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2016年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例习题

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1 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例习题 新人教A版必修1

一、选择题 1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为导学号 22841046( )

A．100 km B．125 km C．150 km D．225 km [答案] C [解析] t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150 km，故选C. 2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝

 4x，1≤x＜10，x∈N*，2x＋10，10≤x＜100，x∈N*，1.5x，x≥100，x∈N*.其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的

面试人数为60，则该公司拟录用人数为导学号 22841047( ) A．15 B．40 C．25 D．130 [答案] C [解析] 令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意：若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为25，故选C. 3．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林导学号 22841048( ) A．14400亩 B．172800亩 C．20736亩 D．17280亩 [答案] D [解析] 设年份为x，造林亩数为y，则y＝10000×(1＋20%)x－1，∴x＝4时，y＝17280， 2

故选D. 4．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是导学号 22841149( ) A．x>22% B．x<22% C．x＝22% D．x的大小由第一年产量确定 [答案] B [解析] 由题意设第一年产量为a，则第三年产量为a(1＋44%)＝a(1＋x)2，∴x＝0.2.故选B. 5．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是导学号 22841049( )

[答案] C [解析] 从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D. 6．(2016·四川理，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是导学号 22841050( ) 3

(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 [答案] B [解析] 设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x

＝200，解得x＝log1.12＝200130＝lg2－lg1.3lg1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年，选B. 二、填空题 7．某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x，则求两次降价的百分率列出的方程为________.导学号 22841051 [答案] 100(1－x)2＝81 [解析] 因为两次降价的百分率相同，故列出的方程为100(1－x)2＝81.

8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010).导学号 22841052 [答案] 4 [解析] 设至少要洗x次，则(1－34)x≤1100，

∴x≥1lg2≈3.322，所以需4次． 三、解答题 9．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指

数函数，并给出下列说法：导学号 22841053

①此指数函数的底数为2； ②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2； ③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月； ④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3； ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的 4

平均速度． 上述哪些说法是正确的？ [解析] ∵关系为指数函数，∴可设y＝ax(a>0且a≠1)． 由图可知2＝a1.∴a＝2，即底数为2， ∴说法①正确；∵25＝32>30，∴说法②正确； ∵指数函数增加速度越来越快，∴说法③不正确； t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，

∴t1＋t2＝t3.∴说法④正确； ∵指数函数增加速度越来越快， ∴说法⑤不正确． 综上，①②④说法正确． 10．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元).导学号 22841054

(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ [解析] (1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元． 由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x. 根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)． g(x)＝2x(x≥0)．

(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝29＝6.∴总利润y＝8.25万元． ②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．

则y＝14(18－x)＋2x，0≤x≤18. 令x＝t，t∈[0,32]， 5

则y＝14(－t2＋8t＋18)＝－14(t－4)2＋172. ∴当t＝4时，ymax＝172＝8.5，此时x＝16,18－x＝2. ∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.

一、选择题 1．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由

红变绿，汽车以1米/秒2的加速度均加速开走，那么导学号 22841055( ) A．人可在7秒内追上汽车 B．人可在10秒内追上汽车 C．人追不上汽车，其间距最少为5米 D．人追不上汽车，其间距最少为7米 [答案] D

[解析] 设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝12t2，车与人的间距d＝(s＋25)－

6t＝12t2－6t＋25＝12(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D. 2．随着我国经济不断发展，人均GDP(国内生产总值)呈高速增长趋势．已知2008年年底我国人均GDP为22640元，如果今后年平均增长率为9%，那么2020年年底我国人均GDP

为导学号 22841056( ) A．22640×1.0912元 B．22640×1.0913元 C．22640×(1＋0.0912)元 D．22640×(1＋0.0913)元 [答案] A [解析] 由于2008年年底人均GDP为22640元，由2008年年底到2020年年底共12年，故2020年年底我国人均GDP为22640×1.0912元． 3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝

 cx，x＜A，

cA，x≥A，

(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产

品用时15 min，那么c和A的值分别是导学号 22841057( ) 6

A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16 [答案] D

[解析] 由题意知，组装第A件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间

为c4＝30，解得c＝60.将c＝60代入cA＝15，得A＝16. 4．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是导学号 22841058( )

[答案] D [解析] 水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D. 二、填空题 5．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正的常数．由放射性元素的这种性质，可以制造出高精度的时钟，用原子数N表示时间t为________.导学号 22841059

[答案] t＝－1λlnNN0 [解析] N＝N0e－λt⇒NN0＝e－λt⇒－λt＝lnNN0⇒t＝－1λlnNN0. 6．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB).导学号 22841060 [答案] 45 [解析] 设过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216⇒n＝15.

