陕西省咸阳市高新一中2021届高三上学期第二次考试理科数学试题(B) Word版含解析

高2021届第二次模拟考试数学〔理〕试题长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分． 〔在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．集合2{|(1)}(,),A x x a a i a R i A R ==+-∈⊆是虚数单位若，那么a=A ．1B ．-1C ．±1D ．02．某程序框图如下图，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ．A ．2()f x x =B ．1()f x x =C ．()ln 26f x x x =+-D ．()sin f x x =3．p ：存在2200,20.:,210x R mx q x R x mx ∈+≤∈-+>任意，假设“p 或q 〞为假命题，那么实数m的取值范围是 A ．[1，+∞〕 B ．〔一∞，一1] C ．〔一∞，一2] D ．[一l ，1]4．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，假设14611,6a a a =-+=-,那么当S n 取最小值时．n 等于A ．6B ．7C ．8D ．95．定义在R 上的函数()f x 满足2(6)(),31,()(2),f x f x x f x x +=-≤≤=-+当时当一1≤x<3时，(),(1)(2)(3)(2013)f x x f f f f =+++=则 A ．2021 B ．2012 C ．338 D ．3376． 如果实数x 、y 满足条件1010,10x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩那么z=4x ·2-y 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．12 D ．147．函数33(0)()(,)(0)(01)x x a x f x x a x a a -+-<⎧=∈-∞+∞⎨≥>≠⎩是且上的减函数，那么a 的取值范围是 A ．2(0,]3 B ．1(,1)3 C ．〔2，3〕 D ．12(,]238．F 1，F 2为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上， 1212||2||,cos PF PF F PF =∠则=A ．14B ．34C ．35D ．459．球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°那么棱锥S —ABC 的体积为A 33B 233C 433D 53310．函数y=x 3-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点．那么c=A ．一2或2B ．一9或3C ．一1或1D ．一3或1二、填空题：〔本大题共5小题，每题5分，共25分．把答案值填在答题卡的相应位置〕11．假设6(a x x-展开式的常数项是60，那么常数a 的值为 ． 12．假设曲线||21x y =+与直线y=b 没有公共点，那么b 的取值范围是 ．13．椭圆2221(5x y a a+=为定值，且5a >F ，直线x=m 与椭圆相交于点A 、B 。

咸阳市高新一中2020—2021学年第一学期高三第二次考试（理科数学B ）一、选择题1. 已知集合{}29A x Z x =∈<，121B xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A. {}2,1,0--B. {}2,1,0,2--C. ()33,1,32⎛⎫-⋃⎪⎝⎭D. 3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合,A B ,再求AB 得解.【详解】由题得{}2,1,0,1,2A =--， 由121x <-，得2301x x ->-，解得32x >或1x <，所以3{|2B x x =>或1}x < 因此{}2,1,0,2AB =--，故选：B.【点睛】本题主要考查分式不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A. 3y x = B. 1y x =+C. 21y x =-+D. 2xy -=【答案】B 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给函数的奇偶性和单调性即可求得最终结果． 【详解】根据函数的基本性质，逐项判定：对于A 中，函数y =x 3是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意； 对于B 中，函数y =|x |+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增；对于C 中，函数y =-x 2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意；对于D 中，函数y =2-|x |是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的奇偶性判定及应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．3. 设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】12>-不能推出12>-，反过来，若x y >则x y >成立，故为必要不充分条件.4. 命题“若21x ＜，则11x -＜＜”的逆否命题是（ ） A. 若21x ≥，则1≥x ，或1x ≤- B. 若11x -<<，则21x < C. 若1x >，或1x <-，则21x > D. 若1≥x 或1x ≤-，则21x ≥【答案】D 【解析】 【分析】交换“21x ＜”与“11x -＜＜”，再逐一否定.【详解】命题“若21x ＜，则11x -＜＜”的逆否命题是“若1≥x 或1x ≤-，则21x ≥”. 故选：D.【点睛】此题为基础题，互为逆否的命题等价；“p 或q ”的否定是“非p 且非q ” 5. 设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小.【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=， 331log 2log 32>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.6. 已知函数()()22435f x ax a x =+-+在区间(),3-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. 304⎛⎫ ⎪⎝⎭， B. 304⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 304⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D. 304⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】D 【解析】 【分析】分成0a =和0a ≠两种情况，结合二次函数的性质进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. 【详解】当0a =时，()125f x x =-+，在区间(),3-∞上是减函数，符合题意. 当0a ≠时，二次函数对称轴为()434a a--，要使()f x 在区间(),3-∞上是减函数，则需()04334a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩，解得304a <≤. 综上，a 的取值范围是304⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：D【点睛】本小题主要考查二次函数的性质，属于中档题.7. 为了得到函数()lg 105y x ⎡⎤=+⎣⎦的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（ ） A. 向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度D. 向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】先化简得()1lg 5y x =++，根据函数的图象变换即得解. 【详解】由题得()()lg10lg 51lg 5y x x =++=++，所以只需把函数lg y x =的图像上所有的点向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度. 故选：A【点睛】本题主要考查对数的运算，考查函数的图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8. 函数sin y x x =部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性得函数是偶函数，故排除BC ，再根据正弦函数性质得()0,πx ∈时，函数0y >，故排除A ，得D 正确.【详解】解：函数sin y x x =的定义域为R ，()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，故函数sin y x x =是偶函数，可知B ，C 不正确；当()0,πx ∈时，函数0y >，可知函数的图象为：D ，A 不正确. 故选：D .【点睛】本题考查根据函数解析式选函数图象，考查正弦函数的性质，是中档题. 9. 已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） A. (11)-， B. (0)1，C. (10)(01)-⋃，， D.(1)(1)-∞-⋃+∞，，【答案】C 【解析】 【详解】由题为上的减函数，则，解得或.故选C.本题主要考查函数单调性.10. 定义在R 上的函数()f x 满足()2f x '>，且(1)3f =，则不等式()21f x x >+的解集为( ) A. (,0)-∞ B. (0,)+∞C. (1,)+∞D. (,1)-∞【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()21g x f x x =--，对()g x 求导研究其单调性与在1x =处的函数值，从而求得答案．【详解】()21f x x >+的解集即为()210f x x -->的解集 构造函数()()21g x f x x =--，则()()2g x f x ''=-， 因为()2f x '>，所以()()20g x f x ''=->所以()()21g x f x x =--在R 上单调递增，且()()12101g f =--=所以()210f x x -->的解集为()1,+∞， 不等式()21f x x >+的解集为()1,+∞. 故选C.【点睛】本题考查导函数的应用，解题的关键是构造新函数．11. 已知命题p ：0x R +∃∈，200420x x t ++=；命题q ：k R ∀∈，直线l ：0kx y k t --+=与圆C ：2210x y +=有公共点，若p q ∧为真，则实数t 的取值范围为（ ）A. 13,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. [)3,2--C. [)3,0-D. 12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的图象与性质和直线与圆的位置关系，分别求得命题,p q 为真命题时，实数t 的取值范围，再结合p q ∧为真命题，列出不等式组，即可求解.【详解】若p 为真命题，则由00x >，可得()201120,24t x ⎛⎫-=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，故0t <； 若q 为真命题，由直线0kx y k t --+=可化为(1)-=-y t k x ，则直线l 所过定点()1,t ，因为直线l ：0kx y k t --+=与圆C ：2210x y +=有公共点，所以在圆C 上或圆C 内，可得22110t +≤，解得33t -≤≤， 若p q ∧为真命题，则0,33,t t <⎧⎨-≤≤⎩，解得30t -≤≤.故选：C .【点睛】本题主要考查了根据复合命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及直线与圆的位置关系，求得命题,p q 是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12. 已知直线()()13140m x m y -++-=所过定点恰好落在函数()log ,03,4,3,a x x f x x x <≤⎧=⎨->⎩的图象上，若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，得到直线过定点()3,1，求出3a =，令()20f x mx -+=，得()2f x mx =-，在同一坐标系中作出()1y f x =与22y mx =-的图象，结合图像，即可得出结果. 【详解】由()()13140m x m y -++-=，得()430x y m x y +---=，由4030x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩，即直线过定点()3,1，∴log 31a =，∴3a =，令()20f x mx -+=，得()2f x mx =-，在同一坐标系中作出()1y f x =与22y mx =-的图象，如图所示，函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，等价于()1y f x =与22y mx =-的图象有三个不同的交点； 由图像可得，只需0(2)1(2)4030m ----<<--，即112m <<.故选：B.【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数问题，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.二、填空题13. 