浅谈弹性地基梁的解析法
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第３３卷第６期 ２０１１年１１月 ’泰山学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ’ＯＦ ＴＡＩＳＨＡＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＶＤ１．３３ Ｎ０．６ ＮＯＶ．２Ｏｌ１
浅谈弹性地基梁的解析法
卢晓莉
（泰山职业技术学院建筑工程系，山东泰安２７１０００）
［摘要】 本文介绍了不同地基上基础梁的传统解析解法，如反力直线法、初参数法、级数解法等，以及 各自的优缺点，并且详细叙述了常见的弹性地基上平面框架结构计算的半解析混合解法．本文提出了有待深入 研究的问题，以期把握研究方向，有效地运用新理论、新方法解决弹性地基梁的问题． ［关键词］ 软土地基；框架结构；半解析混合解法 ［中图分类号］ＴＵ４７０＋３ ［文献标识码］ Ａ ［文章编号】 １６７２—２５９０（２０１１）０６—００６７—０３
在求解软土地基上结构的静力问题时，常用方法有解析法、半解析法以及数值解法．解析法属于精
确解法，它的基本思想是分别对结构的控制方程和地基模型的控制方程解析的求解，然后再满足结构和 地基接触面的位移和应力的连续性条件和结构的边界条件，即可获得问题的全部解答．
１反力直线法
反力直线法…是一种近似的方法，该法假定地基反力是按直线规律分布的，其地基反力图形在对
称荷载作用下是矩形的，在偏心荷载作用下是梯形的，如图１所示．反力直线法中基础梁的计算问题是
一个静定问题，根据静力平衡条件就很容易计算出反力的数值，具有计算简单方便的优点．由于该方法 没有考虑基础梁和地基之间的变形协调，因而其计算结果是不准确的，在设计重要的建筑物时不宜采
用，通常只在初步估算或设计不太重要的基础梁的时候使用．
． 』： ．— 一
图１ 反力直线法的地基反力假设
２基于文克尔地基上的初参数法
文克尔地基上的初参数法 是一种运用较为广泛的计算方法，它是通过考虑一受荷载的弹性地基 梁的变形情况，取其中一个无穷小的单元，考虑单元的平衡条件，列出平衡方程．同时结合在材料力学中
梁受弯的微分公式求出通解，然后根据具体的边界情况以及受力情况求出内力．例如文克尔地基上的无
限长梁的通解为 （ ）＝ｅ肛（Ｃ１１２０￥￣＋Ｃ２ｓｉｎＡｘ）＋ｅ一肛（Ｃ３ｃｏｓＡｘ＋Ｃ４ｓｉｎＡｘ）
而集中力作用下的无限长梁（如图２所示），利用边界条件以及受力情况，最后可得
［收稿日期］２０１１—１０－２１ ［作者简介］卢晓莉（１９８２一），女，山东威海人，
泰山职业技术学院建筑工程系助教 泰山学院学报 第３３卷
式中 ＝ ＝一 ：岳 ：一
Ａ ＝ｅ （ｃｏｓＡｘ＋ｓｉｎＡｘ）， ＝ｅ－ＡｘｓｉｎＡｘ
Ｃ ＝ｅ一 （ｃｏｓＡｘ～ｓｉｎＡｘ），Ｄ ＝ｅ－ＡｘｃｏｓＡ
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图２受集中力作用下文克尔地基上的无限长梁
３弹性半空间上梁的级数解法
如图３所示一基础梁，受到任意分布荷载ｇ（ ），基础反力ｐ（ｘ）沿宽度方向为均布地基上梁的挠曲 线微分方程为：
．， 一 一 ：一驰 ㈤ （１） 似 弹性理论平面应力问题的弗拉曼（Ｆｌａｍａｎｔ）解
）＝ （ ） ＋ｒ） ＋ ） －ｒ） ） （２）
弹性半空间地基表面的竖向位移为：
＝ ㈤
一一
一ｆ—
∥
图３弹性半平面上的梁 可作为弹性半空间模型在平面应力问题下的特征函数．将式（２）与式（３）代人式（１）则得到不同问
题中地基上梁的基本方程．
（１）平面应力问题
２Ｂ嘉 （ Ｐ ｒ）ｄｒ＋ｆ。－ｎ（ Ｐ 叫＝ （４）
（２）平面应变问题 第６期 卢晓莉：浅谈弹性地基梁的解析法 ６９
靳 ｎ（ ＋ ｎ（ｏ－Ｘｒ＂ｒ），＜ｘ－ｒ）．ｒ｝
＝ ）］ （５）
以上两式中，Ｄ为任意选定的参照点的坐标．上述情况下的基本方程都是关于Ｐ（ ）的微分积分方 程，除应满足梁的边界条件外，还应满足静力平衡条件．
在平衡条件和梁的边界条件下求解微分积分方程是及其困难的．哥尔布诺夫一彼沙道夫等提出的 级数解法有效地解决了这一问题－４ ，并就若干典型情况给出了大量的内力无量纲计算表格工程设计中
不必做复杂的运算，查表后做简单的量纲换算即可． 级数法的基本思路是先把地基反力ｐ（ｘ）近似地表示为有限项的幂级数： ，
ｐ（ ）＝口。＋ ＋．． ＋ “ｆ 。 ‘
