相似三角形,一元二次方程,三角函数

综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

yxEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过5330P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系为什么练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。

高一数学知识点全部总结一、代数1.1 一元二次方程一元二次方程是高一数学的重点内容之一，一元二次方程的定义是形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a≠0。

解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、公式法等。

1.2 不等式高一数学的不等式内容主要包括一元一次不等式、一元二次不等式以及一元三次不等式的求解方法，包括图像法、取值范围法、代数法等。

1.3 二次函数二次函数是高一数学代数部分的重点内容，涉及了函数的定义、性质、图像、极值、单调性、解析式等多个方面的内容。

1.4 基本初等函数高一数学还包括了基本初等函数的概念和性质，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、性质及其在实际问题中的应用。

1.5 绝对值函数绝对值函数也是高一数学中的一个重要内容，主要包括了绝对值函数的性质、图像及其在实际问题中的应用。

1.6 平面直角坐标系中的直线和圆平面直角坐标系中的直线和圆也是高一数学的重要内容，主要包括了直线的方程、性质、圆的方程、性质及其在实际问题中的应用。

1.7 数列数列也是高一数学的一个重要内容，包括等差数列、等比数列、递推数列等的概念、性质、求和公式及其在实际问题中的应用。

1.8 集合与函数高一数学的内容还包括了集合的基本概念、基本运算、集合的关系和函数的概念、性质、运算、基本初等函数的图像等内容。

1.9 二项式定理二项式定理是高一数学中的一个重要概念，包括二项式的展开式、二项式系数、二项式定理的应用等方面的内容。

1.10 逻辑与命题关系逻辑与命题关系也是高一数学的一个知识点，主要包括了命题、充分必要条件、等价命题、逻辑联结词、命题公式等内容。

二、几何2.1 几何图形的性质高一数学的几何内容主要包括了基本的几何图形的性质，包括直线、角、三角形、四边形、圆等的基本性质、判定方法和应用题。

2.2 相似三角形相似三角形是高一数学中的重点内容，主要包括了相似三角形的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。

相似三角形的特殊性质相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

它们具有许多特殊性质，本文将探讨其中的一些重要性质。

一、比例关系相似三角形的重要性质之一是对应边的比例关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

根据相似三角形的定义，可以得出以下比例关系:1. 边长比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。

即相似三角形的对应边长之间具有相等的比例关系。

2. 周长比例：如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意一条对应边的比值。

即ABC和DEF的周长之比等于AB/DE = BC/EF = AC/DF。

二、高线的性质在相似三角形中，高线（从顶点到底边上的垂线）之间也存在比例关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，以及高线AD和DF，它们之间的比值等于与它们相对的底边比值，即AD/DF = AB/DE = AC/DF。

三、面积的性质相似三角形的面积也具有特殊的性质。

假设有两个相似三角形ABC 和DEF，它们的对应边长比为k，则它们的面积比为k^2，即S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。

这意味着当两个三角形相似时，它们的面积之比等于对应边长之比的平方。

四、角平分线的性质在相似三角形中，角平分线（从顶点分别到对边上的等角点的直线）之间也存在比例关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，以及角平分线AE和DF，它们之间的比值等于与它们相对的底边比值，即AE/DF = AB/DE = AC/DF。

五、逆三角函数的性质在相似三角形中，对应角的正弦、余弦和正切值相等。

设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

则sinA/sinD = sinB/sinE = sinC/sinF，cosA/cosD =cosB/cosE = cosC/cosF，tanA/tanD = tanB/tanE = tanC/tanF。

