人教版义务教育教材◎数学九年级上册
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21.3 实际问题与一元二次方程
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
1. 掌握用“倍数关系”、“面积法”等建立数学模型，并利用它解决实际问题．
2. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．
3. 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
教学重点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
教学难点
根据“倍数关系”、“面积法”等之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
课时安排
3课时.
教师备课系统──多媒体教案
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教案A
第1课时
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
教学重点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学难点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学过程
一、导入新课
师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．
试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 用一元二次方程解决传播类问题
知识要点基础练
知识点1 传播类问题
1.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人,则下列方程正确的是 (C)
A.1+x2=100
B.x2=100
C.(1+x)+x(1+x)=100
D.(1+x)+(1+x)2=100
2.今年冬天病毒性流感严重,巢湖一中的学生在一天中一个学生就能传染x个学生同时患上流感.若先有2人同时患上流感,2天后就有128个学生患上流感,则x的值为 (C)
A.11 B.6
C.7 D.8
【变式拓展】有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,按此传染速度若最初有4人患了流感,则第一轮传染后患上流感的总人数是 44 人.
3.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n= 10 . 知识点2 握手问题
4.合肥市第十五中学的同学毕业聚会时,每两个同学都握手一次,全班共握手36次,则参加这次同学聚会的有 (C)
A.7人 B.8人
C.9人 D.10人
5.(天津中考)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据时间和场地等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的解析式为 (B)
A.
x(x+1)=28
B.
x(x-1)=28
C.x(x+1)=28
D.x(x-1)=28
知识点3 数字问题
6.两个连续奇数的积是195,则这两个连续奇数的和是 (C)
A.28 B.24
C.±28 D.±24
7.两数之差为3,这两数的平方和为117,求这两数的积.
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21.3 实际问题与一元二次方程
同步讲解·新课堂
知识点1 传播/传染问题
1. 传播/传染模型1 最初传播源在以后每一轮仍然传播问题（病毒感染类）
方程模型：传播源×（1+每轮传播人数x）2=最终传染人数
2. 传播/传染模型2 最初传播源在以后每一轮不再传播问题（数值分叉类）
方程模型：
传播源+传播源×每轮传播人数+传播源×每轮传播人数×每轮传播人数=最终传染人数
知识点2 平均增长率（降低率）问题
1.平均增长率问题模型1 最后产量是b表示不累计的量
方程模型：原数×（1+平均增长率）2=新数
即a(1+x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均增长率）
（注意：解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．）
2.平均增长率问题模型2 最后产量是b表示总共累计的量
方程模型：原数+原数×（1+平均增长率）+原数×（1+平均增长率）2=新数
即a+a(1+x)+a(1+x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均增长率）
3. 平均降低率模型
原数×（1—平均增长率）2=新数
即a(1—x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均降低率）
（注意：1与x的位置不能调换，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．）
知识点3 比赛/握手/增贺卡/发微信/问题 2 1.单循环比赛/握手模型
方程模型：12总人数（总人数-）总次数
2.双循环比赛/互赠贺卡模型
方程模型：-1总人数总人数总次数
知识点4 营销利润问题（每每型问题）
1.方程模型：总利润=（售价－进价）×销售数量
题干中已知量为进价a元，原售价b元，销量m件，销量随售价提高（降低）d元而减少（增加）c件，获得利润w元.
（1）若设提（降）价x元，方程模型为:
①提价减销量：（b+x－a）（m－cxd）=w
①降价提销量：（b－x－a）（m+cxd）=w
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确 、 ，以及它们之间的关系．
（2）设：设出 ．
（3）列：找出 ，列出方程．
（4）解：解方程，求出 的值．
（5）验：检验 是否符合实际意义．
（6）答：写出 ．
2．常见实际问题
（1）传播问题：
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
（2）平均增长（降低）率问题：
①设基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的值为1ax，两次增长后的值为21ax，依次类推，n次增长后的值为 ．
②设基数为a，平均降低率为x，则第一次降低后的值为1ax，两次降低后的值为21ax，依次类推，n次降低后的值为 ．
（3）几何图形面积问题：学！科网
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成 ，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式或体积公式列出方程．
（4）数字问题：
若一个两位数十位、个位上的数字分别为a、b，则这个两位数表示为 ；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数表示为 ．
（5）单、双循环问题：
设参加队伍有n个队，则单循环问题中总的比赛场数为 场；双循环问题中总的比赛场数为 2
场．
（6）销售利润问题：
利润售价进价；利润售价进价利润率进价进价；
1售价进价利润率；总利润总售价总成本单个利润总销售．
（7）存款利息问题：
本息和本金利息；利息本金利率．
K知识参考答案：
1．（1）已知量，未知量（2）未知数（3）相等关系（4）未知数（5）方程的解（6）答案