已知函数()()()221691x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦______. 【答案】16 【解析】 【分析】先求()1f ，再求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值即可.【详解】根据题意，函数()()()221691xx f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，则()11694f =-+=， 则()()4=61421f f f ⎦=⎤⎣=⎡；故()161f f ⎡⎤=⎣⎦.故答案为：16.【点睛】本题考查了分段函数求值，属于基础题.14. 已知集合214162xA x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，[],B a b =，若A B ⊆，则-a b 的取值范围是______.【答案】(],2-∞- 【解析】 【分析】先解出集合A ，然后根据A B ⊆确定B 集合的两端点的取值情况，并确定-a b 的取值范围.【详解】集合214162xA x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}{}22422246x x x x -=≤≤=≤≤，∵A B ⊆，∴4a ≤，6b ≥， ∴462a b -≤-=-， 即-a b 的取值范围是(],2-∞-. 故答案为：(],2-∞-.【点睛】本题考查根据集合间的关系求解参数的取值范围，较简单，准确解出集合A 是关键. 15. 2()lg(45)f x x x =--+的单调递增区间为_______________．【答案】(]5,2-- 【解析】 【分析】首先求解函数的定义域，然后由复合函数单调性法则（同增异减）求内层函数的单调递增区间.【详解】()()2lg 45f x x x =--+定义域：-5<x<1令g （x ）=245x x --+函数g （x ）对称轴是x=-2，单调递增区间是(]5,2-- 则函数f （x ）单调递增区间是(]5,2-- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间求解，属于基础题型，解题的关键：一是函数定义域容易忽略；二是根据复合函数单调性判断法则（同增异减）求内层函数的单调增区间. 16. 若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围__________．【答案】13a -<< 【解析】由题意：x 2＋(a －1)x ＋1＞0恒成立．则对应方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实数根． 则Δ＝(a －1)2－4＜0，即a 2－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3.三、解答题17. 设命题2:(43)1p x -≤；命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：p ⌝ 是q ⌝的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ⊂，所以1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 试题解析：设()2{|431},A x x =-≤ ()()2{|2110},B x x a x a a =-+++≤知1{|1},2A x x =≤≤ {|1},B x a x a =≤≤+由p ⌝ 是q ⌝的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ⊂,1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩ 且两等号不能同时取． 故所求实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18. 已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=-，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，求：（1）()0f 与()2f 的值； （2）()3f 的值；（3）()()20202021f f +-的值.【答案】（1）()00f =，()20f =；（2）1-；（3）1. 【解析】 【分析】（1）直接根据函数的解析式和函数的关系式()()2f x f x +=-，即可求得()0f 与()2f 的值；（2）根据关系式()()2f x f x +=-和函数的奇偶性，即可求得()3f 的值；（3）利用函数的奇偶性和关系式()()2f x f x +=-，求得函数()f x 是以4为周期的函数，进而求得()()20202021f f +-的值【详解】（1）当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，所以()20log 10f ==， 因为0x ≥，都有()()2f x f x +=-，所以()()200f f =-=. （2）因函数()f x 为偶函数，且()()2f x f x +=-，当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，所以()()()()23121log 111f f f =+=-=-+=-. （3）依题意，当0x ≥时，都有()()2f x f x +=-， 可得当0x ≥时，()()()42f x f x f x +=-+=， 即0x ≥时，函数()f x 是以4为周期的函数.所以()()()()()()202020212020202101f f f f f f +-=+=+， 又由()()20log 010f =+=，()()21log 111f =+=， 故()()202020211f f +-=.【点睛】本题主要考查了函数值的计算，以及抽象函数性质的应用，其中解答中结合函数的奇偶性和周期进行转化求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19. 已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-. （1）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （2）若()1,2A B ⋂=，求实数m 的取值范围； 【答案】（1）(],2-∞-；（2）1m =-. 【解析】 【分析】（1）根据题意得B ≠∅，再根据集合的关系得出端点间的不等关系得到不等式组，解之即得实数m 的取值范围； （2）根据已知得2112m m ≤⎧⎨-=⎩，再解不等式即可得答案.【详解】解：（1）由A B ⊆，得12,21,13,m m m m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-，所以实数m 的取值范围为(],2-∞-.（2）由已知得121,,212,1,m m m m ⎧⎧≤≤⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=-⎩⎩，∴1m =-.【点睛】本题主要考查交集及其运算，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题． 20. 已知函数()22x x f x k -=+⋅，k ∈R ． （1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值．（2）若对任意的[0,)x ∈+∞都有()2xf x ->成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（I ）(II)【解析】试题分析：（1） 已知函数为奇函数，由()(),R f x f x x -=-∈，求得k 的值；（2）恒成立问题通常是求最值，将原不等式整理为212x k -<对0x ≥恒成立，进而求22xy =在[0,)+∞上的最小值，得到结果.试题解析：（1）因为()22,x x f x k k R -=+⋅∈是奇函数，所以()(),R f x f x x -=-∈，即22(22),x x x x k k --+⋅=-+⋅所以2(1)(1)20x k k +++⋅=对一切R x ∈恒成立，所以1k =-.（2）因为[)0,x ∈+∞，均有()2,xf x ->即222x x x k --+⋅>成立，所以212x k -<对0x ≥恒成立，所以2min 1(2)xk -<,因为22xy =在[)0,+∞上单调递增，所以2min (2)1x =， 所以0k >. 10分考点：1.奇函数的特点；2.函数恒成立.3.求最值. 21. 设函数()()0kxf x xek =≠.（1）若0k >，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，求k 的取值范围.【答案】（1）增区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,k ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）[)(]1,00,1-.【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()()'1kxf x e kx =+，令()'0f x >和()'0f x <，即可得到函数的单调区间；（2）把函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，转化为()1,1x ∈-时，()10kxe kx +≥恒成立，令()1h x kx =+，结合一次函数的性质，列出不等式组即可求解.【详解】（1）()()1kxf x kx e '=+，若0k >，令()0f x '>，得1x k>-，令()0f x '<，得1x k <-，所以函数()f x 的单调递增区间是1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,k ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）∵()f x 区间()1,1-内单调递增，∴()()01kxf x kx e '+≥=在()1,1-内恒成立，∴10kx +≥在()1,1-内恒成立，即()110,110,k k ⎧+⋅-≥⎨+⋅≥⎩，解得11k -≤≤. 因为0k ≠，所以k的取值范围是[)(]1,00,1-.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，以及利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，合理转化，结合一次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22. 某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：销售单价x （单位：百元） 4 5678日销售量y （单位：件）110100908070该产品的进货浮动价与日销售量关系如下表所示：日销售量y （单位：件）120 100 90 60 45 进货浮动价d （单位：百元） 0.750.911.52（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量y 与销售单价x 的关系()f x 、进货浮动价d 与日销售量y 的关系()d y ；【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数】 （2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？ 【注：单件产品的利润=单件售价-（进货浮动价+进货固定价）】 【答案】（1）答案见解析；（2）售价定为1200元时，单件产品的利润最大. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设()f x kx b =+，由题中数据列出方程求出系数，即可得出()10150f x x =-+；再由题意，得到日销售量和进货浮动价构成一个反比例函数，设()md y y=，根据题中条件求出m ，即可得出结果； （2）由（1）根据题意，先得015x <<，设单件产品的利润为P 百元，得出函数关系，再由基本不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）根据表中数据，销售单价每增加1百元，日销量减少10件，所以销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设()f x kx b =+，由41105100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10k =-，150b =，即()10150f x x =-+，又根据表中数据，日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90，考虑其为一个反比例函数关系，设()md y y=，由题意可得90m =， 于是()90d y y=，（2）由1501000x x ->⎧⎨>⎩，可得015x <<，设单件产品的利润为P 百元，则()()()9090933331501015P x d y x x x f x x x=-+=--=--=----， 因为015x <<， 所以150x ->， 所以9151215P x x ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭， 又()991521561515x x x x-+≥-⋅=--，当且仅当91515x x-=-，即12x =时等号成立， 所以max 6126P =-+=，故单件产品售价定为1200元时，单件产品的利润最大，为600元.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查基本不等式的应用，属于常考题型.。

