2024-2025学年陕西省西安市高三上学期第三次模拟考试数学检测试题1、单选题1、已知复数z 满足,则z=（ ）i z +=-11z 2A ．B ．C ．D ．i 2121--i 2121+-i 2121+i 2121-2、设集合则（ ）{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==>==0,31y ,1,log y 3x y T x x y S x T S = B ． C ． D.A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<310y y {}10y <<y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<131y y φ3、设非零向量满足，则（ ）b ,a ba b a -=+A ． B ． C ． D ．b a =ba>b //a ba ⊥4、已知，则（ ）33)6(sin =+πθ=-3(cos πθA ． B ．- C ． D ．-333363635、已知点P （1，）在曲线上，则的最小值为（ ）21y x =+by ax212-+-b b a a A. 4B ．2C ． 4D ．3+22226．当x >1时，函数y =(ln x )2+a ln x +1的图象在直线y =x 的下方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，e )B ．(-∞，)252e -C ．(-∞)D ．(-∞，e -2)7．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录自己每次出现的点数，四人根据统计结果对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定出现6点的描述是（ ）A ．中位数为4，众数为4B ．中位数为3，极差为4C ．平均数为3，方差为2D ．平均数为4，第25百分位数为28．已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左、P 22:11612x y C +=C 12,F F 右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（ ）M 12F PF ∠10MF MP ⋅=OMA ．B ．C ．D ．()0,2(0,(0,4-()0,12、多选题9、设抛物线C:(p>0)的焦点为F,点M 在抛物线C 上，且则抛物线x p 2y 2=)6,x (0|MF |=10,C 的方程可以为 （ ）A.B ．C.D.x 3y 2=x 4y 2=x 36y 2=x 18y 2=10．上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体，设矩形和的中心分别为和，若平面，1111ABCD A B C D -ABCD 1111D C B A 1O 2O 12O O ⊥ABCD，，，，，，，126O O =10AB =AD =118A B =114A D =11//AB A B 11//BC B C 11//AD A D ，则（ ）11//CD C DA ．这个六面体是棱台B ．该六面体的外接球体积是288πC ．直线与异面AC 11A C D ．二面角的正切值是61A BC C --11、设是正项数列的前n 项和，且对任意正整数n,都有，则下列命题正n T {}n c 9c n =⋅T n确的是（ ）A ．B ． e <2c 221c ++⋅=n n n c c C ．是递减数列D ．存在正整数k,使得{}n c 20241c k <3、填空题12、记为等差数列的前n 项和，若，则公差d=．n S {}n a 155665-=S S 13．在展开式中，的偶数次幂项的系数之和为32，则.()()421a x x ++x a =14．已知函数（且）在上单调递减，且关于()2(43)3,0log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++⎩…0a >1a ≠R 的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是．x ()2f x x =-a 三、解答题15．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.ABC V 22222sin a b c b A +=+(1)求；tan tan A B (2)若，的面积为3，求.π4A =ABC V a 16．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近OE P线的斜率为．(1)求的方程．E (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值．l E ,A B π2AOB ∠=OA OB AB17．在底面是菱形的四棱锥中，已知，过作侧面的垂S ABCD -4AB AS BS ===D SAB 线，垂足恰为棱的中点.O BS (1)证明在棱上存在一点，使得侧面，并求的长；AD E OE ⊥SBC DE (2)求平面与平面夹角的余弦值.SBC SCD 18．某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为，每次答题是否答对互不影响.12(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．(2)记甲第i 次答题所得分数的数学期望为．()*i X i ∈N ()i E X （ⅰ）求，，，并猜想当时，与之间的关系式；()1E X ()2E X ()3E X 2i ≥()i E X ()1i E X -（ⅱ）若，求n 的最小值．()1320nii E X =>∑19．阅读以下材料：①设为函数的导函数.