陕西省咸阳市高新一中2021届高三上学期第三次质量检测数学(理)试题

2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第1题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考文科第1题5分复数z=(1+i)2的虚部为（）．A. 2iB. 2C. −2iD. −22、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第2题5分P={y|y=x2}，Q={x|x2+y2=2}，则P∩Q=（）．A. [−√2,√2]B. {(1,1),(−1,1)}C. {0,√2}D. [0,√2]3、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第3题5分“a>2”是“函数f(x)=(x−a)e x在(0,+∞)上有极值”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第4题5分若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可为（）．A. n⩽5?B. n⩽6?C. n⩽7?D. n⩽8?5、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第5题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考文科第6题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第5题5分某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A. 32B. 1 C. 12D. 136、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第6题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第6题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第6题5分2018~2019学年山西晋中平遥县山西省平遥中学高一下学期期中关于函数f(x)=4sin⁡(2x+π3)(x∈R)有如下命题，其中正确的个数为（）．①y=f(x)的表达式可改写为f(x)=4cos⁡(2x−π6)(x∈R)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y =f (x )的图象关于点(−π6,0)对称；④y =f (x )的图象关于直线x =π3对称．A. 0B. 1C. 2D. 37、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第7题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第7题5分 2019~2020学年山东济南历下区山东师范大学附属中学高二下学期期中第7题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第7题5分为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作．因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ）．A. 18B. 24C. 30D. 368、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第8题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第8题5分 2019~2020学年福建泉州高三上学期期末理科第11题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第8题5分 2019~2020学年3月重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期周测B 卷理科第11题5分 在平面直角坐标系xOy 中，直线l:kx −y +4k =0与曲线y =√9−x 2交于A ，B 两点，且AO →⋅AB →=2，则k =（ ）．A. √33B. √22C. 1D. √39、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第9题5分如图，四棱锥S−ABCD中，底面是边长为√2的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，SO⊥平面ABCD，且SO=√2，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（）．A. 2√2B. 2√3C. 1+√2D. 1+√310、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第10题5分2019~2020学年10月北京朝阳区北京化工学院附属中学高三上学期月考第8题2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考文科第10题5分2019~2020学年12月北京东城区北京市东直门中学高三上学期月考第7题5分2020~2021学年10月北京朝阳区北京化工学院附属中学高三上学期月考第10题已知定义域为R的奇函数f(x)的周期为2，且x∈(0,1]时，f(x)=log12x．若函数F(x)=f(x)−sin⁡π2x在区间[−3,m]（m∈Z且m>−3）上至少有5个零点，则m的最小值为（）．A. 2B. 3C. 4D. 611、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第11题5分过抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，Q(1,2)，若1|AB|+1|CD|=14，则|PF|+|PQ|的最小值是（）．A. 4B. 3C. 2D. 112、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第12题5分已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f ′(x)>−2，则不等式f(x −1)<x 2(3−2ln⁡x)+3(1−2x)的解集为（ ）．A. (0,1e)B. (0,1)C. (1,e)D. (1e ,e)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第13题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第13题5分 2017年福建厦门高三二模理科第13题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第13题5分 已知(2x 1√xn 展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是 ．14、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第14题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第14题5分2019~2020学年12月广东深圳龙华区深圳市第二外国语学校高三上学期月考文科第13题5分 2019~2020学年广东深圳龙华区深圳市第二外国语学校高三上学期期末文科第13题5分 2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考文科第14题5分 已知|a →|=2，|b →|=1，a →−b →与b →垂直，则a →与b →的夹角为 ．15、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第15题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第15题5分 2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第15题5分 2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考文科第15题5分已知集合{a,b,c }={0,1,2}，有下列三个关系①a ≠2；②b =2；③c ≠0，若三个关系中有且只有一个正确，则a +2b +3c = ．16、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第16题5分已知函数f(x)=2ln⁡x −ax 2+3，若存在实数m ，n ∈[1,5]满足n −m ⩾2时，f (m )=f (n )成立，则实数a 的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第17题12分2020~2021学年4月重庆大渡口区重庆市第三十七中学高一下学期月考第20题2018~2019学年福建福州鼓楼区福建省福州市第十一中学高三上学期期中理科第17题10分 已知向量m →=(sin⁡A,sin⁡B )，n →=(cos⁡B,cos⁡A )，m →⋅n →=sin⁡2C ，且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角．(1) 求角C 的大小．(2) 若2sin⁡C =sin⁡A +sin⁡B ，且CA →⋅(AB →−AC →)=18，求c 边的长．18、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第18题12分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第18题12分 2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第18题12分某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：(1) 将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中爱好羽毛球运动的人数为X ，求X 的分布列和期望值．(2) 根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．