数字信号处理DSP第三章3.2 DFT定义

dft概念-回复DFT（离散傅里叶变换）是一种常用于数字信号处理的数学工具。

它将一个离散的时间序列信号转换为其频域表示，可以用于分析、合成和处理信号。

本文将分步介绍DFT的概念，从数学定义开始，逐步解释其原理和应用。

第一步是理解傅里叶变换的基本概念。

傅里叶变换是一种将信号从时间域转换到频域的数学工具，它将一个连续时间的信号拆分成不同频率的正弦波成分。

傅里叶变换具有很多应用，例如音频和图像处理，通信系统等。

接下来，我们需要理解离散傅里叶变换的概念。

DFT是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。

它将一个长度为N的离散时间序列转换为一个长度为N的频域序列，其中每个元素表示不同频率分量的振幅和相位。

DFT的数学定义是：X(k) = ∑[n=0,N-1] x(n) * exp(-j*2πkn/N)其中，x(n)是输入信号的离散样本，N是信号长度，X(k)是输出频域的离散样本，k是频率索引。

为了更好地理解DFT的原理，我们可以考虑一个简单的例子。

假设我们有一个包含8个采样点的离散信号，我们想要将其转换为频域表示。

首先，我们需要计算每个频率分量的振幅和相位。

这是通过将每个离散样本与相应频率的正弦和余弦函数进行内积来完成的。

DFT的计算过程可以用一个称为蝶形算法的方法来实现。

蝶形算法通过将计算任务划分为多个阶段，每个阶段都涉及到一些简单的运算，减少了计算量。

具体而言，蝶形算法将输入信号分成两部分，然后对每个部分进行递归DFT计算。

最后，将两部分的结果结合起来得到最终的频域表示。

DFT的应用非常广泛。

在信号处理中，DFT可用于频谱分析、滤波、相关性计算等。

例如，在音频处理中，DFT可以将声音信号转换为频谱图，从而帮助我们分析声音的频率成分。

在通信系统中，DFT用于OFDM（正交频分复用）技术，将信号分为多个子载波，实现高效的频谱利用。

此外，DFT还有一种称为快速傅里叶变换（FFT）的高效算法。

FFT是一种将DFT计算速度从O(N^2)降低到O(N log N)的方法，通过利用信号的对称性和周期性来减少计算量。

离散傅里叶变换(dft)在数字信号处理中的应用离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域中广泛应用的一种数学工具，它的应用领域非常广泛，正是由于DFT 可以对信号进行分析、处理和合成。