2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学理科高三二模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第1题5分2019~2020学年广东深圳高三上学期期末文科第2题5分若在复平面内，复数z=2+mi(m∈R)对应的点位于第四象限，且|z|=4，则m=（）．A. −2√3 B. 4√3 C. 2 D. 2√32、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第2题5分⩽x<3}，函数f(x)=ln⁡(1−x)的定义域为N，则M∩N=（）．已知集合M={x|12]A. (0,12)B. (0,12,1]C. [12,1)D. [123、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第3题5分2019~2020学年福建厦门高三上学期期末理科第10题5分地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强．地震预警是指在地震发生后，利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点，地震发生地提前对地震波尚未到达的地方进行预警．通过地震预警能在地震到达之前，为民众争取到更多逃生时间．2019年6月17日22时55分四川省宜宾市长宁县发生6.0级地震，震源深度约16千米，震中长宁县探测到纵波后4秒内通过电波向成都等地发出地震警报．已知纵波传播速度约为5.5∼7千米/秒，横波传播速度约为3.2∼4千米/秒，长宁县距成都约261千米，则成都预警时间（电波与横波到达的时间差）可能为（）．A. 51秒B. 56秒C. 61秒D. 80秒4、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第4题5分鼎被誉为中国历史上的传国重器，是青铜器文化的代表，是国家权力的象征，有着鼎盛千秋的寓意．1939年在河南安阳出土的后母戊鼎是一件形制巨大、工艺精巧、威武庄严的商后期青铜祭器．该器重832.84kg，口长112cm，口宽79cm，连耳高133cm，厚6cm．某中学青铜文化研究小组的同学发现鼎的耳、身、足的高度之比约为3:4:4．据此推算，后母戊鼎的器腹容积最贴近的是（）．A. 218000cm3B. 246000cm3C. 284000cm3D. 324000cm35、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第5题5分已知{a n}是等比数列，S n是其前n项积，若S7S2=32，则S9=（）．A. 1024B. 512C. 256D. 1286、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第6题5分已知函数f(x)={−log a⁡x,x⩾32−x,x<3，则“函数f(x)在R上单调递减”是“a>1”（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第7题5分2019~2020学年甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高二下学期期末第8题5分2019~2020学年9月湖南长沙天心区长郡中学高三上学期月考文科第10题5分如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）．A. π4B. π12C. 1−π4D. 1−π128、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第8题5分函数f(x)=cos⁡(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则2f(x)>1在区间(0,π)上的解集是（ ）．A. (0,π3)B. (0,π4)C. (π4,π3)D. (0,π4)∪(11π12,π)9、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第9题5分2020年河北保定高三一模文科第12题5分2021年河北保定高三一模文科第12题5分已知函数f(x)=−xln⁡x1+x在x=x0处取得最大值，则下列选项正确的是（）．A. f(x0)=x0<12B. f(x0)=x0>12C. f(x0)=x0=12D. 12<f(x0)<x010、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第10题5分把焦点相同，离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2分别是一对“相关曲线”的左、右焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对“相关曲线”中双曲线的离心率是（）．A. √2B. √3C. 2√33D. 211、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第11题5分2018年吉林长春高三二模文科第12题5分2018年吉林长春高三二模理科第12题5分若关于x的方程(ln⁡x−ax)ln⁡x=x2存在三个不相等实根，则实数a的取值范围是（）．A. (−∞,1e−e)B. (1e2−1e,0)C. (−∞,1e2−1e)D. (1e−e,0)12、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第12题5分2020年四川成都高三二模理科第10题5分在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别为AB ，AD 的中点，过点D 作平面α使B 1P//平面α，A 1Q//平面α．若直线B 1D 1∩平面α=M ，则MD1MB 1的值为（ ）． A. 14 B. 13 C. 12 D. 23二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第13题5分已知二项式(a +2√x)7的展开式中常数项为−1，x 2项系数为 ．14、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第14题5分已知两个非零向量a →、b →满足|a →|=|b →|=|a →−b →|=2，则a →在b →方向上的投影为 ．15、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第15题5分2018~2019学年安徽合肥庐阳区合肥市第六中学高二下学期期末理科第15题5分将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在3×3方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有 种．16、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第16题5分在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若A =3π4，tan⁡C =34，b =2，则△ABC 的面积S = ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第17题12分某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：(1) 根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似地服从正态分布N(218,140)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？(2) 在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．18、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第18题12分已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n,S n n )直线y =x +4上．数列{b n }满足b n+2−2b n+1+b n =0(n ∈N ∗)，且b 4=8，前11项和为154．(1) 求数列{a n }、{b n }的通项公式．(2) 设c n =32(a n −2)(2b n +5)，数列{c n }的前n 项和为T ；求使不等式T n >k 75对一切n ∈N ∗都成立的最大正整数k 的值．19、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第19题12分如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE//BC交AC于E，PF//AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．(1) 求证：B′C//平面A′PE．(2) 设APPB=λ，当λ为何值时，二面角C−A′B′−P的大小为60°？20、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第20题12分已知a∈R，函数f(x)=ln⁡x−a(x−1)．(1) 若a=1e−1，求函数y=|f(x)|的极值点．(2) 若不等式f(x)⩽−ax2e2+(1+2a−ea)xe恒成立，求a的取值范围．（e为自然对数的底数）21、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第21题12分已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，其离心率为e=√22．(1) 若a=2，点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．(2) 是否存在过椭圆C的右焦点F的直线l，使得其与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，且满足坐标原点O关于点M的对称点在椭圆C上．若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第22题10分2017~2018学年1月广西南宁青秀区南宁市第二中学高三上学期月考文科第22题10分2017~2018学年1月广西南宁青秀区南宁市第二中学高三上学期月考理科第22题10分在直角坐标系xOy中，点P(1,2)在倾斜角为α的直线l上．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=6sin⁡θ．(1) 写出l的参数方程及C的直角坐标方程．(2) 设l与C相交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的最小值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|x+3|+|x−1|的最小值为m．(1) 求m的值．(2) 若a>0，b>0，a+b=m，求证：1a +4b⩾94．1 、【答案】 A;2 、【答案】 D;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 B;13 、【答案】 −560;14 、【答案】 1;15 、【答案】 24;16 、【答案】 6;17 、【答案】 (1) 17.6．;(2) 37．;18 、【答案】 (1) b n =3n −4，n ∈N ∗;(2) 12．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 当λ=7±3√52时，二面角C −A ′B ′−P 的大小为60°． ;20 、【答案】 (1) 极小值点为1和e ，极大值点为e −1 ． ;(2) a ⩽0．;21 、【答案】 (1) 相切，证明见解析．;(2) 存在，±√22． ;22 、【答案】 (1) {x =1+tcos⁡αy =2+tsin⁡α（t 为参数），x 2+y 2−6y =0． ;(2) 2√7．7;23 、【答案】 (1) m=4．;(2) 证明见解析．;。

陕西省普通高中2020-2021学年高三上学期第二次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}220M x x x =+-≤，{}11N x x =-≤，则MN =（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]2,0- D ．[]2,1- 2．已知复数z 满是2()1mi z m R i +=∈-且||=2z ，则m 的值为（ ） A ．2 B ．-2或2C ．3.D ．-3或3 3．下列函数中是奇函数且对任意1x ，2x ∈R （12x x ≠），不等式()()122f x f x -<恒成立的是（ ）A ．()sin 2f x x =B ．()2222x x x x f x ---=+C ．()()2ln 1f x x =+D ．()cos f x x x =4．角3πα+的终边经过点()1,2P ，则tan 112tan 112παπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．12 C ．2- D ．12- 5．已知函数()f x 为定义在R 上的增函数且其图象关于点(2,0)对称，若()(2)g x f x =-，则不等式(3)(12)0g x g x ++-的解集为（ ）A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C ．(,4]-∞D ．[2,4] 6．函数()()2sin 24x f x x π-=-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．7．如图为从一个半球中挖去一个长方体的三视图，其俯视图中圆的半径和正方形的边长均为2，正方形的中心与圆的圆心重合，则当正视图中矩形边a 取得最大值时，该几何体的体积为（ ）A ．1643π-B ．163π-C ．163π-D ．323π-8．已知()()sin sin cos sin 2f x x x πωϕωπϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0>ω，ϕπ<）的最小正周期为π，若函数()f x 在区间2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值点，则ϕ的取值范围为（ ） A ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知角,a β满足sin(2)3sin αββ+=，若11tan tan tan λαβα-=，则实数λ的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610．