陕西省咸阳市高新一中2021届第一学期高三第四次考试(理科数学B卷)

陕西省西安市高新第一中学2024-2025学年度第一学期九年级月考数学试题一、单选题1．如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．在下列条件中，能够判定ABCD Y 为矩形的是（ ）A ．AB AC = B ．AC BD ⊥ C ．AB AD = D ．AC BD = 3．如果两个相似三形对应边之比1：9，那么它们的对应中线之比是（ ） A ．1：2 B ．1：3 C ．1∶9 D ．1：81 4．如图，已知AB CD EF ∥∥，23AC CE =∶∶，3BD =，那么DF 的长为（ ）A ．4B ．92C ．5D ．1125．如图，DE 是ABC V 的中位线，点F 在DB 上，2DF BF =．连接EF 并延长，与CB 的延长线相交于点M ．若6BC =，则线段CM 的长为（ ）A ．132B ．7C ．152D ．86．如图，在67⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A ，B ，C 都在格点上，则sin B 的值为（ ）A B C ．23 D 7．若()1,3A y -、()2,2B y -、()31,C y 三点都在函数1y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．213y y y >>D ．132y y y << 8．如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,O BE AC ⊥于点E ．若36CE AE ==，则边AD 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．6二、填空题9．若34a b =，则a b a -=．10．在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有个． 11．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为米．12．如图，已知在ABO V 中，点C 在AB 上，2,BC AC CO CB ==，2AOC S =△，反比例函数k y x=的图像经过点C ，则k 的值为．13．如图，在平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，点E 在AD 的延长线上，且2DE =，过点E 作直线l 分别交边CD ，AB 于点M ，N ．若直线l 将平行四边形ABCD 的面积平分，则线段CM 的长为 ．三、解答题14．解方程：2420x x -+=．15．计算：222sin 454cos 30tan 60︒+︒-︒16．如图，已知四边形ABCD ，AD BC ∥，请用尺规作图法，在边AD 上求作一点E ，在边BC 上求作一点F ，使四边形BFDE 为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）17．如图，已知AD •AC ＝AB •AE ，∠DAE ＝∠BAC ．求证：△DAB ∽△EAC ．18．从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2，5，6，8．将这四张牌背面朝上，洗匀．(1)从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是；(2)小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回．背面朝上，洗匀．然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率．19．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A -，()3,3B -，()3,1C -.(1)以点B 为位似中心，在点B 的下方画出11A BC V ，使11A BC V 与ABC V 位似，且相似比为2:1，点A ，C 的对应点分别为1A ，1C ；(2)直接写出点1A 和点1C 的坐标：1A （______，______），1C （______，______）.20．如图所示，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：四边形CEDF 是正方形．21．某商品专卖店，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于35元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若该商品降价5元，那么平均每天销售数量是多少件？(2)若专卖店每天销售该商品盈利2400元，那么每件商品应降价多少元？22．关于x 的一元二次方程2610x x k -+-=．(1)如果方程有实数根，求k 的取值范围；(2)如果1x ，2x 是这个方程的两个根，且221212324x x x x ++=，求k 的值． 23．新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度PA ．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P 处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F 处，此时，量得小华的影长2m FG =，小华身高 1.6m EF =；然后，在旗杆影子上的点D 处，安装测倾器CD ，测得旗杆顶端A 的仰角为49︒，量得0.6m CD =，6m DF =，旗台高 1.2m BP =．已知在测量过程中，点、、、B D F G 在同一水平直线上，点A P B 、、在同一条直线上，AB CD EF 、、均垂直于BG ．求旗杆的高度PA ．（参考数据：sin 490.8,cos490.7,tan 49 1.2︒≈︒≈︒≈）24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数2y x =-+的图象与反比例函数k y x=在第二象限的图象交于点(,3)A n ，与x 轴交于点B ，连结AO 并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)求ABC V 的面积．(3)当直线．．AC 对应的函数值大于反比例函数k y x=的函数值时，直接写出x 的取值范围． 25．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =cm ，7BC =cm ，现有动点P 从点A 出发，沿线段AC 向终点C 运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 向终点B 运动，连接PQ ．如果点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1cm /s ．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为s t ．(1)当t 为多少时，PQ cm ？(2)当t 为多少时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似？26．问题提出(1)如图1，AD 是等边ABC V 的中线，点P 在AD 的延长线上，且AP AC =，则APC ∠的度数为__________．问题探究(2)如图2，在ABC V 中，6,120CA CB C ==∠=︒．过点A 作AP BC ∥，且AP BC =，过点P 作直线l BC ⊥，分别交AB BC 、于点O 、E ，求四边形OECA 的面积．问题解决(3)如图3，现有一块ABC V 型板材，ACB ∠为钝角，45BAC ∠=︒．工人师傅想用这块板材裁出一个ABP V 型部件，并要求15,BAP AP AC ∠=︒=．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C 为圆心，以CA 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ；②作CD 的垂直平分线l ，与CD 于点E ；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP BP、，得ABPV．请问，若按上述作法，裁得的ABPV型部件是否符合要求？请证明你的结论．。