19、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第19题12分2017~2018学年新疆昌吉昌吉市高二上学期期末如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．(1) 求证：平面EAC⊥平面PBC．(2) 若二面角P−AC−E的余弦值为√63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第20题12分2019~2020学年1月重庆渝中区重庆市巴蜀中学高三上学期月考文科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，焦距为2√2，直线l:y=x−1与椭圆C相交于A，B两点，P(34,−14)为弦AB的中点．(1) 求椭圆的标准方程．(2) 若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于不同的两点M，N，Q(0,m)，若OM→+λON→=3OQ→（O为坐标原点），求m的取值范围．21、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第21题12分2019~2020学年10月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三上学期月考理科第21题12分2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高三上学期期末第22题12分2019~2020学年山东青岛崂山区青岛第二中学高三上学期期中第23题14分已知函数f(x)=e xax2+bx+1，其中a>0，b∈R，e为自然对数的底数．(1) 若b=1，且当x⩾0时，f(x)⩾1总成立，求实数a的取值范围．(2) 若b=0，且f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：1+32a<f(x1)+f(x2)<e．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√2cos⁡αy=sin⁡α（α为参数）．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin⁡(θ−3π4)=√22．(1) 求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程．(2) 设点P(2,−3)，若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|⋅|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三三模理科第23题10分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考文科第23题10分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第23题10分2020~2021学年10月四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期月考理科第23题10分解答下列各题．(1) 求函数f(x)=|3x+2|−|1−2x||x+3|的最大值M．(2) 若实数a，b，c满足a2+b2⩽c⩽M，证明：2(a+b+c)+1⩾0，并说明取等条件．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 D;10 、【答案】 A;11 、【答案】 B;12 、【答案】 B;13 、【答案】60;;14 、【答案】π315 、【答案】5;;16 、【答案】ln3417 、【答案】 (1) π．3;(2) 6．;18 、【答案】 (1)9人．8;(2) 没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联．;19 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;20 、【答案】 (1) x23+y2=1．;(2) 13<m<1或−1<m<−13．;21 、【答案】 (1) a∈(0,12]．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) x22+y2=1，x+y+1=0．;(2) 403．;23 、【答案】 (1) 1．;(2) 证明见解析；a=b=−12，c=12．;。

2021年高三上学期第三次质量检测数学（理）试题含答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知集合，，那么（）.A． B． C． D．2.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）.A． B. C. D.3.从1， 2，3，4，5中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（）. A．B． C． D．4.在中，已知，则三角形的面积为（）.A．B． C．或 D．或5.设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（）.A. B. C. D.6.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.A．B．C．D．7.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）.A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8.已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则（）.A． B. C. 0 D. 29.函数的大致图像为（）.10.右图中，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（ ）.A.21B.20C.18D.1711.已知菱形的边长为3，，沿对角线折成一个四面体，使平面垂直平面，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）. A. B. C. D.12.若函数在单调递增，则的取值范围是（ ）. A.B. C. D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 若，，则__________________.14. 已知向量，，若∥，则__________________.15. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________________.16. 若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域是一个三角形，则k 的取值范围是________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17、（本小题共12分）某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数段的人数X的分布列和数学期望18、（本小题共12分）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；19、（本小题共12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且数列{}是等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设lgb n=（n∈N*），问：b1，b k，b m（k，m均为正整数，且1＜k＜m）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由．20、（本小题共12分）已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线过点（1,0）且与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S，若S的轨迹是垂直x 轴的直线，求出轨迹方程。

陕西省咸阳市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 2．已知函数()(1)(2)x e f x m x x e -=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ）A ．32e e+B ．22e e +C ．32e e -D ．22e e -【答案】A 【解析】 【分析】若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出()g x 的最小值，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，结合图象可得. 【详解】解：()(1)(2)0xf e e x m x x =--->-， ∴(1)(2)x m x x e e ->-+，设()(2)xy g x x e e ==-+， ∴()(1)x g x x e '=-，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， ∴()(1)0g x g ≥=，当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞，()f x e →， 函数(1)y m x =-恒过点()1,0，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，如图所示，，若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，∴3(31)(32)e m e -≤-+且(21)(22)x m e e ->-+，即32(3)m g e e ≤=+，且m e >∴32e ee m +<≤，故实数m 的最大值为32e e+，故选：A 【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.3．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2 B．