2018-2019年高考数学文科总复习课时跟踪检测试卷(1)集合及答案

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邢台模拟)袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件的为()A．{正好2个红球}B．{正好2个黑球}C．{正好2个白球}D．{至少1个红球}解析：袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从中任意摸2个，其基本事件可能是2个红球，2个白球，2个黑球，1红1白，1红1黑，1白1黑．而至少1个红球中包含1红1白，1红1黑，2个红球三个基本事件，故不是基本事件，故选D.答案：D2．(2018届沈阳模拟)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为()A.13 B.14C.15 D.16解析：设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，其情况有：(a1，b1)、(a1，b2)、(a1，b3)、(a2，b1)，(a2，b2)、(a2，b3)、(a3，b1)、(a3，b2)、(a3，b3)，共9种；其中田忌获胜的有三种(a1，b2)、(a1，b3)、(a2，b3)，则田忌获胜的概率为13，故选A.答案：A3．(2017年天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45 B.35C.25 D.15解析：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)，共10种取法，取出的2支彩笔中含有红色彩笔的有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种取法．因此所求概率为410＝2 5.答案：C4．(2017届长沙雅礼中学质检)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是()A.12 B.35C.45 D.710解析：数列的通项公式为a n＝(－2)n－1，数列中的偶数项都为负数，小于8，共有5项，奇数项的第1,3项小于8，故小于8的数有7个．因此概率为P＝710.答案：D5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A.45 B.35C.25 D.15解析：基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为315＝1 5.答案：D6．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A.110 B.18C.16 D.15解析：在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，∴所求概率为315＝1 5.答案：D7．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是()A.12 B.13C.14 D.18解析：易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14.答案：C8．(2017届河南洛阳模拟)如图所示的方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为()A.12 B.14C.34 D.38解析：只考虑A，B两个方格的填法，不考虑大小，A，B两个方格有16种填法，要使填入A方格的数字大于B方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概为616＝3 8.答案：D9．(2018届河南模拟)一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其他都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为________．解析：记1个红球为A,2个白球为B1，B2,2个黑球为C1，C2，从中任取2个的基本事件有10个，分别为(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，其中至少取到1个白球的基本事件有7个，故至少取到1个白球的概率为P＝710.答案：7 1010．(2016年四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是________．解析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则(a，b)的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝212＝16.答案：1 611．(2018届大连模拟)甲、乙两人玩剪子、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是________．(用数字作答)解析：画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P(甲获胜)＝13；P(平局)＝13，玩一局甲不输的概率是23.答案：2 312．移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．解：(1)设事件A为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”，则P(A)＝150＋10050＋150＋100＝5 6.(2)设事件B为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出2人的所有基本事件如下：a1b1, a1b2, a1b3，a1c1, a1c2, b1b2, b1b3，b1c1，b1c2, b2b3, b2c1, b2c2, b3c1, b3c2，c1c2，共15个．其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2.共4个．则P(B)＝415.[能力提升]1．已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23解析：对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a >b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23.答案：D2．(2018届贵州遵义质检)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( )A.518 B.512 C.12D.712解析：解法一：依题意，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n <m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.解法二：依题意可得向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n <m 的向量a ＝(m ，n )有36－62＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.答案：B3．(2018届长沙四校联考)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}．定义映射f ：M →N ，则从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的概率为( )A.332B.532C.316D.14解析：∵集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，∴映射f ：M →N 有43＝64种，∵由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC ，∴f (1)＝f (3)≠f (2)，∵f (1)＝f (3)有4种选择，f (2)有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3, f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的事件有4×3＝12种，∴所求概率为1264＝316.