陕西省西安高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分命题人：）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （）A.{}10x x -≤≤ B.{}10x x -<≤ C.{}10x x -≤< D.{}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4.已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（）A.1-B.1C.3- D.3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6.已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.{}e B.[)e,+∞ C.{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.{}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=的图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x在(,3-∞-，)3+∞上单调递增，(,)33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 不正确；对应B ，因323()1039f -=+>，323()1039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8.已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28- B.28C.14- D.14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为4424x x x x+≥⋅=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大的根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211()x x '=-B.(e )e x x--'= C.21(tan )cos x x'=D.1(ln )x x'=【答案】ACD 【解析】【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x +''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a +<+B.333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c a b c b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以<1或>2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16.为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x123456体重超标人数y987754483227ln z y = 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆn i i i n i i x y nx yb x nx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83e x y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b 则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i ii i i x z x zb x x ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83a z bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83z y x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17.已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或224t +≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<<1，则+1≥(2−1)22−1>0，∴42−5≤0>12⇒12<≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ单调递减，当4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U <--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或2.4t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得24t ±=，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒224t +=；②在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有>0Δ>0−1<−12<2o −1)>0o2)>0或<0Δ>0−1<−12<2o −1)<0o2)<0，解得214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或2.4t ≥18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈.)（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16（2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，121010320C C 15(2)C 38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P 21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19.已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x 二次求导，判断()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e 2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。

陕西省西安市第一中学2023-2024学年高三下学期高考考前模拟考试理科数学试题一、单选题1．已知集合{}17A x x =-<<，{}09B x x =<<，则A B ⋃=（ ） A ．()1,0- B ．()1,9-C ．()0,7D ．()0,92．若复数10i3i 13iz =+-，则z =（ ） ABC ．5D ．103．已知直线0Ax By C ++=与直线23y x =-垂直，则（ ） A ．20A B =-≠ B ．20A B =≠ C ．20B A =-≠D ．20B A =≠4．若0,a b ≥∈R，则化简2log 322+ ） A ．3a b ++ B ．3a b ++ C ．2a b ++D ．2a b ++5．在(92的展开式中，第8项的系数为（ ） A ．144-B ．144C ．1D ．18-6．若x ，y 满足约束条件0,30,20,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+得取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)3,+∞C ．[]0,5D ．[)5,+∞7．已知函数()()cos 2210f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则()f x 的图象的一个对称中心为（ ） A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭8．小李到长途客运站准备乘坐客车去某地，有甲、乙两个公司的客车可以选择，已知甲公司的下一趟客车将在15分钟内的某个时刻发车，乙公司的下一趟客车将在20分钟内的某个时刻发车，则他等车时间不超过8分钟的概率为（ ）A ．35B ．1625C ．1825 D ．459．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11ADD A 所成的角为1,AC α与AB 所成的角为β，则（ ）A ．αβ=B ．παβ+=C ．π2αβ+=D ．π4αβ-=10．如图所示，在六面体ABEDC 中，22CB CD CA ===，AB DE BE AD ===BD AE == ）A ．4πB ．9πC ．12πD ．16π11．已知双曲线22:1169x y C -=的左､右顶点分别为12,,A A P 是C 右支上一点，直线12,PA PA 与直线2x =的交点分别为,M N ，记12,PA A PMN V V 的外接圆半径分别为12,R R ，则12R R 的最大值为（ ）ABCD12．下列不等式中正确的是（ ）A ．11πeπe >B．1eπ>C ．2e2ππe<⋅D ．2π2e ln π>二、填空题13．已知椭圆C ：()222104x y a a +=>的焦距为C 的离心率为.14．已知向量(),a m m =r，m ∈R ，()0,2b =r ，则a b +r r 的最小值为.15．如图，在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,45,3B A c a ==-=o o ，B ∠的平分线BD 交边AC 于点,D AB 边上的高为,CF BC 边上的高为,AE BD CF P ⋂=，,AE CF R BD AE Q ⋂=⋂=，则PQR ∠=；PQ =.16．已知(),,0,1x y z ∈，且x y z xy xz yz k ++---<，则k 的最小值为.三、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知315S =，535S =. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．多年统计数据表明如果甲､乙两位选手在决赛中相遇，甲每局比赛获胜的概率为23，乙每局比赛获胜的概率为13.本次世界大赛，这两位选手又在决赛中相遇.赛制为五局三胜制（最先获得三局胜利者获得冠军）.(1)现在比赛正在进行，而且乙暂时以1:0领先，求甲最终获得冠军的概率；(2)若本次决赛最终甲以3:2的大比分获得冠军，求甲失分局序号之和X 的分布列和数学期望.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2AD DC CB ===， 4AB =，PAD V 为正三角形.(1)证明：D 在平面PAC 上的射影H 为PAC △的外心（外接圆的圆心）； (2)当二面角P AD C --为120o 时，求直线AD 与平面APB 所成角ϕ的正弦值.20．已知1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为抛物线C ：()220y px p =>上的一点，直线x my n =+交C 于A ，B 两点，且直线PA ，PB 的斜率之积为2. (1)求C 的准线方程；(2)求34m n ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值.21．已知函数()()()()22cos 4sin ,4sin 8cos f x ax x a x x g x a x x x x =--=--.(1)如果16a =，求曲线()()y f x g x =+在πx =处的切线方程；(2)如果对于任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有()0f x >且()0g x >，求实数a 满足的条件.22．已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,22x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. (1)求l 的极坐标方程以及C 的参数方程；(2)已知直线m 的倾斜角为锐角α，m 与l 交于点M ，m 与C 交于O ，N 两点，若3OM ON ⋅=，求α.23．已知函数()263f x x x =-++. (1)求不等式()10f x >的解集；(2)记()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 为正数且1a b c ++=，。

