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误差理论与测量平差基础
错误理论是测量平差中的重要理论，主要作用是分析测量数据的误差特性，确定数据
的可信性以及求解测量平差参数。
测量平差把原始测量数据通过数学模型进行优化，以消
除测量数据中的误差，得到更靠近实际状况的测量结果，了解测量数据中误差特性，对测
量平差有利也是非常有必要的。
误差理论的研究可以分为两个主要方面：一是潜在误差分析，即测量误差的性质及其
影响；二是测量误差的匹配，即推算出影响测量结果的误差幅度，同时考虑测量误差和设
计误差的叠加效应。
若测量误差在某种程度上已知，为了有效地求解平差过程，相应的应
该选择平差方法，也就是要精确解算测量误差。
因此，利用错误理论，可以分解原始的测量数据，以及测量误差的不同影响因素。
为
复杂的测量问题提出更适当的解法，从而减少测量平差中可能引起的误差，提高测量精度。
此外，错误理论还研究多参数的优化方案，及其偏差的估计，以便于设计更具拟合力的测
量数据优化方案。
误差理论是测量平差基础技术中不可缺少的一环，测量前对误差作出足够重视，测量
过程也应精确，意义重大。
正确掌握误差理论及其应用，对测量精度有非常重要的意义。
误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础引言在现代工程领域中，测量技术扮演了重要的角色。
从航空航天、机电制造、地质探矿、土建工程到工业品质检验，无不需要借助科学的测量方法和仪器设备实现质量控制。
然而，由于各种各样的误差影响测量结果，以及不同种类的测量值必须得到平差处理，所以测量技术的水平不但与测量精度直接相关，而且涉及数据处理的准确性和可靠性，这就必须依赖误差理论、测量平差等基础理论与技术。
一、误差的分类一般地，误差指测量结果与真值之间的差值。
在实际测量中会受到多种误差的影响，可以从不同的角度对误差进行分类。
1. 按照产生原因分类ⅰ.人为误差如主观猜度、读数信号模糊、操作错误等。
ⅱ.仪器误差如仪器精度规定、系统灵敏度、温度、湿度、机械磨损、杂散噪声等。
ⅲ.环境影响如电磁辐射、磁场干扰、大气折射率、风吹雨打、光照变化等。
2.从系统设备模型分类ⅰ.常规误差该类误差是由于测量设备的设计或框架固定导致的。
如仪器设备误差、辅助公差、环量仪误差、补偿和漂移误差等。
常规误差可以在测量前后校正和补偿，通过校准手段，消除了常规误差的影响。
ⅱ.偶然误差偶然误差，是由于测量操作或非控制因素引起的。
如个人读数误差、抖动、瞬时环境修正等。
因为这种误差的出现不能事先预测，也无法校准和补偿，主要采取多次测量和配对测量方法，来降低其影响。
二、测量值的平差原理平差（Adjustment）即按照特定条件对各个测量结果进行修正，使其满足特定准则的过程。
该过程可以消除任何类别的误差，不同平差方法所制定的平差原则在基本假设和方法运作上存在不同。
平差的目的是在满足精度要求的情况下，将各个测量值之间保持合适关系，或将测量值与真值接近（最小二乘法）。
测量平差分为绝对平差和相对平差，其中绝对平差侧重于改正单个点的误差，而相对平差则侧重于改正一组数据测量中产生的各种误差。
1.多项式平差多项式平差是一种对多项式函数进行拟合的方法，常用于测量数据处理的多项式平滑，通常被用于地理信息系统中的地图校正。
学习指南本课程是基础理论课，概念多、公式多、符号多、计算多。
要学好这门课，希望注意以下几点：1、按照教材内容，循序渐进；2、课前预习，课后复习；3、每一章做好小结，课后应按要求完成习题；4、对于五种平差方法，要理解原理，不要孤立地看，要联系起来，找它们的共同点。
所研究的“抓住一个字母，掌握两个步骤”的学习方法可供大家研究。
所谓“一个字母”指的是参数的个数“u”，正因为它的变化，才产生了不同的平差函数模型。
“两个步骤”指的是每种平差方法都分两步进行，一步是求参数、观测值的估值，一步是精度评定。
几种平差方法都是这样，思路一致，方法一致。
这样思考，使平差方法之间的联系非常清楚。
第一章绪论§1-1 观测误差内容：观测误差来源、分类、观测条件重点：观测误差的性质及分类主要掌握一些概念。
§1-2 测量平差学科的研究对象内容：测量平差的研究对象主要对测量平差的研究对象—偶然误差有清楚的认识。
§1-3 测量平差的简史和发展内容：测量平差理论、计算方法、计算工具的历史与发展重点：测量平差理论的发展主要对测量平差的发展有个概括的认识。
§1-4 本课程的任务和内容内容：本课程的研究对象和主要内容重点：主要内容主要对所学习的内容有个简洁的了解。
第二章误差分布与精度指标§2-1 随机变量的数字特征内容：随机变量的数学期望、方差、协方差及相关系数的定义随机向量的数学期望、方差-协方差阵重点：数学期望、方差的定义与运算规则要求熟知数学期望和方差的运算规则。
§2-2 正态分布内容：一维、多维正态分布重点：一维正态分布、正态随机变量的期望与方差要求能够理解密度函数的概念和其中参数的意义。