DFT的定义是将离散序列通过傅里叶变换转换成连续频域信号，可以用于分离不同频率的信号成分。

因此，它可以应用于音效处理、图像处理、通信等许多领域。

在音频处理方面，DFT可以帮助实现音频数据的压缩与解压缩，能够将音频文件压缩至较小的文件大小，同时保持音频文件的质量不变。

在音频分析方面，可以使用DFT 来显露一个音频信号的谐波和部分谐波频率，从而可以对音频进行分析和剖析，并在混音和制作工程中使用谐波分析的结果。

在图像处理方面，DFT可以被用于图像的变换及增强，可以将图像变换为一组频域数据，进而分析图像的特征和结构。

采用一些滤波器来过滤DFT生成的频域数据，有助于增强高频部分。

此外， DFT也可以为图片中的噪声降低提供帮助，实际应用中可以通过频率域滤波器对信号进行过滤，用余弦正弦出现的频率表示它的信号特征。

在通信方面，DFT可以用于频域等化和频域编码，用于抵抗信道的非线性扭曲，并通过合适的变换和编解码技巧来减少误差和失真。

在数字调制领域，DFT可用于准确地定位最近距离符号的频率和相位，以及重新调制输入数据并回传到通信线路。

其带宽开销低和精密度高的特性，使得其成为数字通信中的必备技术之一。

总的来说，DFT已经成为了数字信号处理中最实用的工具之一。

通过DFT，我们可以对信号进行变换、分析和合成，实现数据的压缩与解压缩，以及在通信、图像处理和音效处理方面提供了许多技术支持。

基于DFT的应用技术正在得到更广泛的关注，并被越来越多的领域所应用。

数字信号处理中的英文缩写在数字信号处理领域中，有许多常用的英文缩写，以下是一些常见的缩写及其含义：1. DSP：数字信号处理（Digital Signal Processing）2. FFT：快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）3. FIR：有限脉冲响应（Finite Impulse Response）4. IIR：无限脉冲响应（Infinite Impulse Response）5. DFT：离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）6. IDFT：离散傅里叶逆变换（Inverse Discrete Fourier Transform）7. ADC：模数转换器（Analog-to-Digital Converter）8. DAC：数模转换器（Digital-to-Analog Converter）9. LTI：线性时不变（Linear Time-Invariant）10. SNR：信噪比（Signal-to-Noise Ratio）11. MSE：均方误差（Mean Squared Error）12. PDF：概率密度函数（Probability Density Function）13. CDF：累积分布函数（Cumulative Distribution Function）14. PSD：功率谱密度（Power Spectral Density）15. FIR filter：有限脉冲响应滤波器16. IIR filter：无限脉冲响应滤波器17. AWGN：加性白噪声（Additive White Gaussian Noise）18. QAM：正交振幅调制（Quadrature Amplitude Modulation）19. BPSK：二进制相移键控（Binary Phase-Shift Keying）20. FSK：频移键控（Frequency-Shift Keying）这些缩写在数字信号处理的理论、算法、实现中都有广泛应用，了解这些缩写有助于更好地理解和掌握数字信号处理相关知识。

4 DFT 总结DFT 的定义是针对任意的离散序列)(nTs x 中的有限个离散抽样)0(N n <≤的，它并不要求该序列具有周期性。

由DFT 求出的离散谱)()(Z k NT k H H k H S k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∆是离散的周期函数，周期为s s s f T NT N T N Nf ====1/00、离散间隔为0011f T N f NT s s ===。

离散谱关于变元k 的周期为N 。

如果称离散谱经过IDFT 所得到的序列为重建信号，))(('Z n nTs x ∈，则重建信号是离散的周期函数，周期为001f T NT s ==(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为001/Nf N T N NT T s s ===(对应离散谱周期的倒数)。

经IDFT 重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为S NT T f 1100==。

实序列的离散谱关于原点和2N (如果N 是偶数)是共轭对称和幅度对称的。

因此，真正有用的频谱信息可以从0~12-N 范围获得，从低频到高频。

在时域和频域N ~0范围内的N 点分别是各自的主值区间或主值周期。

5 DFT 性质线性性：对任意常数m a (M m ≤≤1)，有[]∑∑==⇔⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡M m m m M m m m n x DFT a n x a DFT 11)()( 奇偶虚实性：DFT 的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。

DFT 有如下的奇偶虚实特性：奇⇔奇；偶⇔偶；实偶⇔实偶；实奇⇔虚奇；实 ⇔(实偶) + j(实奇)；实 ⇔(实偶)·EXP(实奇)。

反褶和共轭性：对偶性：)()(k Nx n X -⇔把离散谱序列当成时域序列进行DFT ，结果是原时域序列反褶的N 倍；如果原序列具有偶对称性，则DFT 结果是原时域序列的N 倍。

时移性：km N W k X m n x )()(⇔-。

理解DFT离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理（DSP）领域中一种重要的数学工具，它可以将一个离散序列转换为一组复数系数，表示了这个序列在频域上的频率成分。

DFT的基本原理是将一个长度为N的离散序列进行周期延拓，并将其分解成N个基频为1/N的正弦和余弦函数。

它可以看作是连续傅里叶变换（CFT）的一个离散化版本，将连续信号在时域上采样得到的离散信号在频域上进行分析。

DFT的数学表达式为：X(k) = Σ(x(n) * exp(-j * 2π * nk / N))其中X(k)为频域上的复数系数，表示了信号在不同频率分量上的幅度和相位；x(n)为时域上的离散信号；k为频域上的频率索引，取值范围为0到N-1；N为序列的长度。

通过计算DFT，可以得到信号在频域上不同频率分量的幅度和相位信息。

DFT的输出是一个复数序列，其中实部表示对应频率上的幅度，虚部表示对应频率上的相位。

可以用幅度谱和相位谱来表示信号在频域上的性质。

DFT的应用十分广泛，特别是在信号分析、通信系统、图像处理和音频处理等领域。

以下是DFT的几个常见应用：1.频谱分析：通过计算DFT，可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号的频谱信息。