CD【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于11=，所以223a b =，c e a ====3. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.4．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，代入化简即可求解. 【详解】复数121,1z i z i =+=-，则1211z z + 1111i i=++- ()()()()111111i ii i i i -+=++--+11122i i-+=+= 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.5．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】由折线图逐项分析即可求解 【详解】选项A ，B 显然正确； 对于C ，2.9 1.60.81.6->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错. 故选：D 【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题6．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ⋃=C ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð【答案】D【解析】 【分析】化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤， 则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故U 3(,1),2A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ð，由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =∅I ，31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U (2,)A B ⋂=+∞ð，3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选:D 【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.7．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有66A 种，进而得到结果. 【详解】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种情况，由间接法得到满足条件的情况有51235423A C A A -当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种，由间接法得到满足条件的情况有51235323A C A A -共有：5123512353235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，故满足条件的事件的概率为：5123512353235423661360A C A A A C A A A -+-= 故答案为：C. 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 8．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q，{B x x =<<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 9．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23C ．8D ．17【答案】C 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 【详解】解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8. 故选：C 【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.10．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论. 【详解】依题意，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252b c a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．85【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值. 【详解】因为终边上有一点(3,4)P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.12．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，2z x y =+等价于2y x z =-+，作直线2y x =-，向上平移，易知当直线经过点()2,0时z 最大，所以max 2204z =⨯+=，故选D ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三上学期第三次阶段检测数学（理）试题含答案一、选择题：第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，，，那么集合（）A．B．C．D．2．求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C． D．3. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A． B．C．D．4．函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）5．已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，⊥，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45o,∠CAB=105o后，就可以计算出A 、B两点的距离为（）A. B.B. D.7．已知P是边长为2的正边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．最小值为2 C．是定值6 D．与P的位置有关8．函数，若对任意都有成立，则的最小值为（）A．4 B．2 C．1 D．9．已知，若的充分条件，则实数取值范围是（）A．B．C．D．10．已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为（）A．25 B．50 C．100 D．不存在11．已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P－ABC的体积为（）A．5 B．10 C．20 D．3012．函数y=f(x)定义域为,f(1) =f(3) =1 ,f(x)的导数.，其中a为常数且a>0，则不等式组所表示的平面区域的面积等于（）A．B． C．D．1二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如右图，若图中圆的半径为l，等腰三角形的腰长为，则该几何体的表面积是．14．有下列说法：①是数列的前n项和，若，则数列是等差数列；②若实数x,y满足,则的最小值是；③在中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若，则为等腰直角三角形；④中，“”是“”的充要条件.其中正确的有.（填上所有正确命题的序号）15．根据下面一组等式S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S 7=22+23+24+25+26+27+28=175, 可得S 1+S 2+…+S 99=16．设定义域为的函数若关于的方程 有7个不同的实数根，则实数 .三、解答题：17．(满分12分)已知函数， 若数列（n ∈N *）满足：， (Ⅰ) 证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列满足：，求数列的前n 项的和.18． (满分12分)如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求二面角的余弦值；19.(满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设、分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知与均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知,, 随机变量， 求的分布列和数学期望.20．(满分12分) 设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线． (I) 求双曲线的标准方程；(II) 若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求 的最大值.21．(满分12分)已知函数A B CDF E(I) 若直线l1交函数f(x)的图象于P，Q两点，与l1平行的直线与函数的图象切于点R，求证P,R,Q三点的横坐标成等差数列；(II) 若不等式恒成立,求实数a的取值范围；(III) 求证:〔其中, e为自然对数的底数）.请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2021年高三上学期第三次阶段考试数学理试题 含答案注意：本卷满分150分，考试时间120分钟．答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效．考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷．参考公式：台体的体积公式，其中、分别是台体的上、下底面积，表示台体的高． 用最小二乘法求线性回归方程的系数公式，．