北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：三角函数

数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 27 —
(4)三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性 质，如在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0，则为奇函数，若y为最大或最小值， 则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函 数，则φ＝2π＋kπ(k∈Z)．
A．y＝fx－π4为奇函数 B．y＝fx－4π为偶函数 C．y＝fx＋4π－1为奇函数 D．y＝fx＋π4－1为偶函数
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin
ωx＋π4
＋b(ω>0)的最小正周期为T.若
2π 3
<T<π，且y＝f(x)的图象关于点32π，2中心对称，则fπ2＝( A )
— 10 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
2．(易错题)(2023·宜昌检测)下列函数中，在其定义域上是偶函数的是( B )
A．y＝sin x
B．y＝sin x
C．y＝tan x
D．y＝cosx－π2
解析 对于A，∵y＝sin x的定义域为R，sin(－x)＝－sin x，∴y＝sin x为奇函
数，A错误；对于B，∵y＝
sin
x
的定义域为R，
sin－x
＝
－sin
x
＝
sin
x
，∴y＝
sin x为偶函数，B正确；对于C，∵y＝tan x的定义域为kπ－π2，kπ＋2π(k∈Z)，即定 义域关于原点对称，tan(－x)＝－tan x，∴y＝tan x为奇函数，C错误；对于D，∵y＝

[第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2013·石家庄检测] 若α是第四象限的角，则下列函数值一定是负值的是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．tan α2D ．cos2α2．[2013·东北师大附中检测] 已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A ．第二或第四象限B ．第一或第三象限C ．第二或第四象限或x 轴上D ．第一或第四象限或x 轴上3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4C ．1或4D ．2或44．点P 从点(0，1)开始沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针第一次运动到点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22时，转过的角是________．能力提升5．[2013·唐山检测] 已知sin θ＝34，且角θ的终边在第二象限，那么2θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．[2013·山西实验中学检测] 下列说法正确的是( ) A ．第二象限的角比第一象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 7．记a ＝sin(cos2 010°)，b ＝si n(sin2 010°)，c ＝cos(sin2 010°)，d ＝cos(cos2 010°)，则a ，b ，c ，d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d8．已知角α的终边上一点的坐标为sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正角是( )A.11π6 B.12π7 C.2π3 D.π39．已知△ABC 是锐角三角形，则点P cos B －sin A ，tan B －1tan C在第________象限．10．[2013·长春实验中学检测] 已知扇形AOB 的圆心角∠AOB 为120°，半径长为6，则弓形AOB 的面积是________．11．函数y ＝sin x ＋lg(2cos x －1)的定义域为________________．12．(13分)如图K17－1，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限．C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形． (1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .难点突破13．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点P 12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．课时作业(十七)【基础热身】1．C [解析] ∵2k π＋3π2<α<2k π＋2π，k∈Z ，∴k π＋3π4<α2<k π＋π，k ∈Z ，∴α2在第二或第四象限，tan α2<0一定成立． 2．C [解析] |cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，即θ的终边在第四象限或x 轴正半轴上．∴θ2在第二或第四象限或x 轴上．3．C [解析] 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.4．－34π [解析] 点P 转过的角的绝对值为34π，顺时针旋转应为负角，所以转过的角是－34π.【能力提升】5．C [解析] 由θ的终边在第二象限，得π2＋2k π<θ<π＋2k π(k ∈Z )，又sin θ＝34>22，则π2＋2k π<θ<3π4＋2k π(k ∈Z )，∴π＋4k π<2θ<3π2＋4k π(k ∈Z )，即2θ的终边在第三象限，故选C.6．D [解析] 排除法可解．第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A 错误；当sin α＝12时，也可能α＝5π6，所以B 错误；当三角形内角为π2时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角．7．C [解析] 注意到2 010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2 010°＝－sin30°＝－12，cos2 010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0，0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－sin 32<0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－sin 12<0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos 12>0，d ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝cos 32>0，∴c >d ，因此选C. 8．A [解析] 由sin 2π3＞0，cos 2π3＜0知角α的终边在第四象限，又tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，故α的最小正角为11π6. 9．二 [解析] ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，且A ＋B >π2，B ＋C >π2，∴π2>A >π2－B >0，π2>B >π2－C >0. ∵y ＝sin x 与y ＝t an x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上都是增函数，∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，tan B >tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C ， ∴sin A >cos B ，tan B >1tan C，∴P 在第二象限．10．12π－9 3 [解析] ∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，如图所示，∵S扇形OAB ＝12×4π×6＝12π，S △OAB ＝12·OA ·OB ·sin120°＝12×6×6×sin120°＝93，∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－∴弓形AOB 的面积为12π－9 3. 11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，2k π－π3<x <2k π＋π3(k ∈Z )．∴2k π≤x <2k π＋π3(k ∈Z )，故此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z .12．解：(1)因为A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45. (2)因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°，sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，所以cos ∠COB ＝cos (∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos60°－sin ∠COA sin60°＝35×12－45×32＝3－4310.【难点突破】13．解：(1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1， 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010.。