陕西省西安市高新一中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末质量检测试题学校_______ 年级_______ 姓名_______考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）1．若3n +3n +3n ＝19，则n ＝（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．02．下列一些标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在等腰三角形ABC 中，BA=BC ，∠ABC=120°，D 为AC 边的中点，若BC=6，则BD 的长为()A ．3B ．4C ．6D ．84．在下列各数中，无理数有（ ）33224,3,,8,9,07A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．某种细菌的半径是0.00000618米，用科学记数法把半径表示为（ ）A ．618×10﹣6B ．6.18×10﹣7C ．6.18×106D ．6.18×10﹣66．如图，BC 丄OC ，CB =1，且OA = OB ，则点A 在数轴上表示的实数是（）A ．-3B ．-5C ．-2D ．5 7．若关于x 的方程223ax a x =-的解为1x =，则a 等于（ ） A ．12- B ．2 C ．12 D ．-28．如图，已知30MON ∠=，点1A 、2A 、3A ……在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上；112A B A ∆、223A B A ∆、334A B A ∆……均为等边三角形，若11OA =，则201520152016A B C ∆的边长为 ．A ．4028B ．4030C ．20142D ．201529．等腰三角形的两边长分别为4cm 和8cm ，则它的周长为（ ）A ．16cmB ．17cmC ．20cmD ．16cm 或20cm10．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 和CD 上，下列条件不能判定四边形DEBF 一定是平行四边形的是（）A ．AE ＝CFB ．DE ＝BFC ．∠ADE ＝∠CBFD ．∠AED ＝∠CFB11．如图，将30°的三角尺以直角顶点A 为旋转中心顺时针旋转，使点C 落在边BC 的C '处，则其旋转角的大小为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．150°12．下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）A ．22212(1)a a a a -+=+B ．22()()x y x y x y -+=-C ．22961(31)x x x -+=-D ．222()2x y x y xy +=-+二、填空题（每题4分，共24分）1332x -x 的取值范围是__________．14．若x+m 与2﹣x 的乘积是一个关于x 的二次二项式，则m 的值是_____．15．已知，x 、y 为实数，且y ＝21x -﹣21x -+3，则x +y ＝_____．16．如图，在平面鱼角坐标系xOy 中，A （﹣3，0），点B 为y 轴正半轴上一点，将线段AB 绕点B 旋转90°至BC 处，过点C 作CD 垂直x 轴于点D ，若四边形ABCD 的面积为36，则线AC 的解析式为_____．17．如图，直线443y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点D 、点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，则ABC ∆的面积为___________．18．若()22(||3)1x x x x ---+＝0，则x ＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）工厂接到订单生产如图所示的巧克力包装盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，仓库有甲、乙两种规格的纸板共2600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面（如图①），乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面（如图②），裁剪后边角料（图中阴影部分）不再利用．（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？（2）一共能生产多少个巧克力包装盒？20．（8分）如图，已知点A 、B 以及直线l ，AE ⊥l ，垂足为点E ．(1)尺规作图：①过点B 作BF ⊥l ，垂足为点F②在直线l 上求作一点C ，使CA ＝CB ；(要求：在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法)(2)在所作的图中，连接CA 、CB ，若∠ACB ＝90°，∠CAE ＝α，则∠CBF ＝ (用含α的代数式表示)21．（8分）在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB，AB=62．（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）如图，以OA，OB为边在第一象限作正方形OACB，点M（x，0）是x轴上的动点，连接BM．①当点M在边OA上时，作点O关于BM的对称点O′，若点O′ 恰好落在AB上，求△OBM的面积；②将射线MB绕点M顺时针旋转45°得到射线MN，射线MN与正方形OACB边的交点为N．若在点M的运动过程中，存在x的值，使得△MBN为等腰三角形，请直接写出x所有可能的结果．22．（10分）计算（1）（﹣12）﹣2﹣23×1．125+21151+|﹣1|；（2）[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷2ab23．（10分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD 交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠P AC＝20°，求∠AEB的度数；24．（10分）解方程：（1）4x 2＝25（2）（x ﹣2）3+27＝025．（12分）某学校计划的体育节进行跳绳比赛，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干条，若花费480元购买的长跳绳的数量是花费480元购买的短跳绳的数量的34，已知每条长跳绳比每条短跳绳贵4元，求购买一条长跳绳、一条短跳绳各需多少元？26．（12分）如图，已知直线:4AB y x =+与直线AC 交于点A ，与x 轴交于点B ，且直线AC 过点(2,0)C 和点(0,1)D ，连接BD ．（1）求直线AC 的解析式．（2）求交点A 的坐标，并求出ABD △的面积．（3）在x 轴上是否存在一点P ，使得APD △周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A2、B3、A4、B5、D6、B7、A8、C9、C10、B11、B12、C二、填空题（每题4分，共24分）13、一切实数14、2或115、2或2．16、y＝13x+1或y＝﹣3x﹣1．17、418、﹣1或2或1三、解答题（共78分）19、（1）仓库有甲种规格的纸板1000张，有乙种规格的纸板1600张；（2）2400个．20、（1）见详解；（2）见详解；（3）90α︒-21、（1）y= -x+6；（2）①S△BOM=18；②当-6≤x≤0，x=6，x时，△MBN为等腰三角形．22、（1）5；（2）2．23、（1）见详解；（2）60°24、（1）x＝±52；（2）x＝﹣125、购买长跳绳为16元，短跳绳为12元26、（1）112y x=-+；（2）(2,2)A-，3ABDS=；（3）存在点P使APD△周长最小2,03P⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