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1、设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2、定义域为的四个函数，，，中，奇函数的个数是（ ）A ．B ．C ．D ． 3、若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是（ ） A ． B ． C ． D ． 4、已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望（ ）A ．B ．C ．D ．5、某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若，，，则 B ．若，，，则 C ．若，，，则 D ．若，，，则7、已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 8、设整数，集合．令集合(){},,,,,,,S x y z x y z x y z y z x z x y =∈X <<<<<<且三条件恰有一个成立．若和都在中，则下列选项正确的是（ ） A ．， B ．， C ．， D ．，二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. ） （一）必做题（9～13题）9、不等式的解集是____________．10、若曲线在点处的切线平行于轴，则_______． 11、执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输 出的值为____________．12、在等差数列中，已知，则___． 13、给定区域，令点集()(){},D ,,,D x y x y x y z x y T =∈∈Z =+是在上取得最大值或最小值的点，则中的点共确定__________条不同的直线． （二）选做题：（第14、15题为选做题，考生只能选做一题．）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线的方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则圆上的点到直线的距离的最小值是 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于．若，，则 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16、（本小题满分12分）已知函数，． 求的最大值和最小正周期； 若，是第二象限角，求． 17、（本小题满分12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数（个）加工的时间（小时）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线； 试预测加工个零件需要多少时间？18、（本小题满分14分）如图，直三棱柱中，，，棱，、分别是、的中点．求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值．19、（本小题满分14分）若数列的前项和为，对任意正整数，都有，记．求，的值；求数列的通项公式；令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．20、（本小题满分14分）已知双曲线（，），、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于、两点，其中点位于第一象限内．求双曲线的方程；若直线、分别与直线交于、两点，求证：；是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分14分）已知关于的函数，其导函数为．记函数在区间上的最大值为．如果函数在处有极值，试确定、的值；若，证明：对任意的，都有；若对任意的、恒成立，试求的最大值．凤翔中学xx －xx 学年度第一学期第三次阶段考试高三理科数学试卷参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCCABDBB二、填空题 （一）必做题9、 10、 11、 12、 13、 （二）选做题14、 15、 三、解答题16、解：22()2sin 2cos 22cos sin 2sin cos 22244f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭………………………4分∴的最大值为2……5分 最小正周期为 ………6分 由知：即 ………………………8分 是第二象限角22313cos 1sin 144αα⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭……10分 31339sin 22sin cos 2448ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝………12分 17、解：散点图如下图．……3分18、证明：，底面……1分，……2分∵，，∴平面……3分……4分又∵∴平面……6分（方法一）以C为原点，CA、CB、CC1在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、……7分、……8分、、……10分设平面的一个法向为，则……11分即，取……12分所以……13分……14分（方法二），，……7分∴，，……8分由知，∴平面……9分延长到，延长到，使，连接、……10分在中，，，……11分∴……12分……13分∵是平面的法向量，由所作知，从而∴……14分19、解：由得：解得…………1分由得：解得…………3分解：由……①当时，有……②…………4分①－②得：…………5分数列是首项，公比的等比数列…………6分 …………7分 …………8分证明：由有…………10分222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦……………12分…………13分 …………14分20、解：由题可知：…………1分…………2分∴双曲线C 的方程为：…………3分 证明：设直线的方程为：，另设：()2222131129032⎧-=⎪⇒-++=⎨⎪=+⎩y x t y ty x ty …………4分 …………5分又直线AP 的方程为，代入…………6分 同理，直线AQ 的方程为，代入………7分()()1222123333 221221⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，-，，-y y MF NF x x ()()()()()12121222212121212999999441144334439∴⋅=+=+=+++++⎡⎤+++⎣⎦y y y y y y MF NF x x ty ty t y y t y y 2222999993109124444393131⨯-=+=-=-⎛⎫⨯+⨯+ ⎪--⎝⎭t t t t t t…………9分解：当直线的方程为时，解得易知此时为等腰直角三角形，其中 即，也即：…………10分下证：对直线存在斜率的情形也成立()()1112122222221111221221211111⨯+∠+∠====-∠-+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭tan tan tan PAPAy y x PAF k x PAF PAF k x yy x (11)分()()()()()()1111122211111212122122131++∴∠===--+--+--tan y x y x y PAF x x x x x …………12分 2122122∴∠=-=-=∠-tan tan PF y AF P k PAF x …………13分 ∴结合正切函数在上的图像可知，…………14分 21、解：∵由在处有极值，可得解得，或…………………2分 若，，则，此时函数没有极值…3分 若，，则↘极小值↗极大值↘故，即为所求………………4分证法一：222()()2()g x f x x bx c x b b c '==-++=--++ 当时，函数的对称轴位于区间之外∴在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个 ∴(1)(1)121244g g b c b c b +-=-+++--+≥>，即 …………8分 证法二（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外 ∴在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个 假设，则………………6分将上述两式相加得: ，得，产生矛盾 ∴ …………………………8分 解：当时，由可知 ………………9分 当时，函数的对称轴位于区间之内 此时，由，有 ①若，则，则于是{}11max (1),()((1)())((1)())22M f f b f f b f f b ''''''=≥+≥-…………………………11分②若，则，则于是{}11max (1),()((1)())((1)())22M f f b f f b f f b ''''''=-≥-+≥--…………………………13分 综上可知，对任意的、都有 而当，时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为…………………………14分G22243 56E3 団•&pO$23136 5A60 婠29833 7489 璉32959 80BF 肿40187 9CFB 鳻 20903 51A7 冧q。

