1.4.1-2正余弦函数的图像与性质

1 1.4.1-1.4.2正余弦函数的图像与性质 知识梳理： 函数 xysin xycos

图像 -1

1

-32-2322-2O

y

x -1

1-32-2322-2O

y

x

定义域 值域

最值 当 时，max1y； 当 时，min1y 当 时，max1y； 当 时，min1y 周期性 周期为________ 周期为________ 奇偶性 ______函数 ______函数

单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 在 上单增 在 上单减

对称性

对称轴 x___________ x___________

对称中心

“五点法”做正余弦函数图像： 作正弦函数sin,0,2yxx的图像中，五个关键点是：30,0,(,1),,0,(,1),2,022 作余弦函数cos,0,2yxx的图像中，五个关键点是：30,1,(,0),,1,(,0),2,122 考点一 利用正余弦函数图像解不等式 例1：求下列函数的定义域 （1） lg(sin)yx； （2）2sin1yx； （3）2lg(34sin)yx （4）2cos2yx 2

例2 ：若函数()2sin(2)3fxx，求不等式()1fx的解集 变式：若函数()2sin(2)6fxx，求不等式()3fx的解集 考点二 三角函数的最值与值域 题型一：形如sinyaxb或cosyaxb的函数的最值（值域）问题，利用正余弦函数的有界性求解，当sin1x（或cos1x）时，以上函数取得最值

例3：求下列函数的最值，并写出取相应最值时自变量x的取值集合。 （1）32sinyx ；（2）2sin()4yx； （3）1cos()23xy 变式1：已知函数1()32sin()26fxx，求函数()fx的最大、最小值及取最值时x的取值集合；

变式2：若函数()2cos(2)13fxx，求函数()fx的最大值及取得最大值时的自变量x的取值集合。 题型二：形如sin()yAx或cos()yAx的函数的最值（值域）问题，采用换元法，令tx，注意t的范围，结合sinyAt的图像即可求得值域

例4：（1）函数()sin(2)4fxx在区间0,2上的最小值是（ ）

A、1 B、22 C、22 D、0 （2）函数()2sin(),0963fxxx的最大值与最小值之和为（ ） A、23 B、0 C、1 D、13 变式1：已知函数()2sin(2)3fxx，求()yfx函数在闭区间[0,]2上的最值及取得最值时的自变量x的值。

变式2：已知函数()3sin(2)3fxx，求()yfx函数在区间(0,)2上的值域。

题型三：形如2sinsin0yaxbxca或2coscos0yaxbxca（或可化为此形式）的函数， 3

换元法令sintx或costx，根据题中条件求出t的范围，转化为给定区间的二次函数求解 例5：求下列函数的值域

（1）2cos2sin2yxx； （2）2cossin,,44yxxx

（3）2sincos2,0,2yxxx （4）22cos5sin4,0,yxxx 考点三 正余弦型函数的周期性及其应用 求函数周期的方法： （1）定义法：若对任意的xD，都有()()0fxTfxT，则T即为周期；

（2）公式法：()fx是周期函数，周期为T，则()fx也是周期函数，'TT 对于sinyAx或cosyAx其周期公式为2T （3）观察法：观察函数图像，周期为一个完整图像的宽度 例6：求下列函数的周期 （1）()2sin(2)3fxx； （2）1()cos(2)23fxx （3）()sin()23xfx；

（4）1sin()2xy （5）sinyx （6）3sin(2)6yx 注：sinyx不是周期函数，是偶函数 例7：设()fx是定义域为R，最小正周期为32的函数，若cos,0()2sin,0xxfxxx，则15()4f的值为（ ）

A、1 B、22 C、0 D、22 变式：函数()fx是以4为周期的周期函数，且(),2,2fxxx，则(2015)f

考点四 奇偶性 形如sinyAx的函数是奇函数；形如cosyAx的函数是偶函数

根据诱导公式，函数sin()yAx是奇函数的条件是,kkZ，是偶函数的条件是,2kkZ；函数cos()yAx是奇函数的条件是,2kkZ，是偶函数的条件是,kkZ 4