已知a ∈R ，则“4332a a a a -≥-”成立的充要条件是（ ）A ．0a ≥B ．ln 2a ≥C ．1a ≥D ．0a ≤11．已知数列{},{}n n a b 满足11111121.1,0.2,,,233n n n n n n b a a b a b a b n ++++====+∈N ，令n n n c a b =-，则满足4110n c ≤的n 最小值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．1212．已知()2e xf x k x =-（k ∈R ），下列结论正确的是（ ） ①当1k =时，()0f x ≥恒成立；②当2k =时，()f x 的零点为0x 且0112x -<<-；③当2k e=时，1x =是()f x 的极值点；④若()f x 有三个零点，则实数k 的取值范围为240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. A ．①②④B ．①③C ．②③④D ．②④二、填空题13．已知函数3()(0)f x ax ax a =->的图象在0x =和1x =处的切线互相垂直，则a =________.14．若实数,x y 满足不等式组20220440x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--≤⎩，存在可行解(,)x y 满足60mx y m --=，则实数m 的最小值为________.15．在水平桌面上，有两两相切且半径均为2的四个黑球，有一个白球与这四个黑球均相切，则该白球球面上的点到桌面距离的最大值为______.三、双空题16．已知()333f x x x =-，过点()1,0A -的直线l 与()f x 交于不同的两点E ，F （异于点A ），记线段EF 的中点(),M s t ，则s =______；t 的取值范围为______.四、解答题17．如图，在ABC ∆中，AB 4=，M 为AB 的中点.（1）当3CM =时，求CA CB ⋅的值；（2）当ABC ∆的面积为8时，线段CM 上一点P ，满足()13CP CA CB =+，求222PA PB PC ++的最小值.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n S a +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21nn n a b a =+（n *∈N ），求证：123748n b b b +++<. 19．已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e ,R x f x m m -=-∈.（1）当12m =时，求函数()f x 的单调区间; （2）若函数()()14g x f x =-有两个零点：求实数m 的取值范围. 20．如图1，在直角梯形ABCD 中，E ，F 分别为AB 的三等分点，FG BC ，ED BC ∥，3AB =，2BC =，若沿着FG ，ED 折叠使得点A 和点B 重合，如图2所示，连结GC ，BD .（1）求证：平面GBD ⊥平面BCDE ；（2）求二面角B GC D --的余弦值.21．如图，在ABC 中，已知1,2,60AB BC ABC ︒==∠=，M 为BC 中点，E ，F 分别为线段AB ，AC 上动点（不包括端点），记EMB θ∠=.（1）当EM FM ⊥时，求证：EM =；（2）当60EMF ︒∠=时，求四边形AEMF 面积S 关于θ的表达式，并求出S 的取值范围.22．已知函数()2e cos222x fx x x x =+++-.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求证：()()ln 21f x x ≥+；（3）求证：()f x 有且仅有两个零点.参考答案1．A【分析】化简集合,A B ，按照交集定义，即可求解.【详解】{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =≤≤，[]0,1M N ⋂=.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】化简复数z 为(,)a bi a b R +∈形式，再由复数模的运算列方程解得m ．【详解】 由题意知2i 2(2)i 1i 2m m m z +-++==-，因为||2z =，所以22(2)(2)44m m -++=，即24m =，解得2m =±.故选B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题．3．B【分析】逐项判断()f x 是否为奇函数，是否满足()()max min 2f x f x -<.【详解】由题意知，符合题意的函数()f x 满足()()max min 2f x f x -<，A 选项中，当14x π=，234x π=时，()()122f x f x -=，与题意不符； B 选项中()()41211,14141x x x f x -==-∈-++，且()()f x f x -=-，符合题意；C 选项中()f x 的值域为[)0,+∞，()f x 为偶函数，故不符合题意；D 选项中()00f =，()22f ππ=，故不符合题意.故选:B.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性和最值，属于基础题.4．C【分析】 根据已知求出tan 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭，将所求式子分子“1”用tan 4π替换，再由两角和正切公式，即可求出结论.【详解】 由题意知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 1tan tan tan 12412tan 11tan tan 12412πππααπππαα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫+--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ tan tan 21243πππαα⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选:C.【点睛】本题考查三角函数定义、两角和正切公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 5．B【分析】由若()(2)g x f x =-知()g x 的图象关于原点对称，从而它是奇函数，()f x 是增函数，则()g x 是减函数，利用奇函数变形不等式为(3)(21)g x g x +≥-，再由减函数得解．【详解】由题意知()g x 为R 上奇函数且为减函数，不等式(3)(12)0g x g x ++-≥等价于(3)(12)g x g x +≥--，即(3)(21)g x g x +≥-，故321x x +≤-，解得4x ≥. 故选：B ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，由函数()g x 的定义与()f x 的性质可得()g x 的性质，从而可求解函数不等式．本题关键是确定()g x 的性质．6．A【分析】用排除法求解，化简()2sin 24x f x x =-为奇函数，排除,B D ，再用4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭函数值的符号，即可得出结论.【详解】 ()()22sin 2sin 2=44x x f x x x π-=--，因为()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，故排除B ，D ； 又因为210444f ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以排除C.故选:A.【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质是解题的关键，要注意选择题特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.7．B【分析】根据三视图要使a 最大，长方体四个顶点在球面上，求出a ，根据体积公式，即可求出结论.【详解】该几何体为半球中挖去一个长方体，当正视图中矩形边a 取得最大值时，矩形四个顶点在球面上，此时a ==，故挖去的长方体的体积为半球的体积为14168233ππ⨯⨯=，故该几何体的体积为163π-. 故选:B.【点睛】本题考查三视图求组合体的体积，注意几何体性质的应用，属于基础题.8．D【分析】由诱导公式和两角差的正弦化简()f x 为正弦函数，根据周期求出ω，求出()f x 取得最小值时x 的值，利用2,23x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即可求出ϕ的取值范围. 【详解】由题意知()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=-+=--，因为()f x 的最小正周期为π，故2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=--，令222x k πϕπ-=+（k ∈Z ） 得,24x k k Z ϕππ=++∈，则有22243k πϕπππ<++<， 解得52226k k πππϕπ-<<-， 令0k =得526ππϕ<<. 故选:D.【点睛】 本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题。

2021年高三上学期第二次段考数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共小题，每小题分，共6分在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1. 若，是虚数单位，则乘积的值是（）A． B． C． D．2．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．3．已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．在中，内角所对的边分别是．若，，则的面积是（）A．3 B．C．D．5．已知，，则等于( )A．B．C．D．6．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则可以是（）A．4 B．-3 C．D．-27．如图，的边长为，分别是中点，记，，则（）A.B.C.D. ，但的值不确定8．数列满足，且对任意的，都有，则等于（）A．B．C． D．9．已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A．6 B．7 C．8 D．911．已知函数，则（）A．xx B．2016 C．4034 D．403212．定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设4710313()22222()n f n n N +*=+++++∈，则等于____________14．某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为的烟囱，测绘人员取与烟囱底部在同一水平面内的两个观测点，测得米，并在点处的正上方处观测顶部的仰角为，且米，则烟囱高____________米．15．设，若函数的最小值为1，则 .16．对于函数有六个不同的单调区间, 则的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设命题函数的值域为；命题对一切实数恒成立，若命题“”为假命题，求实数的取值范围.18．已知的面积满足, 且, .（1）若(sin 2,cos 2),(cos 2,sin 2)m A A n B B ==,求的取值范围；（2）求函数()sin()cos cos()244f ππθθθθθ=+-+--的最大值.19．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，满足．（1）求数列、通项公式；（2）设，求数列的前项和为．20. 设的内角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围．21．已知数列的前项和为，且满足．（1）是否为等差数列？证明你的结论；（2）求和；（3）求证：．22．已知，.（1）求函数的极值；（2）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围；（3）求证：当时，.丰城中学xx 学年上学期高三第二次段考试卷答案1．C【解析】,.2. A【解析】集合，集合，故．3. B【解析】因为“函数有零点”，所以，因为“函数在上为减函数”，所以，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的必要不充分条件，故选B.4. C【解析】由，得 ，由余弦定理得，，得，则的面积是，选C ．5. D【解析】π34sin()sin sin sin 32665ππαααααα⎛⎫⎛⎫++==+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又，所以2π4cos cos sin 32665πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 6. D 【解析】由已知向量满足，且与夹角的余弦值为， 则12()49233a a b a a b a b +=+⨯=⨯++，即， 所以或。