若在区间D 单调递增；则称为区上的凹函数；()f x '()f x ()f x '()f x D 若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.()f x 'D ()f x D ②平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线P ()f x k P 的条切线，其中.()y f x =k k ∈N (1)已知函数.()()4323213f x ax x a x x =+-+-+（i ）当时，讨论的凹凸性；0a ≤()1f x （ii ）当时，点在轴右侧且为的“3切点”，求点的集合；0a =P y ()f x P (2)已知函数，点在轴左侧且为的“3切点”，写出点的集合（不需要写()e xg x x =Q y ()g x Q 出求解过程）.答案：题号 1 2 3 4 5 6 768109答案 CBDADDDDABCDBC1、C【详解】=1+i,则2-=1+i,所以=1-i,因此z=+i2z−1z z 1z 112122、B【详解】S=,T=,则S B {y│y >0}{y│0<y <1}∩T =3、D【详解】=,则两边同时平方得：=0.则选择D |→a +→b ||→a −→b |→a ∙→b 4、A【详解】=-)3(cos πθ336(sin 26(cos =+=-+πθππθ5、D 【详解】P （1，）在曲线上,则21y x =+b y ax121=+ba 221232221222212-+-+=-+-+-+-=-+-b a b b a a b b a a 2211121-=-==+b b a b a b a ，因此，则223222322123+≥-+-+=-+-+b b b a 当且仅当取等号22b +=6．D【分析】根据中位数，众数和极差的定义举例即可判断AB ，根据平均数和方差的定义利用反证法即可判断C ，根据百分位数和平均数的定义利用反证法即可判断D.【详解】解：对于A ，中位数为4，众数为4，则这5个数可以为，故A 不符题意；4,4,4,4,4对于B ，中位数为3，极差为4，则这5个数可以是，故B 不符题意；1,1,3,4,5对于C ，平均数为3，方差为2，设这5个数分别为，12345,,,,x x x x x 则，1234515x x x x x ++++=，()()()()()222221234513333325x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦若取，则，16x =23459x x x x +++=则，()()()()2222234533331x x x x -+-+-+-=所以，()()()()2222234531,31,31,31x x x x -≤-≤-≤-≤所以这四个数可以为与，2345,,,x x x x 4,3,3,32,3,3,3这与矛盾，所以6不存在，故C 不符题意；23459x x x x +++=对于D ，按从小到大的顺序设这5个数为，,,,,a b c d e 因为，525% 1.25⨯=所以第25百分位数为5个数中从小到大排列的第二个数，又第25百分位数为2，所以，1,2a b ==因为平均数为4，所以，则，20a b c d e ++++=17c d e ++=若三个数都不是6，则，,,c d e 15c d e ++≤这与矛盾，故三个数一定会出现6，故D 符合题意.17c d e ++=,,c d e 故选：D.7．D【分析】分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到的取a 值范围.【详解】由题意知，构造函数，1ln ,(1),ln x a x x x -<->()1ln ,(1)ln x F x x x x -=->令则故当()()()2ln 11ln ,ln x x x F x x x '---=⋅()1ln ,g x x x =--()()()110,10,g x g x g x =>'->=时单调递减当时单调递增，所以1e x <<()(),0,F x F x <';>x e ()(),0,F x F x >'所以()()2,F x F e e =-…2,a e <-故选：D .8．A 【分析】延长交的延长线于点，由已知条件可证为的中位线，根据椭2PF 1F M A OM 12F F A △圆的定义转化成，求出焦半径的取值范围，即可得的取值范围.14OM PF =-1PF OM【详解】如图所示，延长交的延长线于点，2PF 1F M A 点在椭圆上，由椭圆的性质可知，P 2211612x y +=2128PF PF a +==因为分别是椭圆的左、右焦点，12,F F 所以点的坐标为、点的坐标为，1F (2,0)-2F (2,0)因为点是的角平分线上的一点，M 12F PF ∠所以，12F PM F PM ∠=∠又，则,10F M MP ⋅=1PM F A ⊥所以，1()PF M PAM ASA ≅ 则，，1PF PA =1F M AM =又因为点为线段的中点，O 12F F 所以为的中位线，OM 12F F A △即，()2121111111182842222OM F A PF PF PF PF PF PF ==-=-=--=-当点在椭圆右顶点时，取最大值，最大值为6，P 1PF 当点在椭圆左顶点时，取最小值，最小值为2，P 1PF当点在椭圆上顶点或下顶点时，，P 14PF ==又因为点是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，P 22:11612x y C +=C 则的取值范围为，1PF (2,4)(4,6)⋃结合函数函数的性质可得，的取值范围是，4y x =-OM(0,2)故选：A.9.BC【详解】由定义可知，当点M 在焦点左侧时，p=18,则方程为x36y 2=当点M 在焦点右侧时，p=2,则方程为x 4y 2=综上，选择BC 为正确答案10．