陕西西安高新一中2024届高三第7次月考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( )A ．32-B ．0C ．0或32-D ．32- 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．132B ．5C ．25D ．133．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12- 4．20201i i=-（ ） A ．2 2 B ． 2 C ．1 D ．145．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A ．B ．2C ．3D ．66．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<< 7．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ）A ．25B ．32C ．35D ．409．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 10．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．2511．二项式22()n x x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45 D ．36012．()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足：()f x 的导函数存在，且()()f x x f x '<，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()221f f <B ．()()3344f f <C ．()()2334f f <D ．()()3223f f <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

试卷类型：A咸阳市实验中学2024~2025学年度第一学期阶段性检测（一）七年级数学注意事项：1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

全卷共4页，总分120分。

考试时间120分钟。

2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A 或B ）。

3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。

4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。

5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共24分）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1.在数轴上表示的点与原点的距离为（ ）A.2B. C. D.02.下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）A.5和 B.2和C.和D.和3.计算的结果是（ ）A.1B. C.5 D.4.有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置，请你判断数字4对面的数字是（）A.6B.3C.2D.15.有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（）A. B. C. D.6.下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D.7.将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（）2B 2-2-2±5-123-13-3-13()()32---1-5-a b 1a >-a b>-1b -<a b<33--=()33-+=33-=-()33--=aA. B. C. D.8.如图，数轴上、两点分别对应实数、，则下列结论正确的是（）A.B. C. D.第二部分（非选择题 共96分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9.比较大小：______.（填“>”，“<”，“=”号）10.若比平均分高5分记作+5分，那么分表示______.11.在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是______.12.如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为______.（结果保留）13.，是绝对值最小的数，是最大的负整数，则______.三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14.（5分）请把下列各数填入相应的集合中：，，5.2，0，，，，2024，，整数集合：{ …}；负分数集合：{ …}.15.（10分）计算下列各题：（1）；（2）；230a 240a 250a 260a A B a b 0a b +>0a b +<0a b ->0a b ->34-45-2-π5a =b c a b c +-=2-12-2311653-0.3-()3--()()1111---()()3227-++（3）；（4）.16.（5分）一个几何体是由大小相同的小立方块搭成，其中小正方形上的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图.17.（5分）若，求的值.18.（5分）如图，用经过、、三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为，棱数为，求的值.19.（6分）若，互为相反数，，，互为倒数，求的值.20.（6分）请画出数轴，并在数轴上标出下列各数：0.5，，，，.并把它们用“>”连接起来.21.（6分）下表列出了国外几个城市与北京的时差.城市纽约巴黎东京芝加哥时差/h（1）如果现在北京的时间是17：00，那么现在的东京时间是几点？（2）小荣想在北京时间9：00给在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？请说明理由；（3）王老师从北京乘坐早晨7：00的航班经过约到达纽约，那么王老师到达纽约时当地时间大约是几点？22.（6分）如图是一张铁片.（单位：米）（1）计算这张铁片的面积；（2）这张铁片能否做成一个无盖长方体盒子？若能，请计算它的体积；若不能，请说明理由.23.（6分）设表示取的整数部分，例如：，.()()()733510+-++-+-()()67128510⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭202320240x y -++=x y +A B C m n m n +a b 5x =c d ()a b cd x --+-4-1132.5- 1.5-–137-1+–1420h []a a []2.32=[]55=（1）求的值；（2）令，求.24.（6分）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加.小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）.以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“”，刚好的记为“0”.第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程+8+2+15（1）请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？（2）已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价为8.2元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？25.（7分）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等.（1）用“>”，“<”或“=”填空：______0，______0，______0；（2）求的值.26.（8分）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6.（1）直接写出、两点之间的距离______；（2）若在数轴上存在一点，使得到的距离是到的距离的3倍，求点表示的数；（3）如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当到的距离是到的距离的4倍时的运动时间的值.图1图2咸阳市实验中学2024-2025学年第一学期阶段性检测（一）答案一、选择题（每小题3分，共24分）题号12345678答案AABBCDDC[][]12 3.675⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦{}[]a a a =-[]312 2.4644⎧⎫⎧⎫-+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭40km 40km 40km -40km ()km 6-5-–511+100km 100km a b c a b a b +a c -b c -11b a -+-A B 16-A B P P B A P P Q P A Q B Q O P O Q O t二、填空题（每小题3分，共15分）9.10.比平均分低2分11.212.13.6或三、解答题（共81分）14.（5分）整数集合：负分数集合：15.（10分）（1，2小题各2分；3，4两小题各3分）（1）0；（2）；（3）；（4）16、（5分）（从正面看为3分，从左面看为2分）解：如图所示：17、（5分）【详解】解：由题意，得：，，，..18、（5分）【详解】解：由图可知，这个多面体的面数是7，即.又因为正方体有12条棱，被截去了3条棱，截面为三角形，所以增加了3条棱，故棱数不变，即.所以.19、（6分）或6解：由题知：，①当时原式>2π4-(){}2,0,3,2017---⋅⋅⋅15,,0.323⎧⎫---⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭5-4-1192-1-20230x -=20240y +=2023x ∴=2024y =-202320241x y ∴+=-=-19m n +=7m =12n =71219m n +=+=4-0a b +=5x =±1cd =5x =∴a b cd x=++-015=+-4=-②当时原式的值为或620、（6分）【详解】解：如图21、（6分）解：（1）现在的东京是18点（2）不合适，理由如下：当北京市9点时，巴黎是凌晨2点，姑妈正在休息，所以不合适。