2021年咸阳市高考模拟考试试题〔三〕理科数学第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合Ax|1x3，Bx|y1AB〔〕，那么x1A．1,3B．1,3C．(1,3]D．(1,3]2.复数z2，那么〔〕1iA．z的虚部为1B．z的实部为1C．|z|2D．z的共轭复数为1i3.在区间,上随机选取一个实数x，那么事件“sinx3〕〞发生的概率为〔222A．1B．1C．1D．14364.双曲线C的方程为y2x21，那么以下说法正确的选项是〔〕49A．焦点在x轴上B．虚轴长为4C．渐近线方程为2x3y0D．离心率为13 35.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时f(x)xlog3(a6)a3，那么f(a)〔〕A．9B．6C．3D．1如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积是〔〕A．120B．60C．24D．207.的半径1，A，B，C，D上四个点，且AB AC AD，ABC面的最大〔〕A．1B．2C．3D．28.三棱PABC中，PA平面ABC，ABBC，假设AB2，BC3，PA4，三棱的外接球的外表〔〕A．13B．20C．25D．29秦九昭算法是南宋期数学家，秦九昭提出的一种多式化算法，即使在代，它依然是利用算机解决多式的最算法，其算法框如所示，假设入的a0，a1，a2，⋯，a n分0，1,2，⋯，n，假设n4，根据算法算当x 1多式的，出的果是〔〕A ．3B ．6C ．10D ．15x y 1,10.实数x ，y 满足4xy 9,给x ，y 中间插入5个数，这7个数构成以x 为首项，y3,y 为末项的等差数列，那么这7个数和的最大值为〔〕A ．49B ．63C ．21D ．4942211.函数f(x)Acos(x )〔A0，0，| |〕的局部图象如下图，那么f(x) 的图象向右平移2个单位后，得到g(x)的图象，那么g(x)的解析式为〔〕A ．g(x)2 3sinx B ．8C ．g(x)2 3cosxD ．8xg(x) 2 3sin8xg(x) 2 3cos8lnx ,x 2,f(x)m 恰有一个零点，那么实数m 的取值范12.函数f(x)x函数g(x)x 2,x2,围为〔 〕A ．(0,ln2) (1,4] B ．2eC ．(,0]1D ． (,4] e1(,0) (,4)1( ,4]e第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.在ABC中，sinA:sinB:sinC 2:3:4，那么cosC．名党员干局部配到3个贫困户家去精准扶贫，每户至少去一名，共有种不同的分配方式〔用数字作答〕．15.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于4A，B两点，假设以AB为直径的圆过点(p,2)，那么该抛物线的方程为．216.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张．甲说：我摸到卡片的标号是10和12；乙说：我摸到卡片的标号是6和11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B60，三边a，b，c成等比数列，且面积为43，在等比数列a b．n中，a14，公差为〔1〕求数列a n的通项公式；〔2〕数列c n满足c n16，设T n为数列c n的前n项和，求T n．anan118.如图，四边形ABCD是直角梯形，AB//DC，AB AD，且PA AB，PAD是等边三角形，AB AD2DC2，M为PB的中点．〔1〕求证：CM平面PAB；〔2〕求二面角 D PB A的余弦值．19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间〔单位：小时〕的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图．高一学生学习时间的频数分布表〔学习时间均在区间0,6内〕：学习时[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)5,6间频数318422高二学生学习时间的频率分布直方图：〔1〕根据高二学生学习时间的频率分布直方图估计该校高二学生学习时间的中位数；〔2〕利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在[2,3)，[3,4)的两组里随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在[3,4)这一组中至少有1人被抽中的概率；〔3〕假设周日学习时间不少于4小时为学习投入时间较多，否那么为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成22列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一高二合计K2n(ad bc)2，其中na bcd．(ab)(cd)(a c)(b d)P(K2k0)k020.圆(x2)2y216的圆心为M，点P是圆M上的动点，点N(2,0)，线段PN的垂直平分线交PM于G点．1〕求点G的轨迹C的方程；2〕过点T(4,0)作斜率不为0的直线l与〔1〕中的轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求|QT|．21.函数f(x)xlnx，g(x)a(x2x)．21f(x)g(x)对x(1,)恒成立，求a的取值范围；〔〕假设12⋯1ne对于正整数n恒成立〔其〔2〕证明：不等式11(n1)2(n1)2(n1)2中e⋯为自然对数的底数〕．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为1，x2cos,曲线C2的参数方程为〔为参数〕．y sin〔1〕求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；〔2〕直线l：y x与曲线C1交于A，B两点，P是曲线C2上的动点，求PAB的面积的最大值．选修4-5：不等式选讲〔1〕a，b R，且|a|1，|b|1，求证：a2b21a2b2．2x的不等式|x1|2|x2|m有解，求实数m的取值范围．〔〕假设关于2021年咸阳市高考模拟考试试题〔三〕理科数学答案一、选择题1-5:CADCB6-10:BADCD11、12：BC二、填空题13.114.3615.y24x和94三、解答题17.解：〔1〕由a，b，c成等比数列得b2ac，因为S ABC431acsinB，所以b4，2所以 a n是以4为首项，以4为公差的等差数列，解得a n4n．〔2〕由〔1〕可得c n111n(n1)n ，n1T n(11)(11)⋯(11)11．223n n1n1〔1〕证明：取PA的中点为E，连接EM，ED，由题意知EM//1AB//DC，可得四边形CDEM为平行四边形，所以CM//DE．2由题可知，BA DA，BA PA，且PA ADA，AD平面PAD，PA面PAD，所以BA平面PAD，又∵DE平面PAD，∴BADE，∵PAD为正三角形，∴DE PA，又∵PA AB A，AB平面PAB，AP平面PAB，DE 平面PAB ，又DE//CM ，CM 平面PAB ．〔2〕解：由〔1〕可知BA 平面PAD ，又BA 平面ABCD ，那么平面PAD 平面ABCD ，PAD 为正三角形，因此取AD 的中点O 为坐标原点，以OD 为x 轴，在底面内过O 作AD的垂线为y 轴，OP 为z 轴，建立空间坐标系，∵ABAD 2CD 2，∴A( 1,0,0)，B(1,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,3)，M(1,1,3)，22那么MC(3,0, 3)，PB ( 1,2,3)，PD (1,0,3)，22设平面PBD 的法向量为n (x,y,z)，n PB0,x2y3z0,3,3,1)，那么即可取n( n PD 0, x 3z 0,cos n,MCn MC73 7，|n| |MC|37设二面角D PB A 的大小为7．，那么cos719.解：〔1〕由图可知，学生学习时间在区间0,3内的频率为 ，设中位数为 x ，那么(，解得x，即该校高二学生学习时间的中位数为．〔2〕根据分层抽样，从高一学生学习时间在[2,3)中抽取4人，从高一学生学习时间在[3,4)中抽取2人，设在[3,4)1人被抽中的事件为A，那么P(A)1C23这一组中至少有P(A)14．C625〔3〕年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一41620高二91120合计132740K240(411169)2，20201327所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．20.解：〔1〕由题意知，线段PN的垂直平分线交PM于G点，所以|GN||GP|，∴|GM||GN||GM||GP||MP|422|MN|，∴点G在以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆上，2a4，2c22，b2a2c22，∴点G的轨迹C的方程为x2y21．42〔2〕依题意可设直线l方程为x myx2y2，4，将直线方程代入142化简得(m22)y28my120，设直线l与椭圆C的两交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，由64m2412(m22)0，得m26，①且y1y28m，y1y212，②m2m222因为点A关于x轴的对称点为D，那么D(x1,y1)，可设Q(x0,0)，y2y1y1y2，所以k BDx1m(y2y1)x2所以BD所在直方程y y2y1y2(xmy24)，m(y2y1)令y0，得x02my1y24(y1y2)，③y1y2把②代入③，得x01，Q点的坐(1,0)，|QT|3．21.解：〔1〕f(x)a(x2x)0，即xa(x1)，g(x)等价于xlnx lnx022h(x)lnx a(x1)xh(x)0，h'(x)1a2ax，，即x22x 2当a0，h'(x)0，h(x)在x(1,)增，又h(1)0，所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，即f(x)g(x)不成立；当0a2，21，x(1,2)，h'(x)0，h(x)增，a a所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，f(x)g(x)不成立；当a2，x(1,)，2ax0，h'(x)0，h(x)在x(1,)减，所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，f(x)g(x)恒成立．上所述，当f(x)g(x)x(1,)恒成立a[2,)．〔2〕由〔1〕知当a2x(1,)有lnxx1恒成立．令x1k，k1,2,3,⋯,n,有ln(1k2)k成立，(n2n)(n21)(11)ln(11)22)ln(1n2) (n2ln(1⋯1)1)(n1)(nln (11 2⋯(1n2)(1(n 2)(n 2)(n 1)1)1)(n 1 2 ⋯(n n n(n1) n 1，1)2 (n1)21)2 2(n 1)2 2(n1)2所以(1122)⋯(1n 2)e ．(n2)(1(n 1)1)(n1)22.解：〔1〕因为曲线C 1的极坐标方程为1 ，那么直角坐标方程为 x 2 y 21；x 2cos ,x 2y 2曲线C 21的参数方程为y sin〔为参数〕，那么普通方程为．4〔2〕由题意知|AB| 2，设P(2cos ,sin )，点P 到直线yx 的距离为|2cossin |，2所以S PAB1|AB|d 1 2 |2cos sin |10|sin()|10 ．22 2 2223.〔1〕证明：∵a 2b 2 1a 2b 2 a 2(b 21)(1b 2)(b 21)(a 2 1)，又a ，bR ，且|a|1，|b|1，∴a 2 1 0，b 210，∴(b 21)(a 2 1)0，即a 2b 2 1a 2b 2．〔2〕解：|x1| 2|x2| m 有解等价于m(|x 1| 2|x2|)min ，5 3x,x 1,|x1|2|x2| 3 x,1 x 2,由单调性知:|x1| 2|x2| 1，3x 5,x 2,所以m 1．陕西省咸阳市届高三模拟考试三模数学理试题含答案。

