DSP第3章

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1. 连续时间、连续频率—傅里叶变换（FT） 连续时间非周期信号
Xa ( j)
xa
(t
)e
jt
dt
xa
(t)
1
2
X
a
(
j)e
jt
d
• 时域连续造成频谱非周期 • 时域非周期造成频谱连续
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2. 连续时间、离散频率—傅里叶级数(Fourier series)
周期连续时间信号
X
(
jk0
)
~x(n)
1
N
1
X~
(k
)e
j
2
N
kn
N k0
式中，系数1/N是习惯上已经采用的常数， X~ (k) 是k次谐波的系
数。
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下面我们来求解系数X~(k )，这要利用复正弦序列的正交特性，即
1
N
N 1 j 2 rn
eN
n0
1 N
j 2 rN
1e N
j 2 r
1e N
1
0
r=mN, m为整数 其他r
1
离散傅里叶变换的重要性
1、分析有限长序列的一种有用工具； 2、在信号处理理论上有重要意义； 3、在运算方法上起着核心作用，由于存在计算离散傅里叶 变换的快速算法——快速傅里叶变换。谱分析、卷积、相 关都可以通过DFT在计算机上实现； 4、是现代信号处理的桥梁。
2
本章主要内容
傅里叶变换的几种形式 周期序列的离散傅里叶级数（DFS）及其性质 离散傅里叶变换及其性质 抽样z变换——频域抽样定理 DFT的应用
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• 时域离散造成频域周期延拓 • 时域非周期对应频域的连续
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4. 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换(DFT) 周期离散时间信号
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离 散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的
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本章重点
1、周期序列的离散傅里叶级数（DFS）及其性质 2、有限长序列的离散频谱的概念与离散傅里叶变
换。 3、周期卷积、圆周卷积和线性卷积的关系。 4、频域抽样定理 5、DFT应用中存在的主要问题。
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3.2 Fourier变换的四种形式
时间函数
频率函数
连续时间、连续频率 — 傅里叶变换（FT） 连续时间、离散频率 — 傅里叶级数（FS） 离散时间、连续频率 — 序列的傅里叶变换（DTFT） 离散时间、离散频率 — 离散傅里叶变换（DFT）
的一个周期序列对。
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定义：WN
j 2
eN
，周期序列的离散傅里叶级数对：
X~(k)
DFS[~x (n)]
N
1
~x (n)e
j
2 N
nk
N 1 ~x (n)WNnk
n0
n0
~x(n)
IDFS[ X~(k)]
1 N
N
1
X~
(k
)e
j
2 N
nk
k 0
eN
n0
X~(r)
X~ (k )
N 1
~x (n)e
j 2 N
kn
n0
这就是求k=0 到N-1的N个谐波系数 X~(k) 的公式。
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X~(k) 也是一个以N为周期的周期序列，即：
X~(k
mN)
N
1
~x (n)e
j
2 N
(
k
mN
)n
N
1
~x (n)e
j
2 N
kn
X~ (k )
n0
n0
这和离散傅里叶级数只有N个不同的系数 X~ (k )的说法是一致 的。可以看出，时域周期序列~x (n)的离散傅里叶级数在频域（即 其系数 X~(k) 也是一个周期序列。因而X~(k)与 ~x (n)
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四种形式小结
时间函数 连续和非周期
频率函数 非周期和连续
Байду номын сангаас
连续和周期(T0) 离散(T)和非周期
非周期和离散(Ω0=2π/T0) 周期(Ωs=2π/T)和连续
离散(T)和周期(T0)
周期(Ωs=2π/T)和 离散(Ω0=2π/T0)
一个域采样间隔倒数＝另一个域函数周期
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有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的 离散傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。下面我们 先从周期性序列的离散傅里叶级数开始讨论，然后讨 论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里 叶变换。
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N
kn
ekrN (n)
式中, k, r为整数。
•可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也为N。
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因此，离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这是和 连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），因而 对离散傅里叶级数，只能取k=0 到N-1的N个独立谐波分量， 不
然就会产生二义性。因而 ~x (n)可展成如下的离散傅里叶级数：
1 T0
T0 / T0
2 /2
xa
(t
)e
jk
0t
dt
xa (t) X ( jk0 )e jk0t k
• 时域连续造成频谱非周期 • 频域离散对应时域的周期
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3. 离散时间、连续频率—序列傅里叶变换（DTFT） 非周期离散时间信号
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
~x(n)
1
N
1
X~
(k
)e
j
2 N
kn
N k0
两端同乘以
e
j
2 N
rn
，然后从n=0
到N-1的一个周期内求和。
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N
1
~x (n
)e
j
2 N
rn
1 N 1
N 1
X~
(k
)e
j
2 N
(k
r
)
n
n0
N n0 k0
把r换成k可得
N1
k 0
X~
(k
)
1 N
N 1 j 2 (k r)n
| ~x (n) || zn |
n
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但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样，
周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，用周期为N的复指数
序列（正弦型序列）来表示。也就是说，复指数序列的频率是
周期序列
的~x (基n)频（2π/N）的整数倍。这些复指数序列
ek(n)的形式为
ek (n)
ej
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3.2 周期序列的离散傅里叶级数(DFS) Periodic sequence’s Discrete Fourier Series
设 ~x (n) 是一个周期为N的周期序列， 即 ~x (n) ~x (n rN ) r为任意整数
周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示， 因为在任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是
第3章 离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform （DFT）
在第2章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于 数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列 在数字信号处理中就显得很重要， 当然可以用Z变换和 傅里叶变换来研究它， 但是，这两种变换无法直接利用 计算机进行数值计算。针对序列“有限长”这一特点， 一种更有用的变换：离散傅里叶变换。