陕西省咸阳市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（）A．点B．点C．点D．点第(2)题正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（）A．B．C．D．第(3)题已知复数，则（）A．2B．C．D．第(4)题黑龙江省从2021年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，2024年起高考不分文理.新高考“”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目：“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门.则新高考模式下考生选择政治历史地理三个科目的概率是（）A．B．C．D．第(5)题某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（）A．B．C．D．20第(6)题执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=A．4B．5C．6D．7第(7)题在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是A．B．C．D．第(8)题一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为（）．A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列结论正确的有（）A．若，则B ．若，，，则C．若，，则D ．若，，，则第(2)题下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（）A．B．C．D．第(3)题已知实数满足：，则下列不等式中可能成立的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18 cm的扇形，则圆锥的母线与底面所成角的余弦值为__________.第(2)题将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_________．（1）平面平面（2）四面体的体积是（3）二面角的正切值是（4）与平面所成角的正弦值是第(3)题已知，是函数，的两个极值点，若，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，.(1)若，求证：没有极值点.(2)若恒成立，求的取值范围.(3)若，存在且仅存在一条直线既是的切线又是的切线，求的值.第(2)题（1）证明：当时，；（2）若过点且斜率为的直线与曲线交于两点，为坐标原点，证明：．第(3)题如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的一个交点，且为钝角，，．(1)求曲线和所在椭圆和抛物线的方程；(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别和曲线和交于、、、四点，若为的中点，为的中点，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．第(4)题为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，两地相距，，在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为．（已知声音的传播速度为），求：(1)B，C两地间的距离；(2)这种仪器的垂直弹射高度AB．第(5)题已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；(2)已知，，（其中且，，成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线AC与曲线在点B处的切线能否平行？请说明理由.。