咸阳市高新一中2021届高三第三次质量检测理科数学A卷 2020.10.31注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2.时间120分钟满分150分第1卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝()A．∅B．{2} C．{5} D．{2,5}答案 B解析由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}．故选B.2若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是() A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)答案 A 解析∵命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.3．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5答案C解析命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.4．设a∈R，函数f(x)＝e x＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为()A．ln2 B．－ln2 C.ln22 D.－ln224．A[解析] f′(x)＝e x－a e－x，这个函数是奇函数，因为函数f(x)在0处有定义，所以f′(0)＝0，故只能是a＝1.此时f′(x)＝e x－e－x，设切点的横坐标是x0，则e x0－e－x0＝32，即2(e x0)2－3e x0－2＝0，即(e x0－2)(2e x0＋1)＝0，只能是e x0＝2，解得x0＝ln2.正确选项为A.5．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A．[14，＋∞) B．(－∞，14] C．[12，＋∞) D．(－∞，－12]答案 A解析 当x ∈[0,3]时，[f (x )]min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，[g (x )]min ＝g (2)＝14－m ，由[f (x )]min ≥[g (x )]min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.6．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f [f (x )－3x ]＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12答案 B解析 由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得：f (K )＝3K＋K ＝4.又f (K )单调递增，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B.7．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝1，得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3|20＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－812＝83.故选C. 8 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0．2－0．6)，则a ，b ，c 的大小关系是__________．【答案】c <b <a【解析】 ∵f (x )为偶函数，在(－∞，0]上是单调增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为单调减函数．∵log 47>1，log 123<0，0．2－0．6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35>⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123＝f (－log 123)＝f (log 23)＝f (log 49)，而log 47<log 49<2<5．∴c <b <a ．A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c答案 A9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0，得x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示．由图像可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.10．若函数f(x)＝2x＋ln x，且f′(a)＝0，则2a ln2a＝()A．1 B．－1 C．－ln2 D．ln2答案 B解析f′(x)＝2x ln2＋1x，由f′(a)＝2a ln2＋1a＝0，得2a ln2＝－1a，则a·2a·ln2＝－1，即2a ln2a＝－1.11．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则()A．f(x)的极大值为f(3，极小值为f(－3) B．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3) 答案 D解析由函数y＝x·f′(x)的图像可知，x∈(－∞，－3)，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(－3,3)，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(3，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴选D.12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是()A ．0B ．0或－12C ．－14或－12D ．0或－14答案 D解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图像如图．显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两不同的公共点．另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y ′＝(x 2)′＝2x＝1，∴x ＝12.∴A (12，14)，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－14，∴选D.第2卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2021年高三上学期第三次测验数学理试题含答案本试卷共4页，共20题，满分150分，考试用时120分钟．试卷类型：B注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂试卷类型．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A. B.C. D.2．已知向量，则向量的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．3．设集合，，那么“”是“”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知向量,,且，则的值为（）A ．B ．C ．D ．5．函数的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．6．当时，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=62013sin )2cos(3)2sin()(ππππx x x f 的最大值和最小值分别是（ ）A ．，B ．， Ｃ．， Ｄ．，7．已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ． 8. 定义在上的函数若关于的方程恰好有5个不同的实数解，则（ ）A. B. C. D.1第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．在边长为1的等边三角形中， .10． .11．已知为锐角，且则= .12．函数的定义域为 ．13．平面直角坐标系中，是坐标原点，已知两点,若点满足,且，则点的轨迹方程是 .14飞机的航线和山顶C 在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度保持在海拔（km ），飞行员先在点A 处看到山顶的俯角为，继续飞行（km ）后在点B 处看到山顶的俯角为,试用、、、表示山顶的海拔高度为 （km ）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本题满分12分）叙述并证明余弦定理.16. （本题12分）已知集合，集合，集合（1）求从集合中任取一个元素是（3，5）的概率；（2）从集合中任取一个元素，求的概率；（3）设为随机变量，，写出的分布列，并求.17. （本题满分14分）如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小．18．（本题满分14分）设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知.（1）若是区间上的“凸函数”，求的值.第17题图（2）若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值.19. （本题满分14分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.ACB E东45020．（本题满分14分）已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围.第三次测验答案BCAB CAAD9. 10.1 11. 12. 13.x-y-1=014. （或）15．叙述并证明余弦定理。