故时间为15×3＝45(分钟)．

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人教A版高中数学必修1《第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 习题3.2》_1

人教A版高中数学必修1《第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 习题3.2》_1

3.2 函数模型及其应用[教学目标]1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用．[教学要求]对于函数增长的比较，教科书分了三个层次：首先以实例为载体让学生切实感受不同函数模型间的增长差异，然后采用图、表两种方法比较三个函数（2x y =，x y 2=，x y 2log =）的增长差异，最后将结论推广到一般的指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用4个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在4个例题中，分别介绍了分段函数、指数型函数、二次函数的应用．在例4和例6中还渗透了函数拟合的基本思想．本章安排的实习作业主要是让学生收集现实生活中的一些函数实例，并运用已学习的函数知识解决一些问题，感受函数的广泛应用．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．这是因为函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．同时，这样做还能给学生提供更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并体会数学在实际问题中的应用价值．[教学重点]认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长，应用函数模型解决简单问题．将实际问题转化为数学模型．[教学难点]学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度的认识还很少，因此让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难．如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题是另一个困难．[教学时数]4课时[教学过程]第一课时3.2.1几类不同增长的函数模型（1）新课进展一、实例分析投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．（底数0 a ）例1（课本第95页例1）分析与解：课本第95——96页．关键：阅读、理解、审题重点：让学生体会指数爆炸问：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描述一下三个方案的特点吗？由以上的分析，你认为应当如何做出选择？例2（课本第97页例2）本例将三个函数增长模型同时呈现给学生，主要目的是让学生感受它们增长速度的差异．教学时，除了用函数的图象直观展示这种增长差异外，还可以通过以下的表格让学生从另一个角度去认识．问：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例2的解答吗？本课小结通过师生交流进行小结：确定函数的模型——利用数据表格、函数图象讨论模型——体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．第二课时3.2.1几类不同增长的函数模型（2）新课进展二、三类函数增长差异的比较1．通过图、表比较2x y =，xy 2=两个函数的增长速度．2．探究2x y =，x y 2log =两个函数的增长速度．3．说说函数x y 2=，2x y =，x y 2log =的增长差异．在区间),0(+∞上，总有x x 22log >；当4>x 时，总有22x x >． 所以当4>x 时，总有x x x 22log 2>>．4．一般的，在区间),0(+∞上，尽管函数)1(>=a a y x ，)1(log >=a x y a 和)0(>=n x y n 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个‘档次’上，随着x 的增大，)1(>=a a y x 的增长速度越来越快，会超过并远远大于)0(>=n x y n的增长速度，而)1(log >=a x y a 的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有x n a a x x <<log ． 探究（课本101页）：x y x y y x 2121log ,,)21(===-的衰减情况． 通过观察获得这三个具体的函数的衰减情况，然后得出结论并推广到一般情况：存在一个0x ，当0x x >时，)10,0(log <<<>>a n x a x a x n ．第三课时3.2.2函数模型的应用实例（1）复习导入问：对幂函数、指数函数、对数函数，你是否注意到函数变化的速度有什么不同？ 结合上节课学习内容或者课本进行回答．新课进展一、例题及分析例3（课本第102页例3）本例所涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型．此题的主要意图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．（1）获得路程关于时间变化的函数解析式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=.54,2299)4(6543,2224)3(7532,2134)2(9021,2054)1(8010,200450t t t t t t t t t t s（2）根据解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象．例4（课本第103页例4）本例中，数学模型n e y y 0=是指数型函数模型，它由0y 与r 两个参数决定，而0y 与r 的值不难得到．本题意在让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解释实际问题，并利用模型进行预测，这也是此题的难点．借助计算器做出函数图象，比较与实际的吻合度．课堂练习课本第98页练习第1、2题．布置作业课本第107页习题3.2A 组第1、2、3题第四课时3.2.2函数模型的应用举例（2）新课进展一、例题及分析续例5（课本第104页例5）课本第104页表3-9中数据的变化是有特定规律的，教学时应注意引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型．同时，应注意变量的变化范围，并以此检验结果的合理性．例6（课本第105页例6）只给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．思考：散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．课堂练习课本第106页练习第1、2题．二、例题的回顾与总结4个例题各有特点，例3、5是一类变量之间具有确定关系的问题，根据这个关系就可以建立函数模型解决问题；与例2、5不同的是，例4、6都是需要判断所选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，像例6用“当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样”这句话体现了这点不同；例4、6略有不同的是例4给出了函数模型，例6需要自己根据数据特点选择函数模型，这反映了一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，要让学生逐渐明确和感受这一点．例7 教师用书第107页第4题布置作业课本第107页习题3.2A组第4、5、6题．。