2021届陕西省延安市黄陵中学（高新部）高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}0,2,3,5A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2,3,5B ．{}0,3,5C ．{}0,2,5D ．{}0,2,3【答案】A【分析】根据集合交集运算求解即可得答案 【详解】解：根据题意，{}{}{}2,0,2,3,53,4,52,3,5A B ==.故选：A.2．设x ∈R ，则“30x -≥”是“11x -≤”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】本题首先可通过运算得出30x -≥即3x ≤以及11x -≤即02x ≤≤，然后根据3x ≤与02x ≤≤之间的关系即可得出结果. 【详解】30x -≥，即3x ≤，11x -≤，即111x -≤-≤，02x ≤≤，因为集合[]0,2是集合(],3-∞的真子集， 所以“30x -≥”是“11x -≤”的必要不充分条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-3【答案】B【分析】利用余弦定理列方程求解即可得答案. 【详解】解：因为已知5a =，2c =，2cos 3A =， 所以由余弦定理得：2222452cos =243b c a b A bc b +-+-==，解方程得：3b =或13b =-（舍） 故选：B.4．“x R ∀∈，20x x π-≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x π-<B ．x R ∀∈，20x x π-≤C ．0x R ∃∈,2000x x π-<D ．0x R ∃∈，2000x x π-≤【答案】C【分析】根据全称命题的否定求结果.【详解】因为“”x R ∀∈的否定为0“”x R ∃∈，所以“x R ∀∈，20x x π-≥”的否定是:0x R ∃∈,2000x x π-<, 选:C.5．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝x【答案】D【解析】试题分析：因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．【解析】对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．6．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）.A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]0,4D ．[]1,3【答案】D【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式1(2)1f x --化为121x --，解得答案．【详解】解：由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=， 不等式1(2)1f x -≤-≤即为(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x ≥-≥-，即13x ≤≤， 故选：D.7．若函数3log (25),0()1,02xx x f x x +>⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则((1))f f -=（ ）A ．14B ．12C ．2D ．3log 7【答案】C【分析】利用分段函数的性质求解即可【详解】(1)2f -=，3((1))(2)log 92f f f -=== 故选：C8．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 9．函数f (x )＝ln x －22x的零点所在的区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【答案】B【分析】计算出(1),(2),(3),(4)f f f f ，并判断符号，根据零点存在性定理可得答案. 【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，函数()f x 的图象是连续不断的， 因为(0)f →-∞，(1)2f =-，21(2)ln 2ln 2042f =-=->，2(3)ln 309f =->，1(4)ln 408f =->，所以根据零点存性定理可知，函数()f x 在区间(1,2)内存在零点. 故选：B.【点睛】本题考查了零点存在性定理，属于基础题.10． 函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．11．已知1sin 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则17cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．13- B ．223C ．13D ．223-【答案】C【分析】根据题意，化简得17312212πππαα+=+-，再利用诱导公式对17cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行化简求值即可.【详解】解：由题可知，1sin 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由于17183121212212πππππααα+=+-=+-， 所以1731cos cos sin 12212123ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C.12．已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ(0)2πϕ<<个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为（ ）A ．6πB ．56π C ．12πD ．512π 【答案】C【分析】根据图象得周期求出ω，代入最高点求出ϕ，【详解】平移后的函数解析式为2cos()y x ωωϕ=-+，由题图知，T ＝21151212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2Tπ＝2， ∴y ＝－2cos(2x ＋2φ)， 将5(,2)12π代入得52cos(22)212πϕ-⨯+=，即5cos(2)16πϕ+=-，∴56π＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝12π＋k π(k ∈Z).又0<φ<2π，所以φ＝12π.故选：C.【点睛】本题考查了图象的平移变换、由图象求参数，属于基础题.二、填空题13．已知集合2{|5140}A x x x =--≤，集合{|121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(],4-∞【分析】求得集合{|27}A x x =-≤≤，根据B A ⊆，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合2{|5140}{|27}A x x x x x =--≤=-≤≤ 当B φ=时，则121m m +≥-，解得2m ≤；当B φ≠时，若B A ⊆，如图所示：则满足12217121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩，解得24m <≤．综上，m 的取值范围为(],4-∞.【点睛】本题主要考查了集合间的关系及其应用，其中解答中根据集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，同时忽视B φ=是解答本题的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝()1f x ，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则()105.5f ＝______．【答案】2．5 【分析】由()()()142f x f x f x =＋＝＋，求出函数的周期是4，再结合偶函数的性质，()105.5f 转化为()2.5f ，代入所给的解析式进行求解．【详解】()()()()14222f x f x f x f x ⎡⎤=⎣⎦＋＝＋＋＝＋．故函数的周期为4．∴()()()()105.5427 2.5 2.5 2.5f f f f ⨯＝－＝－＝．∵2 2.53≤≤，由题意，得()2.5 2.5f ＝．∴()105.5 2.5f ＝．【点睛】本题考查了函数周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将所求的函数值进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．15．在△ABC 中，若b ，B ＝2A ，则△ABC 为______三角形． 【答案】等腰直角【分析】由B ＝2A ，得sin sin 2B A =，由正弦的二倍角公式可得sin 2sin cos B A A =，又b a ，由正弦定理可得cos A =.【详解】解：因为在△ABC 中，若b a ，B ＝2A ， 所以sin sin 2B A =，即sin 2sin cos B A A =， 由正弦定理sin sin a bA B=，则2cos b a A =又b a ，所以cos A 又()0,A π∈， 所以4A π=，即,24B C ππ==，即△ABC 为等腰直角三角形， 故答案为等腰直角.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的形状及正弦的二倍角公式，重点考查了运算能力，属基础题.16．由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________. 【答案】18【分析】先求得抛物线与直线的交点坐标，数形结合，利用定积分即可容易求得图形的面积.【详解】如图所示，解方程组224y xy x ⎧=⎨=-⎩得两交点为(2，－2)，(8，4).选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即8222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰()()3328882220222211224?332x x x x =+-+ 1656302433=+-+ 18=故答案为：18.【点睛】本题考查利用定积分求曲边梯形的面积，涉及抛物线的轨迹，属综合基础题.三、解答题17．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足31x -<．若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； 【答案】23x <<.【分析】分别解出两个不等式，由p q ∧为真，则p 真且q 真，可得答案. 【详解】由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<， 当1a =时，13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<． 由31x -<得131x -<-<，解得24x <<， 即q 为真时，实数x 的取值范围是24x <<， 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<． 故答案为：23x <<.18．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式00y f f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）设()()ecos sin 1xh x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，sin 3sin B C =．（1）求tan C 的值；（2）若a =ABC 的面积．【答案】（1）tan C =；（2）S =. 【分析】（1）因为3A π=，所以23B C π+=，然后，由sin 3sin B C =变为2sin 3sin 3C C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求解即可 （2）利用正弦定理和余弦定理，求出b 和c ，利用面积公式求解即可 【详解】解：（1）因为3A π=，所以23B C π+=， 故2sin 3sin 3C C π⎛⎫-=⎪⎝⎭，1sin 3sin 2C C C +=，即5sin 22C C =，得tan 5C =． （2）由sin sin b cB C=，sin 3sin B C =，得3b c =． 在ABC 中，由余弦定理，得22222212cos 92(3)72a b c bc A c c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=，又因为a =1c =，3b =，所以ABC 的面积为1sin 24S bc A ==． 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用正弦定理，化简得3b c =，以及利用余弦定理求出b 和c ，难点在于运算，难度属于中档题20．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.【答案】（1）2a =；(1,3)-；（2）2.【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值．【详解】解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠，由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦ ∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数. 所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）21．已知函数()4cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π． （1）求函数()f x 在区间(0,)π上的单调递增区间；（2）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）1. 【分析】（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可；（2）根据3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到7212612x πππ≤-≤可得()f x 最大值.【详解】（1）1()4cos cos 22f x x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x ωωωωω=-=--2sin 216x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为()f x 的最小正周期为π，所以22T ππω==． 又0>ω，所以1ω=， 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令222()262k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ， 得()63k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． （2）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，7212612x πππ≤-≤． 当226x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等. 22．已知函数()ln ,[1,]f x ax x x e =+∈．(1)若1a =，求()f x 的最大值；(2)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1e +；（2）1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【分析】（1）根据导数可判断出函数()f x在区间[1,e]上单调递增，故可得最大值．（2）由f(x)≤0分离参数可得lnxax≤在区间[1,e]上恒成立，令()lnxg xx=，根据导数求得函数()g x的最小值后可得所求的范围．【详解】(1)当a＝1时，f(x)＝x＋ln x，∴f′(x)＝1＋＝．∵ x∈[1，e]，∴ f′(x)>0，∴ f(x)在[1，e]上为增函数，∴ f(x)max＝f(e)＝e＋1．(2)∵ f(x)≤0即ax＋ln x≤0对x∈[1，e]恒成立，∴ a≤－，x∈[1，e]．令g(x)＝－，x∈[1，e]，则g′(x)＝，∵ x∈[1，e]，∴ g′(x)≤0，当且仅当x=e时等号成立，∴ g(x)在[1，e]上递减，∴ g(x)min＝g(e)＝1e -，∴ a≤－．∴实数a的取值范围为1,e∞⎛⎤--⎥⎝⎦．【点睛】由不等式恒(能)成立求参数的范围常有两种方法：(1)讨论最值：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；(2)分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.。

