设ïïîïïíì>=<=,0,sin ,0,1,0,e )(xx x x x x f x求)(lim ),(lim 00x f x f x x +-®®,并问)(x f 在0=x 处是否连续；处是否连续；e 1xe 1e 11=--xxe 1e 1e 1111=-=---++xx xxe 1e 11+-=xx 的跳跃间断点．的跳跃间断点． xx 2sin )1ln(lim0+；212lim 2sin )1ln(lim00=+x x x x ．。