201X年秋九年级数学上册第22章一元二次方程小专题5根的判别式与三角形的综合应用作业课件新版华东师

*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和或两根之积1．［2016·黄冈］若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－43D.432．［2016·某某］一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根分别为x 1，x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1x 2＝2知识点 2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值3．若α，β是一元二次方程x 2＋2x －6＝0的两根，则α2＋β2＝( )A ．－6B ．32C ．16D ．404．［2017·某某］若方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1(1＋x 2)＋x 2的值为________． 知识点 3 已知方程及方程的一个根求方程的另一个根5．［2017·某某］已知关于x 的方程x 2＋x －a ＝0的一个根为2，则另一个根是( )A ．－3B ．－2C ．3D ．66．［2016·潍坊］关于x 的一元二次方程3x 2＋mx －8＝0有一个根是23，求该一元二次方程的另一个根及m 的值．7．若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或28．［教材练习第3(1)题变式］［2017·某某］关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m的值为( )A ．－8B ．8C ．16D ．－169．［2017·某某］定义运算：a ★b ＝a (1－b )．若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关10．［2017·某某］已知方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 12＋x 22＝________．11．［2017·某某］已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 12－x 22＝10，则a ＝________．12．［2017·某某］已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)某某数k 的取值X 围；(2)若x 1，x 2满足x 12＋x 22＝16＋x 1x 2，某某数k 的值．13．若a ，b 是方程x 2＋x －2018＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b ＝( )A ．2018B ．2017C ．2016D ．201514．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0.(1)证明：无论m 为何值，方程都有两个实数根．(2)是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m 的值；若不存在，请说明理由．1．D [解析] ∵方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝－b a ＝43.故选D.2．C3．C [解析] 根据题意，得α＋β＝－2，αβ＝－6，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－2)2－2×(－6)＝16.故选C.4．5 [解析] 根据题意得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以x 1(1＋x 2)＋x 2＝x 1＋x 1x 2＋x 2＝x 1＋x 2＋x 1x 2＝4＋1＝5.故答案为5.5．A [解析] 设方程的另一个根为t ，根据题意得2＋t ＝－1，解得t ＝－3，即方程的另一个根是－3.故选A.6．解：设方程的另一个根为t .依题意得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23m －8＝0，解得m ＝10. 又23t ＝－83，所以t ＝－4. 故该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10.7．[全品导学号：15572076]C [解析] ∵x 1＋x 2＝m ＋6，x 1x 2＝m 2，x 1＋x 2＝x 1x 2， ∴m ＋6＝m 2，解得m 1＝3，m 2＝－2.∵方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋6)2－4m 2＝－3m 2＋12m ＋36＝0，解得m 1＝6，m 2＝－2，∴m ＝－2.故选C.8．C [解析] ∵关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，∴－m 2＝－1，n 2＝－2， ∴m ＝2，n ＝－4，∴n m ＝(－4)2＝16.故选C.9． A [解析] ∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，∴a ＋b ＝1，ab ＝14m . ∴b ★b －a ★a ＝b (1－b )－a (1－a )＝b (a ＋b －b )－a (a ＋b －a )＝ab －ab ＝0.故选A.10．23 [解析] ∵方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝1，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝(－5)2－2×1＝23.故答案为23.11. 214[解析] 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a ， 由x 12－x 22＝10得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10.∵x 1＋x 2＝5，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214. 故答案为214. 12．[解析] (1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝－4k ＋5≥0，解之即可得出实数k 的取值X 围；(2)由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2－1，将其代入x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝16＋x 1x 2中，解之即可得出k 的值．解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0，解得k ≤54， ∴实数k 的取值X 围为k ≤54. (2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2－1.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1x 2，∴(1－2k )2－2(k 2－1)＝16＋(k 2－1)，即k 2－4k －12＝0，解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k 的值为－2.13．B [解析] ∵a 是方程x 2＋x －2018＝0的根，∴a 2＋a －2018＝0，∴a 2＝－a ＋2018，∴a 2＋2a ＋b ＝－a ＋2018＋2a ＋b ＝2018＋a ＋b .∵a ，b 是方程x 2＋x －2018＝0的两个实数根，∴a ＋b ＝－1，∴a 2＋2a ＋b ＝2018－1＝2017.故选B.14．[解析] (1)求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；(2)根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值．解：(1)证明：∵关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0的判别式Δ＝(m －3)2＋4m (2m －3)＝9(m －1)2≥0，∴无论m 为何值，方程都有两个实数根．(2)设方程的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－(m －3)，x 1x 2＝－m (2m －3)，令x 12＋x 22＝26，得(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(m －3)2＋2m (2m －3)＝26，整理，得5m 2－12m －17＝0，解这个方程，得m ＝175或m ＝－1. 所以存在正数m ＝175，使方程的两个实数根的平方和等于26.。

第二十二章二次函数（二）二次函数与一元二次方程知识点一二次函数与一元二次方程的关系要点1.一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0，求ax2+bx+c=0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程.要点2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。

