初中学生数学解题错误初探

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学生在学习数学的过程中　可避免地会出现一些　错误，这是正常的，我们应当允许他们犯错误　学生在数　学学习中产生错误，是由于学　在重新建构数学知识过　程中发生偏差的结果，它本身体现了学生数学学习的过　程．学生在数学学习中犯错误　其对错误的认识，恰恰　是学生获得和巩固数学知识的藿要途径．因此，教师应　做的是通过分析学生数学学习Ｉ『｜的典型错误，鼓励学生　自己探索，分析问题，允许学生Ⅲ错，有时出错反而有利　于教学，有利于学生更好地掌擗数学知识，数学教师要　善于变“错”为宝，正确对待学　在学习数学过程中出现　的错误，并合理利　【甘这些“错误’资源．　一、数学概念不清产生的锗误　在学生的认识中，多数学生将数学简单地理解为算　数，所以，拿起数学题审题粗，悬考少，主要精力用于计　算，一边算还一边发问“等于几’，只要能碰到正确得数，　就是成功，不管思路是否正确，缚不出得数的也是想什　么地方算错，而很少想什么地力慨念不清，导致错误．　例１下列运算中，正确的　（　）．　Ａ．一３～＝古　Ｂ．０：Ｉ　Ｃ．ｎ　Ⅱ　：Ⅱ手　Ｄ－（　）一号：　错解选Ａ、Ｂ、Ｃ的各有其　．　错因分析选Ａ的学生有　种思维方法：一是认为　一３～＝（一３）～＝古；二是认勾一３～：一（一３）　＝　古．选Ｂ的学生忘了规定ｎ≠０，选Ｃ的学生认为ｎ’　★　…＿甘煎笾盎盛宴笠．士三　一　…煎堡墨　：　．。手．以上错误是学生对负整数指数幂、零指数　幂、正分数指数幂的概念不清造成的，这与初中学生喜　爱机械识记而没掌握意义识记是大有关系的．　例２计算一３　÷（一丁Ｉ　了Ｉ）　错解原式＝９÷（一　Ｉ　了１）：９×（一２）＋９×３　：一１８＋２７＝９　错因分析上述解法有两处错误，其一是将一３　与　（一３）　混淆，前者是３平方的相反数，底数是３，后者是　负３的平方，底数是一３．其二是将９÷（一　１　了１）与　（一了Ｉ＋÷）÷９混淆，前者不能用分配率，后者可以．　发生这类错误主要是学生对数学概念不清楚，解题时往　往想当然，不讲解题依据，学习缺乏对概念的理解，往往　以模仿为主要学习方法　综上所述，概念是数学的源头，只有重视数学概念，　准确理解，才能正确理顺解题思路，从而降低解决数学　问题的盲目性．　二、基本运算能力不扎实导致错误　打好计算基础，是解决数学问题的基础．　计算：　＋去．　错解　原式．：　＋　＝　—ｌ＋２＝　＋ｌ　错因分析　上述解法将分式的通分与解方程的去　分母相混淆．同分母的分式相加减，分母不变。而不是消　去分母．如此解法，直至初中毕、Ｉ　还大有人在．说明最基　ｊ　１　７　一＋’一’　…　’　…＋　一～　；。．．．。＋．＋．＋。＋。＋．＋。．。＋．．。＋。．．．；＋．＋。＋。．。＋。．．◆敢掌大世暴　。　．６　Ａ　．．．．。＋。＋。＋．．。＋；．。＋。．。

．．本的解分式方程去分母问题与递等式问题混淆．　例４化简：　２ｍ一　１　错解　原式＝　一　一＿　２ｍ一／７７，一３，ｎ一３　１　一（ｔｎ＋３）（ｍ一３）一（ｍ＋３）（ｍ一３）一ｍ＋３　错因分析上述解法错误的原因是忽略了“分数线　具有括号的作用”．分式相减时，若分子是多项式，其括　号不能省略．　这种解法是反映在大多数同学身上的问题．长期积　累下去，会使基础理论千疮百孔，直接导致简单题做不　好．难题做不来．显然，扎实初中数学基础理论，不能有　马虎．　