一元二次方程与几何问题

D.x2+3x+16=0
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
3. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P
沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从 点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的
围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的
长各是多少米？
25 m
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
A
D
(80 − 2x)x = 600.
整理得 x2 − 40x + 300 = 0，
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的 性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是 求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围
成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是
B
C
解得 x1 = 10，x2 = 30. 当 x = 10 时，80 − 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 − 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12

3.如图③,围栏总长为a,BC
−
的长为b,则S能形ABCD= ×b.

知识点 2：动态几何问题(难点)
1.关键：“以静代动”，把动的点进行转换，用时间表示长度.
2.方法：时间变路程.
3.求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也
就是求线段的长度.
4.常找的数量关系——面积、勾股定理等.
九年级北师上册
6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程的应用——几何问题
1.通过阅读课本可以根据实际面积问题中的等量关系
列出方程，提高学生的应用意识
2.通过归类面积问题的题型，构建解决面积问题的数
学模型，发展学生的建模能力.
3.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并
解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界
AB 边向点 B 以 1厘米/秒的速度移动，点 Q从点 B 开始沿BC 边向
点C 以2 厘米/秒的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，其
中一点到达终点后两点均停止运动.
(1)经过几秒，△PBQ的面积等于8平方厘米?
解：(1)设运动时间为t秒( ≤ ≤ ,由题意得， = ሺ
准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900 平方米的一块
矩形绿地，并且长比宽多10 米，那么绿地的长和宽各
为多少？
栽种鲜花(如图中阴影部分),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2
m,剩余空地的面积为18 m²,求原正方形空地的边长.设原正方形空
地的边长为x m,则可列方程为(
A
)
A.(x-1)(x-2)=18
B.x²-3x+16=0
C.(x+1)(x+2)=18

22.3 一元二次方程的实际应用学案——几何图形问题知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

解决问题通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：列一元二次方程解有关问题的应用题难点：发现问题中的等量关系关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型一、 复习引入常见的几何图形的面积公式：（1）矩形的面积＝长× ； （2）正方形的面积＝（3）三角形的面积＝21×底× ； （4）梯形的面积＝21×（ ）×高； （5）．圆的面积公式是什么？二、 探索新知1、一个正方形的面积为362m ，若设正方形的边长为x m ，则列出方程为2、要使一块长方形场地的面积为162m ，并且长比宽多6 m ， 若设长方形场地的宽为x m ，则长为 ，根据题意，列出方程为3、一个直角三角形两条直角边相差3cm ，面积为92cm ，若设较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为 ，根据题意，列出方程为 三、例题选讲：例1、在长为60cm ，宽为40cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为8002cm ，求所截去小正方形的边长。

解：设所截去小正方形的边长为x cm ，则底面长方形的长为 ，宽为 ，根据题意，得答：例2、生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402m ，小道的宽应是多少？解：设小道的宽为x m ，根据题意，得把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为米，宽为 米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程 。

用一元二次方程解决几何图形问题含答案用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1：一般图形的问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。

设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。

3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。

4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。

5.一个矩形周长为56厘米。

1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。

2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。

知识点2：边框与甬道问题6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。

求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.。

3 mm的附着物，而导致流通截面减少至原来 的 4 .求这根水管原来的内壁直径.
9
2 (中考·黔西南州)某校准备修建一个面积为180平方
米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的
宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－11)＝180
B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180
D．2x＋2(x＋11)＝180
4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。

一元二次方程解决几何问题
一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数，而x是未知数。

它可以用于解决许多几何问题，如以下几个例子：
1. 高度和时间问题：假设一颗物体从一个高度h开始自由下落，利用物体的自由落体运动公式可以得到一个关于时间t的二次方程，通过解方程可以确定物体落地的时间点。

