第二章极限习题及答案:函数的连续性
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函数的连续性
分段函数的极限和连续性
例 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)
21( 1)1( 21
)10( )(x x x x x f
(1)求)x f (在点1=x 处的左、右极限,函数)x f (在点1=x 处是否有极限? (2)函数)x f (在点1=x 处是否连续? (3)确定函数)x f (的连续区间.
分析:对于函数)x f (在给定点0x 处的连续性,关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ;函数在某一区间上任一点处都连续,则在该区间上连续.
解:(1)1lim )(lim 1
1
==-
-
→→x x f x x
11lim )(lim 1
1
==++→→x x x f
∴1)(lim 1
=→x f x
函数)x f (在点1=x 处有极限. (2))(lim 2
1)1(1
x f f x →≠=
函数)x f (在点1=x 处不连续.
(3)函数)x f (的连续区间是(0,1),(1,2).
说明:不能错误地认为)1(f 存在,则)x f (在1=x 处就连续.求分段函数在分界点0x 的左右极限,一定要注意在分界点左、右的解析式的不同.只有)(lim ),(lim )(lim 0
x f x f x f x x x x x x →→→+
-
=才存在.
函数的图象及连续性
例 已知函数2
4)(2
+-=
x x x f ,
(1)求)x f (的定义域,并作出函数的图象;
(2)求)x f (的不连续点0x ;
(3)对)x f (补充定义,使其是R 上的连续函数.
分析:函数)x f (是一个分式函数,它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围,给函数)x f (补充定义,使其在R 上是连续函数,一般是先求)(lim 0
x f x x →,再让)(lim )(0
0x f x f x x →=即可.
解:(1)当02≠+x 时,有2-≠x . 因此,函数的定义域是()()+∞--∞-,22,
当2≠x 时,.22
4)(2
-=+-=x x x x f
其图象如下图.
(2)由定义域知,函数)x f (的不连续点是20-=x . (3)因为当2≠x 时,2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2
2
-=-=-→-→x x f x x
因此,将)x f (的表达式改写为
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=--≠+-=)2(4)2(2
4
)(2x x x x x f 则函数)x f (在R 上是连续函数.
说明:要作分式函数的图象,首先应对函数式进行化简,再作函数的图象,特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致.
利用函数图象判定方程是否存在实数根
例 利用连续函数的图象特征,判定方程01523
=+-x x 是否存在实数根.
分析:要判定方程0)(=x f 是否有实根,即判定对应的连续函数)(x f y =的图象是否与x 轴有交点,因此只要找到图象上的两点,满足一点在x 轴上方,另一点在x 轴下方即可. 解:设152)(3+-=x x x f ,则)x f (是R 上的连续函数.
又038)3(,1)0(<-=-=f f ,因此在[]0,3-内必存在一点0x ,使0)(0=x f ,所以0x 是方程
01523
=+-x x 的一个实根.
所以方程01523=+-x x 有实数根.
说明:作出函数)(x f y =的图象,看图象是否与x 轴有交点是判别方程0)(=x f 是否有实数根的常用方法,由于函数152)(3+-=x x x f 是三次函数,图象较难作出,因此这种方法对本题不太适用.
函数在区间上的连续性
例 函数2
4)(2
--=
x x x f 在区间(0,2)内是否连续,在区间[]2,0上呢?
分析:开区间内连续是指内部每一点处均连续,闭区间上连续指的是内部点连续,左点处右连续,右端点处左连续.
解:22
4)(2
+=--=
x x x x f (R ∈x 且2≠x )
任取200< 0x f x x x f x x x x =+=+=→→ ∴ )(x f 在(0,2)内连续. 但)(x f 在2=x 处无定义,∴ )(x f 在2=x 处不连续. 从而)(x f 在[]2,0上不连线 说明:区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线. 函数在某一点处的连续性 例 讨论函数)0()11lim ()(+∞<≤⋅+-=∞ →x x x x x f n n n 在1=x 与2 1=x 点处的连续性 分析:分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法,也是一种重要的数学思想. 明确讨论对象,确立分类标准,正确进行分类,以获得阶段性的结论,最后归纳综合得出结果,是分类讨论的实施方法.本题极限式中,若不能对x 以1为标准,分三种情况分别讨论,则无法获得)(x f 的表达式,使解 答搁浅. 讨论)(x f 在1=x 与2 1=x 点处的连续性,若作出)(x f 的图像,则可由图像的直观信息中得出结论,再据 定义进行解析论证. 由于)(x f 的表达式并非显式,所以须先求出)(x f 的解析式,再讨论其连续性,其中极限式中含n x ,故须分类讨论. 解:(1)求)(x f 的表达式: ①当1 x x f n n n n =⋅+-= ⋅+-= ∞ →∞ →0 101lim 1lim 1)( ②当1>x 时,x x x x x x f n n x -=⋅+-=⋅+-=∞→1 01 01)1(1 )1(lim )( ③当1=x 时,01 111lim )(=⋅+-=∞ →x x f n n x ∴⎪⎩ ⎪ ⎨⎧+∞<<-=<≤=x x x x x f 1,1,010,0)( (2)讨论)(x f 在1=x 点处的连续性: 1)(lim )(lim ,1lim )(lim 1 1 1 1 -=-===++→→-→-→x x f x x f x x x x ∴)(lim 1 x f x + →不存在,)(x f 在1=x 点处不连续 (3)讨论)(x f 在2 1=x 点处的连续性: 2 1lim )(lim ,2 1lim )(lim 2 12 12 12 1= == =-+--→ → → → x x f x x f x x x x 2 1lim )(lim ,2 1lim )(lim 2 12 12 12 1= == =-+--→ → → → x x f x x f x x x x ∴)2 1 (21 )(lim 2 1f x f x == → ,)(x f 在21=x 点处连续. 根据函数的连续性确定参数的值