二次函数的有关知识：1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标 2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴）(0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2 ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法5. （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ). （2）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔(0>∆)⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(0=∆)⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔(0<∆)⇔抛物线与x 轴相离. （3）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（4）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，则12AB x x =-锐角三角函数：①设∠A 是Rt △ABC 的任一锐角，则∠A 的正弦：sin A ＝，∠A 的余弦：cos A＝-，∠A 的正切：tan A ＝．并且sin 2A ＋cos 2A ＝1．0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0．∠A 越大，∠A 的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin (90º－A )＝cos A ，cos (90º－A )＝sin A ． ③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝，sin60º＝cos30º＝， tan30º＝，tan45º＝1，tan60º＝．④斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝．相似三角形一、基本知识及需要说明的问题: (一)比例的性质1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔=此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法.2.合、分比性质:ddc b b ad c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.如:已知d c cb a a dc b a +=+=:,求证证明:∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴dc cb a a +=+3.等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n mf e d c b a 则b a n f d b m ec a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 4.比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. (二)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l 1∥l 2∥l 3,A D l 1B E l 2C F l 3hlα可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的．．．．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. AD E B C说明:①此定理和平行线分线段成比例定理的异同 相同点:都是平行线不同点:平行线分线段成比例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例,即AD 与AE,DB 与EC,AB 与AC 这六条线段,而此定理是三角形的三边对应成比例.即ACAEAB AD BC DE AC AE BC DE AB AD ===或或，只要有图形中的BC DE ,它一定是△ADE 的三边与△ABC 的三边对应成比例.②注意:条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FCAF A A F F E EG EB DC BD C B D G C 图（1） 图（2） 图（3） 辅助线当然是添加平行线。

相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。

相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。

本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。

一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。

例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。

类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。

2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。

当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。

3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。

通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。

二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。

通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。

2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。

例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。

相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。

3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。

根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。

总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。

通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。

高中数学所有公式大总结高中数学是一门重要的学科，其中涉及了许多公式和定理。

这些公式和定理帮助学生解决各种数学问题，以及在日常生活中应用数学知识的能力。

一、代数公式：1. 一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其求根公式为 x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)。

2. 因式分解公式：将一个多项式进行因式分解，以简化计算或解决方程的过程。

3. 比例与相似性公式：包括比例的定义、比例的性质以及相似三角形的性质和判定方法。

4. 二项式定理：展开一个二项式的幂，即(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n。

二、几何公式：1. 直角三角形的勾股定理：对于直角三角形，满足a^2 + b^2 = c^2，其中a和b是直角边，c是斜边。

2. 三角函数的基本关系：包括正弦定理、余弦定理和正切定理，用于解决三角形的边长和角度之间的关系。

3. 圆的面积和周长公式：圆的面积公式为A = πr^2，圆的周长公式为C = 2πr，其中r是圆的半径。

4. 三角形的面积公式：三角形的面积公式为A = 1/2 * b * h，其中b是底边长，h是对应的高。

三、微积分与导数：1. 导数的定义与性质：导数表示函数在某一点的变化率，可以用于求函数的极值、曲线的切线等问题。

2. 基本导数公式：例如常数函数的导数为0，幂函数的导数为n * x^(n-1)，指数函数的导数为e^x。

3. 导数的四则运算法则：包括求和、差、乘积和商的导数法则，用于求复合函数的导数。

四、概率与统计公式：1. 排列组合公式：包括排列数公式P(n,r) = n! / (n-r)!和组合数公式C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)，用于计算事件的可能性。