答案：C4．(2018届上海杨浦区一模)抛掷一枚均匀的骰子(刻有1,2,3,4,5,6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，则a ＋b i(i 为虚数单位)是方程x 2－2x ＋c ＝0的根的概率是________．解析：抛掷一枚均匀的骰子(刻有1,2,3,4,5,6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，基本事件总数n ＝6×6×6＝216，∵a ＋b i(i 为虚数单位)是方程x 2－2x ＋c ＝0的根，∴(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋c ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋c －2a ＝0，2ab ＝2b ，∴a ＝1，c ＝b 2＋1，∴a ＋b i(i 为虚数单位)是方程x 2－2x ＋c ＝0的根包含的基本事件为(1,1,2)，(1,2,5)，∴a ＋b i(i 为虚数单位)是方程x 2－2x ＋c ＝0的根的概率是P ＝2216＝1108.答案：1 1085．(2017届广东广州模拟)甲、乙两名骑手骑术相当，他们各自挑选3匹马备用，甲挑选的三匹马分别记为A，B，C.乙挑选的三匹马分别记为A′，B′，C′，已知6匹马按奔跑速度从快到慢的排列顺序依次为：A，A′，B，B′，C′，C.比赛前甲、乙均不知道这个顺序．规定：每人只能骑自己挑选的马进行比赛，且率先到达终点者获胜．(1)若甲、乙两人进行一次比赛，求乙获胜的概率；(2)若甲、乙二人进行三次比赛，且不能重复使用马匹，求乙获胜次数大于甲的概率．解：(1)甲、乙二人选取的马匹共有9种搭配方式，且胜负情况如下表所示：∴乙获胜的概率P＝4 9.(2)根据题意，乙分别骑A′，B′，C′时，甲骑手的马共有6种情况与之对应，如下表所示：2 6＝1 3.∴乙获胜次数多于甲的概率P＝。

课时跟踪检测（十） 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·淮安调研)函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为________． 解析：由3x －1＞0，解得x ＞13，所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞2．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为________． 解析：因为x ≥1，所以log 2x ≥0，所以y ＝2＋log 2x ≥2. 答案：[2，＋∞)3．(2018·启中检测)计算log 23log 34＋(3)log 34＝________.解析：log 23 log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋312log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4.答案：44．已知函数f (x )＝{ log 4x ，x >0， 2－x，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝________. 解析：f (f (－4))＝f (24)＝log 416＝2， 因为log 216<0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 216＝221log 6－＝2log 26＝6， 即f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝2＋6＝8. 答案：85．若函数f (x )＝{ －x ＋6，x ≤2， 3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4. 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a ＞1时，3＋log a x ＞3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1，所以1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，3＋log a x ＜3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]． 答案：(1,2]6．(2018·镇江期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )＜0的解集是________．解析：当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )＜0，即log 2(－x )－1＜0，解得－2＜x ＜0；当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )＜0，即1－log 2x ＜0，解得x ＞2，综上，不等式f (x )＜0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)2．(2018·镇江中学学情调研)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1－a 2x 的定义域是⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则实数a 的值为________．解析：因为函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1－a 2x 的定义域是⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以当x >12时，1－a 2x >0，即a 2x<1，所以a <2x，所以x >log 2a .令log 2a ＝12，得a ＝212＝2，所以实数a 的值为 2.答案： 23．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________． 解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有{ g (1)>0， a ≥1，即{ 2－a >0， a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．答案：[1,2)4．(2018·连云港模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________.解析：因为f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为－1<x <1，所以f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (－a )＝－f (a )＝－12.答案：－125．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0， x 2－5x ＋6x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2且x ≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：(2,3)∪(3,4]6．(2018·苏州调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log ax ＋5，x >2(a >0，且a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，f (x )∈[6，＋∞)，所以当x >2时，f (x )的取值集合A ⊆[6，＋∞)．