第3.2.3节随机向量,随机变量的独立性(3)独立性

又 p1( x)
1
( x )2
e 2σ2 , x ;
2 σ
p2
(
y)


1 2b
,
b y b,
0, 其它.
得
p(x,y)
1
2b

1
e ,
(x )2 2σ2
2σ
其中 x , b y b.
当 y b 时, p( x, y) 0.
1
1
1
6
1
2
3
p2 P{Y yj } 1 2
2 1 9

1
9
3
p1 P{X xi }
1
1
18
Hale Waihona Puke 31 3
1 2
18
3
(1)由分布律的性质知 0, 0, 2 1,
3
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
σ1σ2
σ
2 2
0
3. n个随机变量的独立性(集合论观点）
设1,2 ,L ,n为n维随机变量，如果对任意的一维
博雷尔点集A1,A2 ,L ,An ,
P{1 A1 ,2 A2 ,L ,n An } P{1 A1 },L , P{n An }
1,2 ,L
与相互独立 p1( x) p2( y) p( x, y)

1 2πσ1σ2
exp{ 1 2
(x
1 )2
σ12

(
y
2)2
σ22
}

1 2πσ1σ2
1
2
1 ( x
exp{ 2(1 2 ) [
1 )2
σ12

2r( x 1)( y 2 ) ( y 2 )2 ]}
P{1 x1 ,2 x2 ,L ,n xn } P{1 x1 }L P{n xn }
连续型随机变量的独立性表现为
p{ x1 x2 ,L , xn } p1( x1 ) p2 ( x2 )L pn ( xn )
例7:设随机变量( ,)服从二维正态分
布，则与相互独立的充要条件为 0.

1 8, 0,
8 x 12,7 y 9, 其它.
P{ 1 12}
p(x, y) d x d y G
1 (G 的面积 ). 8
y 9
A C
B G
C
B
7
O

8

12 x
而 G的面积 ABC的面积 ABC的面积
1 13 2 1 11 2 1 . 2 12 2 12 6
第3.2节 随机向量,随机变量的 独立性(3) 独立性
一、随机向量及其分布 二、边际分布
三、条件分布
四、随机变量的独立性
四、随机变量的相互独立性
前面介绍过随机事件的独立性的概 念，这一节将利用事件独立性的定义给 出随机变量相互独立的定义。随机变量 的独立性是概率论中的一个重要概念.两 随机变量独立的定义是：
0.3 0.6 0.18,
P{ 1, 2} P{ 1}P{ 2} 0.3 0.6 0.18,
P{ 1, 4} P{ 1}P{ 4} 0.3 0.4 0.12,
P{ 3, 2} P{ 3}P{ 2} 0.7 0.6 0.42,
例4 设两个独立的随机变量 x与h的分布律为
1
3
2
4
P1( xi ) 0.3
0.7 P2( yj ) 0.6
0.4
求随机变量 (x,h)的分布律.
解 因为x与h相互独立, 所以
P{ xi , yj} P{ xi } P{ yj}
于是
P{ 1, 2} P{ 1} P{ 2}
P{1 x1 ,2 x2 ,L ,n xn , } P{1 x1 }L P{n xn , }
则称1,2 ,L
,

相互独立的.
n
对于分布函数而言，独立性表现为
F ( x1 , x2 ,L , xn ) F1( x1 )F2 ( x2 )L Fn ( xn )
离散情形下，独立性表现为
P{ 3, 4} P{ 3}P{ 4} 0.7 0.4 0.28.
因此 ( ,) 的联合分布律为


2
4
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
例5 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率.
F ( x, y) F1( x)F2 ( y)
则(x,h)称相互独立 .
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边际分布函数的乘 积.
若 (x,h)是离散型随机变量 ，则上述独 立性的 定义等价于：
对(x,h)的所有可能取值(xi, yj),有
P( xi , y j ) P( xi )P( y j )
3
9
例2 设(x,h)的概率密度为
p(x,
y)

xe(
x
y)
,
0,
对一切x, y, 均有：
x其p(x它0,,y故y) x与0pXh(独x)立pY ( y)
问x与h是否独立？
解：p1( x)
xe( x y)dy xe x
0
x>0
p2( y)
xe( x y)dx
,

相互独立，
n
证明需要测度论的相关知识，因此从略。
设 为n维随机变量，为m维随机变量, 与 相互独立，则P{ A, B} P{ A}P{ B}
其中A, B分别为任意一个n维及m维博雷尔点集.
1,2 ,L ,n相互独立,则任意r(2 r n)个随机
1. 两个随机变量独立
设 (x,h)是两个随机变量，若对任意 的x,y,有
P ( x, y) P( x)P( y)
则称(x,h)相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即设 (x,h)是两个随机
变量，若对任意的x,y,有
例1 已知 ( , ) 的分布律为
( , ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
p( xi , y j )
1
1
1
1


6 9 18 3
(1) 求与 应满足的条件; (2) 若 与 相互独立,求 与 的值.
解 将 ( , ) 的分布律改写为
则称x和h相互独立.
若 (x,h)是连续型随机变量 ，则上述独 立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有 p( x, y) p1( x) p2 ( y)
几乎处处成立，则称X,Y相互独立 .
其中 p( x, y) 是(x,h)的联合密度， p1( x), p2 ( y) 分别是x的
边缘密度和h的边缘密度 .
解 设 和 分别是负责人和他的秘书到
达办公室的时间, 由假设 和的概率密度分别为
1 4 , 8 x 12,
p1
(
x
)

0,
其它,
p2
(
y
)

1 0,
2
,
7 x 9, 其它,
由于 , 相互独立, 得 ( , ) 的概率密度为
p( x, y) p1( x) p2( y)
0


, 其它

x
,0

y

这两个随机变量是否独立？
如果下面情况呢？
p( x , y )

2

0

4 xy , 0
, 其它

x

1,
0

y

1,
0

x

y

1
2. n个随机变量的独立性
定义3.2.3 设1,2 ,L ,n为n个随机变量，如果对任
意的x1 , x2 ,L , xn成立，
变量也是也是相互独立的。
与相互独立，则 与的子向量也是相互独
立的
设1,2 ,L ,n L 为可列个随机变量，如果任意 对有限个随机变量都相互独立，则称1,2 ,L ,n L
相互独立
0
ey
y >0
即：
p1
(
x
)

xe 0,

x
,
x0 其它
p2
(
y
)

e 0,
y
,
y0 其它
例3 设随机变量和 相互独立,并且 服从 N (, σ2 ), 在 [b, b] 上服从均匀分布, 求 ( , )
的联合概率密度.
解 由于x与h相互独立,
所以 p(x, y) p1(x) p2(y)
y A C C 9 B G
B
7
于是
P{ 1 12}

1 8

(
G
的面积
)

1 48
.
O

8

12 x
因此负责人和他的秘书 到达办公室的时间相差
不超过 5分钟的概率为
1 .
48
例 6(思考)：设两个随机变量的联合密度函数为
p( x , y )