2. 期望与方差公式：期望表示随机变量的平均值，方差表示随机变量的离散程度，用于描述随机事件的分布情况。

相似三角形与三角函数的关系探究相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。

它们之间存在着一种有趣的关系，与三角函数密切相关。

本文将探究相似三角形与三角函数之间的关系。

1. 引言相似三角形与三角函数是高中数学中的重要概念，它们的关系不容忽视。

相似三角形是几何学中的基础概念，而三角函数则是在解析几何和三角学中广泛应用的数学工具。

通过研究它们之间的关系，我们可以更深入地理解三角函数的性质和相似三角形的性质。

2. 相似三角形的定义与性质相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

在相似三角形中，我们可以通过关联两个三角形的对应边，建立起三角函数与相似三角形之间的联系。

3. 三角函数与相似三角形的关系在相似三角形中，我们可以利用三角函数来研究各个角的关系。

以正弦函数为例，我们知道在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。

在相似三角形中，如果两个三角形的某个角相等，那么这两个三角形的对边与斜边的比例也相等。

因此，我们可以利用相似三角形的性质，将三角函数的定义推广到非直角三角形上。

4. 应用举例：利用三角函数求解相似三角形的边长比例在解决实际问题时，我们经常会遇到需要求解相似三角形边长比例的情况。

通过建立适当的三角函数关系，我们可以利用已知条件来求解未知边长的比例。

这种方法在测量不便或无法直接测量的情况下非常有用，例如建筑物高度的测量、地理测量等。

5. 三角函数与角度的关系除了与相似三角形相关联之外，三角函数还与角度的概念息息相关。

我们知道，三角函数的定义依赖于角度的概念。

在相似三角形中，对应角相等的两个三角形中，角的度数也是相等的。

因此，我们可以通过相似三角形的性质进一步研究三角函数与角度的关系。

6. 三角函数的周期性三角函数的周期性是它们独特的性质之一。

在相似三角形中，如果两个角的度数相等，那么这两个角的三角函数值也是相等的。

这意味着在一个周期内，三角函数的值会重复出现。

相似三角形的证明方法相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何推导和实际问题中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将介绍相似三角形的定义，并详细讨论几种证明相似三角形的方法。

一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。

当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。

换句话说，若两个三角形的对应角度分别相等，则它们是相似的。

二、数学证明法1. AA相似定理相似三角形的AA相似定理指的是，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。

具体而言，当两个三角形的两个对应角相等时，它们一定是相似的。

证明方法：首先，我们选取两个相似三角形的两个对应角，设为∠A1和∠A2，∠B1和∠B2。

然后，利用已知信息，通过角度相等的性质进行证明。

最后，根据相似三角形的定义，我们得出结论：∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，所以两个三角形是相似的。

2. AAA相似定理AAA相似定理是指如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。

具体来说，当两个三角形的三个对应角都相等时，它们是相似的。

证明方法：假设有两个相似三角形，其三个对应角分别为∠A1、∠B1、∠C1，∠A2、∠B2、∠C2。

根据已知信息，我们进行角度的对应比较。

通过比较∠A1和∠A2、∠B1和∠B2、∠C1和∠C2，我们可以得出结论：两个三角形的三个对应角分别相等，因此它们是相似的。

三、几何证明法1. 边长比较法边长比较法是指通过比较两个三角形的对应边长之间的比值来证明相似。

具体而言，当两个三角形的三个对应边长比值相等时，它们是相似的。

证明方法：假设有两个相似三角形，分别为△ABC和△DEF。

我们可以比较边长AB与DE、BC与EF、AC与DF之间的比值。

如果这三组比值相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么我们可以得出结论：两个三角形是相似的。

2. 三角函数关系法三角函数关系法是通过利用正弦定理、余弦定理等三角函数的性质来证明相似三角形。

高中数学常用公式大全1.平方公式：- (a+b)² = a² + 2ab + b²- (a-b)² = a² - 2ab + b²-(a+b)(a-b)=a²-b²2.完全平方公式：-a²-b²=(a+b)(a-b)3.二次方程求根公式：- 对于二次方程ax²+bx+c=0，其中a≠0方程的解为：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)4.一元二次方程的判别式：- 对于二次方程ax²+bx+c=0判别式D=b²-4ac，若D>0，方程有两个不相等的实根；若D=0，方程有两个相等的实根；若D<0，方程无实数解。

5.三角函数公式：- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC6.相似三角形的定理：-AAA（全等）：两个三角形的三个角分别相等，则两个三角形相似。