当0<a <1时，A ＝()－∞，log a 2＋5，不符合题意；当a >1时，A ＝(log a 2＋5，＋∞)，若A ⊆[6，＋∞)，则有log a 2＋5≥6，解得1<a ≤2.答案：(1,2]7．已知函数f (x )＝{ log 2x ，x >0， 3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．函数f (x )＝log 2x ·(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14， 当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2. 由{ 1＋x >0， 3－x >0，得x ∈(－1,3)， 所以函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2(1＋x )(3－x ) ＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是 f (1)＝log 24＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数， 所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1， 解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数， 所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解． 综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1. 答案：⎝⎛⎭⎫13，12．(2018·昆山测试)已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R)．(1)当k ＝0时，求函数f (x )的值域； (2)当k >0时，求函数f (x )的定义域；(3)若函数f (x )在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)当k ＝0时，f (x )＝lg 11－x，定义域为(－∞，1)． 因为函数y ＝11－x(x <1)的值域为(0，＋∞)， 所以f (x )＝lg11－x的值域为R. (2)因为k >0，所以关于x 的不等式kx －1x －1>0⇔(x －1)(kx －1)>0⇔(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1k >0.(*) ①若0<k <1，则1k >1，不等式(*)的解为x <1或x >1k ； ②若k ＝1，则不等式(*)即(x －1)2>0，其解为x ≠1； ③若k >1，则1k <1，不等式(*)的解为x <1k 或x >1.综上，当0<k ≤1时，函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞； 当k >1时，函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，1k ∪(1，＋∞)． (3)令g (x )＝kx －1x －1，则f (x )＝lg g (x )．因为函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数10>1，所以当x ∈[10，＋∞)时，g (x )>0，且函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数． 而g (x )＝kx －1x －1＝k (x －1)＋k －1x －1＝k ＋k －1x －1， 若k －1≥0，则函数g (x )在[10，＋∞)上不是单调增函数； 若k －1<0，则函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数． 所以k <1.①因为函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，所以要使当x ∈[10，＋∞)时，g (x )>0，必须g (10)>0， 即10k －110－1>0，解得k >110.②综合①②知，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫110，1.。

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邢台模拟)袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件的为()A．{正好2个红球}B．{正好2个黑球}C．{正好2个白球}D．{至少1个红球}解析：袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从中任意摸2个，其基本事件可能是2个红球，2个白球，2个黑球，1红1白，1红1黑，1白1黑．而至少1个红球中包含1红1白，1红1黑，2个红球三个基本事件，故不是基本事件，故选D.答案：D2．(2018届沈阳模拟)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为()A.13 B.14C.15 D.16解析：设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，其情况有：(a1，b1)、(a1，b2)、(a1，b3)、(a2，b1)，(a2，b2)、(a2，b3)、(a3，b1)、(a3，b2)、(a3，b3)，共9种；其中田忌获胜的有三种(a1，b2)、(a1，b3)、(a2，b3)，则田忌获胜的概率为13，故选A.答案：A3．(2017年天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45 B.35C.25 D.15解析：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)，共10种取法，取出的2支彩笔中含有红色彩笔的有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种取法．因此所求概率为410＝25.答案：C4．(2017届长沙雅礼中学质检)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是()A.12 B.35C.45 D.710解析：数列的通项公式为a n＝(－2)n－1，数列中的偶数项都为负数，小于8，共有5项，奇数项的第1,3项小于8，故小于8的数有7个．因此概率为P＝710.答案：D5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A.45 B.35C.25 D.15解析：基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为315＝1 5.答案：D6．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A.110B.18C.16D.15解析：在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB 与DE )，共有3种，∴所求概率为315＝15.答案：D7．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使直线OA 的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14.答案：C8．(2017届河南洛阳模拟)如图所示的方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为( )A.12B.14C.34D.38解析：只考虑A ，B 两个方格的填法，不考虑大小，A ，B 两个方格有16种填法，要使填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A 格，小的放入B 格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概为616＝38.