BCD【分析】选项A ：,这个六面体不是棱台，错误；1111A B A D AB AD ≠选项B ：这个六面体的外接球球心在直线上，结合勾股定理，计算六面体的外接球半O 12O O 径，从而求得体积，正确；6R =288π选项C ：和显然不相交，结合题意证得与不平行，所以和不在同一AC 11A C AC 11A C AC 11A C 平面内，正确；选项D ：取和的中点分别为，， 即所求二面角的平面角， 解得BC 11B C M N 1O MN ∠正确；1cos O MN ∠=1tan 6O MN ∠=【详解】因为，所以四条侧棱的延长线不能交于一点，1111A B A D AB AD ≠所以这个六面体不是棱台，所以错误.A 由题意可知，这个六面体的外接球球心在直线上，且，因为O 12OO 121O A O A ==，()22222112116O A OO O A OO R +=+-=解得，所以六面体的外接球半径，所以这个六面体的外接球体积是，12OO =6R =34π288π3R =B 正确.和显然不相交，因为AC 11A C ，11111111111tan tan ,tan tan 2B C BC CAB C A B CAB C A B AB A B ∠∠∠∠====≠所以与不平行，所以和不在同一平面内，C 正确.AC 11A C AC 11A C 取和的中点分别为，，连接，则即所求二面角的平面角，BC 11B C M N 21,,O N MN O M 1O MN ∠，所以，125,4O M O N==1cos O MN ∠==1tan 6O MN ∠=D 正确.故选：BCD.12.1，155665-=S S 1,15242,15)(15)2(30,152)(652a 25611611613=-+=+-+⨯=+⨯-+⨯⨯=⨯⨯d d a d a a a d a a a 13．2【分析】设的偶数次幂项的系数之和为，奇数次幂项的系数之和为，则，x A B ()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得，得到答案.()161A a =+【详解】设展开式的偶数次幂项的系数之和为，奇数次幂项的系数()()()421f x a x x =++x A 之和为，B 则，得，由得.()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩()()()111822A f f a =+-=+⎡⎤⎣⎦32A =2a =故2.本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.14．123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出的大致范围，再根据为减a ()f x 函数，得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出的范围．a 【详解】函数（且），()2(43)3,0log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩0a >1α≠在上单调递减，则：；R ()23402010(43)03log 011aaa a a -⎧≥⎪⎪<<⎨⎪+-⋅+≥++⎪⎩解得，．1334a ≤≤由图象可知，在上,有且仅有一个解，[0,)+∞()2f x x=-故在上,同样有且仅有一个解，(,0)-∞()2f x x=-当即时,联立,32a >23a >()24332x a x a x +-+=-则,解得或1（舍去），()()2424320a a ∆=---=34a =当时,由图象可知，符合条件，132a ≤≤综上：的取值范围为.a 123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭故答案为．123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函数以外,还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略,是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零点,或两函数的交点,体现了数学结合思想,属于难题.15．(1)2【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，结合余弦函数的和差公式即可得解；（2）利用正弦定理与条件得到关于的表达式，从而利用三角形面积公式即可得解.,b c a 【详解】（1）由余弦定理，得，2222cos c a b ab C =+-2222cos a b c ab C =++由正弦定理，得，sin sin a bA B =sin sin a B b A =因为，所以，22222sin a b c b A +=+222cos sin sin ab C c ab A B c =++则，()sin sin 2cos 2cos 2cos cos 2sin sin A B C A B A B A B==-+=-+即，显然，所以.sin sin 2cos cos A B A B =cos cos 0A B ≠tan tan 2A B =（2）因为，所以，则由，得，π4A =tan 1A =tan tan 2A B =tan 2B =因为，所以0πB <<sin B =所以，sin sin b B a A ==b 由，得，22222sin a b c b A +=+222212a b c b +=+则，即，22222211892255c a b a a a +===+⨯c =因为的面积为3，所以，ABC V 1sin 32bc A =则，解得（负值舍去），132=a =所以.a =16．(1)22134y x -=(2)证明见解析【分析】（1）由渐近线的斜率设，再将代入求解即可；()22430y x λλ-=≠P （2）分两种情况证明，当直线的斜率存在，设，与双曲线联立，根据韦达定理l :l y kx m =+及得出，设点到直线的距离为，则由等面积法即可证明；当直π2AOB ∠=()22121k m +=O l d线的斜率不存在，设直线的斜率为1，分别求出，即可证明．