§2-3 偶然误差的规律性内容：偶然误差的规律重点：偶然误差的特性要求熟知偶然误差的特性§2-4 衡量精度的指标内容：中误差、平均误差、或然误差、极限误差及相对误差的概念与定义重点：中误差、极限误差及相对误差的定义要求熟知中误差、极限误差及相对误差的定义和计算。
《误差理论与测量平差基础》实习报告王驩裕1420501201420050135东华理工大学测绘学院测量系水准网间接平差function [V,ZL,SIGMA1,SIGMA2,SIGMA3]=math(B,s,l,L,r)P=diag(1./s);NBB=B'*P*B;W=B'*P*l;x=inv(NBB)*W;V=B*x-l;ZL=L+V;SIGMA=sqrt(V'*P*V/r);E=inv(NBB);SIGMA1=SIGMA*sqrt(E(1));SIGMA2=SIGMA*sqrt(E(2,2));D=B*E*B';SIGMA3=SIGMA*sqrt(D(5,5));end导线网间接平差1.按间接平差法完成一导线网的平差计算。
function [ZX,v,J,H]=nc(s,X,l,beta)L=dms2degrees(beta);alpha0=dms2degrees([226 44 59]);alpha1=alpha0+L(1)-180;alpha2=alpha1+L(2)-180;alpha3=alpha2+L(3)-180;alpha4=alpha3+L(4)-180;alpha=[alpha1;alpha2;alpha3];e=alpha;c=180*3600*sind(e)/(pi*100);d=-180*3600*cosd(e)/(pi*100);a=c./s;b=d./s;f=cosd(e);g=sind(e);B=[a(1) b(1) 0 0;a(2) b(2) -a(1) -b(1);a(3) b(3) -a(2) -b(2);0 0 -a(3) -b(3);f(1) g(1) 0 0;-f(1) -g(1) f(2) g(2);0 0 -f(3) -g(3)]; P1=diag([1 1 1 1]);SIGMA0=5;SIGMAS=0.5*sqrt(s);D=1./SIGMAS;T=(SIGMA0*D).^2;P2=diag(T);P=blkdiag(P1,P2);NBB=B'*P*B;W=B'*P*l;x=inv(NBB)*W;ZX=X+x;v=B*x-l;ZL=[L;s]+v/3600;J=degrees2dms(ZL(1:4,:));H=ZL(5:7,:);end2.求各导线点的坐标平差值极其点位中误差。
第一章绪论
1、误差理论与测量平差基础是一门专业、基础、理论、核心课程。
2、测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其他实体的空间分布有关信息的数据。
3、任何观测数据总是包含信息和干扰两部分（有效信息和干扰信息）。
采集数据就是为了获取有用的信息，干扰也称为误差。
4、观测数据总是不可避免带有误差。
5、误差即测量值与真值之差。
6、当对某个量进行重复观测时就会发现，这些观测值之间往往存在差异，这是由于观测值中包含有观测误差。
7、误差来源于观测条件，观测条件包括测量仪器、观测者、外界条件。
8、偶然误差即总是假定含粗差的观测值已被剔除；含系统误差的观测值已经过适当改正。
在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。
9、在测量中产生误差是不可避免的。
10、根据观测误差对测量结果的影响性质，可分为偶然误差（Δ）、系统误差和粗差（）
三类。
【】
11、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而然，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
（如估读不准确）
12、系统误差包括常差、规律差、随机性系统误差。
13、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在个过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。
（如视准轴与水准管轴不平行、仪器下沉、水准尺下沉、水准尺竖立不垂直）
14、系统误差的存在必然影响观测结果，具有一定的累加性，是影响巨大的。
15、粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所能出现的最大误差还要大的误差。
（误差=错误，消除粗差的方法：多余观测进行发现、剔除粗差。
测量数据中一旦发现粗差，需要舍弃或重测）
16、属于经典测量平差范畴。
17、如何处理由于多余观测引起观测值之间的不符值或闭合差，求出未知量的最佳估值并评定结果的精度是测量平差的基本任务（研究路线）。