答案：D9．(2018届河南模拟)一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其他都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为________．解析：记1个红球为A,2个白球为B1，B2,2个黑球为C1，C2，从中任取2个的基本事件有10个，分别为(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，其中至少取到1个白球的基本事件有7个，故至少取到1个白球的概率为P＝7 10.答案：7 1010．(2016年四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是________．解析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则(a，b)的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝212＝16.答案：1 611．(2018届大连模拟)甲、乙两人玩剪子、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是________．(用数字作答)解析：画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P(甲获胜)＝13；P(平局)＝13，玩一局甲不输的概率是23.答案：2 312．移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．解：(1)设事件A 为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”，则P (A )＝150＋10050＋150＋100＝56. (2)设事件B 为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，从中选出2人的所有基本事件如下：a 1b 1, a 1b 2, a 1b 3，a 1c 1, a 1c 2, b 1b 2, b 1b 3，b 1c 1，b 1c 2, b 2b 3, b 2c 1, b 2c 2, b 3c 1, b 3c 2，c 1c 2，共15个．其中使得事件B 成立的有b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，c 1c 2.共4个． 则P (B )＝415.[能 力 提 升]1．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23解析：对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a >b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23.答案：D2．(2018届贵州遵义质检)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( )A.518 B.512 C.12D.712解析：解法一：依题意，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n <m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.解法二：依题意可得向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n <m 的向量a ＝(m ，n )有36－62＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.答案：B3．(2018届长沙四校联考)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}．定义映射f ：M →N ，则从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的概率为( )A.332B.532C.316D.14解析：∵集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，∴映射f ：M →N 有43＝64种，∵由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC ，∴f (1)＝f (3)≠f (2)，∵f (1)＝f (3)有4种选择，f (2)有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3, f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的事件有4×3＝12种，∴所求概率为1264＝316.答案：C4．(2018届上海杨浦区一模)抛掷一枚均匀的骰子(刻有1,2,3,4,5,6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，则a ＋b i(i 为虚数单位)是方程x 2－2x ＋c ＝0的根的概率是________．解析：抛掷一枚均匀的骰子(刻有1,2,3,4,5,6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，基本事件总数n ＝6×6×6＝216，∵a ＋b i(i 为虚数单位)是方程x 2－2x ＋c＝0的根，∴(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋c ＝0.即⎩⎨⎧a 2－b 2＋c －2a ＝0，2ab ＝2b ，∴a ＝1，c ＝b 2＋1，∴a ＋b i(i 为虚数单位)是方程x 2－2x ＋c ＝0的根包含的基本事件为(1,1,2)，(1,2,5)，∴a ＋b i(i 为虚数单位)是方程x 2－2x ＋c ＝0的根的概率是P ＝2216＝1108.答案：11085．(2017届广东广州模拟)甲、乙两名骑手骑术相当，他们各自挑选3匹马备用，甲挑选的三匹马分别记为A ，B ，C .乙挑选的三匹马分别记为A ′，B ′，C ′，已知6匹马按奔跑速度从快到慢的排列顺序依次为：A ，A ′，B ，B ′，C ′，C .比赛前甲、乙均不知道这个顺序．规定：每人只能骑自己挑选的马进行比赛，且率先到达终点者获胜．(1)若甲、乙两人进行一次比赛，求乙获胜的概率；(2)若甲、乙二人进行三次比赛，且不能重复使用马匹，求乙获胜次数大于甲的概率．解：(1)甲、乙二人选取的马匹共有9种搭配方式，且胜负情况如下表所示：∴乙获胜的概率P＝4 9.(2)根据题意，乙分别骑A′，B′，C′时，甲骑手的马共有6种情况与之对应，如下表所示：∴乙获胜次数多于甲的概率P＝26＝13.。

课时跟踪训练(二)[基础巩固] 一、选择题1．(2017·安徽马鞍山模拟)命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题[解析]原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．故选D.[答案] D2．(2017·河北唐山二模)已知a，b为实数，则“a3<b3”是“2a<2b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]由于函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增，所以a3<b3⇔a<b ⇔2a<2b，即“a3<b3”是“2a<2b”的充要条件．故选C.[答案] C3．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由题意得，直线a和直线b相交⇒平面α和平面β相交，反之，由“平面α和平面β相交”不能推出“直线a 和直线b 相交”，故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A.[答案] A4．