三、对数学性质的理解不清产生错误　在掌握基本概念、扎实基础理论及基本计算的前提　下，对数学性质的理解就是关键所在了．性质理解正确，　才能使基本功有用武之地．　例５把分式　中的ｏ、ｂ都扩大２倍，则分式的　值（　）．　Ａ．扩大２倍　Ｂ．扩大４倍　Ｃ．缩小２倍　Ｄ．不变　学生错选：Ｄ．　错因分析注意此题的条件是ｏ、ｂ都扩大２倍，而　不是分子、分母同时扩大２倍，因此不能利用分式的基　本性质写成：　：２百ａ＋２ｂ．　ｒ正　０　分析题目中将ｏ、ｂ都扩大２倍，即。变为２ａ，ｂ变　为２６，所以可把分式中的ｎ、ｂ分别用２ｎ、２６代替，得：　一　（　±　２一上．　（２ａ）　一４口　一２　ａ２　所以答案选Ｃ．　出这样错误的原因是学生认为这类题目太简单，计　算过程就靠心算，而且三步并两步，结果出错．由此看　来，计算是基础，若没有扎实的计算功夫，即便有出色的　数学思想，又用什么来展示呢？　例５　已知ｎ　６＋ｃ＝０，口≠０，把抛物线ｙ＝　＋　＋ｃ向下平移１个单位，再向左平移５个单位所得到的　新抛物线的顶点是（一２，０），求原抛物线的解析式．　分析①由。＋６＋ｃ＝０可知：原抛物线的图象经　过点（１，０）；②新抛物线向右平移５个单位，再向上平移　１个单位即得原抛物线．　错解可设新抛物线的解析式为Ｙ＝ｎ（　＋２）　，则　原抛物线的解析式为Ｙ＝ｒｉ（　＋２＋５）　＋１　错因分析为什么错了，主要原凶还是对二次函数　平移前后两抛物线间的关系没有理解清楚，对函数的性　质满足于死记硬背，往往解题时很容易出错．　由此看来，在初中数学教学中，有关函数问题仅仅　掌握概念及其性质还是不够的，重要的是理解其性质的　变换和来由．尤其到了初二、初ｊ，对性质的理解是关　键，没有理解，就等于抽掉了计算基础，何谈计算呢？要　让学生重视数学知识技能的积累　四、受思维定势的影响导致错误　例６计算：√÷一　一去一　一　错解原式＝÷一音　×（一÷）＋７－４＝３　错因分析这是一道考查立方根和算术平方根的　计算题，学生做第一步时，他们都认为厕＝４，显然是　受了前三个数的立方根的影响，按照这种习惯的思路去　做，自然就把　当成６４的立方根４了．学习过程中，　这种应用知识技能的心理准备状态，教育心理学上称之　为思维定势．在数学学习中，思维定势表现为一种思维　的趋向性，即总是按照某种习惯的思路去考虑问题．教　师经常要求学生熟练地掌握概念、定理、公式、法则，并　能正确应用，为的是培养学生形成积极的思维定势．然　而，思维定势的消极作用会将思维者的思路引人歧途，　或导致呆板的思考，机械地做题，从而束缚思维的发展，　最终不能解决问题．　例２已知直角三角形的两边长分别为３、４，求第　三边长．　错解第三边长为￣／３　＋４　＝　：５　错因分析　因学生习惯了“勾二三股四弦五”的说法，　即意味着两直角边为３和４时，斜边长为５．但这一理解　～　一…　’０ｊ晕　；。．。．。．．．。．．．。．．．．＋．．。＋。．．．．．。＋。＋。．．．．＋。．。．．◆黢掌大世界　。ｐ　．６◆．．．．。．。．。．。＋。＋。＋。．。．。＋。．。的前提是３、４为直角边．而本题中并未加以任何说明，　因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边．　正解：（１）当两直角边为３和４时，第三边长为　碍　：届：　（２）当斜边为４，一直角边为３时，第三边长为　一３　＝　在数学学习中，思维定势表现为一种思维的趋向　性，即总是按照某种习惯的思路去考虑问题．