-SSS：两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似。

-SAS：两个三角形的一个角相等，且两边的比例相等，则两个三角形相似。

-AA：两个三角形的两个角相等，则两个三角形相似。

7.等腰三角形的性质：-底角相等：等腰三角形的两个底角相等；-等边等角：等腰三角形的两边相等，两个底角也相等；-高线一致性：等腰三角形的高线相等。

8.圆的相关公式：-圆的周长：C=2πr-圆的面积：S=πr²-圆心角与弧度的关系：θ=s/r，其中s是弧长，r是半径。

9.三角函数的关系：- tanθ = sinθ/cosθ- cotθ = cosθ/sinθ- secθ = 1/cosθ- cscθ = 1/sinθ10.平行线与三角形的对应角关系：-内错角定理：若两条平行线被一条截线切割，对应角相等。

相似三角形的三角函数关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在几何学中，相似三角形的三角函数关系起着重要的作用。

本文将详细介绍相似三角形的三角函数关系。

一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

即若三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF。

二、正弦函数与相似三角形的关系对于一个直角三角形ABC，其中∠A为直角，BC为斜边，分别定义其两个尖角为∠B和∠C。

假设∠B = α，则∠C = 90° - α。

根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin(∠B) = BC/AB，sin(90° - α) = AC/AB。

由于AB是一个恒定值，那么BC/AB与AC/AB之间的比值为常数。

所以，当两个三角形相似时，它们对应角的正弦函数值相等。

三、余弦函数与相似三角形的关系同样以直角三角形ABC为例，根据余弦函数的定义可得：cos(∠B) = AC/AB，cos(90° - α) = BC/AB。

与正弦函数类似，两个相似三角形的对应角的余弦函数值相等，即cos(∠B) = cos(90° - α)。

四、正切函数与相似三角形的关系正切函数是切线与斜边之比，所以对于直角三角形ABC，有tan(∠B) = BC/AB，tan(90° - α) = AC/AB。

同样地，当两个三角形相似时，它们对应角的正切函数值相等，即tan(∠B) = tan(90° - α)。

五、例题分析现在我们通过一个具体的例题来说明相似三角形的三角函数关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 10cm，且∠B = α。

求∠C和∠A。

根据三角形相似的定义，我们可以得到的比值公式是AB/DE=BC/EF=AC/DF=5/DE。

九年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：一、相关概念：1. 相似图形：形状相同的图形。

2. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。

3. 相似比：相似多边形对应边的比。

二、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等三、相似三角形的判定✓通过定义（三边对应成比例，三角相等）✓平行于三角形一边的直线✓三边对应成比例（SSS）✓两边对应成比例且夹角相等（SAS）✓两角对应相等（AA）✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）四、相似三角形的性质✓对应角相等。

✓对应边成比例。

✓对应高的比等于相似比。

✓对应中线的比等于相似比。

✓对应角平分线的比等于相似比。

✓周长比等于相似比。

✓面积比等于相似比的平方。

五、位似：✓位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.✓在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.考点一一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列命题：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的等腰直角三角形都相似，④所有的直角三角形都相似.其中，正确的是 ( )A.②③B.②③④C.③④D.②④2.有两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.23.如图，点P 是△ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条4.如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ）A.1对B.2对C.3对D.4对5.两个相似菱形边长的比是1:4，那么它们的面积比是 ( ) A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:166.下列条件中，不能判定以A /、B /、C /为顶点的三角形与△ABC 相似的是（ ） A.∠C=∠C /=90°,∠B=∠A /=50° B.AB=AC ，A /B /=A /C /，∠B=∠B /C.∠B=∠B /，////C B BC B A AB =D. ∠A=∠A /，////C B BC B A AB =7.△ABC 的周长等于16，D 是AC 的中点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC 的周长等于( ) A.2 B.4 C.6 D.88.在□ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 相交于H ，则△EFH 的面积与△ADH 的面积的比值为 （ ） A ．21 B ． 81 C ．161 D ．41二、填空题（每小题3分，共18分）9．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，则这个地区的实际周长________。

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c da b c d a d b c a c ==()a 、d 叫 ，b 、c 叫 ，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的 。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使 ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