2. 路程和时间问题：假设一个物体以某个速度v在直线上运动，利用物体的匀速运动公式可以得到一个关于时间t的一次方程，通过解方程可以确定物体达到某个距离的时间点。

3. 面积问题：对于某些几何图形，如矩形、正方形和圆等，可以通过设定面积为某个值的条件，建立相应的二次方程来求解图形的尺寸。

这只是一些常见的例子，实际上，一元二次方程在几何问题中具有广泛的应用。

为7x cm,依题意得
(27 18x)(21 14x) 3 27 21 4
解得
x1
6
3 4
3
(不合意，舍去)，x2
=
6—3 4
3
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右
边衬的宽均为 1.4 cm
感悟新知
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题? 请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
认知基础练
6 用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0， 可将方程配方为( A ) A．(x＋1)2＝2 B．(x＋1)2＝0 C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＝0
认知基础练
3 【2020·贵阳十七中期中】将代数式x2－10x＋5配方 后，发现它的最小值为( B ) A．－30 B．－20 C．－5 D．0
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
方法技巧练
开平方，得 y＋1＝± 3. 解得 y1＝ 3－1，y2＝－ 3－1. ∴x＋1x＝ 3－1 或 x＋1x＝－ 3－1. 经检验，不存在实数 x 使 x＋1x＝ 3－1，故舍去． ∴x＋1x＝－ 3－1.
认知基础练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9

初中数学一元二次方程的零点定理有什么应用一元二次方程的零点定理在数学和实际生活中有着广泛的应用。

下面将介绍一些常见的应用领域：1. 几何学：一元二次方程的零点定理可以用来解决几何问题。

例如，在平面几何中，可以使用一元二次方程的零点定理来确定抛物线与x 轴的交点，从而确定抛物线的根、顶点、对称轴等重要几何特征。

2. 物理学：一元二次方程的零点定理在物理学中有着广泛的应用。

例如，在自由落体运动中，物体的高度可以用一元二次方程来表示。

通过求解方程的零点，可以计算物体的落地时间和最大高度等相关物理量。

3. 经济学：一元二次方程的零点定理在经济学中也有重要的应用。

例如，在成本和收益分析中，可以使用一元二次方程来描述成本和收益之间的关系。

通过求解方程的零点，可以确定收益最大化或成本最小化的条件。

4. 工程学：一元二次方程的零点定理在工程学中的应用非常广泛。

例如，在电路分析中，可以使用一元二次方程来计算电路中的电流和电压。

通过求解方程的零点，可以确定电路中的稳定状态和临界点。

5. 金融学：一元二次方程的零点定理在金融学中也有重要的应用。

例如，在投资分析中，可以使用一元二次方程来计算投资回报率和盈亏平衡点。

通过求解方程的零点，可以确定投资的风险和收益。

6. 数据分析：一元二次方程的零点定理在数据分析中也起到重要的作用。

例如，在拟合曲线和回归分析中，可以使用一元二次方程来拟合数据点。

通过求解方程的零点，可以确定最佳拟合曲线和预测未知数据的值。

总结：一元二次方程的零点定理在几何学、物理学、经济学、工程学、金融学和数据分析等领域中有着广泛的应用。

它可以用来解决几何问题、计算物理量、分析经济关系、设计电路、评估投资风险和拟合数据等。

了解一元二次方程的零点定理及其应用可以帮助我们在实际问题中运用数学知识进行分析和解决。

7．【中考·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代 数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0， 即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪) 在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造图(如 图甲)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14＋52，据此易得x＝2.那么在如图乙(矩形的顶点均落在 边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12 ＝0的正确构图是____②________．(只填序号) 【点拨】∵x2－4x－12＝0，即x(x－4)＝12，∴构造大正方 形的面积是(x＋x－4)2，其中它又等于四个矩形的面积加上 中间小正方形的面积，即4×12＋42，据此易得x＝6.故填②.
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从B点出发以1 cm/s的速度向C点运动，同时Q 从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达 目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为t s.
(1)用含t的代数式表示CP，CQ的长，并直接写出t的取值范 围；
解：CP＝(8－t) cm，CQ＝t cm.t的取值范围为 0≤t≤6.
人教版 九年级上
第十九章 生活用电
第1节 家庭电路
课堂导练
3．下图是家庭电路的组成，请填出各组成部分的名称。