频谱分析可以用于信号的特征提取、频率成分的识别和滤波器的设计等方面。

2.信号压缩：DFT可以将信号从时域转换到频域，在频域上对信号进行压缩处理，去除一些频率成分上的冗余信息。

这样可以实现信号的压缩存储和传输，提高对信号的处理效率。

3.图像处理：图像可以看作是一个二维离散信号，通过对图像的每个像素进行DFT计算，可以将图像从空域转换到频域上进行处理。

在图像处理中，DFT经常用于图像滤波、图像压缩和图像增强等应用。

4.音频处理：声音可以看作是一个一维离散信号，在音频处理中，通常通过对声音信号进行DFT计算，得到声音的频谱信息，可以用于音频的降噪、声音特征提取、声音合成等方面。

dft原理离散 Fourier 变换（DFT）是一种将一个离散信号转换为一组复数系数的数学操作。

它是一种基于傅立叶变换的离散版本，用来分析信号的频谱特征。

DFT 的定义是通过一组离散的样本点来估计一个信号在频域上的表示。

给定一个包含 N 个样本点的序列 x[n]，其中 n 表示时间下标。

那么可以通过离散 Fourier 变换将它转换为一个具有 N 个复数系数的序列 X[k]，其中 k 表示频域下标。

DFT 的计算公式如下所示：X[k] = Σ(x[n] * e^(-j * 2πkn/N))其中，e 是自然常数的复数指数形式，而 j 是虚数单位。

通过该公式，可以逐个计算每个频域下标对应的复数系数。

DFT 的主要思想是将时域信号表示为频域上各个频率分量的线性组合。

这使得我们可以从频谱图中获取关于信号的频率成分的重要信息。

DFT 的输出结果通常表示为振幅谱或相位谱。

振幅谱可以告诉我们信号在不同频率上的幅度大小，而相位谱可以告诉我们信号在不同频率上的相对相位信息。

DFT 还具有一些重要的性质，比如线性性、时移性和频移性。

线性性表示 DFT 可以对信号进行线性叠加，时移性表示在时域上对信号进行延迟，相应的频谱不会发生改变，频移性表示在频域上对信号进行频率偏移，相应的时域信号也会发生相同的频率偏移。

DFT 在数字信号处理领域中被广泛应用，比如音频处理、图像处理和通信系统等。

它不仅可以用于信号的频域分析，还可以用于谱估计、滤波和信号重构等任务。

总之，DFT 是一种将离散信号从时域转换到频域的数学工具，可以帮助我们理解和处理信号的频谱特性。

通过 DFT，我们可以将信号分解为不同频率的分量，为进一步的信号处理提供了重要的基础。

第三章．离散傅里叶变换（DFT ）一 离散傅里叶变换的定义及物理意义1 DFT 定义设x(n)是一个长度为M 的有限长序列10()[()]()0,1,,1N kn N n X k D FT x n x n Wk N -====-∑ 逆变换：101()[()]()N kn N k x n ID FT X k X k W N --===∑2 DFT 与傅里叶变换和z 变换的关系2()()j kN z e X k X z π== 3 DET 的隐含周期性在进行DFT 时，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来考虑的。

因此，凡是涉及DFT 关系，都隐含有周期性意义二：离散傅里叶变换的基本性质1. 线性性质1212[()()]()()D FT ax n bx n aX k bX k +=+ a ，b 为常数2. 循环移位性质2,1序列的循环移位长度为N 的有限长序列x (n )的圆周移位定义为N N y(n )x ((n m ))R (n )=+2.2 时域循环移位定理设x (n )是长度为N 的有限长序列，y (n )为x (n )圆周移位则圆周移位后的DFT 为()[()][(())()]()m k N N N Y k D FT y n D FT x n m R n W X k -==+=2.3频域循环移位定理频域有限长序列X (k )，也可看成是分布在一个N 等分的圆周上由于频域与时域的对偶关系，有如下性质若 ()[()]X k DFT x n =则 2[(())()]()()j nl nl N N N N IDFT X k l R k W x n ex n π-+==3 循环卷积定理3.1定义：设x 1(n )和x 2(n )都是点数为N 的有限长序列（0≤n ≤N -1），且有：1122[()]()[()]()DFT x n X k DFT x n X k ==若12()()()Y k X k X k =则11201210()[()]()(())()()(())()N N N m N N N m y n ID FT Y k x m x n m R n xm x n m R n -=-===-=-∑∑上式所表示的运算称为x 1(n )和x 2(n )的N 点圆周卷积3.2 循环卷积定理若12()()()y n x n x n = x 1(n )，x 2(n )皆为N 点有限长序列则 1120121012()[()]1()(())()1()(())()1()()N N N l N N N l Y k D FT y n X l X k l R k NX l X k l R k NX k X k N -=-===-=-=∑∑ 3.3 复共轭序列的DFT设x *(n )为x (n )的共轭复序列，已知X (k )= DFT[x (n )]则DFT ［x *(n )］=X *(N-k ) 0≤k ≤N -1且 X (N )=X (0)3.4 共轭对称性三 频域采样1频域采样定理如果序列x (n )长度为M ，则只有当频域采样点数N>M 时，才有()()()()()()N N N N r x n x n R n x n rN R n x n ∞=-∞==+=∑即由频域采样X (k )恢复原序列x (n )，否则产生时域混叠现象。