咸阳市高新一中2021届高三第三次质量检测理科数学A卷 2020.10.31注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2.时间120分钟满分150分第1卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝()A．∅B．{2} C．{5} D．{2,5}答案 B解析由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}．故选B.2若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是() A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)答案 A 解析∵命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.3．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5答案C解析命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.4．设a∈R，函数f(x)＝e x＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为()A．ln2 B．－ln2 C.ln22 D.－ln224．A[解析] f′(x)＝e x－a e－x，这个函数是奇函数，因为函数f(x)在0处有定义，所以f′(0)＝0，故只能是a＝1.此时f′(x)＝e x－e－x，设切点的横坐标是x0，则e x0－e－x0＝32，即2(e x0)2－3e x0－2＝0，即(e x0－2)(2e x0＋1)＝0，只能是e x0＝2，解得x0＝ln2.正确选项为A.5．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A．[14，＋∞) B．(－∞，14] C．[12，＋∞) D．(－∞，－12]答案 A解析 当x ∈[0,3]时，[f (x )]min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，[g (x )]min ＝g (2)＝14－m ，由[f (x )]min ≥[g (x )]min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.6．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f [f (x )－3x ]＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12答案 B解析 由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得：f (K )＝3K＋K ＝4.又f (K )单调递增，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B.7．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝1，得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3|20＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－812＝83.故选C. 8 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0．2－0．6)，则a ，b ，c 的大小关系是__________．【答案】c <b <a【解析】 ∵f (x )为偶函数，在(－∞，0]上是单调增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为单调减函数．∵log 47>1，log 123<0，0．2－0．6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35>⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123＝f (－log 123)＝f (log 23)＝f (log 49)，而log 47<log 49<2<5．∴c <b <a ．A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c答案 A9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0，得x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示．由图像可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.10．若函数f(x)＝2x＋ln x，且f′(a)＝0，则2a ln2a＝()A．1 B．－1 C．－ln2 D．ln2答案 B解析f′(x)＝2x ln2＋1x，由f′(a)＝2a ln2＋1a＝0，得2a ln2＝－1a，则a·2a·ln2＝－1，即2a ln2a＝－1.11．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则()A．f(x)的极大值为f(3，极小值为f(－3) B．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3) 答案 D解析由函数y＝x·f′(x)的图像可知，x∈(－∞，－3)，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(－3,3)，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(3，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴选D.12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是()A ．0B ．0或－12C ．－14或－12D ．0或－14答案 D解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图像如图．显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两不同的公共点．另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y ′＝(x 2)′＝2x＝1，∴x ＝12.∴A (12，14)，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－14，∴选D.第2卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2021年陕西省咸阳市高考数学检测试卷（理科）（二模）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|(x+2)(x−2)<0}，B={−3,−2,−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {−1,0，1}B. {−3,1}C. {−2,0，2}D. {1,2}2.已知复数z=1−i1+i，则z2021=()A. iB. −iC. −1D. 13.已知向量m⃗⃗⃗ =(x,2)，n⃗=(x+1,3)，m⃗⃗⃗ //n⃗，则x的值为()A. 4B. 3C. 2D. 14.某校有男教师150人，女教师200人，为了了解该校教师的健康情况，从中随机抽取男教师15人，女教师20人，进行调查，这种抽样方法是()A. 简单随机抽样法B. 抽签法C. 随机数表法D. 分层抽样法5.中国人民银行发行了2020吉祥文化金银纪念币，如图所示是一枚5克圆形金质纪念币背面图案为松、鹤、灵芝、云纹等组合图案，并刊“松鹤延年”字样及面额，直径为18mm，小王同学为了测算图中装饰鹤的面积，他用1枚针向纪念币投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰鹤的身上，据此可估计装饰鹤的面积是()A. 486π5mm2 B. 243π5mm2 C. 243π10mm2 D. 243π20mm26.已知a=0.20.2，b=20.1，c=ln0.5，则a，b，c的大小关系为()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>a>c7.如图为某函数图象，则该函数解析式可能是()A. y=2|x|−x2−2B. y=2x−x2−2C. y=(x2−1)sinxD. y=2x−12x+1cosx8.抛物线C1：y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点相同，抛物线C1与双曲线C2的两条渐近线分别交于A，B两点，且直线AB恰好过点F，则双曲线C2的离心率为()A. √2B. √3C. √52D. √59.我国的十二生肖纪年法是特有的纪年方法，又称天干地支纪年法，给十二地支配上相应的十二兽名，以十二年为一循环的纪年法，十二地支顺序为：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.兽名顺序为：鼠、牛、虎、免、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.子属鼠、丑属牛、寅属虎、卯属兔、辰属龙、已属蛇、午属马、未属羊、申属猴、西属鸡、戌属狗、亥属猪，是为十二属相，又称十二生肖.将十二生肖和年号结合起来，就可以查出准确的年份，已知2021年是牛年，从今年算起，第8个猪年是( )A. 2114年B. 2115年C. 2116年D. 2117年10. 设函数f(x)=e x −e −x ，则f(x)( )A. 是奇函数，且在(−∞,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−∞,+∞)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,+∞)单调递增D. 是偶函数，且在(−∞,+∞)单调递减11. 四面体ABCD 中，△ABD 和△CBD 均为正三角形，且它们所在平面互相垂直，已知AB =2，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A. 12πB. 16π3C. 20π3D. 16π 12. 已知函数f(x)=cos2x +2sinx +a ，函数g(x)=log 12x.若任意x 1∈[−π6,π]，都有x 2∈[12,4]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−32,−12]B. [−12,1]C. [12,52]D. [0,12] 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 定积分∫1x e 1dx 的值为______ ．14. 已知集合M ={5}，N ={2,4}，Q ={1,2，5}，从集合M 、N 、Q 中各取一个元素依次作为空间直角坐标系O −xyz 中向量a⃗ 的横坐标x 、纵坐标y 和竖坐标z ，则可确定不同向量a ⃗ 的个数为______ ． 15. 《九章算术》中将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.一块“堑堵”型石材的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成若干个相同的球，并使每个球的体积最大，则这些球的体积之和为______ ．16. 写出一个对称轴是直线x =12的奇函数f(x)= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n −1．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2√3，D在线段A1B上，且A1D：DB=3：1．(Ⅰ)求证：A1B⊥平面ACD；(Ⅱ)求二面角B−AC−D的大小．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且过点P(0,1)．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l：x=m与椭圆C交于两点A，B，以AB为直径的圆D与y轴交于两点E，F，求△DEF面积的最大值．20.2021年元月10日，河北省石家庄某医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性.现有n份(n∈N∗)核酸样本，有以下两种检测方式：(1)逐份核酸检测n次；(2)混合检测，将其中k(k∈N,k≥2)份核酸样本分别取样混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸样本全部为阴性，因而这k份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，说明这k份核酸样本中存在阳性，为了弄清这k份核酸样本中哪些是阳性，就要对这k份核酸样本逐份检测，此时这k份核酸样本检测总次数为k+1次.假设在接受检测的核酸样本中每份样本检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，且每份是阳性的概率为p(0<p<1)．(Ⅰ)假设有5份核酸样本，其中只有2份为阳性.若采用逐份检测方式检测，求恰好经过3次阳性样本全部被检测出的概率；(Ⅱ)现取其中k(k∈N∗,k≥2)份核酸样本检测，记采用逐份检测的方式，样本需要检测的总次数为X，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为Y．(ⅰ)求Y的分布列和期望；(ⅰ)若E(X)=E(Y)，求p关于k的函数关系式p=f(k)．21.设函数f(x)=1−axcosx(a>0)在[0,π4]上最小值为1−√2π4．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求f(x)在(0,π2)上零点的个数．22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：{x=√3+√3cosαy=√3sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ=2sinθ．(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l：y=kx(k>0)与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+x+5的最小值为m．