专题4 数列、推理与证明 第1讲 数列(B 卷)一、选择题（每题5分，共60分）1.（2021·海南省高考模拟测试题·12）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ）A ．20122012S =-，20127a a >B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =，20127a a <2．（2021·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·6）已知{}n a 为正项等比数列，S n 是它的前n 项和．若116a = ，且a 4与a 7的等差中项为98，则5S 的值 ( ) A ．29B ．31C ．33D ．353．(2021济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·7)数列{}n a 共有11项，1110,4,a a ==且11(1,2,...,10)k k a a k +-==，则满足该条件的不同数列的个数为（ ）A ．100B ．120C ．140D ．1604．(2021·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·4)等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ） A. 1B.－12C. 1或－12D. -1或－125.（2021·河北省唐山市高三第三次模拟考试·5）6．（2021·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·6）设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ） A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 7.(2021·北京市东城区综合练习二·3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（ ） （A ）4（B ）8（C ）16 （D ）648．（2021·厦门市高三适应性考试·7） 已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=，则{}n a 的前10项和10S =（ ）.31A .62B .170C .1023D9．(2021·北京市西城区高三二模试卷·6)数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）A ．B ．21C ．42D ．8410. (2021.芜湖市高三5月模拟·5)11. (江西省九江市2021届高三第三次模拟考试·8)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且对于任意1,n n N *>∈，满足112(1)n n n S S S +-+=+，则10S 的值为（ ）A ．91B ．90C ．55D ．5412．（2021·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·4）已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ ）A ．21-B ．23-C ．21D ．23二、非选择题（ 40分）13.（2021·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·16）设数列{a n }满足：a 1=1，a 2=4，a 3=9，a n =a n －1+a n －2－a n－3（n=4,5, ……）,则a 2021 = ．14.（2021·河北省唐山市高三第三次模拟考试·15）15. (2021·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·13)已知等差数列}{n a 中，45831π=++a a a ,那么=+)cos(53a a .16. (2021·海淀区高三班级其次学期期末练习·9)若等比数列{}n a 满足2664a a =，3432a a =，则公比q =_____；22212n a a a +++= ．17.（2021·陕西省咸阳市高考模拟考试（三）·15）18．（2021·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·11）在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 ．19．(2021.江西省上饶市高三第三次模拟考试·17) (本题满分10分)已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+． (1)求证:{}1n a +是等比数列; (2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．。