数学高考综合能力题选讲6三角函数与三角形题型预测考试说明中明确要求：要掌握正、余弦定理及其推导过程，并能运用它们来解三角形．这一类型的题目在高考中也时有出现．因此，在复习中要重视题型：运用三角恒等变换，三角函数的图象性质，结合正、余弦定理、三角形的内角和定理来解涉及三角形的问题．范例选讲例1在中，角所对的边分别为．若，求角．讲解：解三角形的问题，对于已知条件的变形一般有两种思路：（1）把边转化为角；（2）把角转化为边．本题中，由于解题目标是求角度，利用正弦定理，将已知等式中的边转化为角．可得.对上式进行恒等变形时，应将角B、C向所求角转化．考虑到，故有，∴.又∵ ,∴ ,即，由，可解得．点评正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、内角和公式是解三角形时常用的工具．例2 在△ABC中，已知.（1）若任意交换的位置，的值是否会发生变化?试证明你的结论；（2）求的最大值.讲解（1）看到这样一个问题，我们不要急于交换的位置，而应该先想一想：在什么情况下，交换的位置，不会导致的值改变？答案应该是明显的，那就是当这个表达式是关于的对称关系式时．基于这样的想法，我们应该首先对这个表达式进行恒等变形．∵，∴任意交换的位置，的值不会发生变化．（2）如何求出的最大值？从（1）的结论来看，既然在表达式中的位置是平等的，那么，我们是否可以做这样的猜想：当时，取得最值．这样的猜想是否正确？我们可以用特殊值来验证．不难得出结论：猜想可能是正确的，且所取到的最值应是最大值．接下来的问题是：如何从理论上来证明这一点？有下面几种不同的处理办法：法一将看作是关于的二次函数..所以，当，且取到最大值1时，也即时，取得最大值．法二用调整的方法, 也即对于每个固定的的值，去调整，求出取得最大值时所满足的条件．对于，如果固定，则可将看作是关于的一次或常数函数．为了讨论其最大值，显然应该考虑的符号，并由此展开讨论．若，则，所以，，所以，所以，只需考虑的情形．此时是关于的常数函数或单调递增的一次函数，因此，最大值必可在（即）时取得．所以，，等号当且仅当时取得．点评根据已知条件做出合理猜想，常常是探求结论的有效方法．编者注。

三角函数的的图像与性质训练一、选择题：1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ） A ．0 B ．4π C.2πD.π 2．函数22()lg(sin cos )f x x x =-的定义城是（ ） A.322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ B.522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭ C.,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ D.3,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭3．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．方程1sin 4x x π=的解的个数是（ ）A.5 B.6 C.7 D.8 5．如果函数()sin()(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T ,且当2x =时取得最大值,那么（ ）A.2,2T πθ==B.1,T θπ==C.2,T θπ==D.1,2T πθ==6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()(),66f x f x ππ+=-则()6f π等于（ ） A. 2或0 B. 2-或2 C. 0 D. 2-或07．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于（ ） A. 1C. 0D.8．已知1A ，2A ，…n A 为凸多边形的内角，且0sin lg .....sin lg sin lg 21=+++n A A A ，则这个多边形是（ ）A ．正六边形B ．梯形C ．矩形D ．含锐角菱形9．函数2cos 3cos 2++=x x y 的最小值为（ ）A ．2 B ．0 C ．1 D ．6 10．函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象关于（ ）A ．点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．直线x π=4对称 C ．点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称 D ．直线x π=3对称 11．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数12．函数22cos y x =的一个单调增区间是（ ） Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，13．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 14．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2[0,]πω上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对,A a 的描述正确的是（ ） A.13,22a A => B.13,22a A =≤ C.1,1a A =≥ D.1,1a A =≤ 15．使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25B ．π45C ．πD ．π2316．已知ABC ∆是锐角三角形，sin sin ,cos cos ,P A B Q A B =+=+则（ ） A.P Q < B.P Q > C.P Q = D.P 与Q 的大小不能确定 二、填空题： 17．函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为____ ____.18．函数)sin(cos lg x y =的定义域为_____________________。