陕西省咸阳市高新一中2021届高三数学上学期11月第三次考试试题（B ）理（含解析）时间：120分钟，满分：150分 2020年11月3日10：00--12：00第Ⅰ卷一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 0C. 0或2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，再根据A B ⊆求解.【详解】已知集合{}2{|}0,1A x x x ===，{1,,2}B m =，因为A B ⊆， 所以m =0， 故选：B【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，属于基础题. 2. 设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3. 命题“,sin 0R αα∃∈=”的否定是（ ） A. ,sin 0R αα∃∈≠ B. ,sin 0R αα∀∈≠ C. ,sin 0R αα∀∈< D. ,sin 0R αα∀∈>【答案】B 【解析】 【分析】原命题为存在性量词命题，按规则可写出其否定.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠， 故选：B.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.4. 已知函数()21,222,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩则[(1)]f f =（ ） A. －12B. 2C. 4D. 11【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的分段条件，先求得()13f =，进而求得[(1)]f f 的值，得到答案.【详解】由题意，函数()21,222,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩，可得()21123f =+=， 所以1[(1)](3)3432f f f ==+=-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，代入准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.5. 设函数2()2(4)2f x x a x =+-+在区间(,3]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 7a ≥- B. 7a ≥C. 3a ≥D. 7a ≤-【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质即可求解. 【详解】函数()f x 的对称轴为4x a =-， 又函数在(,3]-∞上为减函数，43a ∴-，即7a ．故选：B.【点睛】本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题. 6. 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=35，则m 等于（ ） A. ﹣3 B. 3C. 163D. ±3【答案】B 【解析】 试题分析：3sin 5θ==，解得3m =. 考点：三角函数的定义.7. 设函数f(x)＝3232ax x ++，若f′(－1)＝4，则a 的值为( ) A.193B.163C.133D.103【答案】D 【解析】 【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数()f x 的导函数2()36f x ax x '=+，因为f′(－1)＝4，即364a -=，解得103a =故选D【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题. 8. cos20cos10sin160sin10︒︒-︒︒=（ ） A. 3-B.32C. 12-D.12【答案】B 【解析】 【分析】首先由诱导公式可得sin160°=sin20°，再由两角和的余弦公式即可求值.【详解】cos20°cos10°–sin160°sin10°＝cos20°cos10°–sin20°sin10°＝cos30°3=．故选B ． 【点睛】本题考查了诱导公式和两角和的余弦公式，直接运用公式即可得到选项，属于较易题. 9. 函数241xy x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10. 函数2xy x =+的零点所在的区间是 （ ） A. (2,1)-- B. (1,0)- C. (0,1) D. (1,2)【答案】B 【解析】试题分析：记()2xf x x =+，则27(2)2(2)0,4f --=+-=-<11(1)2(1)0,2f --=+-=-< 0(0)2010,f =+=>所以零点所在的区间为(1,0).-考点：本题主要考查函数的零点存在定理.点评：对于此类题目，学生主要应该掌握好零点存在定理，做题时只要依次代入端点的值，判断函数值的正负即可，一般出选择题.11. 已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2021)等于（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由f (x ＋4)＝f (x )知函数的周期为4，则f (2021)()()505411f f =⨯+=，然后再利用奇偶性求解.【详解】因为f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，即函数的周期为4， 当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，所以f (2021)()()()50541112f f f =⨯+==--=-， 故选：C【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.12. 将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ） A. πcos 12y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. 7cos 4π12y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C. πsin 412y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. πsin 12y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换和伸缩变换的应用求出结果. 【详解】将πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度， 得到ππ7πcos 2cos 28312y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 然后横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到7ππcos sin 1212y x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 故选：D .【点睛】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，属于中档题.第Ⅱ卷二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为_______【答案】直角三角形 【解析】 【分析】根据正弦定理,将条件式子转化为角的表达式,结合正弦的和角公式即可求得角A,进而判断三角形形状.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A += 即()2sin sin B C A +=,而()sin sin B C A +=所以2sin sin A A = 因为在三角形中sin 0A ≠ 所以1sin A = 所以2A π=,即ABC ∆为直角三角形故答案为: 直角三角形【点睛】本题考查了三角函数恒等变形及三角形形状的判断,正弦定理边角转化的应用,属于基础题.14. 已知sin 3cos 3cos sin αααα+-＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是________【答案】25【解析】【分析】利用商数关系得到sin 3cos 3cos sin αααα+-tan 353tan αα+==-，解得tan α，代入sin 2α－sin αcos α22tan tan 1tan ααα-=+求解.【详解】sin 3cos 3cos sin αααα+-tan 353tan αα+==-，解得tan 2α=，所以sin 2α－sin αcos α2222tan tan 2221tan 125ααα--===++， 故答案为：25【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15. 已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222 a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为______； 3【解析】 【分析】先根据222 a b c bc =+-以及余弦定理计算出A 的值，再由面积公式1sin 2S bc A =即可求解出ABC ∆的面积.