2(Ⅰ)求实数m的值；(Ⅱ)设a，b，c>0，且a+b+c=m，求证：a2+4b2+4c2≥6．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x|−2<x<2}，B={−3,−2,−1,0，1，2}，∴A∩B={−1,0，1}．故选：A．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵复数z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，又(−i)4=1，则z2021=[(−i)4]505⋅(−i)=−i，故选：B．利用复数的运算法则化简z，再利用周期性、运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：向量m⃗⃗⃗ =(x,2)，n⃗=(x+1,3)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，所以3x−2(x+1)=0，解得x=2．故选：C．根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：某校有男教师150人，女教师200人，为了了解该校教师的健康情况，从中随机抽取男教师15人，女教师20人，进行调查，这种抽样方法是分层抽样法．故选：D．利用分层抽样法的定义直接求解．本题考查抽样方法的判断，考查分层抽样的性质等基础知识，是基础题．5.【答案】C【解析】解：纪念币的直径为18mm，故其面积是S=81πmm2，而装饰鹤的面积是纪念币面积的150500=310，故装饰鹤的面积S′=81π×310=243π10mm2，故选：C．求出纪念币的面积，再根据面积之比求出装饰鹤的面积即可．本题考查了几何概型问题，考查转化思想，是基础题．6.【答案】D【解析】解：指数函数y=0.2x为减函数，∴0.20.2<0.20，∴0<a<1，指数函数y=2x为增函数，∴b=20.1>20=1，∴b>1，对数函数y=lnx为增函数，∴c=ln0.5<ln1=0，∴b>a>c，故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性，再借助和中间量0和1比较，即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，用好中间量，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由图象知函数为偶函数，当x=0时，f(x)<0，A：∵f(−x)=2|−x|−(−x)2−2=2|x|−x2−2=f(x)，∴f(x)为偶函数，当x=0时，f(x)=−2，∴A符合．B：∵f(−x)=2−x−(−x)2−2=12x−x2−2≠f(x)，∴B不符合．C：当x=0时，y=0，∴C不符合．D：当x=0时，y=0，∴D不符合．故选：A．利用图象的奇偶性和特殊点排除选项，可得答案．本题考查了函数图象的应用及判断，奇偶性，单调性的综合应用，特殊值检验，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，代入抛物线的方程，可得A(2pa2b2,2pab)，B(2pa2b2,−2pab)，由A，B，F三点共线，可得：2pa2 b2=p2，即有b=2a，则双曲线的离心率为e=ca =√a2+b2a=√a2+4a2a=√5．故选：D．求出抛物线的焦点坐标，把双曲线的渐近线方程代入抛物线的方程求得A，B，由A，B，F共线求得b与a的关系，从而求得双曲线的离心率．本题考查了抛物线的焦点坐标，双曲线的方程和性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：2021年是牛年，则第一个猪年是2031年，十二年是一个循环，则7×12=84(年)，所以第8个猪年是2031+84=2115(年)，故选：B．直接利用周期的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】A【解析】解：因为f(x)=e x−e−x，所以f(−x)=−e x+e−x=−f(x)，即f(x)为奇函数，根据指数函数的性质可知，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增．故选：A．先检验f(−x)与f(x)的关系，判断函数的奇偶性，然后结合指数函数的性质判断函数的单调性即可．本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：设三角形BCD外接圆半径r，圆心F，球的半径R，球心O，取BD中点M，由△ABD和△CBD均为正三角形，且它们所在平面互相垂直可得AM⊥BD，CM⊥BD，AM⊥平面BCD，过F作平面BCD的垂线，过A作MF的平行线，两直线交于E，则四边形AMCE 为矩形，O 在EF 上，EF =PM =√3，由正弦定理得2sin60∘=2r ，即r =2√33， 故MF =√33， 设OF =d ，则所以R 2=d 2+(2√33)2=(√33)2+(√3−d)2， 解得d =√33，R 2=53， 则四面体ABCD 外接球的表面积S =4πR 2=20π3． 故选：C ．先确定球心的位置，然后结合球的性质R 2=r 2+d 2求出R ，再利用球的表面积公式可求．本题主要考查了四面体外接球的表面积的求解，解题的关键是球心位置的确定及球的性质的应用，属于中档题． 12.【答案】A【解析】解：设f(x)在[−π6,π]的值域为A ，g(x)在[12,4]的值域为B ，由题意可得A ⊆B ，又f(x)=cos2x +2sinx +a =−2sin 2x +2sinx +1+a ，令t =sinx ，由x ∈[−π6,π]，可得t ∈[−12,1]，则y =−2t 2+2t +1+a 在t =12时，y 取得最大值a +32，在t =−12时，y 取得最小值a −12，即A =[a −12,a +32]，又g(x)=log 12x 在[12,4]递减，可得B =[−2,1]， 所以{a −12≥−2a +32≤1，解得−32≤a ≤−12， 故选：A ．设f(x)在[−π6,π]的值域为A ，g(x)在[12,4]的值域为B ，由题意可得A ⊆B ，结合二倍角的余弦公式和正弦函数的图象和性质、二次函数的值域求法，可得A ，再由对数函数的单调性可得B ，进而得到a 的不等式组，解不等式可得所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，以及三角函数的图象和性质、对数函数的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：∫ e 11xdx =lnx|1e =lne −ln1=1 故答案为：1．先找到被积函数的原函数，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于积分中的基础题． 14.【答案】6【解析】解：集合M ={5}只有一个元素，因此横坐标为5一种情况，N ={2,4}有两个元素，因此纵坐标为2或4两种情况，Q ={1,2，5}有三个元素，因此竖坐标为1或2或5三种情况，从中任选一个，共有1×2×3=6种选择的方法，故可确定不同向量a⃗ 的个数为6个， 故答案为：6．根据分类计数原理即可求出．本题考查了分步计数原理和向量的坐标问题，属于基础题．15.【答案】32π【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为倒放的三棱柱；如图所示：三棱柱的侧棱长为l =√62+82=10，所以三棱柱的内切球的半径为r =6+8−102=2，直径为4， 所以n =124=3，所以可以打磨成3个球．故：3V =3×43⋅π⋅23=32π故答案为：32π．首先把三视图转换为几何体的直观图，再求出内切球的半径，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 16.【答案】sin(πx)(答案不唯一)【解析】解：根据题意，要求函数为奇函数并且存在对称轴x =12，f(x)可以由y =sinx 变换得到，则f(x)=sin(πx)，故答案为：sin(πx)(答案不唯一)．根据题意，结合正弦函数以及三角函数图象变换的规律，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与对称性，注意常见函数的奇偶性和对称性，属于基础题． 17.【答案】解：(Ⅰ)∵S n =2n −1，∴当n =1时，有S 1=2−1=1=a 1，当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1，综上，a n =2n−1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得：b n =n ×2n−1，∴T n =1+2×21+3×22+⋯+n ×2n−1，又2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)⋅2n−1+n ×2n ，两式相减得：−T n =1+2+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n 1−2−n ×2n ，整理得：T n =(n −1)⋅2n +1．【解析】(Ⅰ)由题设利用a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求得结果即可； (Ⅱ)先由(Ⅰ)求得b n ，再利用错位相减法求得其前n 项和．本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题． 18.【答案】解：(Ⅰ)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,0，0)，A 1(0,0，2√3)，B 1(0,2，2√3)，C 1(2,0，2√3)，D(0,32,√32)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,√32)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2√3)， 因为A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AC ∩AD =A ，所以A 1B ⊥平面ACD ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ACD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2√3)， 平面ABC 的法向量为n⃗ =(0,0，1)， 设二面角B −AC −D 的大小为θ，cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√34⋅1=√32，所以θ=π6． 故二面角B −AC −D 的大小为π6．【解析】(Ⅰ)用向量数量积为零，证明直线A 1B 垂直平面ACD 内两相交直线AC 、AD 即可；(Ⅱ)直接用空间向量计算二面角的余弦值即可．本题考查了直线与平面位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知{ c a =√321b =1a 2=b 2+c 2， 解得：{a =2b =1c =√3，∴椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1．(Ⅱ)设A(m,y 1)，B(m,−y 1)，则D(m,0)，E(0,y 2)，F(0,−y 2)，把A 点代入椭圆方程得：y 12=1−m 24， 则圆D ：(x +m)2+y 2=y 12，把点E 代入圆D 方程：m 2+y 22=y 12，即y 22=y 12−m 2，∴S △DEF =12⋅|OD|⋅|EF|=|y 2|⋅|m|=√y 12−m 2⋅|m|=|m|√4−5m 22≤14(m 2+4−5m 2)=1−m 2，当且仅当|m|=√4−5m 2时，等号成立，又∵m ≠0且4−5m 2>0，∴m ∈(−45,0)∪(0,45)，又∵|m|=√4−5m 2时取等号，则m =±23，∴△DEF 面积的最大值为1−m 2=1−(±23)2=59．【解析】(Ⅰ)根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆C 的标准方程．(Ⅱ)设A(m,y 1)，B(m,−y 1)，则D(m,0)，E(0,y 2)，F(0,−y 2)，则圆D ：(x +m)2+y 2=y 12，把A 点代入椭圆方程，把点E 代入圆D 方程得：y 12=1−m 24，y 22=y 12−m 2，代入S △DEF =12⋅|OD|⋅|EF|中化简，结合基本不等式即可求出△DEF面积的最大值．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，是中档题．20.【答案】解：(1)记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，∴P(A)=A33+C21C31A22A53=310；(2)(i)由题意可知Y的可能取值为1，k+1，P(Y=1)=(1−p)k，P(Y=k+1)=1−(1−p)k，故Y的分布列为：∴E(Y)=1×(1−p)k+(k+1)×[1−(1−p)k]=k+1−k×(1−p)k；(ii)∵E(X)=k，又∵E(X)=E(Y)，∴k=k+1−k×(1−p)k，∴p=f(k)=1−(1k)1k，(k∈N+且k≥2)．【解析】(1)利用古典概型的概率计算公式可以直接计算出来；(2)(i)利用题中的条件Y的可能取值为1，k+1分别计算出对应的概率，即可解出；(ii)利用题中的等式，列出方程，即可解出．本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，学生的数学运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=1−axcosx(a>0)，∴f′(x)=a(−cosx+xsinx)，设g(x)=xsinx−cosx，则g′(x)=sinx+xcosx+sinx=2sinx+xcosx，当x∈[0,π4]，g′(x)>0，∴g(x)在x∈[0,π4]上递增，所以g(x)max=g(π4)=π4×√22−√22=√22(π4−1)<0，∴f′(x)<0，则f(x)在x∈[0,π4]上递减，∴f(x)min=f(π4)=1−√2πa8=1−√2π4，∴a=2．