（1）若墙长为18 m，要围成鸡场的面积为150㎡，则鸡场的长和宽
各为多少米？
解：（1）设鸡场的宽为 m，根据题意得
(33 − 2 + 2) = 150， 解得1 = 10，2 = 7.5，
当1 = 10时，33 − 2 + 2 = 15＜18，
当2 = 7.5时，33 − 2 + 2 = 20＞18（舍去），
从点开始沿以 /的速度向点A移动，同时点Q也从点B
开始沿BC以 /的速度向点移动，几秒后△ 的面积是
平cm2？
解：设s后△ 的面积为25cm2，
则有 = ， =

cm,∴

∙ =
解得 = （负值已舍去），
所以 s后△ 的面积为cm2.
2.方法：时间变路程
3.求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也就是求线
段的长度
4.常找的数量关系——面积，勾股定理等
学会把动点问题转化为静点的问题，是解这类问题的关键.
【题型一】篱笆和开门问题
例1 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一
个2m宽的门，另外三边用篱笆围成，篱笆总长33 m.
如图①，设空白部分的宽为，则阴影 = ( − )( − )
如图②，设阴影道路的宽为，则空白 = ( − )( − )
如图③，围栏总长为，的长为，则 =
−

×
教师讲评
知识点2．动态几何问题（难点）
1.关键：“以静代动”把动的点进行转换，变为用时间表示长度.
米/秒的速度向点C 移动，如果P,Q
分别从A,B
同时出发.
(2)在运动过程中，是否存在时间t, 使△PBQ 的面积等于矩形ABCD

类型二:围成图形面积问题
例2 如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边 用竹篱笆围成,篱笆总长33米.
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米? (2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗?
解:(1)设宽为 x 米,则 x(33-2x+2)=150,
第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
1.规则几何图形面积问题:利用对应图形的面积计算公式建立一元二次方程的数学模型. 2.不规则几何图形面积问题:利用 平移 或 割补 的方法,将不规则几何图 形面积问题转化为规则几何图形面积的和或差求解.
类型一:边框与甬道问题
例1 如图所示,在长为32 m、宽20 m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向, 一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小不等的六块作试验田,要使试验田面 积为570 m2,问道路应多宽?
x cm,根据题意所列方程为
(60+2x)(40+2x)×54%=60×40
.
3.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米 的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
解:设AB=x,则BC=100-4x(BC≤25).根据题意,得x(100-4x)=400.解得x1=5,x2=20. 当x=5时,100-4x=80,不满足BC≤25,不符合题意舍去;当x=20时,100-4x=20.所以 AB为20米,BC为20米.
则根据题意可列出关于x的方程为( B )
(A)x(5+x)=6
(B)x(5-x)=6
(C)x(10-x)=6
(D)x(10-2x)=6