黄金比（黄金数）是 .例:线段AB=10m,点Ｐ是线段AB 的黄金分割点，则ＡＰ＝ .2. 比例性质：（１）基本性质 （２）合比性质 （３）等比性质3、相似比:相似多边形对应边长度的比叫做相似比(比例系数)．4、 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===5、平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

BC DE AC AE AB AD ==( A 字型 ) (X 字型)6、 相似三角形的判定：① 对应相等，两个三角形相似 ② 对应成比例且 相等，两三角形相似 ③ 对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的 和 与另一个直角三角形的和 对应成比例，那么这两个直角形相似。

⑤ 三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。

【注：三角形相似是证明乘积式、比例式的有效工具，同时也是三角形中求线段长的重要手段】7、相似三角形的性质:①相似三角形的 相等 ②相似三角形的 成比例③相似三角形 的比、 的比和 的比都等于相似比E B D (3)B CA E④相似三角形比等于相似比，比等于相似比的平方8、位似：如果两个图形不仅是图形，而且每组都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.【注：位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，位似图形是相似图形，但相似图形是位似图形. 位似图形的对应边互相平行或共线位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比.】9、画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.10、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么对应点的坐标为(,) 【同向位似图形】或 (,) 【反向位似图形】,锐角三角函数1、锐角∠A的三角函数（按右图Rt△ABC填空）∠A的正弦：sin A = ,∠A的余弦：cos A = ,∠A的正切：tan A = ,∠A的余切：cot A =2、锐角三角函数值，都是实数（正、负或者0）；3、正弦、余弦值的大小范围：＜sin A＜；＜cos A＜4、tan A•cot A = ； tan B•cot B = ；5、sin A =cos（90°- ）；cos A = sin（ -）6、填表7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b ,1）、三边关系（勾股定理）：2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90°3）、边角间的关系：sin A = ； sin B = ；cos A = ； cos B = ； tan A = ； tan B = ；4）、倒数关系： ；5）、商的关系： ；6）、平方和的关系： ；8、图中角 可以看作是点A 的 角也可看作是点B 的 角； 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 高度（h ）和 长度（l ）的比。

初三数学---相似三角形和解直角三角形一、相似三角形1．相似三角形判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、锐角三角函数1．掌握锐角三角函数的定义，准确地进行计算．2．互余角的三角函数间的关系（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．3．同角三角函数间的关系（1）；（2）．三、解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角之间的关系：，，．2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．从三角函数的角度考虑，有由，得a2＝pc；同理，得b2＝qc；由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．图1 图2 图3 5．直角三角形的面积：（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．6B＝90°－A，，，由求角A，B＝90°－A，由求角A，B＝90°－A例题分析例1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）你认为图中哪两个三角形相似，为什么?（2）当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．例2．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值．例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin B·sin C的值．例4．如图，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD∶S△CDB＝2∶3，，AC＋CD＝18，求tan A的值和AB的长．5．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝与x轴交于点E．求点E的坐标．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）答案例1、解：（1）△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．说明：此图形结构可以称为“一线三等角问题”．（2）作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得，可得BP·PC＝AB·CE＝6．设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．∴x（7－x）＝6，即x2－7x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝6．答：当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．例2、解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN＋∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，，即．．．当x＝2时，y取最大值，最大值为10．（3）∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM ∽△AMN，只需．由（1）知．∴BM＝MC．∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．例3、分析:为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．；．又∵CD＝CA＋AD＝10，，．同理，可求得．．说明：由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4、解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，设CD＝4k（k＞0），则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，∴AD∶DB＝S△ACD∶S△CDB＝2∶3．．即．．∵AC＋CD＝18，∴5k＋4k＝18．解得k＝2．．．说明：本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例5、解：作AF⊥x轴于F．∴OF＝OA·cos60°＝1，AF＝OF·．∴点A坐标为（1，）．代入直线解析式，得．．．当y＝0即时，x＝4．∴点E坐标为（4，0）．例6、解：（1）作AH⊥CD于点H（如图（c））可得∠1＝∠2＝∠D．由AB＝BC＝CH＝4可得HD＝CD－CH＝2．．．∴BE＝2，即E为BC的中点．（2）图（d），作NP⊥CD于点P，则PN＝y．可得∠4＝∠5＝∠6，它们的正切值相等．，即．，．，，∵CD＝CF′＋PF′＋PD，，即．整理，得．若点F′与点D重合（见图（e）），则∠BEM＝∠EDC，．．．∴x的取值范围为。

