2019高考数学二轮复习课时跟踪检测二十八不等式选讲理

课时跟踪检测（二十三） 不 等 式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2 B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.2．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N *，n >2，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n ) 解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6a b＝25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则＝2＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，＝2＋y 取得最大值，且ma＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{|－2<<－1，或>3}B ．{|－3<<－1，或>2}C ．{|<－3，或－1<<2}D ．{|<－3，或>2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎨⎧ x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<<－1或>2.选B.6．若函数f ()＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－2x＋12，x ≤0，则“0<<1”是“f ()<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<<1时，f ()＝log 2<0，所以“0<<1”⇒“f ()<0”；若f ()<0，则⎩⎨⎧x >0，log 2x <0或⎩⎨⎧x ≤0，－2x＋12<0，解得0<<1或－1<≤0，所以－1<<1，所以“f ()<0”⇒/ “0<<1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令＝2＋y ，作出直线2＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数＝2＋y 取得最小值，且min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f ()的图象，由图象易得f ()在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数恒成立，则a 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则＝t 2－1.所以t 2－12a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －11a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于的不等式a 2－a －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0] C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得2－a －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得2－a －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2m －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即2＋2m －m ≥0恒成立，故对于方程2＋2m －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则y 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354 D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，y 的最小值为0(当＝1，y ＝0时取得)；y ≤(6－)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 6－x 22＝9，即y ≤9，当＝3，y ＝3时取等号，即y 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于的不等式2＋2x －a≥7在∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由>a ，知－a >0，则2＋2x －a ＝2(－a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎨⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π. 答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则＝＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线＋y ＝过点A 时取得最大值．由⎩⎨⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴ma ＝5＋4＝9. 答案：916．已知函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于的不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的图象在轴上方，且与轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f ()＝2＋a ＋b ＝2＋a ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <＋a 2<c ，－c －a 2<<c －a 2.∵不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于的不等式2＋a －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为∈[1,4]，则不等式2＋a －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x－，设f ()＝2x－，∈[1,4]，由题意得只需a ＜f ()ma ，因为函数f ()为区间[1,4]上的减函数，所以f ()ma ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g ()＝2＋a －2，函数g ()的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g ()＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，则1＋2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又1＋2＝4a ，12＝3a 2，∴1＋2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴1＋2＋a x 1x 2的最小值是433.3．(2018·沈阳一模)设不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115 D ．[－1,3]解析：选A 设f ()＝2－2a ＋a ＋2，因为不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程2－2a ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4a ＋20，f 10，f 30，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为元．根据题意，有⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，＝300＋400y .作出⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，有最大值，ma ＝400×6＝2 400，故选C.5．当∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵∈(0,1)，∴1－∈(0,1)，∵＋(1－)＝1，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [＋(1－)]＝5＋1－x x ＋4x 1－x≥5＋2 1－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－xx＝4x 1－x ，即＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1ma ＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝上，所以当点(，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min ＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]． 答案：[3,9]。

课时跟踪检测（二十三） 不 等 式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.2．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N *，n >2，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n )解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6a b ＝25，当且仅当6b a ＝6a b，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则＝2＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，＝2＋y 取得最大值，且ma＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{|－2<<－1，或>3}B ．{|－3<<－1，或>2}C ．{|<－3，或－1<<2}D ．{|<－3，或>2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎨⎧ x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<<－1或>2.选B.6．若函数f ()＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－2x＋12，x ≤0，则“0<<1”是“f ()<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<<1时，f ()＝log 2<0，所以“0<<1”⇒“f ()<0”；若f ()<0，则⎩⎨⎧x >0，log 2x <0或⎩⎨⎧x ≤0，－2x＋12<0，解得0<<1或－1<≤0，所以－1<<1，所以“f ()<0”⇒/ “0<<1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令＝2＋y ，作出直线2＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数＝2＋y 取得最小值，且min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f ()的图象，由图象易得f ()在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数恒成立，则a 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则＝t 2－1.所以t 2－12a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( ) A ．3 B ． 3 C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －11a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3. 11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于的不等式a 2－a －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0] C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得2－a －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得2－a －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2m －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即2＋2m －m ≥0恒成立，故对于方程2＋2m －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则y 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354 D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，y 的最小值为0(当＝1，y ＝0时取得)；y ≤(6－)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 6－x 22＝9，即y ≤9，当＝3，y ＝3时取等号，即y 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于的不等式2＋2x －a≥7在∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 解析：由>a ，知－a >0，则2＋2x －a ＝2(－a )＋2x －a ＋2a ≥22x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎨⎧ m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π. 答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则＝＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线＋y ＝过点A 时取得最大值．由⎩⎨⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴ma ＝5＋4＝9.答案：916．已知函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于的不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的图象在轴上方，且与轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f ()＝2＋a ＋b＝2＋a ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <＋a 2<c ，－c －a 2<<c －a2.∵不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于的不等式2＋a －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为∈[1,4]，则不等式2＋a －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x －，设f ()＝2x－，∈[1,4]，由题意得只需a ＜f ()ma ，因为函数f ()为区间[1,4]上的减函数，所以f ()ma ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g ()＝2＋a －2，函数g ()的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g ()＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，则1＋2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63 B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又1＋2＝4a ，12＝3a 2，∴1＋2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴1＋2＋a x 1x 2的最小值是433. 3．(2018·沈阳一模)设不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115 D ．[－1,3]解析：选A 设f ()＝2－2a ＋a ＋2，因为不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程2－2a ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4a ＋20，f 10，f 30，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A. 4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为元．根据题意，有⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，＝300＋400y .作出⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，有最大值，ma ＝400×6＝2 400，故选C.5．当∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵∈(0,1)，∴1－∈(0,1)，∵＋(1－)＝1，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [＋(1－)]＝5＋1－x x ＋4x 1－x ≥5＋2 1－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9.答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1ma＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝上，所以当点(，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min ＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]． 答案：[3,9]。