一元二次方程与几何问题 篇一：一元二次方程与几何问题 已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB．取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM．过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点．若正方形 AENM 与四边 形 EFDB 的面积相等，則 AE 的长为 ? 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH， 若正方 2 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD 的面积是？ 如图， 将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开， 再把△ ABC 沿着 AD 方向平移， 得 2 到△ A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm，则它移动的距离 AA′等于？ 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且△ AEF 是等边三角形， 则 BE 的长为？ 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角 ∠A=30°，∠B=90°， BC=6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 为多少米时，有 222DC=AE+BC． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC， CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止．已 2 知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm． （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构 成一个三角形； （2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形； （3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能， 请说明理由． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、 CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止、 2 已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm， （1）当 x 为何值时，点 P、N 重合； （2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形． 如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角 板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P． 1 / 10（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长； 若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B， 另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由． 如图，Rt△ ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终 点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ．设动点运动时间为 x 秒． （1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度； （2）当 x 为何值时，△ PBQ 为等腰三角形； 2（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm？若存在，请求出此时 x 的 值； 若不存在，请说明理由． 如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发， 运动时间为 t（s）． （1）当 t 为几秒时，△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 1？ 4 （2）△ PCQ 的面积能否为△ ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由． 如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 两点同时出发，甲由 C 向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周 长为 40km ，问几分钟后，两人相距 km？ 如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速 度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P 到达 B 点或点 Q 到 达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t 秒钟后， （1）求出△ PBQ 的面积； （2）当△ PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值． （3）是否存在△ PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在， 求出 t 的值，若不存在，说明理由． 例 1、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别 2 从 A、B 同时出发，几秒后△ PBQ 的面积等于 8cm？ A P 学生练习、在△ ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，（1）多长时间后，点 P、Q 的距离等于 42 cm？ （2）如果点 P 到点 B 后，又继续在边 BC 上前进，点 Q 到点 C 后，又继续在边 CA 上前 进， 2 / 102 经过多长时间后，△ PCQ 的面积等于 12.6 cm? 例 2、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与 B 点重合），动直线 QD 从 AB 开始以 2cm/s 速度向上平行移 动，并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点，连结 DP，设动点 P 与动直线 QD 同时出发，运动时间 为 t 秒， （1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以 1cm/s， 则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？ （2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ QD↑ABP 学生练习：某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向 30km 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正以 60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75km/H 的速度在 B 处拦截，问缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间? AB 例 3、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分别从 点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速 度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm? DQ BP 例 4、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在 线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每 秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒， （1）当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？ （2）当 t 为何值时，△ APQ 的面积为个平方单位？ 5 24 篇二：一元二次方程与几何问题 已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB．取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM．过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点．若正方形 AENM 与四边 形 EFDB 的面积相等，則 AE 的长为 ? 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH， 若正方 2 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD 的面积是？ 如图， 将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开， 再把△ ABC 沿着 AD 方向平移， 得 2 到△ A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm，则它移动的距离 AA′等于？ 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且△ AEF 是等边三角形， 则 BE 的长为？ 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角 3 / 10∠A=30°，∠B=90°， BC=6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 为多少米时，有 222DC=AE+BC． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC， CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止．已 2 知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm． （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构 成一个三角形； （2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形； （3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能， 请说明理由． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、 CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止、 2 已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm， （1）当 x 为何值时，点 P、N 重合； （2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形． 如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角 板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P． （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长； 若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B， 另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由． 如图，Rt△ ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终 点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ．设动点运动时间为 x 秒． （1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度； （2）当 x 为何值时，△ PBQ 为等腰三角形； 2（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm？若存在，请求出此时 x 的 值； 若不存在，请说明理由． 如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发， 运动时间为 t（s）． （1）当 t 为几秒时，△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 1？ 4 （2）△ PCQ 的面积能否为△ ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由． 如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 两点同时出发，甲由 C 4 / 10向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周 长为 40km ，问几分钟后，两人相距 km？ 如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速 度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P 到达 B 点或点 Q 到 达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t 秒钟后， （1）求出△ PBQ 的面积； （2）当△ PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值． （3）是否存在△ PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由． 例 1、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别 2 从 A、B 同时出发，几秒后△ PBQ 的面积等于 8cm？ A P 学生练习、在△ ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，（1）多长时间后，点 P、Q 的距离等于 42 cm？ （2）如果点 P 到点 B 后，又继续在边 BC 上前进，点 Q 到点 C 后，又继续在边 CA 上前 进， 2 经过多长时间后，△ PCQ 的面积等于 12.6 cm? 例 2、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与 B 点重合），动直线 QD 从 AB 开始以 2cm/s 速度向上平行移 动，并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点，连结 DP，设动点 P 与动直线 QD 同时出发，运动时间 为 t 秒， （1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以 1cm/s， 则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？ （2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ QD↑ABP 学生练习：某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向 30km 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正 以 60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75km/H 的速度在 B 处拦截，问缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间? AB 例 3、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分别从 点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速 度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm? DQ P 5 / 10例 4、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在 线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每 秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒， （1）当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？ 篇三：一元二次方程与几何运动问题 一元二次方程与几何运动问题 1 动态几何图形中边长的表示：1)题设运动时间为 t，表示出动点有关边长。