(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=1−2xcosx，则f′(x)=2(−cosx+xsinx)，则f″(x)=4sinx+2xcosx>0在x∈(0,π2)上恒成立，∴f′(x)在x∈(0,π2)上递增，∵f′(π2)=π>0，f′(0)=−2<0，∴f′(x)在(0,π2)上有一个零点，∵f(0)=1>0，f(π2)=1>0，f(1)<0，∴f(x)在(0,π2)上有两个零点．【解析】(Ⅰ)对函数f(x)二次求导，得到f(x)在x ∈[0,π4]上递减，可得f(x)的最小值为f(π4)，即可求出a 的值． (Ⅱ)先求出f′(x)在(0,π2)上有一个零点，再用零点存在定理求出f(x)在(0,π2)上有两个零点即可．本题主要考查用导数判断函数的单调性，用好二次求导，总结函数零点的求法，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为：{x =√3+√3cosαy =√3sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x −√3)2+y 2=3； 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ=2√3cosθ；曲线C 2的极坐标方程为：ρ=2sinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2y ，整理得x 2+(y −1)2=1． (2)直线l ：y =kx(k >0)转换为极坐标方程为θ=α(0<α<π2)，直线l 与曲线C 1交于O ，A 两点，故{θ=αρ=2√3cosθ，整理得|OA|=ρ1=2√3cosα， 直线l 与曲线C 2交于O ，B 两点，故{θ=αρ=2sinθ，整理得|OB|=2sinα， 所以|OA|+|OB|=2√3cosα+2sinα=4sin(α+π3)，当α=π6时，|OA|+|OB|的最大值为4．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=|2x −1|+x +52，当x ≥12时，f(x)=2x −1+x +52=3x +32为递增函数，可得f(x)≥f(12)=3；当x <12时，f(x)=1−2x +x +52=72−x 为递减函数，可得f(x)>f(12)=3，所以f(x)≥3，即f(x)的最小值为3，可得m =3；(Ⅱ)证明：由a ，b ，c >0，且a +b +c =3，(12+122+122)(a 2+4b 2+4c 2)≥(a +b +c)2，即为32(a 2+4b 2+4c 2)≥9，可得a 2+4b 2+4c 2≥6，当且仅当a =4b =4c =2时，等号成立．则原不等式成立．【解析】(Ⅰ)由绝对值的意义，去绝对值，结合一次函数的单调性，可得最小值；(Ⅱ)由柯西不等式可得(12+122+122)(a2+4b2+4c2)≥(a+b+c)2，化简整理，即可得证．本题考查绝对值的意义和柯西不等式的运用，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

绝密★启用前（理科数学B 卷）1第 1 页 共 3 页咸阳市高新一中2020--2021学年第一学期高三第三次考试（理科数学B 卷）时间:120分钟，满分:150分 2020年11月3日10:00--12:00第Ⅰ卷一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．12.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是 A ．α∃∈R ，sin 0α≠ B ．α∀∈R ，sin 0α≠ C ．α∀∈R ，sin 0α<D ．α∀∈R ，sin 0α>4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝()A.－12B.2C.4D.5．设函数2()2(4)2f x x a x =+-+在区间(,3]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．7a ≥-B ．7a ≥C ．3a ≥D ．7a ≤-6．已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A ．－3B ．3 C.163D ．±37．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.103B.133C.163D.193 8．cos20cos10sin160sin10︒︒-︒︒=（ ）A．B ．12- C ．12 D9．函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．10．函数2x y x =+的零点所在的区间是 （ ）绝密★启用前 （理科数学B 卷）2 第 2 页 共3 页A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)11.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2021)等于( )A.－1B.1C.－2D.212．将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ）A ．πcos 12y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．7cos 4π12y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．πsin 412y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．πsin 12y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷二 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为______三角形(锐角,直角,钝角三角形)2已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是 = ________3.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x =，则()8f -的值是 ．4.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为_______三 解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cosB ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．18.已知α是第二象限角，tan 2α，求下列各式的值：（1）()3π5πsin cos 22cos πααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-； （2）15πtan 2021π4sin 22αα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭．19.已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-（1）求()f x 的最小正周期；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值，最小值． (3)20．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示.()f x 求的单调递减区间。

陕西省咸阳市高新一中2021届高三数学上学期11月第三次考试试题（B ）理（含解析）时间：120分钟，满分：150分 2020年11月3日10：00--12：00第Ⅰ卷一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 0C. 0或2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，再根据A B ⊆求解.【详解】已知集合{}2{|}0,1A x x x ===，{1,,2}B m =，因为A B ⊆， 所以m =0， 故选：B【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，属于基础题. 2. 设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3. 命题“,sin 0R αα∃∈=”的否定是（ ） A. ,sin 0R αα∃∈≠ B. ,sin 0R αα∀∈≠ C. ,sin 0R αα∀∈< D. ,sin 0R αα∀∈>【答案】B 【解析】 【分析】原命题为存在性量词命题，按规则可写出其否定.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠， 故选：B.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.4. 已知函数()21,222,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩则[(1)]f f =（ ） A. －12B. 2C. 4D. 11【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的分段条件，先求得()13f =，进而求得[(1)]f f 的值，得到答案.【详解】由题意，函数()21,222,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩，可得()21123f =+=， 所以1[(1)](3)3432f f f ==+=-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，代入准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.5. 设函数2()2(4)2f x x a x =+-+在区间(,3]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 7a ≥- B. 7a ≥C. 3a ≥D. 7a ≤-【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质即可求解. 【详解】函数()f x 的对称轴为4x a =-， 又函数在(,3]-∞上为减函数，43a ∴-，即7a ．故选：B.【点睛】本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题. 6. 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=35，则m 等于（ ） A. ﹣3 B. 3C. 163D. ±3【答案】B 【解析】 试题分析：3sin 5θ==，解得3m =. 考点：三角函数的定义.7. 设函数f(x)＝3232ax x ++，若f′(－1)＝4，则a 的值为( ) A.193B.163C.133D.103【答案】D 【解析】 【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数()f x 的导函数2()36f x ax x '=+，因为f′(－1)＝4，即364a -=，解得103a =故选D【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题. 8. cos20cos10sin160sin10︒︒-︒︒=（ ） A. 3-B.32C. 12-D.12【答案】B 【解析】 【分析】首先由诱导公式可得sin160°=sin20°，再由两角和的余弦公式即可求值.【详解】cos20°cos10°–sin160°sin10°＝cos20°cos10°–sin20°sin10°＝cos30°3=．故选B ． 【点睛】本题考查了诱导公式和两角和的余弦公式，直接运用公式即可得到选项，属于较易题. 9. 函数241xy x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10. 函数2xy x =+的零点所在的区间是 （ ） A. (2,1)-- B. (1,0)- C. (0,1) D. (1,2)【答案】B 【解析】试题分析：记()2xf x x =+，则27(2)2(2)0,4f --=+-=-<11(1)2(1)0,2f --=+-=-< 0(0)2010,f =+=>所以零点所在的区间为(1,0).-考点：本题主要考查函数的零点存在定理.点评：对于此类题目，学生主要应该掌握好零点存在定理，做题时只要依次代入端点的值，判断函数值的正负即可，一般出选择题.11. 已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2021)等于（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由f (x ＋4)＝f (x )知函数的周期为4，则f (2021)()()505411f f =⨯+=，然后再利用奇偶性求解.【详解】因为f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，即函数的周期为4， 当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，所以f (2021)()()()50541112f f f =⨯+==--=-， 故选：C【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.12. 将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ） A. πcos 12y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. 7cos 4π12y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C. πsin 412y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. πsin 12y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换和伸缩变换的应用求出结果. 