初三数学《相似三角形》知识提纲(何老师归纳)一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cdab =（或a ：b=c ：d ）① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。

③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2.合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠04、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理nm ba =1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，=，语言描述如下：=，=，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A型X 型由DE ∥BC 可得：ACAE ABAD EAEC ADBD ECAE DBAD ===或或.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若=.=，=，则AD∥BE∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.二：相似三角形：（一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

高中数学重要二级结论高中数学重要的二级结论有很多，涉及各个数学领域的知识点。

下面将对其中一些重要的二级结论进行详细介绍。

1.平行线的性质：平行线的性质是几何学中的基础内容之一。

平行线具有以下重要的二级结论：-平行线与直线交角为180度：如果两条直线分别与一条第三条直线平行，那么这两条直线与第三条直线的交角为180度。

-平行线的夹角相等：如果两条直线分别与一条第三条直线平行，并且与第三条直线分别都有一条共同的交线，那么这两条线之间的夹角相等。

2.相似三角形的性质：相似三角形的性质在几何学中也是非常重要的。

相似三角形具有以下重要的二级结论：-三角形的对应角相等：如果两个三角形的对应角分别相等，那么它们是相似的。

-边的比例：在两个相似三角形中，对应边的比例相等。

3.圆的性质：圆是几何学中的重要概念，它具有以下二级结论：-切线垂直于半径：圆上切线与半径的连线垂直。

-弧与圆心角的关系：同一个圆上的任意两个弧所对应的圆心角相等。

4.三角函数和三角恒等式的性质：三角函数和三角恒等式是高中数学重要的内容，其中一些重要的二级结论如下：-同角三角函数的大小关系：对于给定角度，正弦函数的值不超过1，余弦函数的值不超过1，而正切函数的绝对值没有上限。

-三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期为360度（或2π弧度），而正切函数的周期为180度（或π弧度）。

5.常用数列的特征：数列是数学中重要的内容之一，一些常用数列的特征如下：-等差数列等差：一个数列如果满足每一相邻两项之差相等，那么这个数列是等差数列。

-等比数列等比：一个数列如果满足每一相邻两项之比相等，那么这个数列是等比数列。

-斐波那契数列的特征：斐波那契数列是一个递归数列，其中每一项是前两项之和。

6.二次函数的性质：二次函数是高中数学中重要的内容，其中一些重要的二级结论如下：-二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线。

-二次函数的顶点：二次函数的顶点是对称轴上的一个点，是函数的极值点。

相似三角形与三角函数的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它与三角函数有着密切的关系。

本文将探讨相似三角形与三角函数之间的关系，以及如何运用三角函数来解决相似三角形的问题。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边比值相等的三角形。

根据相似三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 相似三角形的对应角度相等在两个相似三角形中，每个角度的度数都相等。

这是相似三角形的基本性质之一。

2. 相似三角形的对应边比例相等在两个相似三角形中，对应边的长度的比值是相等的。

这意味着，若两个三角形的对应边分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2，则有以下比例关系：a1/a2 = b1/b2 = c1/c23. 相似三角形的面积比例是边长比例的平方相似三角形的面积比例等于对应边长比例的平方。

设两个相似三角形的对应边分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2，则有以下关系：面积1 / 面积2 = (a1^2 / a2^2) = (b1^2 / b2^2) = (c1^2 / c2^2)二、三角函数与相似三角形的关系三角函数是研究角度与边长之间关系的重要工具。

