2020年广东省梅州市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

第1页（共22页）

2020年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题

1．设集合A={x|x＞3}，B={x|＜0}则A∩B=（ ）

A．φ B．（3，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）

2．若z为复数且z（2﹣i）=3+i，i为虚数单位，则|z|=（ ）

A．2 B． C． D．

3．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

5．如图所示的框图，若输入的n的值为4，则输出的S=（ ）

A．3 B．4 C．﹣1 D．0

6．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）

A．70种 B．80种 C．100种 D．140种

7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的侧面积为（ ） 第2页（共22页）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

8．已知区域D：，则x2+y2的最小值是（ ）

A．5 B．4 C． D．2

9．设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（ ）

A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称

B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称

C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称

D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称

10．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=， =，||=1，||=2，则=（ ）

A． + B． + C． + D． +

11．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（3，2）在抛物线开口内，点P为抛物线上一点，当△APF的周长最小时，△APF的面积为1，则|PF|=（ ）

A．1 B． C．2 D．

12．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实数解时，实数a的取值范围是（ ）

A．（e，4] B．（4，+∞） C．（e，+∞） D．（，4） 第3页（共22页）

二、填空题

13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=

．

14．（x+﹣2）5的展开式中的常数项为 （用数字作答）

15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ．

16．已知函数，如果f（1+a）+f（1﹣a2）＜0，则a的取值范围是 ．

三、解答题

17．已知等差数列{an}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）若S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，求m的值．

18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，底面边长的侧棱长均为2，A1B=．

（1）求证：A1B⊥平面AB1C．

（2）求直线BC1到平面ABB1A1所成角的正弦值．

19．在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）

几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计

男同学 12 4 6 22

女同学 0 8 12 20

合计 12 12 18 42

（Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）

几何类 代数类 总计

男同学 16 6 22

女同学 8 12 20

总计 24 18 42

据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？

（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中． 第4页（共22页）

①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；

②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

参考公式：．

20．在直角坐标系xoy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是．

（Ⅰ）求动点P的轨迹Γ的方程；

（Ⅱ）设曲线Γ上的三点A（x1，y1），B（1，），C（x2，y2）与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

21．已知函数f（x）=lnx，

（1）若a=﹣2时，h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内单调递增，求b的取值范围；

（2）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M，N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求R的横坐标，若不存在，请说明理由．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．

（1）求证：O、B、D、E四点共圆；

（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．

（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；

（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．

第5页（共22页）

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．

（ I）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；

（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．

第6页（共22页）

2020年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题

1．设集合A={x|x＞3}，B={x|＜0}则A∩B=（ ）

A．φ B．（3，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）

【考点】交集及其运算．

【分析】利用交集的定义和不等式的性质求解．

【解答】解：∵集合A={x|x＞3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，

A∩B={x|3＜x＜4}．

故选：B．

2．若z为复数且z（2﹣i）=3+i，i为虚数单位，则|z|=（ ）

A．2 B． C． D．

【考点】复数求模．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】解：z（2﹣i）=3+i，∴z（2﹣i）（2+i）=（3+i）（2+i），

∴5z=5+5i，∴z=1+i．

则|z|=．

故选：B．

3．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．

【分析】由题意看命题“a＞b”与命题“a﹣c＞b﹣d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．

【解答】解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b

但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．

例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．

故选B．

4．若双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【考点】双曲线的简单性质． 第7页（共22页）

【分析】由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，可得a=2b，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到．

【解答】解：∵双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，

∴=，

∴a=2b，

∴c==b，

∴e==．

故选：D．

5．如图所示的框图，若输入的n的值为4，则输出的S=（ ）

A．3 B．4 C．﹣1 D．0

【考点】程序框图．

【分析】由程序框图知，每次进入循环体后，S的值计算公式是S=S+（﹣1）k+1•k，由此得出经过4次运算后输出的S值．

【解答】解：由程序框图知运算规则是计算S的值，当输入n=4时，

第一次进入循环体后S=1+1=2，

第二次进入循环体后S=2﹣2=0，

第三次进入循环体后S=0+3=3，

第四次进入循环体后S=3﹣4=﹣1，

此时k=4，退出循环；

则输出S的值为：﹣1．

故选：C．

第8页（共22页）

6．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）

A．70种 B．80种 C．100种 D．140种

【考点】分步乘法计数原理．

【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．

【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，

两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种

间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，

都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．

故选A

7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的侧面积为（ ）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由已知，得到几何体是半个圆锥，由图形数据，得到底面半径以及高，计算侧面积即可．

【解答】解：由题意，几何体是底面半径为10cm、高为20cm 的半个圆锥，母线长为，

所以其侧面积为

=cm2；

故选C．

8．已知区域D：，则x2+y2的最小值是（ ）

A．5 B．4 C． D．2

【考点】简单线性规划．