理论
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梁昊,物院本科生
上个学期上田光善老师的平统讨论班,专门讲过这件事情。我大概说一下
从统计物理出发可以证明Mermin-Wagner 定理,这个定理讲的是:任何具有连续对称性的二维
热力学系统,在非零温下,其连续对称性不可能发生自发破缺。
对于一堆被约束在二维平面上的原子,其间的相互作用都对所处的空间绝对位置没有依赖,并且
没有外加的场。那么这个系统具有空间平移对称性,即将全部原子同时任意平移一个距离,这些
原子感受不到区别。
若这些原子形成了周期性的晶格,就像石墨烯那样。我们会发现,将全部原子同时任意平移一个
距离,整个系统的状态一般会发生改变(除非按晶格周期的整数倍进行平移)。这个就被称为连
续的空间平移对称性破缺了——对称的原因并没有导致对称的结果。
依据Mermin-Wagner 定理,在非零温度下,这个情况是不可能发生的。一个大致的物理解释是,
在小于等于二维时,若出现有序(即连续对称性破缺),Goldstone 玻色子的总能量会发散,
以至于破坏有序(这句话我自己并不太懂,只是听田老师这样说的...以及看那个证明过程的确有
点像这么一回事)
所以,在得到这个定理之后,物理学家一般不对找到二维晶格抱有期待。即便我们可以说,嗯,
现实中没有完全严格的二维系统,大家也一般会说,这个条件放松了,最多也就是定理对应的
非零温这个条件放松一点——大概在相当低的温度下可能找到准二维晶格——但意想不到的是,
室温下就能找到石墨烯这种东西。
(其他几位同学指出,自由石墨烯的“准二维”距离二维真的比较遥远,在垂直于平面上的方向有
纳米级的起伏;另外一般讨论的石墨烯都是制备在衬底上,这不满足定理要求的无外场)
据此,田老师也讲过好几遍:石墨烯拿到了诺贝尔奖,不是因为它有什么什么用,而是因为它对
这个定理的“违背”,让人们震惊,而石墨烯本身,很可能并不比其他新发现的材料更有用。
(这个只是一家之言,大家自行鉴别)
Mermin Wagner 定理最开始是在二维海森堡模型上被证明的:二维海森堡模型描述的是二维晶
格(别说自相矛盾...毕竟只是模型)的各个格点上存在磁矩,彼此相互作用,该定理证明了这个
体系不可能出现自发磁化,即自旋的SU(2)旋转对称性不会破缺。
原始论文见
Phys. Rev. Lett. 17, 1133 (1966)
将这个定理推广至空间平移对称性的论文见(我并没有看懂)
Fröhlich , Pfister : On the absence of spontaneous symmetry breaking and of crystalline
ordering in two-dimensional systems
关于这个问题的现状可能可以看这篇综述(我并没有看)
Graphene-analogous low-dimensional materials
以及,这个定理不止在量子体系中成立。基于经典的哈密顿系统,同样可以完成证明。