l OA ,,OA OB AB【详解】（1）由题可设双曲线的方程为．E ()22430y x λλ-=≠因为经过点，E P 所以，解得，164733λ⨯-⨯=12λ=故的方程为．E 22134y x -=（2）若直线的斜率存在，设，l :l y kx m =+由，消去得，22134y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2224384120k x kmx m -++-=则，即，()()2222Δ644434120k m k m =--->22430m k +->设，则，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)212122284124343km m x x x x k k --+==--,因为，所以，即，π2AOB ∠=0OA OB ⋅=12120x x y y +=所以，整理得，()()12120x x kx m kx m +++=()22121k m +=设点到直线的距离为，则由等面积法得，所以，O l d OA OB AB d⋅=⋅OA OBdAB=又，所以；d ====OA OB AB =若直线的斜率不存在，则直线的斜率为，l OA 1±不妨设直线的斜率为1，则，OA 11x y =将点的坐标代入方程，得，A 22134y x -=2112x =所以，OA OB ==所以．OA OBAB=综上，为定值OA OBAB17．(1)证明见解析，DE 【分析】（1）连，先证明面，从而得出，再由，结合线面AO BS ⊥AOD BS OE ⊥OE BC ⊥垂直判定证明侧面，再由等面积法以及勾股定理得出的长；OE ⊥SBC DE （2）分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，结合向量法得出平面,,OA OB OD ,,x y z 与平面夹角的余弦值.SBC SCD 【详解】（1）解：连是的中点，，,,AO AB AS O = BS BS AO ∴⊥又面DO ⊥,ABS DO BS∴⊥，面，AO DO O ⋂= BS ∴⊥AOD 过作于，则，O OE AD ⊥E BS OE ⊥又，//,BC AD OE BC ∴⊥又，所以面.BS BC B ⋂=OE ⊥SBC 在Rt 中，，AOD △1,2AO DO ===AO ODEOAD⨯==DE==（2）分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，,,OA OB OD,,x y z则，()()()()1,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,2,(1,0,2)A B S D AD-∴=-，()()11421,0,01,0,2,0,5555OE OA AE OA AD⎛⎫=+=+=+-= ⎪⎝⎭故点的坐标是，E42,0,55⎛⎫⎪⎝⎭由（1）知面，故面的法向量可取，OE⊥SBC SBC()12,0,1n=设面的法向量是，而，SCD()2,,n x y z=()()1,2,0,0,2,2DC AB DS==-=--由，得令，得，即，22n DSn DC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22020y zx y--=⎧⎨-+=⎩1y=2,1x z==-()22,1,1n=-所以，从而平面与平面121212cos,n nn nn n⋅==SBC SCD18．(1)14(2)（ⅰ）；（ⅱ）()()15,2i iE X E X i-=+≥10【分析】（1）由题意，得到前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40（对），进而求得得分之和为70分的概率；（2）（ⅰ）根据题意，分别求得，，，结合题意，得到()115E X =()220E X =()325E X =，即可完成猜想；()()15i i E X E X -=+（ⅱ）由（i ）得到为等差数列，求得，结合和{}()i E X 21525()2ni i n nE X =+=∑91()315i i E X ==∑，即可求解.101()375ii E X ==∑【详解】（1）解：由题意，前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40（对），所以甲前3次答题的得分之和为70分的概率为.3112()24P =⨯=（2）解：（ⅰ）甲第1次答题得分20分，10分的概率分别为，则12，()11120101522E X =⨯+⨯=甲第2次答题得分40分，20分，10分的概率分别为，111,,442则，()211140201020442E X =⨯+⨯+⨯=甲第3次答题得分80分，40分，20，10嗯分的概率分别为，1111,,,8842则，()3111180402010258842E X =⨯+⨯+⨯+⨯=当时，因为甲第次答题所得分数的数学期望为，2i ≥1i -1i X -()1i E X -所以第次答对题所得分数为，答错题所的分数为分，其概率为，i ()12i E X -1012所以，()()()1111210522i i i E X E X E X --=⨯+⨯=+可猜想.()()15,2i i E X E X i -=+≥（ⅱ）由（i ）知数列是以15为首项，5为公差的等差数列，{}()i E X 根据等差数列的求和公式，可得，21(1)525()15522ni i n n n nE X n =-+=+⨯=∑当时，，当时，，9n =91()315320ii E X ==<∑10n =101()375320ii E X ==>∑所以实数的最小值为.n 10方法点睛：对于离散型随机变量的期望与方差的综合问题的求解策略：1、理解随机变量的意义，写出可能取得得全部数值；X X2、根据题意，求得随机变量的每一个值对应的概率；X 3、列出随机变量的分布列，利用期望和方差的公式求得数学期望和方差；X 4、注意期望与方差的性质的应用；()()()()2,E aX b aE X b D ax b a D X +=++=19．