第三章 随机过程
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3-1、设X是0,1a的高斯随机变量，试确定随机变量YcXd的概率密度函数()fy，其中,cd均为常数。
解：由题得：2()0,()1ExaDx
()()()EyEcxdcExdcadd
222()()DyDcxdcc
221()()exp[]22xdfycc
3-2、设随机过程()t可表示成()2cos(2)tt，式中是一个离散随机变量，且11(0),()222PP,试求(1)E和(0,1)R
解：首先应理解(1)E和(0,1)R的含义，(1)E是指当t=1时，所得随机变量的均值，(0,1)R 是指当t=0和t=1时，所得的两个随机变量的自相关函数。
111[2cos(2)][2cos(2)]2(cos0cos)1222tEEE
22211(0,1)[(0)(1)][2cos2cos(2)]4[cos]4(cos0cos)2222REEE
3-3、设1020()cossinztxtxt是一随机过程，若1x和2x是彼此独立且具有均值为0，方差为2的正态随机变量，试求：
（1）2[()],[()]EztEzt
（2）z(t)的一维分布密度函数f(z)；
（3）12(,)Btt和12(,)Rtt
解：（1）由已知条件12[][]0EXEX且1x和2x彼此相互独立。
所以1212[][][]0EXXEXEX
212()()DxDx，而222[][]ExEx
所以222111[]()[]ExDxEx
同理 222[]Ex
10200102[()][cossin]cos[]sin[]0EztExtxttExtEx
2210202222102012002201020012222200[()][(cossin)][cossin2cossin]cos2[]sin[]2cossin[](cossin)EztExtxtExtxtxxtttExtExttExxtt
（2）由于1x和2x是彼此独立的正态随机变量且()zt是1x和2x的线性组合，所以z也是均值为0，方差为2的正态随机变量，其一维概率密度为
221()exp()22zfz
（3）1,2121012011022022010201022012()[()()]{[cossin][cossin]}[coscossinsin][cos()]RttEztztExtxtxtxttttttt
令12tt，则21,20()cosRtt
2121212120(,)(,)[()][()](,)cosBttRttEztEztRtt
3-4、已知()xt与()yt是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为12(),aa，自相关函数分别为(),()xyRR。
（1）求乘积()()()ztxtyt的自相关函数。
（2）求之和()()()ztxtyt的自相关函数。
解：（1）已知(),()xtyt是统计独立的平稳随机过程
1,21122121212121,21,2()[()()][()()()()][()()()()][()()[()()]()()()()()xyxysRttEztztExtytxtytExtxtytytExtxtEytytRttRttRRR
所以，()zt也是平稳随机过程，且有，()()()xysRRR
（2）
1,21211212122112122112()[()()]{[()()][()()][()()()()()()()()]()()()()2xyxyRttEztztExtytxtytExtxtxtytxtytytytRaaaaRRRaa
3-5、若随机过程0()()cos()ztmtt，其中()mt是宽平稳随机过程，且自相关函数1,10()1,010,mR其它
是服从均匀分布的随机变量，他与()mt彼此统计独立。
（1） 证明是宽平稳的；
（2） 绘出自相关函数()zR的波形；
（3） 求功率谱密度()zR及功率S。
解：（1）因为()mt是宽平稳的随机过程，所以其均值[()]Emt（常数）
是服从均匀分布的，所以(),(02)2f，又因为是与()mt彼此独立的
所以
000002000[()][()cos()]{()[coscossinsin]}[()][coscossinsin]}1[coscossinsin]02EztEmttEmtttEmtEttttd
1,212101202120102012021012012012()[()()][()cos()()cos()][()()][cos()cos()]0.5(){cos[()2]cos()}0.5(){[cos()][cos()]cos2sin()sin2RttEztztEmttmttEmtmtEttRmEttttRmEttEtttt0210}0.5(){[cos()]0}0.5()cosRmEttRm
令21tt，由于1,2()Rtt与时间起点无关，而只与时间间隔有关，且[()]0Ezt与
时间无关，所以()zt是宽平稳的。
（2）0000.5(1)cos,10()0.5()cos0.5(1)cos,010,zmRRelse
()zR的波形可以看成一个余弦函数和一个三角波的乘积．如图3-1所示。
（3）因为z（t）是宽平稳的，所以，()()zzPP
20022001()[()()]0.5()22()()1{}422zPSaSaSa
1(0)2zSR
图 3-1
3-6、已知噪声()nt的自相关函数()2naRe，a为常数；
（1）求()nP及S；
（2）绘出()nR及()nP的图形。
解：（1）由已知条件n(t)是平稳随机过程，则有()()zzPP
222222()()2(0)2jnnnaaaPRedaaaSR
（2）()nR及()nP的图形如图 3-2所示。
图 3-2
3-7、一个均值为a，自相关函数为()xR的平稳随机过程()t通过一个线性系统后的输出过程为0()()()tttT，T为延迟时间
（1）试画出该线性系统的框图；
（2）试求()Yt的自相关函数和功率谱密度。
解：（1）线性系统框图如图3-3所以。
图 3-3
（2）解法一：
0112()()()()[()()]tttTREtt 21tt
120102112212121212(,)[()()]{[()()][()()]}[()()()()()()()()]2()()()RttEttEttTttTEttttTtTttTtTRRTRT
令21tt
根据00()()PR，()()RP
0()2()()()()(2)2()(1cos)jjjjPPPePePeePT
解法二：利用公式20()()()PHP求解
该系统的单位冲激响应 ()()()htttT
其相应的传递函数 2222()1()2cos2TTTTjjjjjTTHeeeee
所以 20()()()2(1cos)()PHPTP
3-8、将一个均值为零，功率谱密度为02n的高斯白噪声加到一个中心频率为0，带宽为B的理想带通滤波器上，如图3-4所示。
（1）求滤波器输出噪声的自相关函数；
（2）滤波器输出噪声的平均功率；
（3）写出输出噪声的一维概率密度函数。
图 3-4
解：（1）将高斯白噪声加到一个理想带通滤波器上，其输出是一个窄高斯白噪声。
1,()0,ccBBHelse
0201,()()()20,ccnBBPHPelse
又因为，00()()PP
0000000000111()()22222()cosBBjjjBBnnPPededednBSaB
()ont的平均功率 0(0)ooNRnB
或 0()ooNPfdfnB
（2）因为高斯过程经过线性系统后仍是高斯过程，所以输出过程的一维概率密度函数为
221()()exp[]22xafx
因为 [()]0iEt
所以，02000[()][()](0)0(0)()iaEtEtHRRnB
所以输出噪声的一维概率密度函数为
2220011()exp[]exp[]2222xxfxnBnB
3-9、RC低通滤波器如图3-5所示。当输入均值为零，功率谱密度为02n的高斯白噪声时：
（1）求输出过程的功率谱密度和自相关函数；
（2）求输出过程的一维概率密度函数。
图 3-5
解：（1）11()11jCHjRCRjC
221()1()HRC
输出功率谱密度为
20021()()()21()inPHPRC
因为00()()PP，利用222aaea
自相关函数00()exp()4nRRCRC
（2）因为高斯过程通过线性系统后仍是高斯过程。
[()][()](0)0iEtEtH
2000(0)()4nRRRC
所以输出过程的一维概率密度函数为
221()exp()22xfx