课时跟踪检测（二十三） 不 等 式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2 B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D错．于是选C.2．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N *，n >2，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n ) 解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6ab＝25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则＝2＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，＝2＋y 取得最大值，且ma＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{|－2<<－1，或>3}B ．{|－3<<－1，或>2}C ．{|<－3，或－1<<2}D ．{|<－3，或>2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎨⎧ x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<<－1或>2.选B.6．若函数f ()＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－2x＋12，x ≤0，则“0<<1”是“f ()<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<<1时，f ()＝log 2<0，所以“0<<1”⇒“f ()<0”；若f ()<0，则⎩⎨⎧x >0，log 2x <0或⎩⎨⎧x ≤0，－2x＋12<0，解得0<<1或－1<≤0，所以－1<<1，所以“f ()<0”⇒/ “0<<1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令＝2＋y ，作出直线2＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数＝2＋y 取得最小值，且min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f ()的图象，由图象易得f ()在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数恒成立，则a 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则＝t 2－1.所以t 2－12a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －11a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于的不等式a 2－a －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0] C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得2－a －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得2－a －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2m －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即2＋2m －m ≥0恒成立，故对于方程2＋2m －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则y 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354 D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，y 的最小值为0(当＝1，y ＝0时取得)；y ≤(6－)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 6－x 22＝9，即y ≤9，当＝3，y ＝3时取等号，即y 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于的不等式2＋2x －a≥7在∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由>a ，知－a >0，则2＋2x －a ＝2(－a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎨⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π. 答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则＝＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线＋y ＝过点A 时取得最大值．由⎩⎨⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴ma ＝5＋4＝9. 答案：916．已知函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于的不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的图象在轴上方，且与轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f ()＝2＋a ＋b ＝2＋a ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <＋a 2<c ，－c －a 2<<c －a 2.∵不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于的不等式2＋a －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为∈[1,4]，则不等式2＋a －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x－，设f ()＝2x－，∈[1,4]，由题意得只需a ＜f ()ma ，因为函数f ()为区间[1,4]上的减函数，所以f ()ma ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g ()＝2＋a －2，函数g ()的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g ()＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，则1＋2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又1＋2＝4a ，12＝3a 2，∴1＋2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴1＋2＋a x 1x 2的最小值是433.3．(2018·沈阳一模)设不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115 D ．[－1,3]解析：选A 设f ()＝2－2a ＋a ＋2，因为不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程2－2a ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4a ＋20，f 10，f 30，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为元．根据题意，有⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，＝300＋400y .作出⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，有最大值，ma＝400×6＝2 400，故选C.5．当∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵∈(0,1)，∴1－∈(0,1)，∵＋(1－)＝1，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [＋(1－)]＝5＋1－x x ＋4x 1－x≥5＋2 1－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－xx＝4x 1－x ，即＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1ma＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝上，所以当点(，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]． 答案：[3,9]。

专题32 一元二次不等式、分式不等式、高次不等式及其解法1．如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B即a 取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．故选：B．2．关于x的不等式x2+2mx﹣15m2＜0（m＜0）的解集区间为（a，b），且b﹣a＝18，则m＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．【答案】D3．不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，∴8﹣x2＞﹣2x，即x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4．∴不等式的解集是{x|﹣2＜x＜4}．故选：A．4．不等式组的解集为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由得所以，所以原不等式组的解集为，故选.5．设f(x)＝,则不等式f(x)<x2的解集是( )A．(2，＋∞)∪(－∞，0]B．RC．[0,2)D．(－∞，0)【答案】A6．若不等式对一切恒成立,则的取值范围是 ( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为所以所以，解得.7．已知，集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B8．关于的不等式()的解集为,且,则A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，即，又，所以，解得．9．设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为A．B．C．D．【答案】D故选10．记函数的定义域为D，在区间上随机取一个实数x，则的概率是A．B．C．D．【答案】A11．若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________。

【答案】[0,2]【解析】由已知易得{x|x2－2x－3>0}⊆{x|x<m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴或∴0≤m≤2，故答案为:[0,2]12．已知函数为偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【解析】由题意得，因为函数为偶函数，所以，所以．又在上单调递减，所以．由，得，解得：或，所以不等式的解集为．故答案为．13．已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________．【答案】14．若对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】若,则当时,所以,从而或所以或15．已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．【答案】16．若关于x的不等式的解集为，则____【答案】5【解析】若关于的不等式的解集为，则或则故答案为.17．解下列不等式（1）（2）【答案】（1）（2）18．设命题“关于的不等式对任意恒成立”，命题“函数在区间上是增函数”.(1)若为真，求实数的取值范围；(2)若为假，为真，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）若为真，则函数在区间[1，2]上是增函数，所以在时恒成立19．已知函数,（1）比较与的大小;（2）解关于的不等式.【答案】(1)见解析 (2) 见解析【解析】（1）∵且20．已知函数f（x）=-x2+2mx+7．（Ⅰ）已知函数y=（x）在区间[1，3]上的最小值为4，求m的值；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2-6x+11在区间[1，2]上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）m=1（Ⅱ）m≤2-3令g(x)=x+-3,易知∴m≤2-3．。