(1)（i ）答案见解析；（ii ）或321(,)4433x x y x y x x x ⎧>⎧⎨⎨-<<--+⎩⎩32013344x x x x y x <<⎧⎫⎨⎬--+<<-⎩⎭(2)点的集合为或或Q {(,)x y 24e 0x x y ≤-⎧⎨<<⎩2424e e x x x x y -<<-⎧⎪+⎨<<-⎪⎩2204e e x x x y x -⎪<⎧⎫⎪<⎪⎨⎬⎪⎩<+-⎭<【分析】（1）（i ）利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数的单调性，可得其()f x 凹凸性；（ii ）根据“切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点的集合；k P （2）根据函数利用“切点”的定义，得出单调性即可得出结论.()e xg x x =k 【详解】（1）因为，()()4323213f x ax x a x x =+-+-+所以，()()32436211f x ax x a x =+-+-'令，()()32436211h x ax x a x =+-+-所以.()()()()212662162211h x ax x a ax a x '=+-+=++-（i ）当时，，令，解得；0a =()()61h x x '=-()0h x '≥1x ≥令，解得；()0h x '≤1x ≤故为区间上的凹函数，为区间上的凸函数；()f x [)1,+∞(],1-∞当时，令，解得，104a -<<()0h x '≥2112a x a +≤≤-令，解得或，()0h x '≤1x ≤212a x a +≥-故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；()f x 211,2a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(],1-∞21,2a a ∞+⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭当时，，故为区间上的凸函数；.14a =-()23(1)0h x x =--≤'()f x (),-∞+∞当时，令，14a <-()0h x '≥解得，2112a x a +-≤≤令，解得或，()0h x '≤1x ≥212a x a +≤-故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；()f x 21,12a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21,2a a ∞+⎛⎤-- ⎥⎝⎦[)1,+∞综上所述，当时，为区间上的凹函数，为区间14a <-()f x 21,12a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21,2a a ∞+⎛⎤-- ⎥⎝⎦和上的凸函数；[)1,+∞当时，为区间上的凸函数；14a =-()f x (),-∞+∞当时，为区间上的凹函数，为区间和104a -<<()f x 211,2a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(],1-∞21,2a a ∞+⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭上的凸函数；当时，为区间上的凹函数，为区间上的凸函数；0a =()f x [)1,+∞(],1-∞（ii ）当时，，0a =()()32233,361f x x x x f x x x =---'+=-故在点处的切线方程为.()(),t f t ()()23236133y tt x t t t t =---+--+设为的“3切点”，(),(0)P u v u >()f x 则关于的方程有三个不同的解，t ()()23236133v t t u t t t t =---+--+即关于的方程有三个不同的解，t ()3223363v t u t ut u =-++-+-令，()()3223363F t t u t ut u=-++-+-所以直线与曲线恰有三个不同的交点.y v =()y F t =.()()()()2661661F t t u t u t t u '=-++-=---当时，随变化情况如下：1u >()(),F t F t 'tt(),1-∞1()1,u u(),u +∞()F t '-0+-()F t 减极小值44u-增极大值3233u u u --+减故；324433u v u u u -<<--+当时，单调递减，不符合题意；1u =()()26(1)0,F t t F t =--≤'当时，随变化情况如下：01u <<()(),F t F t 't t(),u -∞u(),1u 1()1,+∞()F t '-0+-()F t 减极小值3233u u u --+增极大值44u-减故；323344u u u v u --+<<-综上所述，点的集合为P 或321(,)4433x x y x y x x x ⎧>⎧⎨⎨-<<--+⎩⎩32013344x x x x y x <<⎧⎫⎨⎬--+<<-⎩⎭（2）点的集合为或或Q {(,)x y 24e 0x x y ≤-⎧⎨<<⎩2424e e x x x x y -<<-⎧⎪+⎨<<-⎪⎩2204e e x x x y x -⎪<⎧⎫⎪<⎪⎨⎬⎪⎩<+-⎭<关键点点睛：本题在求解“切点”问题时，关键是利用其定义将切线问题转化成求解方程根k 的个数，再利用导数求得函数单调性即可得出结论.。