第4讲 几何问题与一元二次方程【知识导航】利用几何关系建立一元二次方程【板块一】 判别式 根系关系与勾股定理 【方法技巧】根系关系＋勾股，建立方程.【 题型一 】 判别式、根系关系与三角形【例1】已知关于x 的一元二次方程2x －（2k ＋1）x ＋4k －3＝0（1）求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt △ABC 的斜边长a 且两条直角边长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长【题型二】 判别式、根系关系与四边形 【例2】已知关于x 方程2x －（k ＋1）x ＋142k ＋1＝0的两个根是一个矩形两邻边的长. (1)k 取何值时，方程有两个实数根？(2)时，求k 的值.【题型三】判别式、根系关系与几何【例3】如图，在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且关于x 的方程（a ＋c ）2x ＋2bx ＋c ＝a 有两个相等的实数根.（1）判断△ABC 的形状；（2）若CD 平分∠ACB ，且AD ⊥BD ,AD 、BD 为方程2x －2mx ＋2n ＝0的两根，试确定m 与n 的数量关系，并说明理由.针对练习11. 已知关于x 的方程2x －（2k ＋1）x ＋4（k －12）＝0，若等腰三角形ABC 的一边长a ＝4，另一边长b ，c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长.2. 已知：平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程 2x －mx ＋ m 2－14＝0的两个实数根. （1）当m 为何值时，平行四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB ＝2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？ADBC3. 如图，四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠DCB ＝90°,CD 和BC 的长是关于x 的方程122x －(m ＋2)x ＋(22m －m ＋72)＝0的两个实数根，若AD ＝2，求AC 的长.4.如图，矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b （a ＞b ）.（1）若a ,b 是2x －kx ＋k ＋4＝0的两根，且满足2a ＋2b ＝40，求k 的值；ABCD（2）在（1）的条件下，P 为CD 上一点（异于C 、D 两点），当P 在什么位置时，△APB 为直角三角形？ （3）P 为DC 上一点（异于C 、D 两点），当a ，b 满足什么条件时，使△APB 为直角三角形的P 点有且只有一个？【板块二】 运动与方程点运动形成三角形的面积或线段的长度. 【题型一】 运动＋面积【例1】如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6cm ，BC ＝8cm .点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm /s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm /s 的速度移动. （1） 如果P 、Q 同时出发，几秒后，可使△PCQ 的面积为8cm ？（2） 点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.CDBA【题型二】 运动＋勾股【例2】如图，已知A ,B ,C ,D 为矩形的四个顶点，AB ＝16cm ，AD ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直移动到点B 为止；点Q 以2cm /s 的速度向点D 移动（P 点停止移动时，点Q 也停止移动）.设移动的时间为ë（s ），问（1） 当t 为何值时，P 、Q 两点间的距离是10cm ？（2） 当t 为何值时，P 、Q 两点间的距离最小？最小距离为多少？（3） P 、Q 两点间距离能否是18cm ？若能，求出t 的值;若不能，请说明理由.BQCPABCAD针对练习21.如图所示:在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，C点坐标为（3,6），若点P从O点沿OA 向A点以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿AC以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从O、A同时出发，问：（1）经过多长时间，△P AQ的面积为2c2m？（2）△P AQ的面积能否达到3c2m？（3）经过多长时间，P,Qcm？2.如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm,BC＝6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19；（2）是否存在时间ë，使△AMN的面积达到3.5 c2m，若存在，求出时间t,若不存在，说明理由.AMBNDC。