18、偶然误差概率统计理论包括偶然误差的分布、评定精度的指标、误差的传播规律、误差检验和误差分析等。
19、测量平差的基本定义是依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。
20、测量平差即测量数据调整的意思。
21、P10 公式2-2-5
22、方差和协方差数字特征
23、测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最佳估值，并评定测量成果的精度。
24、正态分布中没有一个比其他的变量占有绝对优势
25、当观测量仅含有偶然误差时，其数学期望也就是它的真值，真误差=真值—观测值=期望
—观测值。
26、真误差恒为正值。
27、任何分布均以正态为基础。
28、P11 式2-3-3中Δ仅仅是指偶然误差。
29、就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性），但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。
30、在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。
31、误差的分布情况具有以下性质：
（1）误差的绝对值有一定的限值；
（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多；
（3）绝对值相等的正负误差的个数相近。
32、误差分布直方图中所有面积之和等于1，即正态分布的归一性。
33、在相同观测条件下所得到的一组独立的观测误差，只要误差的总个数n足够大，那么出现在各区间内的误差的频率就会稳定在某一常数（理论频率）附近。
34、随着观测的个数愈来愈多，误差出现在各区间内的频率及其变动的幅度也就愈来愈小。
35、当n→∞时，各频率也就趋于一个完全确定的数值。
36、偶然误差的特性：
（1）在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；（界限性）
（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；（聚中性）
（3）绝地质相等的正负误差出现的概率相同；（对称性）
（4）偶然误差的数学期望为零。
（均值为0性）
37、精度只和离散度有关。
38、E（Δ）=0 Δ～N（0，）
39、分布密集→离散度小→观测质量较好→观测精度较高；分布离散→离散度大→观测重量较差→观测精度较低
40、精度，就是指误差分布的密集或离散的程度，是指观测结果与其数学期望的接近程度，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的高低。
41、在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。
42、准确度是描述系统误差和粗差。
43、精确度是全面衡量指标，包含精度和准确度。
44、精确度的衡量指标为均方误差。
45、方差和中误差中σ恒取正号。
46、不同的σ将对应着不同形状的分布曲线，σ愈小，曲线愈为陡峭，σ愈大，则曲线愈为平缓。
47、在测量中方差和中误差均为估值。
48、平均误差θσ或然误差ρσ
49、极限误差P19 式2-4-15，式中右端的概率称为置信概率
50、绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅有0.3%，这已经是概率接近于零的小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。
因此，通常以二倍或三倍中误差作为偶然误差
的极限值=3σ或2σ
51、相对误差（相似于比例尺）用分之1表示。
52、真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。
53、协方差是其真误差所有可能取值的乘积的理论平均值。
当协方差为零时，表示着两个观测值的误差互补相关；当协方差不等于零时，则表示它们的误差是相关的。
54、不相关与立是等价的。
55、一组：等精度观测是方差的充分必要条件。
56、若互协方差=0，则称X与Y是相互独立的观测向量。
57、一个事实：不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。
58、基本假设：在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。
换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。
59、统计规律：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现概率为0；绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；偶然误差的理论平均值为零。