例8：若函数()sin,0,23xfx是偶函数，则=（ ） A、2 B、23 C、32 D、53

变式1：已知函数2sin(3)4yx是奇函数，则当,22时，= 。 变式2：下列周期为2，且为偶函数的是（ ） A、sin4yx B、1cos4yx C、sin(4)2yx D、1cos()42yx 变式3：函数()sincosfxxx的奇偶性是 。

考点五 正弦、余弦函数的单调区间 正弦函数sinyx在每个闭区间2,2,22kkkZ上都单调增，在每个闭区间32,2,22kkkZ



上都单调减；

余弦函数cosyx在每个闭区间2,2,kkkZ上都单调增，在每个闭区间2,2,kkkZ上都单调减；

例9：求函数1sin()23yx的单调区间。 变式1:求函数1sin(),2,223yxx的单调增区间 变式2：求函数1sin()32yx的单调区间

变式3：若函数sinyx在区间0,3上单调递增，在区间,32上单调递减，则实数等于 。 练习：求下列函数的单调递减区间 （1）2sin()4yx； （2）cos(2),0,3yxx （3）1sin()2xy

考点六 正余弦函数的对称性 正弦型函数sin,yAxxR的对称轴当sin1x时取得，对称轴满足 5

,()2xkkZ，对称中心当sin0x时取得，对称中心的横坐标满足,()xkkZ；

余弦型函数cos,yAxxR的对称轴当cos1x时取得，对称轴满足,()xkkZ，对称中心当cos0x时取得，对称中心的横坐标满足,()2xkkZ。 特别提示：对称中心最后要写成点（坐标）的形式

例10：（1）函数()sin()4fxx的图像的一条对称轴是（ ） A、4 B、2 C、4 D、2 （2）函数cos(2)3yx图像的一个对称中心是（ ）

A、(,0)12 B、(,0)12 C、(,0)6 D、(,0)3 练习题: 1、下列四个函数中，图像关于y轴对称的是（ ）

A、sinyx B、1cosyx C、1sinyx D、cos()2yx 2、下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ） A、cos2yx B、sinyx C、sin(2)2yx D、3cos(2)2yxx 3、下列关系中正确的是（ ） A、sin11cos10sin168ooo B、sin168cos10sin11ooo C、sin11sin168cos10ooo D、sin168sin1110ooocoa 4、函数coscos,0,2yxxx的图像大致是（ ）

5、方程cosxx在,内（ ） A、没有根 B、有且仅有一个根 C、有且仅有两个根 D、有无穷多个根 6

6、在0,2内满足2coscosxx的x的取值范围是（ ） A、3(,)22 B、3,22 C、(0,)2 D、(,2)2 7、在0,2内，使sincosxx成立的x的取值范围是（ ） A、5(,)(,)424 B、(,)4 C、5(,)44 D、53(,)(,)442 8、函数sinyx与cosyx的公共单调增区间是（ ） A、2,22kkkZ B、2,22kkkZ

C、2,22kkkZ D、2,22kkkZ 9、函数2sin(2)3yx的单调减区间是（ ） A、513,1212kkkZ B、5,1212kkkZ C、5132,21212kkkZ D、52,21212kkkZ 10、函数cos(2)3yx的单调增区间是（ ） A、2,2kkkZ B、2,2kkkZ C、,36kkkZ D、2,63kkkZ 11、函数5sin(2)2yx是（ ） A、周期为2的奇函数 B、周期为2的偶函数 C、周期为的奇函数 D、周期为的偶函数 12、函数2177cos()32yx是（ ）

A、周期为3的奇函数 B、周期为3的偶函数 C、周期为43的奇函数 D、周期为43的偶函数 13、定义在R上的函数()fx既是偶函数，又是周期函数，且最小正周期为。当0,2x时，()sinfxx，则5()3f（ ）