【详解】将πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度， 得到ππ7πcos 2cos 28312y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 然后横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到7ππcos sin 1212y x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 故选：D .【点睛】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，属于中档题.第Ⅱ卷二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为_______【答案】直角三角形 【解析】 【分析】根据正弦定理,将条件式子转化为角的表达式,结合正弦的和角公式即可求得角A,进而判断三角形形状.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A += 即()2sin sin B C A +=,而()sin sin B C A +=所以2sin sin A A = 因为在三角形中sin 0A ≠ 所以1sin A = 所以2A π=,即ABC ∆为直角三角形故答案为: 直角三角形【点睛】本题考查了三角函数恒等变形及三角形形状的判断,正弦定理边角转化的应用,属于基础题.14. 已知sin 3cos 3cos sin αααα+-＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是________【答案】25【解析】【分析】利用商数关系得到sin 3cos 3cos sin αααα+-tan 353tan αα+==-，解得tan α，代入sin 2α－sin αcos α22tan tan 1tan ααα-=+求解.【详解】sin 3cos 3cos sin αααα+-tan 353tan αα+==-，解得tan 2α=，所以sin 2α－sin αcos α2222tan tan 2221tan 125ααα--===++， 故答案为：25【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15. 已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222 a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为______； 3【解析】 【分析】先根据222 a b c bc =+-以及余弦定理计算出A 的值，再由面积公式1sin 2S bc A =即可求解出ABC ∆的面积.【详解】因为222 a b c bc =+-，所以2cos 1A =，所以3A π=，所以11sin 422ABCSbc A ==⨯=【点睛】本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易. 三角形中，已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面积. 三解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC 【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B 7=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A ∴sin A =2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC 边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 18. 已知α是第二象限角，tan 2α，求下列各式的值：（1）()3π5πsin cos 22cos πααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；（2）15πtan 2021π4sin 22αα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）3；（2）143-． 【解析】 【分析】（1）首先根据诱导公式化简，再代入正切值求解.（2）首先利用诱导公式化简，再根据二倍角和两角差的正切公式化简，最后用tan α表示原式，计算结果.【详解】（1）()3π5πsin cos cos sin 221tan 3cos πcos ααααααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭==-=--．（2）15π1πtan tan 2021π4cos 24sin 22αααα⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 222222cos sin 1tan 1tan 1214143cos sin 1tan 1tan 12143αααααααα+-+++=+=+=-=--+---． 【点睛】本题考查三角恒等变形，利用正切值表示sin ,cos αα的齐次分式，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握公式.19. 已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-（1）求()f x 的最小正周期； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值，最小值. （3）求f (x )的单调递减区间.【答案】（1）π；（2，最小值是1-；（3）5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式和辅助角法，将函数转化为()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式求解. （2）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解. （3）由正弦函数的单调性，令3222242k x k πππππ+≤+≤+求解. 【详解】（1）函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-，cos 2sin 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==； （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,,sin 24444x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以()f x ，最小值是1-. （3）令3222242k x k πππππ+≤+≤+， 解得588k x k ππππ+≤≤+，所以f (x )的单调递减区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20. 函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）如何由函数g (x )=sin x 的图像变化得到函数f (x )的图像？ （3）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f (x 的最值及其对应的的值. 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）详见解析；（3）当6x π=时，函数f (x 的取得最大值2，当2x π=时，函数f (x 的取得最小值-1.【解析】 【分析】（1）根据函数的图象可得：31132,41264T A πππ==-=，进而求得ω，然后再根据函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭求解. （2）直接利用三角函数图象的伸缩变换和平移变换求解.（3）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，然后利用正弦函数的值域求解. 【详解】（1）由函数的图象可得：31132,41264T A πππ==-=， 所以,2T πω==，又函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得26k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由函数g (x )=sin x 的图像纵坐标不变，向左平移6π个单位得到sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 再将sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，纵坐标不变，横坐标缩为原来的12得到sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 ，然后再将sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数f (x )的图像；（3）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以712,,sin 2,166662x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 所以当262x ππ+=，即6x π=时，函数f (x 的取得最大值2，当7266x ππ+=，即2x π=时，函数f (x 的取得最小值-1.【点睛】本题主要考查由三角函数的图象求解析式，三角函数的图象变换以及性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 21. 已知二次函数2()1(,),f x ax bx a b R x R =++∈∈．（1）若函数()f x 的最小值为(1)0f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[3,1]-上恒成立，求k 的范围． 【答案】（1）2(1)2f x x x =++，增区间(1,)-+∞，减区间为(,1)-∞-；（2）3(,)4-∞【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴和最值得到012(1)10a b a f a b >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=-+=⎪⎩，解得答案. （2）化简得到21x x k ++>，计算2211[1,7]2x x x ⎛⎫++=+∈ ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】（1）依题2()1(,)f x ax bx a b R =++∈，x ∈R ，为1个二次函数，且最小值为(1)0f -=．则有012(1)10a b af a b >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=-+=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，则2(1)2f x x x =++；故2(1)2f x x x =++的增区间为(1,)-+∞，减区间为(,1)-∞-．（2）2(1)2f x x x =++，则2()21f x x x x k =++>+在[3,1]-上区间恒成立， 即21x x k ++>在区间[3,1]-上恒成立，又22131[,7]2434x x x ⎛⎫++=+∈ ⎪⎝+⎭，其中[3,1]x ∈-，故有34k <．综上所述，k 的取值范围3(,)4-∞．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.22. 已知函数2()3ln .f x x x x =--（1）求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 在1[,3]2上的最大值与最小值. 【答案】（1）22y x =-+；（2）63ln3-. 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数，再利用导数的几何意义求切线方程；（2）首先利用导数判断函数的单调性，根据单调性求函数的最大值和最小值，端点时可能的最大值，再通过做差比较大小，求最大值. 【详解】（1）()23ln f x x x x =--，()()2323210x x f x x x x x--'∴=--=>，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为()12k f '==-，()10f =，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()21y x =--，即22y x =-+；（2）()()()212323x x x x f x x x+---'∴==，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 当13,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以，()min 3333ln 242f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 因为113ln 224f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()363ln3f =-， 所以，()2111363ln 663ln 0244f f e ⎛⎫-=->->⎪⎝⎭，则()132f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为63ln3-. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题.。