数字信号处理中的离散傅里叶变换数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是在数字计算机或数字信号处理器上对信号进行处理和分析的一种技术。

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）作为DSP中的重要方法之一，在信号处理的各个领域都发挥着重要的作用。

一、离散傅里叶变换的定义和原理离散傅里叶变换是将离散的时间域信号转换为频域信号的一种方法，它可以将信号从时域转换到频域进行分析。

DFT的定义如下：$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$其中，$x[n]$为离散时间域信号，$X[k]$为离散频域信号，$N$为信号的长度，$k$为频域的索引。

离散傅里叶变换可以看作是对信号进行一系列的乘法和求和操作，它使用复指数函数作为基函数来表示信号。

通过将信号与不同频率的正弦波进行内积操作，可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息，从而实现频谱的分析。

二、离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质对于信号处理和频域分析非常有用。

以下是几个常见的性质：1. 线性性质：DFT是线性变换，即对两个信号的和进行DFT等于分别对这两个信号进行DFT后再求和。

2. 周期性：若信号的长度为$N$，则DFT系数$X[k]$具有周期性，周期为$N$。

3. 对称性：若信号的长度为$N$，则当$k$取$N-k$时，$X[k]$与$X[N-k]$相等。

4. 移位性质：对于一个时域序列$x[n]$，将其向右移动$m$个位置得到新的序列$x[n-m]$，则对应的DFT系数$X[k]$只需将原始的$X[k]$循环右移$m$个位置得到。

三、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，以下列举几个典型的应用场景：1. 信号分析：通过DFT可以将信号从时域转换到频域，得到信号在不同频率上的能量分布情况。

前几天上数字信号处理（本以为第二次上这个课只是简单地重复过去学习过的内容，但是这次有了很多新的发现），书上说对时域信号补零之后再作DFT并不能提高频谱的频率分辨率，提高采样频率也不能提高DFT谱的频率分辨率。

这个很新鲜，以前上课时没有考虑过这个问题，以前的课本好像也没有开辟专门的章节论述这个问题。

提高采样频率不能提高频率分辨率的原因其实很简单，因为提高了采样频率，虽然在相同的观察时长那的点数增多了，但与此同时采样频率也变大了，点数增加几倍采样频率增加几倍，所以不改变观察时长而仅仅提高采样频率并不能提高DFT谱的频率分辨率。

但是时域补零呢？采样频率没有变化，而点数增加无疑会减小DFT谱的相邻谱线间隔，相邻谱线间隔的缩小为什么不能提高频率的分辨率呢？书上是这样写的：“错把‘计算分辨率’当成了‘物理分辨率’……补零没有对原信号增加任何新的信息，因此不可能提高分辨率。

但补零……补零还可以对原X(k)做插值。

”（《数字信号处理——理论、算法与实现（第二版）》清华大学出版社，胡广书）为了更好地理解这个问题，我又一次借用MATLAB的强大力量，写了一个简单的程序如下：%点数n=0:127;%频率f=0.1;%信号，正弦叠加矩形y1=sin(2*pi*f*n);y1(1:16)=y1(1:16)+1;%绘制y1的fft谱幅度%谱线较多，直接画的包络figure;plot(abs(fft(y1)));%对信号进行截短y2s=y1(1:32);%绘制y1截断后没有补零的fft谱幅度figure;fy2s=abs(fft(y2s));stem(fy2s);%然后补零使y1和y2一样长y2=[y2s zeros(1,128-32)];%打开一个绘图窗口figure;%绘制y1的fft谱幅度%谱线较多，直接画包络plot(abs(fft(y1)));%在同一个figure中继续绘图hold on;%绘制y2的fft谱幅度(红色)%谱线较多，直接画包络plot(abs(fft(y2)),'r');%绘制y2s的fft幅度谱stem(1:4:128,fy2s,'k');hold off;程序生成的图像如下：图1（原信号的谱，因为点数较多，绘制的是包络）图2（截短信号的谱）图3（比较原信号【蓝】，截短信号【黑】，补零信号【红】三者谱的关系，补零信号的谱由于点数较多，绘制的是包络）程序的大意是：首先生成了一个长度为128点的信号，绘制了它的DFT谱，然后将该信号截短，求其DFT谱，然后对截短的信号补零，使其长度为128点再求DFT谱，并将原信号的谱与补零信号的谱进行比较，结果一目了然。