一元二次方程的几何动态问题一．解答题1．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．2．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．3．等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．4．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？5．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP= cm，BQ= cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？6．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．7．如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）2018年10月01日初数50的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：（16﹣3x+2x）×6=33，解方程可得解；（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，解之得x=5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，∵PA=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式：S=（上底+下底）×高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理．2．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6×（5﹣x）×2x=6整理得：x2﹣5x+6=0解得：x=2或x=3答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，∴（5﹣t）2+（2t）2=52，5t2﹣10t=0，t（5t﹣10）=0，t1=0（舍去），t2=2，∴当t=2时，PQ的长度等于5cm．（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，×（5﹣x）×2x=8整理得：x2﹣5x+8=0△=25﹣32=﹣7＜0∴△PQB的面积不能等于8cm2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．3．等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC=（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE=PE=CM=QM=t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．4．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有（6﹣x）•2x=8，解得x1=2，x2=4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积=×6×8=24，（6﹣y）•2y=12，y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），设经过m秒，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）=1，m2﹣10m+23=0，解得m1=5+，m2=5﹣，经检验，m1=5+不符合题意，舍去，∴m=5﹣；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6），设经过n秒，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）=1，n2﹣10n+25=0，解得n1=n2=5，经检验，n=5符合题意．③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），设经过k秒，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）=1，k2﹣10k+23=0，解得k1=5+，k2=5﹣，经检验，k1=5﹣不符合题意，舍去，∴k=5+；综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．5．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP= 6 cm，BQ= 12 cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？【分析】（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论；（2）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论；（3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）由题意，得AP=6cm，BQ=12cm．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∴BP=12﹣6=6cm．故答案为：6、12．（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，当∠PQB=90°时，∴∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．∵BP=12﹣x，BQ=2x，∴12﹣x=2×2x，∴x=，当∠QPB=90°时，∴∠PQB=30°，∴BQ=2PB，∴2x=2（12﹣x），x=6答6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；（3）作QD⊥AB于D，∴∠QDB=90°，∴∠DQB=30°，∴DB=BQ=x，在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=x，∴，解得；x1=10，x2=2，∵x=10时，2x＞12，故舍去∴x=2．答：经过2秒△BPQ的面积等于cm2．【点评】本题考查了动点问题的运用，等边三角形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时建立根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键．6．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．【分析】（1）设经过x秒后，根据△PBQ的面积等于8cm2．得出方程×（6﹣x）×2x=8，求出方程的解即可；（2）设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．那么可分以下情况讨论设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．（1）0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）时，连接PC，求出CQ=8﹣2y，PB=6﹣y，根据三角形的面积公式得出×（8﹣2y）×（6﹣y）=12.6，求出方程的解即可；（2）4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），过点P作PM⊥AC，交AC于点M，求出CQ=2y﹣8，AP=y，根据sinA==，推出=，求出PM=y，根据三角形的面积公式求出×（2y﹣8）×y=12.6，求出方程的解即可；（3）6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，根据QD∥AB得出，代入求出QD=，根据三角形的面积公式得出方程×（14﹣y）×=12.6，求出方程的解即可．【解答】解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2．×（6﹣x）×2x=8，解得x1=2 x2=4，答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．①0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）时，如图：（1）连接PC，则CQ=8﹣2y，PB=6﹣y，∵S△PQC=CQ×PB，∴×（8﹣2y）×（6﹣y）=12.6，解得y1=5+＞4（不合题意，舍去），y2=5﹣；②4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），如图（2）过点P作PM⊥AC，交AC于点M，由题意可知CQ=2y﹣8，AP=y，在直角三角形ABC中，sinA==，在直角三角形APM中，sinA=，即=，∴PM=y，∵S△PCQ=CQ×PM，∴×（2y﹣8）×y=12.6，解得y1=2+＞6（舍去），y2=2﹣＜0（负值舍去）；③6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），如图（3），过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，∵∠B=90°，∴QD∥AB，∴，即=，∴QD=，∵S△CQP=×CP×QD，∴×（14﹣y）×=12.6解得：y1=7，y2=11（不合题意，舍去）答：当（5﹣）秒或7秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2【点评】应注意应先表示出两直角三角形的面积所需要的边和高，然后分情况进行讨论．7．如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= ，，，．以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）【分析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥CD于E，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，CQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．。

专题一：与几何知识的综合
例1、已知关于x的一元二次方程
（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0 其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
专题一：与几何知识的综合 例1、已知关于x的一元二次方程
（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0 其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

专题二：整数根问题 例3、已知关于x的一元二次方程 mx2-3(m+1)x+2m+3=0 （1）如果该方程有两个不相等的实数根， 求m的取值范围； （2）若方程的根都是整数，且|x|<4时，求m 的整数值．
专题三：限制根的范围问题 例4、已知关于x的一元二次方程 x2-(m+2)x+m+1=0 有一个根在-2和-1之间，求m的取值范围.
专题三：限制根的范围问题 例5、已知关于x的一元二次方程
2x2+mx-1=0 （1）判定方程根的情况； （2）设m为整数，方程的两个根均为有理数， 求m的值．
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 △ABC的形状，并说明理由；
专题一：与几何知识的综合 例1、已知关于x的一元二次方程
（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0 其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一 元二次方程的根．
专题二：整数根问题 例2、已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2 – 2mx+m+1=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若m为正整数，且该方程的根都是正 整数，求m的值．