(2015·安徽卷)设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] q ：2x >1⇔x >0，且(1,2)(0，＋∞)，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.[答案] A5．已知p ：(a －1)2≤1，q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 由(a －1)2≤1解得0≤a ≤2， ∴p ：0≤a ≤2.当a ＝0时，ax 2－ax ＋1≥0对∀x ∈R 恒成立；当a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4， ∴q ：0≤a ≤4.∴p 是q 成立的充分不必要条件．故选A. [答案] A6．(2018·昆明三中、玉溪一中统考)已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[21，＋∞)B ．[9，＋∞)C ．[19，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤m ＋1，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－21＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－21＋m ≥10解得m ≥9.故选B.[答案] B 二、填空题7．(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．[解析] 要使该命题为假命题，只需证a >b >c 时，a ＋b ≤c (a ，b ，c ∈R )为真命题，所以c <b <a <0.不妨取a ＝－2，b ＝－3，c ＝－4(不唯一)，经检验，符合题意．[答案] －2，－3，－4(答案不唯一)8．(2017·湖北百校联考)命题“若x ≥1，则x 2－4x ＋2≥－1”的否命题为____________________．[解析] 由否命题的定义可知，命题“若x ≥1，则x 2－4x ＋2≥－1”的否命题为“若x <1，则x 2－4x ＋2<－1”．[答案] 若x <1，则x 2－4x ＋2<－19．(2018·河北保定期中)已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．[解析] p ：由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．又q ：x >a ，故a ≥1.[答案] [1，＋∞)10．(2017·山东威海教学质量检测)下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________．[解析] ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的两个三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”，而由ab ≠0可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以②是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°是真命题，故其逆否命题也是真命题．故填②③.[答案] ②③[能力提升]11．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．p 1：1z ＝1a ＋b i ＝a a 2＋b 2－b a 2＋b 2i ∈R ，则b ＝0，∴z ∈R ，是真命题；p 2：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，则2ab ＝0，所以a ＝0或b ＝0.所以z 为实数或纯虚数，是假命题；p 3：设z 1＝－2＋i ，z 2＝2＋i ，则z 1z 2∈R ，但z 1≠z －2，是假命题； p 4：z ∈R ，所以b ＝0，∴z －∈R ，是真命题．故选B. [答案] B12．(2017·河北衡水中学第三次调研)△ABC 中，“角A ，B ，C 成等差数列”是“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由角A ，B ，C 成等差数列，得B ＝π3；由sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ，得sin(A ＋B )＝(3cos A ＋sin A )cos B ，化简得cos A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝0，所以A ＝π2或B ＝π3，所以“角A ，B ，C 成等差数列”是“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”的充分不必要条件，故选A.[答案] A13．(2017·吉林长春一模)设a ，b 都是非零向量，则使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b|且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b[解析] 对于A ，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b|b |；对于B ，当a ＝－b 时，a |a |≠b |b |；对于C ，当a ∥b 时，a |a |与b|b |可能不相等；对于D ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |.综上所述，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b ，选D.[答案] D14．(2017·贵州贵阳月考)以下四个命题中，真命题的个数是( )①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①中，令a ＝2，b ＝－3，则a ＋b <2，故逆命题是假命题；②中，令a ＝b ＝2，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b 成立，故命题②是真命题；③中，根据命题否定的规则，可以判定命题③是真命题；④中，在△ABC 中，A <B ⇔sin A <sin B ，是充要条件，故命题④是假命题．综上，真命题的个数为2.故选C.[答案] C15．设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[解] 设A ＝{x ||4x －3|≤1}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即AB ，∴⎩⎨⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎨⎧a <12，a ＋1≥1，所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. [延伸拓展](2017·湖北荆、荆、襄、宜四地七校联盟联考)已知函数f (x )＝ax 2－4ax －ln x ，则f (x )在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，16B ．a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16D ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[解析] f ′(x )＝2ax －4a －1x ，f (x )在(1,3)上不单调，则f ′(x )＝2ax －4a －1x ＝0在(1,3)上有解．此方程可化为2ax 2－4ax －1＝0，设其解为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2，因此方程的两解不可能都大于1，所以其在(1,3)中只有一解，其充要条件是(2a －4a －1)·(18a －12a －1)<0，解得a <－12或a >16.因此选项D 是满足要求的一个充分不必要条件．故选D.[答案] D。