教师经常　要求学生熟练地掌握概念、定理、公式、法则，并能正确　应用，为的是培养学生形成积极的思维定势．然而，思维　定势的消极作用会将思维者的思路引入歧途，或导致呆　板的思考，机械地做题，从而束缚思维的发展，最终不能　解决问题．　五、学生缺乏对数学知识技能的积累　例６若　！：　：　：｜ｉ｝，则直线Ｙ：ｋｘ＋ｋ的　Ｃ　Ⅱ　Ｄ　图象必经过第（　）象限．　错解　由合比性质的：　：Ｊ｝，得ｋ：２，由　ⅡｆＵ十　一次函数的性质，知道这个函数必经过第一、第二、第三　象限．　错因分析为什么错呢？闻为原题没有说ｎ＋ｂ＋ｃ　≠０，当ｎ＋ｂ＋ｃ＝０时，得，０＋　＝一ｃ，故ｋ＝一１，所以　一次函数的解析式为Ｙ＝２ｘ＋２或Ｙ＝一　一１，因而直线　Ｙ＝ｋｘ＋ｋ，必经过二三象限．这个题既考察比例的性质，　又考查一次函数的性质，还考察学生的综合考察能力．　现在数学试题不再是简单的计算与推理，往往对一　个问题的考察，都与许多知识有关，在掌握这些知识点　同时，数学知识技能经验的积累，既牵扯问题的解决，又　关系到同学们学习数学的兴趣和积极性．　六、探究是方向　随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不　会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规　律的．比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不　变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，　减变加法加变减，正号负号要互换”．这种规律可以作为　猜想的一个参考依据　例如：Ａ　、Ａ：、Ａ　、Ａ　四个舞蹈演员，在舞台上跳舞，　面对观众作队列变化，其变化规律是：　一个舞蹈演员　面对观众跳舞的变化种类是：Ａ．　为１种；　二个舞蹈演员Ａ．、Ａ：面对观众跳舞的队形排列的　变化种类是：ＡｌＡ２；Ａ２Ａｌ为２种；　三个舞蹈演员Ａ　、Ａ　、Ａ，面对观众跳舞的队形排列　的变化种类是：ＡＩ　２　３；　ｌＡ３Ａ２；Ａ２Ａ３Ａｌ；Ａ２ＡｌＡ３；Ａ３ＡｌＡ２；　Ａ３　２　１为６种；　四个舞蹈演员Ａ。、Ａ：、Ａ，、Ａ　面对观众跳舞的队形　排列的变化种数为多少——种．这个问题只要学生　能画出树状图就能很容易地做出来，关键学生要明白用　什么知识来解决这个问题　。　再比如要做两个形状相同的三角形框架，其中一个　三角形框架的三边长分别为４、５、６，另一个三角形框架　的一边长为２，怎样选料，可使这两个三角形相似．解这　个题时学生往往很容易漏解，要探究思考这两个三角形　相似时各边怎样对应的问题，这个问题思考清楚了，这　个题解起来就容易多了．具体解法如下：　设另两边分别为　、　于是得出：　２：４＝　：５＝，，：６得：　＝÷，ｙ＝３；　：４＝２：５　，，：６　得：　：　；　：４：ｙ：５：２：６得：　：÷，，，：÷．　所以框架另两边长可选手、３，或　、　，或÷、÷．　可是学生一碰到这类带有实际意义的应用题，往往　因为缺乏对客观事物的了解，难于从对数学题的阅读　中，抽取其实质．由此可见，不论是家长、学校和社会，都　不能一味地为了孩子能读好书，而不让他们接触生活、　接触社会．相反，若能积极为学生创造条件，使他们融人　生活，感悟生活，主动发现数学无处不在，无处不有，激　发学生探究、钻研数学的热情，更有助于学好数学．　

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