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人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《导数及其应用》全章复习与巩固课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容《导数及其应用》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 1.基本初等函数的导数基本初等函数 导数 特别地常数函数()y c c =为常数 '0y ='0π=，'=0e幂函数()ny xn =为有理数1n y n x -=⋅211'x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'2x x =指数函数xy a = 'ln x y a a =⋅()'xxe e=对数函数log a y x = 1'ln y x a =⋅()1ln 'x x=正弦函数sin y x = 'cos y x =()2sin 1tan '='=cos cos x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2cos 1cot '='=sin sin x x x x⎛⎫⎪⎝⎭ 余弦函数cos y x ='sin y x =-要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 2.和、差、积、商的导数要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦．3.复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅．1xe ； ()25x x+；(1)求a ，b ；(2)求函数()f x 在()[0] 0t t >，内的最大值和最小值．【变式2】设函数()2=++ln f x x ax b x ，曲线()y f x ＝过()10P ，，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：()22f x x ≤－.例4. 设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值1-.(Ⅰ)求a b 、的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间.举一反三：【变式1】如果函数()=y f x 的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()=y f x 在区间132⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内单调递增；②函数()=y f x 在区间132⎛⎫- ⎪⎝⎭，内单调递减；③函数()=y f x 在区间(4,5)内单调递增；【变式2】已知()32(f x ax bx x a b ∈R ＝＋＋，、且0)ab ≠的图象如图所示，若12x x >，则有( ) A ．a>0，b>0B ．a<0，b<0C ．a<0，b>0D ．a>0，b<0类型六：导数的实际应用例8. 某商场预计2010年从1月份起前x 个月，顾客对某种商品的需求总量p (x )件与月份x 的近似关系是p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)． 该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )＝150＋2x (x ∈N *，且x ≤12)，(1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？举一反三：【变式】一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km /h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100km /h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？32x x 在0p 处的切线平行于直线41x ，则0p B 1,4)-- D x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A ．2R 和32R B ．55R 和455R C ．45R 和75R D ．以上都不对 5. 已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )6. 设R a ∈，若函数x e y ax 3+=，（R x ∈）有大于零的极值点，则（ ）A. 3a <-B. 3a >-C. 13a <-D. 13a >-7．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152 D ．有最小值－152 二、填空题8．函数()ln x f x x=的单调递减区间是_ _____． 9．．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________．10. 函数32()3f x x a x a =-+（0a >）的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围 。
第三章 导数及其应用
一、变化率与导数
()()()()()()()()
000000000000000
10,0lim
lim lim
.
x x x x x y f x x x x x y
y x x x x
x y x x f x x f x y
x x
y x x f x y f x x f x f x x
∆→∆→=∆→==∆∆≠∆∆+∆∆∆→=+∆-∆=∆∆=+∆-=∆＇＇＇、定义：设在处取得一个增量.
函数值也得到一个增量称
为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函
数在处的导数，记作或,即
()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率.
()()00.
PT x f x P PT f x k ∆→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即
()()()()003==lim
lim .
x x f x x f x y
y f x y f x y x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆＇＇＇＇、导函数（简称为导数）
称为导函数，记作，即
二、？
三、
常见函数的导数公式
1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；
2 若()f x x α=,则1
()f x x αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
5 若()x f x a =,则()ln x
f x a a '=
6 若()x f x e =,则()x
f x e '=
7 若()log x
a f x =,则1
()ln f x x a
'=
8 若()ln f x x =,则1()f x x
'=
四、导数的运算法则
:
1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•
3. 2
()()()()()
[
]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'=
四、复合函数求导
()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数，则
五、导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
*
（1）在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.
()()()()()()()()()()()()()()33=0000,000,f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f f x f x x ==>==>=＇＇＇＇＇＇＇＇说明：①若在定义域区间上不是单调的，则常常用的点划分的单调区间.
②若在某个区间恒有，则是常函数；若在某个区间内只有有限个点使，其余恒有则仍为增函数.
例如：在R 上有，其余恒有，仍为R 上的增函数，
其函数图像为：
(())()
y f g x g x '''=•
()()()()20.0.
f x f x f x f x ><＇＇＇（）求单调区间的步骤：
①求的定义域；②求导；
③令，解集在定义域内的部分为增区间④令，解集在定义域内的部分为减区间
“”“”“”“”.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用、或相连，应该用，隔开或用和
|
()()()()3“00?f x f x f x f x ≥≤＇＇（）一种常见的题型：
已知函数的单调性求参数的取值范围，利用若单调递增，则；若单调递减，则来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！
2.函数的极值与导数 （1）极大、极小值得定义：
()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x <①若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极 大值称是极大值点.
()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x >②若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极 小值称是极小值点.
说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.
#
（2）求函数的极值的步骤：
()()()()()()()()()()00000000=0I 0,0,;II 0,0,;III f x f x x x f x x f x f x f x x f x f x f x x f x x <>><＇＇＇＇＇＇＇①确定定义区间，求导；②求方程的解；③检查左右两边的符号：
、如果在附近的左侧右侧那么是极大值、如果在附近的左侧右侧那么是极小值、如果在左右两侧导函数不改变符号，那么在处无极值.
说明：在解答过程中通常用列表：
|
3、函数的最值与导数
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；
②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.
~
4、生活中的优化问题
解决优化问题的基本思路：
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
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/
//
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“”1020
30x x n n n n f x f x e f x e f x f x xf x f x xf x xf x f x xf x nf x x f x x f x nx f x x xf x nf x x --⎡⎤⎡⎤+≥=+⎣⎦⎣⎦
+≥=+⎡⎤⎣⎦
⎡⎤⎡⎤+≥=+=+⎣⎦⎣⎦
扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为加型
构造构造构造注意对的符号进行讨论
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()
///
22/
//
2/
/1//
21“”10
2030x x x x x n n n n n f x f x e f x e f x f x f x f x e e e f x xf x f x xf x f x x x f x x f x nx f x xf x nf x xf x nf x x x x x -+⎡⎤--⎢⎥-≥==⎢⎥⎣⎦
-⎡⎤-≥=
⎢⎥⎣⎦
--⎡⎤-≥==⎢⎥⎣⎦2、关系式为减型
构造构造构造注意对的符号进行讨论。