在相似三角形中，对应角度相等，因此对应角的三角函数值也相等。

利用这一性质，我们可以在解决相似三角形问题时运用三角函数。

1. 正弦函数在相似三角形中的应用正弦函数在相似三角形中的运用较为广泛。

根据正弦定理，对于一个角为A的三角形，其对应的边长与正弦函数之间的关系为：a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C)当两个三角形为相似三角形时，对应角相等，对应边比例相等。

因此，我们可以利用实际已知数据，通过正弦函数来计算未知量。

2. 余弦函数在相似三角形中的应用余弦函数也可以在相似三角形中得到应用。

根据余弦定理，对于一个角为A的三角形，其对应的边长与余弦函数之间的关系为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)在相似三角形中，对应边比例相等，因此可以通过已知数据和余弦函数来计算未知量。

二次函数与相似三角形有关的问题知识解读【专题说明】二次函数与相似三角形是中考数学的压轴题，具有一定的难度，也是中考考频比较高的，本节未同学们提供解题途径，希望能够助同学们轻松解题。

【解题思路】关于函数与相似三角形的问题一般三个解决途径：(1)求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形．根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；(2)利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数来推导边的大小；(3)若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解．【典例分析】【典例1】（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝或﹣，故点Q（，﹣2）或（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，﹣3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）或（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．【变式1-1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【解答】解：（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）①当△AOC∽△DP A时，∵PD⊥x轴，∠DP A＝90°，∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，∴点D的坐标为（2，0）；∵PD⊥x轴，∴点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；②当△AOC∽△DAP时，此时∠APG＝∠ACO，过点A作AG⊥PD于点G，∴△APG∽△ACO，∴，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），则，解得：m＝，∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D 点坐标为（，1）．【变式1-2】（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．【典例2】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，分两种情况：①如图2，△CMP∽△BMH，∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，∴tan∠OBC＝tan∠PCM，∴＝＝＝＝2，∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），∵PH＝PM+MH，∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，解得：t1＝0，t2＝1，∴P（1，4）；②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，过点P作PE⊥y轴于E，∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠EPC，∴△PEC∽△COB，∴＝，∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝，∴P（，）；综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．【变式2-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．【解答】解：（1）将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），∴CD＝，CF＝，DF＝2，∵E（﹣2，5），A（3，0），∴AE＝5，设Q（x，y），①当△CDF∽△QAE时，＝＝，∴＝＝，∴AQ＝5，EQ＝5，∴，解得或（舍去），∴Q（﹣7，5）；②当△CDF∽△AQE时，＝＝，∴＝＝，∴AQ＝5，QE＝10，∴，解得（舍去）或，∴Q（﹣12，5）；③当△CDF∽△EQA时，＝＝，∴＝＝，∴EQ＝5，AQ＝10，∴，解得或（舍去），∴Q（3，﹣10）；④当△CDF∽△QEA时，＝＝，∴＝＝，∴EQ＝5，AQ＝5，∴，解得或（舍去），∴Q（3，﹣5）；综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．【变式2-2】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ （点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），∵B（4，0），C（0，4）；∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，①当＝时，＝，解得t＝或t＝，∴Q（，）或（，）；②当＝时，＝，解得t＝或t＝（舍去），∴Q（，），综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）．【变式2-3】（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令x＝0，y＝3，∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴抛物线对称轴为：x＝﹣1，∵EN∥y轴，∴△BEN∽△BCO，∴，∴，∴EN＝2，①若△PQE∽△OBC，如图所示，过点P作PH⊥ED垂足为H，∴∠PEH＝45°，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，∴PH＝HE，∴设点P坐标（x，﹣x﹣1+2），∴代入关系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+x﹣2＝0，解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），∴点P坐标为（﹣2，3），②若△EPQ∽△OCB，如图所示，设P（x，2），代入关系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+2x﹣1＝0，解得，（舍），∴点P的坐标为（﹣1﹣，2），综上所述点P的坐标为（﹣1﹣，2）或（﹣2，3）。