初中数学“一元二次方程与几何图形问题”全解析一、引言一元二次方程与几何图形问题是初中数学中的重要内容，也是考试中的常见题型。

这类问题结合了代数与几何的知识，旨在考察学生的综合分析和解决问题的能力。

本文将详细解析一元二次方程与几何图形问题的基本概念、解题方法及应用，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

二、基本概念1.一元二次方程：形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程称为一元二次方程。

2.几何图形：初中数学中常见的几何图形有直线、角、三角形、四边形、圆等。

3.方程与图形的关联：在几何问题中，常利用一元二次方程来表示某些特定的条件或关系，如长度、面积、角度等。

三、解题方法1.建立方程：根据几何问题的条件，设定未知数并建立与问题相关的一元二次方程。

这一步是关键，要求能正确理解和转化几何条件为代数表达式。

2.解方程：利用一元二次方程的求解方法（如配方法、公式法等）解出未知数。

3.回归几何：将求得的代数解回归到原几何问题中，解释其实际意义，并验证其合理性。

四、应用举例1.直线与圆的位置关系：已知圆的半径r和圆心到直线的距离d，判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。

可通过比较d与r的大小来判断，若d=r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离。

在此过程中，可通过建立一元二次方程求解d或r。

2.三角形的形状判断：已知三角形的三边a、b、c（满足a²+b²=c²），判断三角形的形状。

由勾股定理知，若满足上述条件，则三角形为直角三角形。

若不满足，则可通过比较a²+b²与c²的大小关系，进一步判断三角形为锐角三角形或钝角三角形。

在此过程中，也可能涉及到一元二次方程的求解。

3.面积问题：在求解某些特定形状（如矩形、梯形等）的面积时，可能会遇到需要利用一元二次方程来解决的问题。

例如，已知矩形的周长和一条边的长度，求矩形的面积。

一元二次方程的应用解决几何形状问题一元二次方程是数学中常见的一类方程，拥有广泛的应用领域。

在解决几何形状问题时，一元二次方程也扮演着重要的角色。

本文将讨论一元二次方程在几何形状问题中的应用，并探讨其解决问题的方法。

一、直线与抛物线交点的问题考虑一个几何形状问题，要求找到一条直线与一个抛物线的交点。

此类问题可以通过一元二次方程的解来轻松求解。

假设直线的方程为y = mx + c，抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。

将直线方程代入抛物线方程，可以得到一元二次方程ax^2 + (b - m)x + (c - c) = 0。

通过求解这个一元二次方程，可以得到交点的横坐标x。

将其带入直线方程，可以求解出交点的纵坐标y。

因此，一元二次方程为解决直线与抛物线交点问题提供了有效的方法。

二、求解几何形状的顶点坐标在几何形状中，有些形状可以用一元二次方程来表示。

其中，抛物线是一种常见的形状。

求解抛物线的顶点坐标，也可以通过一元二次方程来实现。

一元二次方程的标准形式为y = ax^2 + bx + c。

在标准形式中，a代表开口的方向和抛物线的形状，b代表抛物线在x轴上的平移，c代表抛物线与y轴的交点。

通过求解一元二次方程，可以得到抛物线的顶点坐标。

顶点坐标为(-b/(2a)，-Δ/(4a))，其中Δ为二次方程的判别式。

三、通过一元二次方程求解三角形面积三角形是几何学中的基本形状，而一元二次方程在求解三角形面积的问题中也大有作为。

以一个具体问题为例，假设已知三角形的三个顶点坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)。

根据三角形的面积公式S = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|，可以将三角形面积问题转化为一元二次方程的求解问题。

以求解三角形的面积为目标，可以通过一元二次方程求解出其中涉及的x和y的值。

将这些值代入面积公式，可以得到三角形的面积。