这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数；二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况，它们的关系如下表：要点3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点的个数由∆=b2-4ac的值来确定的.（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，∆=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实根；（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，∆=b2-4ac=0，方程有两个相等的实根；（3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，∆=b2-4ac＜0，方程没有实根.课堂练习1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-4x的图象与x轴的交点坐标是（）A.(0，0)B.(4，0)C.(4，0)、(0，0)D.(2，0)、(-2，0)2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A.0B.1C.2D.33.若函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠04.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为（）A.-1，3B.-2，3C.1，3D.3，45.二次函数y=x2-6x-7的图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是.6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根是.7.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行与y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5C.x1=1，x2=-5D. x1=-1，x2=58.已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3，求k为何值时，抛物线与x轴有两个交点、有唯一交点、没有交点.9.已知关于x 的一元二次方程：x 2-(t -1)x +t -2=0. （1）求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）当t 为何值时，二次函数y =x 2-(t -1)x +t -2的图象与x 轴的两个交点的横坐标互为相反数？请说明理由.知识点二 抛物线与x 轴两交点之间的距离 要点1.抛物线与x 轴两交点之间的距离公式：若抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴两交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)由于x 1、x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，.有2121acx x a b x x =-=+，则结合两点之间的距离公式：22)()(B A B A x x y y AB -+-=（勾股定理）.a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444)()(222122122121.课堂练习1.已知抛物线y =43x 2415-x +3经过与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，顶点为D 点，分别求出△ABC 和△ABD 的面积.知识点三利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解要点1.我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解.由于作图或观察可能有误差，由图象求得的解一般是近似的.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的一般步骤如下：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，由图象确定与x轴交点的个数，即方程解的个数；（2）观察图象与x轴的交点在哪两个数之间，即确定交点的横坐标的取值范围；（3）在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似解近似解出现在对应y值正负交替的地方.当x由x1到x2，对应的y值出现y1>0，y2<0(或y1<0<y2)时，则x1，x2中必有一个是方程的近似解.再比较|y1|和|y2|，若|y1|<|y2|，则x1是方程的近似解；若|y1|>|y2|则x2是方程的近似解.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的常用方法如下表：方法步骤结论方法一直接作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根方法二先将一元二次方程变为ax2+bx=-c(a≠0)，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx和直线y=-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根方法三先将一元二次方程化为ax2=-bx-c(a≠0)移项后得再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=-bx-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根课堂练习1.已知二次函数y=x2-2x-3.（1）请你将函数解析式化成y=a(x-h)2+k的形式，并在平面直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示x2-2x-1=0的根，要求保留作图痕迹，指出方程的图形意义.2.如图，点A （2.18，-0.51），B （2.68，0.54），在二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象上，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个近似值可能是（ ） A.2.18 B.2.68C.-0.51D.2.453.根据下列表格的对应值，判断ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的取值范围是 .知识点四 二次函数与一元二次不等式的关系要点1.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)与一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)及ax 2+bx +c <0(a ≠0)之间的关系如下(x 1<x 2)： （1）a ＜0时：判别式a >0抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点不等式ax 2+bx +c >0 的解集 不等式ax 2+bx +c <0的解集△＞01x x <或2x x > 12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2+bx +c-0.06-0.020.030.09（2）a＜0时：利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象解不等式：不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴上方的所有点的横坐标.不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴下方的所有点的横坐标；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y>0时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c>0的解集；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y<0时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c<0的解集.要点2.利用二次函数图象解一元二次不等等式的步骤：（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或<0)的形式；（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2-4ac的值；（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的草图；（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零.课堂练习1.解不等式-x2+5x+3>7.2.已知二次函数y=x2-4x+3.（1）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）在坐标系中画出该函数的图象；（3）根据图象直接写出不等式x2-4x+3>0的解集.3.已知二次函数y=-x2+2x+3.（1）求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出；①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当-2＜x＜2 时，函数值y的取值范围．4.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2，0)，则使函数值y<0成立的x的取值范围是（）A.x<-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2。

4
2
所以方程有两个相等的实数根
例2 已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根；
(3)当k取何值时，方程没有实数根；
解：a=2，b=-(3+4k)，c=2k2+k
∆=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9
∴ 方程无实数根．
5.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x＝k＋1是方程x2－2x＋k－1＝4的一个解，求k的值．
解：(1)∵关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0，解得k＜2.
(2)把x＝k＋1代入方程，得(k＋1)2－2(k＋1)＋k－1＝4，
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
2. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
1.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是( A )
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个实数根
2.下列方程中，没有实数根的是( B )
(−1)2 −
1
4×1× 4 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
4.不解方程，判断下列方程的根的情况：
（3） x2 − x + 1 = 0.
解：（3）x2 − x + 1 = 0，a = 1，b = −1，c = 1，

一 1、化为一般式，确定 a、b、c
般 的值. 步 2、计算 的值，确定 的符
号.
骤
： 3、判别根的情况，得出结论.


质疑再探：
通过本节的学习， 你还有何疑问，请大 胆提出来，大家共同 解决。
质疑再探：
当a、c异号时，方程aX²+bx+c=0 （a≠0）的根有何情况？
运用拓展
1、（2016河南中考）若关于的 一元二次方程 x2 3x k 0 有两个不相等的实数根，求的取 值范围？
实数根：x1

x2


b 2a
;
当b2 4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况
如果方程有两个不相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
华东师范版数学
（九年级上册）
《一元二次方程根的判别式》
1、解方程 （1） x²+2x-3=0； （2） x²+4x+4=0 （3） x²+x+2=0
2、通过以上练习，你认为一元 二次方程有几个根？
学习目标
1、知道一元二次方程根的判别式的 意义，能熟练运用判别式判别一元二 次方程根的情况。 2、学会用判别式求符合题意字母的 取值范围和进行有关证明。
我们把
叫做一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式，用符号 “ ”来表示.
即一元二次方程ax2 bx c 0a 0 ，
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根。