误差理论和测量平差 第十二讲

国土信息与测绘工程系 教案（首页） 班级： 课程：误差理论与测量平差 授课日期： 年 月 日 第 周 A.提出问题，导入新课 针对具体问题列出数学模型（函数模型和随机模型），如何解算数学模型，

得到观测量的最佳估值，咋样评定平差的精度？。本章讨论和学习－ 第五章 条件平差

B.授课章节名称： §5.3精度评定 §5.4公式汇编和水准网平差示例 教学要点： 1、条件方程的解算 2、条件方程各种参量的精度估计 重点： 1、条件平差单位权方差的计算 2、L、Lˆ、V、K、W的协因素阵和互协因素阵 难点： 1、单位权方差的推导 2、水准网平差示例 C.教学过程设计 条件平差基础方程复习

条件平差的计算过程复习 Lˆ的协因素阵 V的协因素阵

Lˆ和V的互协因素阵

需要注意的问题 作业题布置

第十二讲 第五章 条件平差 同学们，我们学习了误差理论的基本概念和测量平差的基本原理－最小二乘原理，并知道根据具体的问题如何来建立函数模型（条件平差、间接平差、具有参数的条件平差和附有条件的间接平差等）。 本次课程我们将详细地叙述条件平差的处理。

§3.3 精度评定 在条件平差中，精度评定包括单位权方差的估值公式、平差值函数的协因素和相应中误差的计算公式。为此、还要导出有关向量平差后的协因素阵，或称验后协因素阵。 在一般情况下，观测向量的协方差阵往往是不知道的，为了评定精度，还要利用改正数

（残差）V向量计算单位权方差的估值20ˆ

，然后才能计算所需要的各向量的协方差阵和任

何平差结果的精度。

一、PVVT的计算 二次型PVVT可以利用已经计算出的V和已知的P计算，也可以按照以下公式进行计算。 KNKKAQPQAKKQAPKQAPVVaaTTTTTTT)()( WNWKWKAVKPQAVKQAPVPVVaaTTTTTTTT1)()( 改正数平方和这一二次型函数是测量平差中一个主要的统计量，在误差统计检验和统计分析中常要用到。

二、单位权方差的估值公式

)(111ANAtrANAWNWKWPVVaaTTaaTTaaTTT ，0~0ALA，0WA



20

20

1201201)()(rItrNAQAtrANQAtrANAEtrPVVErraaTaaTaaTTT

这样 tnPVVErPVVETT)()(2

0

其估值公式就是

tnPVVrPVVTT20ˆ

，

tnPVVrPVTT

)ˆ

0

三、协因素阵 在条件平差中，基本向量L、W、K、V、Lˆ，通过平差计算之后，它们都可以表示为观测向量L的函数。设向量 TTLVKWLZ)ˆ(

则Z的协因素阵是





LLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKVKKKWKLLWWVWKWWWLLLLVLKLWLLZZQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆ 实际上LLQ是已知的，下面求ZZQ中的各协因素阵。 LL

0AALW

0111ANALNWNKaaaaaa

011ANQAALNQAKQAVaaTaaTT

011)(ˆANQALANQAIVLLaaTaaT

根据协因素传播定律，可得随机向量L、W、K、V、Lˆ的协因素阵和互协因素阵表达式是： QQLL

TLWQAQ

11)(aaTTaaLKNQAANQQ

VVaaTTaaTLVQAQNQAANQAQQ11)(

VVaaTTaaTLLQQAQNQAQANQAIQQ11ˆ)(

aaTWWNAQAQ)()( INAQAANQAQaaTTaaWK11)()( AQAQNAQAANQAQAQaaTTaaTWV11)()( 0)()()(11ˆAQNAIAQANQAIQAQaaTTaaT

LW

111)()(aaTaaaaKKNANQANQ

AQNAQNAQANANQAQANQaaaaTaaTaaTaaKV11111)()( 0)()()(1111ˆAQNAIAQNANQAIQANQaaTaaTaaTaaLK AQNQAAQNAQANQAANQAQANQAQaaTaaTaaTTaaTaaTVV11111)()( 0)()(11ˆTaaTaaTLVANQAIQANQAQ

VVaaTaaTaaTaaTaaTaaTaaTTaaTaaTLLQQAQNQAQAQNAQANQAAQNQAAQNQAQAQNAIAQNQAQANQAIQANQAIQ111111111ˆˆ))(()()(

将以上结果列于表3-1，以便查询 表5-1：条件平差各随机向量的协因素 L W K V Lˆ

L Q T

QA

1aaT

NQA

VVQ

VVQQ

W aaN

I

AQ 0

K 1aaN AQNaa1 0 V AQNQA

aaT1 0

Lˆ VVQQ

四、平差值函数的协因素 设有平差值函数为

)ˆ,,ˆ,ˆ(ˆ21nLLLf

考虑到LL~，VLLˆ，故有 )(~ˆVLL 则平差值函数的一阶talay展开是 )(~)~,,~,~(ˆ~21iiLinVL

fLLLf

令

LiiLff~~

，TnfffF),,,(21，)~,,~,~(210nLLLf

则有 







VFFLLLfTTn)()~,,~,~(ˆ

21

FQFFQFFQFFQFFFQQQQFFQTVTVTVVTVVVVTT







)(ˆˆ

因为LL~，所以 QQ，VVLVVQQQ

则 FQFFQFQFFQLLTVVTTˆˆˆˆ

或者

)()(1ˆˆˆˆAQFNAQFQFFFQFQaaTTLLT

五、公式汇编 条件平差的函数模型和随机模型是

0WA，)(0AALW

12020PQD

法方程是 0WKNaa，TaaAAPN1

其解为 WNKaa1 改正数方程是 KQAKAPVTT1 观测值的平差值是 VLLˆ

平差值的函数是 )ˆ,,ˆ,ˆ(ˆ21nLLLf 其协因素是 )()(1ˆˆAQFNAQFQFFQaaTT，TnfffF),,,(21，LiiLff~~

单位权方差的估值是

tnPVVrPVVTT20ˆ

，

tnPVrPVTT

))ˆ

0

平差值函数的方差是 )()(ˆ1202ˆAQFNAQFQFFaaTT



【例题1】如图在测站O点等精度观测了4个方向，方向观测值列于下表，又知

04851280AOD是精确值。试以1L、2L、3L为平差元素，顾及相关性，按照条件平

差法求各角的最或然值和精度。 00000001，82533002，03047003，648512804

解：角度1L、2L、3L的观测值是







6181582050408253301100011000110004321TFL





210121012FFFQFQTTLL