数学分析教案 (华东师大版)第十八章隐函数定理及其应用

《数学分析》考试大纲

一、课程名称：数学分析

二、适用专业: 数学与应用数学

三、考试方法：闭卷考试

四、考试时间：100分钟

五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。

六、参考书目：

1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。

2、中国科学技术大学 常庚哲 史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。

七、考试的基本要求：

数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。

八、考试范围

第一章 实数集与函数

（一）考核内容

实数及其性质,绝对值与不等式。区间与邻域，有界集与确界原理。函数概念,函数的表示法。函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。

（二）考核知识点

1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；

2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；

3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；

4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

（三）考核要求

1、了解实数域及性质；

2、掌握几种不等式及应用；

3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；

4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第二章 数列极限

（一）考核内容

数列。数列极限的定义,无穷小数列。收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。子列及子列定理。数列极限存在的条件：数列极限的单调有界定理、柯西收敛准则。

1 / 8 第十二章 数项级数

1、级数的收敛性

定义1 给定一个数列nu，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

nuuu21 （1）

称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中nu称为数项级数（1）的通项.

数项级数（1）也常写作:1nnu或简单写作nu.

数项级数（1）的前n项之和，记为

nnkknuuuuS211， （2）

称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和.

定义2 若数项级数（1）的部分和数列nS收敛于S（即SSnnlim），则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记作

nuuuS21或nuS.

若nS是发散数列，则称数项级数（1）发散.

定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数N，使得当m>N以及对任意的正整数，都有

pmmmuuu21<. （6）

定理12.2 若级数nu与n都收敛，则对任意常数,,dc级数nndcu亦收敛，且

.nnnnducdcu

定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性. 2 / 8 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。

正向级数

定理12.5 正项级数nu收敛的充要条件：部分和数列nS有界，即存在某个正数M，对一切正整数n有nS

定理12.6（比较原则） 设nu与n是两个正项级数，如果存在某个正数N，对一切n>N都有，nnu，则

（i）若级数n收敛，则级数nu也收敛；

（ii）若级数n发散，则级数n也发散.

第十八章 隐函数定理及其定理

总练习题

1、方程：y2-x2(1-x2)=0在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数y=f(x).

解：由y2=x2(1-x2)知1-x2≥0, ∴|x|≤1; 且

y2=x2(1-x2)≤22221xx=41, ∴|y|≤21.

记F=y2-x2(1-x2), 则F, Fx=2x3-2x(1-x2)=4x3-2x, Fy=2y;

由Fy≠0得y≠0, 即x≠0且x≠±1.

令D={(x,y)||x|≤1,|y|≤21且y≠0 }, 则F在D内每一个邻域内有定义,

且F, Fx, Fy在D上处处连续. 又由F(x,y)=0, Fy≠0知

原方程在D上唯一确定隐函数y=f(x).

2、设函数f(x)在区间(a,b)内连续，函数φ(y)在区间(c,d)内连续，而且φ’(y)>0, 问在怎样条件下，方程φ(y)=f(x)能确定函数y=φ-1(f(x)).

并研究例子(1)siny+shy=x; (2)e-y=-sin2x.

解：记F(x,y)=φ(y)-f(x), 由Fy=φ’(y)>0知, 若f[(a,b)]∩φ[(c,d)]≠Ø,

就存在点(x0,y0), 满足F(x0,y0)=0, 即

可在(x0,y0)附近确定隐函数y=φ-1(f(x)).

(1)设f(x)=x, φ(y)=siny+shy, 由f,φ在R上连续且φ’(y)=cosy+chy>0,

又 f(R)∩φ(R)=R≠Ø, ∴原方程可确定函数y=y(x).

(2)∵f(x)=-sin2x≤0, φ(y)=e-y>0, ∴f(R)∩φ(R)=Ø,

∴原方程不能确定函数y=y(x).

3、设f(x,y,z)=0, z=g(x,y), 试求dxdy,dxdz.

解：对方程组f(x,y,z)=0, z=g(x,y)关于x求导得：

fx+fydxdy+fzdxdz=0, dxdz=gx+gydxdy, 解得：dxdy=-yzyxzxgffgff; dxdz=yzyyxxygffgfgf.

数学分析/第17章隐函数定理及其应用

-1-第十七章隐函数定理及其应用

【教学目的】

1.理解隐函数的概念；掌握隐函数（组）存在和可微性的条件，并能熟练地根据隐函数（组）存在和

可微性的条件判断方程或方程组是否确定隐函数以及确定的隐函数是否具有可微性；掌握隐函数的求导

法，并能熟练地应用隐函数求导法，求隐函数的导数或偏导数。

2.理解反函数组存在的含义，掌握反函数组存在和可微性的条件，并能熟练根据条件判断函数组是否

确定反函数组，以及求反函数组的导数或偏导数。

3.熟练掌握隐函数的求导法在几何方面的应用（如：求平面曲线的切线和法线；求空间曲线的切线和

法平面；求空间曲面的切平面和法线）；

4.理解条件极值的含义，熟练掌握求条件极值的一种适用的方法——拉格朗日乘数法。

【教学重点】

隐函数（组）存在和可微性定理；隐函数的求导法。

【教学难点】

隐函数（组）存在和可微性定理的证明。

【教学时数】10-14学时

数学分析的研究对象是函数。函数的具体表示形式有两种：

一种是显示的算式表示（即通过自变量的具体算式来表示的函数，这样的函数习惯上称

为显函数。例如，初等函数，2

0sindx

ytt

，

2

2

00sinddxy

t

zttet

等。前面，我们所考

虑的具体函数主要是显函数。）

另一种是方程表示（即通过自变量和因变量所满足的方程或方程组来表示的函数，这样

的函数习惯上称为隐函数。本章，我们将主要考虑这类函数。）

关于隐函数的研究主要解决两个问题：

1、隐函数存在的条件和隐函数可微的条件；

2、隐函数的求导法（即如何求隐函数的导数或偏导数）。

针对上面两个问题，本章主要学习以下内容：

1、隐函数的存在和可微性定理，以及隐函数求导法；

数学分析/第17章隐函数定理及其应用

-2-

2、隐函数求导法的应用（包括几何应用：例如，如何求平面曲线的切线和法线，如何求

空间曲线的切线和法平面，如何求空间曲面的切平面和法线；函数的条件极值，例如，如何

求目标函数在约束方程下