2021年陕西高考数学试题〔理〕一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，那么MN =〔 〕.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B 【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是〔 〕.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.定积分1(2)xx edx +⎰的值为〔 〕.2Ae + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是〔 〕.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====5.底面边长为12为〔 〕32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，那么这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为〔 〕1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525===7.以下函数中，满足“()()()f x y f x f y +=〞的单调递增函数是〔 〕〔A 〕()12f x x = 〔B 〕()3f x x = 〔C 〕()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔D 〕()3x f x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“假设12,z z 互为共轭复数，那么12z z =〞，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是〔 〕〔A 〕真，假，真 〔B 〕假，假，真 〔C 〕真，真，假 〔D 〕假，假，假 【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=9.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，假设i i y x a =+〔a 为非零常数，1,2,,10i =〕，那么12,10,y y y 的均值和方差分别为〔 〕（A ）1+,4a 〔B 〕1,4a a ++ 〔C 〕1,4 〔D 〕1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，下降飞行轨迹为某三次函数图像的一局部，那么函数的解析式为〔 〕（A ）3131255y x x =- 〔B 〕3241255y x x =-〔C 〕33125y x x =- 〔D 〕3311255y x x =-+ 【答案】 A 【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′= 第二局部〔共100分〕二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕.11.,lg ,24a x a==那么x =________. 【答案】 10 【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212a a========x a x a x 所以，12.假设圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，那么圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y13. 设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，假设b a //，那么=θtan _______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即，b a b a14. 观察分析下表中的数据：多面体 面数〔F 〕 顶点数〔V ) 棱数〔E ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜测一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________. 【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得15.〔考生注意：请在以下三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题评分〕.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，那么22m n +的最小值为.B 〔几何证明选做题〕如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，假设2AC AE =,那么EF =.C 〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1 【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与 C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕 16. 〔本小题总分值12分〕ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. 〔I 〕假设c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； 〔II 〕假设c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】 〔1〕 省略 〔2〕 21【解析】 〔1〕C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差，c b a〔2〕.,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时，仅当又成等比，b c a c b a ====+==17. 〔本小题总分值12分〕四面体ABCD 及其三视图如下图，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分 别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.〔I 〕证明：四边形EFGH 是矩形；〔II 〕求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.【答案】 〔1〕 省略 〔2〕510【解析】 〔1〕.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====〔2〕510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,DA ,DB ,DC (1)=><==<∴=======∴n AB n AB n AB n AB n FG n FE n z y x n EHGF FG FE AB G E F B A z y x θ所以，，解得一个则法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由18.〔本小题总分值12分〕在直角坐标系xOy 中，点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域〔含边界〕上〔1〕假设0=++PC PB PA ，求OP ；〔2〕设),(R n m AC n AB m OP ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】 〔1〕 22〔2〕 m-n=y-x, 1【解析】 〔1〕22|OP |22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A 〔2〕1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x ,(∴,AC AB OP 最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=19.〔本小题总分值12分〕在一块耕地上种植一种作物，每季种植本钱为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：〔1〕设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；〔2〕假设在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元 的概率.【答案】 〔1〕〔800,0.2〕〔2000,0.5〕〔4000,0.3〕 〔2〕 0.896【解析】 〔1〕3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润X 的分布列如下表：X 800 2000 4000 P0.2 0.5 0.3〔2〕896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X20.〔本小题总分值13分〕如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和局部抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q 〔均异于点,A B 〕，假设AP AQ ⊥，求直线l 的方程.【答案】 〔1〕 a=2,b=1 〔2〕 )1-(38-x y =【解析】〔1〕14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x yc b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线 〔2〕)1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k AQ AP AQ AP A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，即联立得与的直线方程为设过21.〔本小题总分值14分〕 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（2）假设()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；〔3〕设n N +∈，比拟(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.【答案】 〔1〕 nx x x g n +=1)(〔2〕 ,1](-∞ (3) 前式 > 后式【解析】 〔1〕+++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx x x g xk x x g k n x k x kxx kx xx g kx x x g k n x x xx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，， 〔2〕,1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x a x x x x a x x x ax x x xax x x x x g x ag x f〔3〕+∈>++++>>++∴>∈++=+++++++++=+++++••••=++++=+++++=+=+=N n f(n)-n )()3()2()1(0)(,011-n 1n ln .0)()2(],1,0,1 -)1ln()((a) )11-n 1n (ln )311-34(ln )211-23(ln )111-12(ln 11--311-211-111-n 1n 342312ln 11--311-211-111-f(n)f(n)]-[n -)()3()2()1(∴11-11)(∴,1)(，所以，恒成立式恒成立恒成立知，则由（令）（n g g g g a nx h x xx x x h nnnn g g g g nn n n g x x x g。