第二章 逻辑代数基础

A BC A BC
A BC A BC
ABC ABC
ABC ABC
最小项(续)
对任意最小项，只有一组变量取值使它的值 为1，其他取值使该最小项为0 为方便起见，将最小项表示为mi n=3的8个最小项为：
m0 ABC m ABC m ABC m ABC 1 2 3 m ABC m ABC m ABC m ABC 4 5 6 7
第二章
逻辑代数基础
2.1 逻辑代数的基本概念 2.2逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换 2.4逻辑函数的化简 （重点）
2.1 逻辑代数的基本概念
逻辑代数：二进制运算的基础。 应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家布 尔(Boole)和德.摩根于1847年提出，又叫布尔代数， 开关代数。 逻辑值：0或1。 逻辑变量：用字母表示，取值为逻辑值。 逻辑代数的基本运算：与、或、非 (1) “与”运算，逻辑乘 (2) “或”运算，逻辑加 (3) “非”运算，取反
∑m(0,1,2,3,4,5,6,7)=1
最小项(续)



任何逻辑函数均可表示为唯一的一组最小项之 和的形式，称为标准的与或表达式 某一最小项不是包含在F的原函数中，就是包 含在F的反函数中 例：F AB BC ABC
AB(C C ) ( A A) BC ABC ABC ABC ABC ABC m3 m2 m7 m4 m(2,3,4,7)
A、B是输入，F是输出
1+0=1
A +U B
1+1=1
A 0 1 0 1
B 0 0 1 1
F 0 1 1 1
F
逻辑代数的基本运算（续）

优点：直观明了，便于将实际逻 1 1 0 1 辑问题抽象成数学表达式。 1 1 1 1
缺点：难以用公式和定理进行运
算和变换；变量较多时， 列函数真值表较繁琐。
数字电路 第2章
二、逻辑表达式
Y AB BC CA
优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运 算、变换。
缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取 值看出函数的值。
数字电路 第2章
六、各种表示方法间的相互转换
1、真值表
逻辑函数式
2、逻辑图
逻辑函数式
3、真值表
波形图
1、真值表
逻辑函数式
数字电路 第2章
例2.5.1 从真值表得到逻辑函数式
AB C Y 00 0 0
步骤： ①找出输出为1的项
00 1 0
②每个项对应一个与项
01 0 0
•输入取值：1—原变量
2、功能
当A＝B＝C时，输出为1， 否则为0；但不是同或功 能。
同或与异或的关系
数字电路 第2章
1、互为反运算 A＋B= (A⊙B)’ ( A＋B )’ =A⊙B
2、异或的特殊运算 A1 A' A 0 A A A' 1 A A 0
3、其他的关系
(1) 交换律 A B B A
(2) 结合律 (3) 分配律
D
C
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也 相等。利用对偶规则，可以使要证明及要记忆的公式数目减少一 半。
数字电路 第2章
2.5 逻辑函数及其表示方法
2.5.1 逻辑函数 2.5.2 逻辑函数的表示方法 2.5.3 逻辑函数的两种标准形式 2.5.4 逻辑函数形式的变换
数字电路 第2章

（15）
五、德 摩根定理(反演律）：表中8，18 （De Morgan) 证明： 1 AB A B 真值表法、 穷举法 2 A B AB
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非 与）运算。
（3）
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
基本逻辑运算：与 ( and )、或 (or ) 、 非 ( not )。 一、“与”逻辑 与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都 具备，事件才会发生（成立）。 规定:
A
E
B
C Y
开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0”
灯亮为逻辑“1”
灯灭为逻辑“0”
（4）
A(BC) A(BC) A B C
注：代入定理还可以扩展其他基本定律 的应用范围！
（23）
2.4.2 反演定理
内容：将函数式F中所有的 + + (反函数) 新表达式： F
变量与常数均取反 显然： F F 规则: 1.遵循先括号 再乘法 后加法的运算顺序。 2.不是一个变量上的反号不动。 用处：实现互补运算（求反运算）。

（29）
2.5.2 逻辑函数的表示方法
真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。
四 种 表 示 方 法 n个输入变量
2 种组合。
n
逻辑函数式 (逻辑表示式, 逻辑代数式)
Y AB AB
逻辑图: 波形图
A 1 & ≥1 B 1 &
Y
（30）
Y A B AB AB Y A B AB AB Y A B A B

A A 0
非
FA
A 1 F 01
A A
10
A＋A 1
2.2.2复合逻辑运算 由上面三种基本逻辑关系组合而成的复合逻辑关系有：
与非、或非、与或非、异或、同或等，如表1所示。
1、 与非逻辑
与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将 输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。
能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。
A接通、B断开，灯不亮。
A、B都接通，灯亮。
Ｙ＝ＡＢ 两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表
达式为：
假设：
开关闭合为 1 开关断开为 0
灯亮为 1 灯不亮为 0
AB
~ 220V 有0为F 0 全1为1
用四个式子表示：
0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·0 = 0 1 ·1 = 1
与逻辑的表示方法：（四种）
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分 析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有０和１ 两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、 与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。
逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系， 这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数 来描述。
A
1
F
F
逻辑符号： 把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。
逻辑运算 逻辑表达式 逻辑符号 真值表 基本运算规则
AB F
A A A
与
F AB
A B
&
F
000 010
A1 A
100
A0 0
111
A B F A＋A A
或
F AB
A B
≥1
F