导数及其应用

3.1导数及其应用

雍国杰 赵文奎

一、知识结构

应用

二、重点、难点

教学重点：运用导数方法判断函数的单调性和运用导数的几何意义解决曲线的切线方程问题。

教学难点：灵活运用导数知识解决实际问题

三、关注的问题

对导数概念的理解不到位，对复合函数求导不准确，对函数单调区间、极值、最值过程不够熟悉，导致不能灵活解决导数有关问题。

四、高考分析及预测

导数属于新增内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。主要考查导数有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。

新课标要求

1. 了解导数概念的某些实际背景瞬时速度,加速度等),掌握函数在一点处的导数的定义及其几何意义,理解导函数的概念.

2. 熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单复合函数的导数.

重难点聚焦

重点:理解导数的概念及常见函数的导数

难点:理解导数与复合函数的导数.

高考分析及预测

在高考中,常以选择或填空的形式考查导数的概念,及几何意义,也以解答题的形式考查与切线有关的综合性题目,难度不大.

要点梳理

1． 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率导 数

导数几何意义 导数的运算法则

曲线的切线 函数的单调性 函数的极值、最值 多项式的导数 可表示为ΔyΔx.

2． 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0 ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3． 函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4． 基本初等函数的导数公式

5. 导数的运算法则

[难点正本 疑点清源]

1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系

(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；

(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．

2． 曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系

(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

题型一 导数的概念

【例1】 已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x，求0Δlimxf(1－2Δx)－f(1)Δx的值.

【解析】由导数的定义知： 0Δlimxf(1－2Δx)－f(1)Δx＝－20Δlimxf(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20.

【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时， 平均变化率ΔyΔx的极限.

【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t＝10 min的降雨强度为( )

A.15 mm/min B.14 mm/min C.12 mm/min D.1mm/min 【解析】选A.

题型二 求导函数

【例2】 求下列函数的导数.

(1)y＝ln(x＋1＋x2)； (2)y＝(x2－2x＋3)e2x； (3)y＝3x1－x.

【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.

(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x＝2(x2－x＋2)e2x.

(3)y′＝13(x1－x32)1－x＋x(1－x)2 ＝13(x1－x32)1(1－x)2 ＝13x32 (1－x) 34

【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝ ；0Δlimxf(1＋Δx)－f(1)Δx＝ (用数字作答).

【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，由导数定义0Δlimxf(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1).

当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.

题型三 利用导数求切线的斜率

【例3】 已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x， 直线l：y＝kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.

【解析】由l过原点，知k＝y0x0 (x0≠0)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0＝x30－3x20＋2x0，

所以 y0x0＝x20－3x0＋2.

而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x20－6x0＋2. 又 k＝y0x0，

所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，解得x0＝32.

所以y0＝－38，所以k＝y0x0＝－14，

所以直线l的方程为y＝－14x，切点坐标为(32，－38).

【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.

【变式训练3】若函数y＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.

【解析】设切点为P(x0，y0)，则由y′＝3x2－3得切线的斜率为k＝3x20－3.

所以函数y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(3x20－3)(x－x0).

又切线经过点(－2,2)，得2－y0＝(3x20－3)(－2－x0)，①

而切点在曲线上，得y0＝x30－3x0＋4， ②

由①②解得x0＝1或x0＝－2.

则切线方程为y＝2 或 9x－y＋20＝0.

总结提高

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：

(1) 导数的定义，即求0ΔlimxΔyΔx＝0Δlimxf(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；

(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.

2.求y＝f(x)的导函数的几种方法：

(1)利用常见函数的导数公式；(2)利用四则运算的导数公式；(3)利用复合函数的求导方法. 3.导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数y＝f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.

反馈练习

1． f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．

2. 如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)

＋f′(5)＝______.

3． 已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.

4． 已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________．

5．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为____________．