质点运动学计算题

第二章 质点运动学计算题

2.1．质点的运动方程为：（1）jitrˆ5ˆ)23(；（2）jtitrˆ)14(ˆ)32(求质点轨迹并用图表示。

解：（1）由jitrˆ5ˆ)23(得：

5,23ytx

5y为所求

（2）由jtitrˆ)14(ˆ)32(得：

1432tytx 消参得：0534yx 为所求。

（1） （2）

2.2．质点运动学方程为kjeierttˆ2ˆˆ22，（1）求质点轨迹；（2）求自1t至1t时间内质点的位移。

解：（1）由kjeierttˆ2ˆˆ22得：

222zeyextt 消参得：1xy 为所求。

（2）质点位移

jeeieekjeiekjeietrtrrˆ)(ˆ)()ˆ2ˆˆ()ˆ2ˆˆ()1()1(2222222212 为所求

2.3．质点运动方程为jtitrˆ)32(ˆ42，（1）求质点的轨迹；（2）求自0t至1t时间内质点的位移。

解：（1）由jtitrˆ)32(ˆ42得： 3242tytx 消参得：0)3(2xy 为所求。

（2）质点位移

jijjitrtrrˆ2ˆ4ˆ3ˆ5ˆ4)0()1(12 为所求

2.4．一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为2002xy（长度mm），第一次观察到圆柱体在mmx249处，经过时间2mm后圆柱体移到mmx234处，求瞬时速度的近似值。

解：由题知

当mmx2491时 mmy200)249(21

当mmx2342时 mmy200)234(22

由2121xxyytg求得

速度方向5.671805.1122121xxyyarctg

cos21xxAB

msmmxxtABv/6.195.67cos2234249cos221 为所求。

2.5．火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h的速率行驶，3mm后以70km/h的速率向北偏西30方向行驶，求列车的平均加速度。

解：建立图示坐标

jvvˆ011

jvivvˆ30cosˆ30sin222

12vvv ＝jvjvivˆˆ30cosˆ30sin122

＝jvvivˆ)30cos(ˆ30sin122

hjvvivtva603ˆ)30cos(ˆ30sin122 (换为m/s)

2/07.0sm 为所求

2.6．图中c,和ba表示质点沿直线运动三种不同情况下的tx图，试说明三种运动的特点。（即速度，计时起点时质点的位置坐标，位于坐标原点的时刻）

解：由题知

a为：2000xxktx 1020tgk

202tgtx

b为：0xktx 30tgk 100x

1030tgtx

c为：0xktx 45tgk 250x

2545tgtx

2.7．跳伞运动员的速度为tteev11，v铅直向下；,为正常量，求其加速度。讨论当时间足够长时（即t），速度和加速度的变化趋势。

解：建立一维图示坐标

由 2)(vuvvuvu

2)1()1()1()1()1(qtqtqtqtqtxeeeeedtdva

＝2)1()1()1(qtqtqtqtqteeqeeqe ＝2)1()11(qtqtqtqteeeqe

＝2)1(2qtqteeq 即当t时0;1av为所求

2.8．直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站，列车原运行速率为hkmv/1800，其速率变化规律如图所示，求列车行至kmx5.1时加速度的大小。解：由v得：)5(sin5sin0xxvdtdva

＝5sin50xv

代入数据得：2/747.0sma

2.9.在水平桌面上放置A，B两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们联结起来，C点与桌面固定；已知A的加速度gaA5.0，求物体B的加速度。

．解：建立图示坐标，设绳长为0L

由题设得：034LxxAB

对等式求二阶导得：034ABaa

)/(375.0432smgaaAB为所求

3.10．．质点沿直线的运动学方程为2310ttx

（1）将坐标原点沿x轴正方向移动2m，运动学方程如何？初速度有无变化？

（2）将计时起点前移1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度都发生了怎样的变化？加速度变不变？解：由已知得

（1）当坐标原点沿ox轴正方向移动2m时

运动学方程为：23102ttx

此时初速度不变；

（2）当计时起点前移1s时，1tt

运动学方程为：7342ttx

初始坐标由0变为－7，初速度由10m/s变为4m/s，加速度不变。

3.11．跳水运动员沿铅直方向入水，接触水平面的速率为0v，入水后地球对他的吸引力和水的浮托作用相互抵消，仅受水的阻碍而减速，自水面向下取oy轴，其减速度为2yykva，yv为速度，k为常量。求入水后运动员速度随时间的变化？

解：设运动员为质点，根据已知条件有

2yykvdtdv

得kdtdvvyy2

设入水时为计时起点，0t时0vvy，运动过程中t时刻速度为yv，将上式两侧分别以yv和t为积分变量，以2yv和k为被积函数作积分得：

ktvv011 或)1(00tkvvv

可见运动员速度随时间减小，且当t时，速度变为零。

3.12．运动会上跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，自水面向下取0y轴，其加速度为124.0,mkkvy，求运动员速度减为入水速度101时，运动员入水深度。

解：设运动员以初速零起跳，至水面之速度为

smsmghv/14/108.9220

在水中加速度为 2yykvdtdv

因落至不同位置，对应不同速度，故可视yv为y的函数，

即)(yvvyy，于是可写yyyyvdtdvdtdydydvdtdv代入上式得：

yykvdydv 即kdyvdvyy

做不定积分并化简得：kyyCev

C为积分常数，引入初始条件0y时0vvy代入上式求出C得：

kyyevv0

设100vvy，将14.0mk代入上式得

my76.5 即运动员深入水中5.76m时，其速度变为入水速度的101。

3. 13．质点由坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其减速度]/[22scmtax，求下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置，在此之间所走过的路程及位移。

解：由已知得：

（1）dtavvtxx00

＝dttt020＝2t

txdtvxx00＝tdtt020＝33t

当st6时：cmtx7233，cmlx72为所求。

（2）dtavvtxx00＝dttt029=)/(92scmt

dtvxxtx00=dttt02)9(=933t

当st6时，cmtx18933

cmxl18为所求。

3.14．质点直线运动瞬时速度的变化规律为tvxsin3，求31t至52t时间内的位移。

解：xv已知，设初始坐标为0x

ttdtxx00sin3＝3cos30tx

)3()5(1122txtxx

＝)33cos3()35cos3(00vv

＝)3cos5(cos3

m82.3 为所求

2.15．一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为tAaxcos2， 0t时，Axvx,0，其中,A在均为正常数，求此质点的运动方程。 解：由已知条件得

txtdtAvv020cos

＝ttdtA02cos0

＝ttdtA02cos

＝tAsin|t0

＝tAsin

txdtvxx00

＝tdttAA0)sin(

＝tAAcos|t0＝AtAAcos=tAcos 为所求

2.16．在195m长的坡道上，一人骑自行车以hkm/18的速度和以2/20scm的加速度上坡，另一自行车同以hkm/4.5的初速度和2/2.0sm的加速度下坡，问（1）经过多长时间两人相遇；（2）两人相遇时各走过多少路程。

解：（1）设O，A分别为坡底和坡顶，建立图示坐标。

0t时，上坡车位于O点，即001x

smskmv/5/1801

221/2.0/20smskma

对于下坡车，0t时，上坡车位于A点

则：mx19502

smhkmv/5.1/4.502

22/2.0sma

txxdtavv01011

＝tdt0)2.0(5

＝t2.05 (m/s)

txdtvxx01011

＝tdttx001)2.05(＝21.05tt 同理：txxdtavv02022

＝tdt0)2.0(5.1