3.2.2函数模型应用实例1

3.2.2函数模型应用实例1


h (t )
1
(t 3 5 0 ) 1 0 0
2
,所以当
t 300
8 7 .5
综上,由 1 0 0 8 7 .5 可知, h ( t ) 在 [0, 3 0 0 ] 上可以取得最大值 100,此时 t =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益 最大.
中学数学网（群英 学科）提供
3.2.2 函数模型的应用实例
第一课时
y kx b(k 0) 直 1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条 ____线，
当________时，一次函数在 ( ,) 上为增函数，当_______时， 一次函数在 (,) 上为减函数。
2
y ax bx c(a 0) 2.二次函数的解析式为_______________________,
v
90 80 70
60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5
解(1)阴影部分的面积为 50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km (2)根据图形可得：
S
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型） 予以解答，求得结果。 第四步：再转译为具体问题作出解答。
实际问题
抽象概括
数学模型 推理 演算
实际问题 的解
还原说明
数学模型的 解
布置作业 1 . (必做)课本第107页 习题1,2
2.（选做）甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查， 提供了两个方面的信息，如下图：
r6≈0.0223, r7≈0.0276, r8≈0.0222, r9≈0.0184. 可得,1951-1959年期间我国人口的平均增长率分为 r ( r1 r2 r9 ) 9 0 .0-1959年期间我国的人口增长模型为 0.0221 t y 55196 e , t N.
3.2.2函数模型应用实例

3.2.2函数模型应用实例


60266
61456
62828
64563
65994
67207
y y0e
n (1)如果以各年人口增长平均值l作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数 据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r 2 ,......,r 9 . 由
y 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口 的年平均增长率。
0
y y0e
n
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／ 万人55196 Nhomakorabea56300
57482
58796
3.2.2 函数模型的应用实例
一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示，
（1）求图1中阴影部 分的面积，并说明所 求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km，试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作 出相应的图象。
由图4可以看出,所 得模型与 1950~1959年的实 际人口数据基本吻 合.
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？
将y=130000代入 y 55196e0.0221t .t N.
由计算可得
t 38.76
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力.
2016-2017学年高中数学人教版必修1课件：3.2.2 函数模型的应用实例

2016-2017学年高中数学人教版必修1课件：3.2.2 函数模型的应用实例

x 1 5 1－ ，所以当x＝15时，y＝8 解析：y＝a· 3
13 100×1－3 ＝
8 8 100× ＝2 400(元)． 27 答案：2 400
4.如图所示，折线是某电信局规定打长途电 话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分) 之间的函数关系图象，根据图象填空： (1)通话2分钟，需付的电话费为________ 元； (2)通话5分钟，需付的电话费为________元； (3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式 为________．
60t，0≤t≤2.5 C．x＝ 150－50t，t>3.5
(
)
60t，0≤t≤2.5 D．x＝150，2.5＜t≤3.5 150－50t－3.5，3.5＜t≤6.5
解析：显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的， 故应分三段表示函数． 答案：D
3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5 1 年计算机的价格降低 ，则现在价格为8 100元的计算机15年后 3 的价格应降为________元．
3．2.2
函数模型的应用实例
[导入新知] 1．常见的函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝ kx (k 为常数，k≠0)； k (2)反比例函数模型：f(x)＝ x (k 为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f(x)＝ kx＋b (k，b 为常数，k≠0)；
2 ax (4)二次函数模型：f(x)＝ ＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)；
a [解] (1)由题意得a(1－p%) ＝ ， 2
10
1 1 即(1－p%) ＝ ，解得p%＝1－2 . 2
10
1 10
2 (2)设经过m年森林面积为 a， 2