式中口 为ｎ＋１个未知的待定系数．由平衡方程可使未知数减少两个，余下ｎ一１个则通过凡一１个 点处梁的挠度与地基沉降相等的条件列出ｎ一１个，变形连续方程，因此问题归结为求解ｎ＋１个代数方
程．
显然，当ｎ一。。时，解答是精确的．但实际上这是不可能的，也没有必要这样做．当ｎ为有限项时，解 答是近似的，如果表格按ｎ＝１１给出，精度已经相当高，足可以满足工程需要．
４小结
本文重点介绍了反力直线法、初参数法、级数解法等具体的解析方法．在前人理论研究的基础上通 过比较，总结出了各种方法适用的地基模型及其各自的优缺点，反力直线具有计算简单方便的优点．但
是另一方面由于该方法没有考虑基础梁和地基之间的变形协调，因而其计算结果是不准确的，在设计重
要的建筑物时不宜采用．初参数法和级数解法由于要积分，对于简单结构尚可，但是对于复杂一点的结 构计算会相当麻烦，而且不一定能解决．因此，弹性地基上基础梁的发展方向应该是在解析方法的基础
上加入计算机仿真，这样既可以节省时间，又可以保证计算精度．
［参考文献］
［１］龙驭球．弹性地基梁的计算［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８１． ［２］张子明．用初始函数法计算多层地基的位移和应力［Ｊ］．岩土工程学报，１９８６，８（４） ［３］徐芝纶．弹性理论［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９６０． ［４］田千里．平面问题弹性地基梁之简捷解法【Ｊ］．科学通报，１９７４，（５）．
ｃｕｓｓｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｅｌａｓｔｉｃ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ Ｂｅａｒｍ
ＬＵ Ｘｉａｏ—ｌｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｂｕｉｌｄｉｎｇ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔａｉｓｈａｎ Ｃａｒｅｅｒ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｔａｉ ａｎ ２７１０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｎｄ ｄｉｓ－
ａｄｖａｎｔａｇｅｓ．Ｉｔ ａｌｓｏ ｅｘｐｏｕｎｄｓ ｓｅｍｉ．ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｉｘｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｏｍｍｏｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｓｏｉｌ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ．Ｎｅｗ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｆｒａｍｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｎ ｓｏｆｔ￣ｕｎｄａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ
ｗｉｌｌ ｂｅ ｈｅｌｐｆｕｌ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｆｒａｍｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｎ ｓｏｆｔ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｏｆｔ ｓｏｉｌ￣ｕｎｄａｔｉｏｎ；ｆｒａｍｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；ｓｅｍｉ・ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｉｘｅｄ ｍｅｔ
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