【详解】因为222 a b c bc =+-，所以2cos 1A =，所以3A π=，所以11sin 422ABCSbc A ==⨯=【点睛】本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易. 三角形中，已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面积. 三解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC 【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B 7=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A ∴sin A =2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC 边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 18. 已知α是第二象限角，tan 2α，求下列各式的值：（1）()3π5πsin cos 22cos πααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；（2）15πtan 2021π4sin 22αα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）3；（2）143-． 【解析】 【分析】（1）首先根据诱导公式化简，再代入正切值求解.（2）首先利用诱导公式化简，再根据二倍角和两角差的正切公式化简，最后用tan α表示原式，计算结果.【详解】（1）()3π5πsin cos cos sin 221tan 3cos πcos ααααααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭==-=--．（2）15π1πtan tan 2021π4cos 24sin 22αααα⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 222222cos sin 1tan 1tan 1214143cos sin 1tan 1tan 12143αααααααα+-+++=+=+=-=--+---． 【点睛】本题考查三角恒等变形，利用正切值表示sin ,cos αα的齐次分式，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握公式.19. 已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-（1）求()f x 的最小正周期； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值，最小值. （3）求f (x )的单调递减区间.【答案】（1）π；（2，最小值是1-；（3）5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式和辅助角法，将函数转化为()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式求解. （2）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解. （3）由正弦函数的单调性，令3222242k x k πππππ+≤+≤+求解. 【详解】（1）函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-，cos 2sin 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==； （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,,sin 24444x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以()f x ，最小值是1-. （3）令3222242k x k πππππ+≤+≤+， 解得588k x k ππππ+≤≤+，所以f (x )的单调递减区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20. 函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）如何由函数g (x )=sin x 的图像变化得到函数f (x )的图像？ （3）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f (x 的最值及其对应的的值. 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）详见解析；（3）当6x π=时，函数f (x 的取得最大值2，当2x π=时，函数f (x 的取得最小值-1.【解析】 【分析】（1）根据函数的图象可得：31132,41264T A πππ==-=，进而求得ω，然后再根据函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭求解. （2）直接利用三角函数图象的伸缩变换和平移变换求解.（3）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，然后利用正弦函数的值域求解. 【详解】（1）由函数的图象可得：31132,41264T A πππ==-=， 所以,2T πω==，又函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得26k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由函数g (x )=sin x 的图像纵坐标不变，向左平移6π个单位得到sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 再将sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，纵坐标不变，横坐标缩为原来的12得到sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 ，然后再将sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数f (x )的图像；（3）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以712,,sin 2,166662x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 所以当262x ππ+=，即6x π=时，函数f (x 的取得最大值2，当7266x ππ+=，即2x π=时，函数f (x 的取得最小值-1.【点睛】本题主要考查由三角函数的图象求解析式，三角函数的图象变换以及性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 21. 已知二次函数2()1(,),f x ax bx a b R x R =++∈∈．（1）若函数()f x 的最小值为(1)0f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[3,1]-上恒成立，求k 的范围． 【答案】（1）2(1)2f x x x =++，增区间(1,)-+∞，减区间为(,1)-∞-；（2）3(,)4-∞【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴和最值得到012(1)10a b a f a b >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=-+=⎪⎩，解得答案. （2）化简得到21x x k ++>，计算2211[1,7]2x x x ⎛⎫++=+∈ ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】（1）依题2()1(,)f x ax bx a b R =++∈，x ∈R ，为1个二次函数，且最小值为(1)0f -=．则有012(1)10a b af a b >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=-+=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，则2(1)2f x x x =++；故2(1)2f x x x =++的增区间为(1,)-+∞，减区间为(,1)-∞-．（2）2(1)2f x x x =++，则2()21f x x x x k =++>+在[3,1]-上区间恒成立， 即21x x k ++>在区间[3,1]-上恒成立，又22131[,7]2434x x x ⎛⎫++=+∈ ⎪⎝+⎭，其中[3,1]x ∈-，故有34k <．综上所述，k 的取值范围3(,)4-∞．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.22. 已知函数2()3ln .f x x x x =--（1）求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 在1[,3]2上的最大值与最小值. 【答案】（1）22y x =-+；（2）63ln3-. 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数，再利用导数的几何意义求切线方程；（2）首先利用导数判断函数的单调性，根据单调性求函数的最大值和最小值，端点时可能的最大值，再通过做差比较大小，求最大值. 【详解】（1）()23ln f x x x x =--，()()2323210x x f x x x x x--'∴=--=>，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为()12k f '==-，()10f =，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()21y x =--，即22y x =-+；（2）()()()212323x x x x f x x x+---'∴==，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 当13,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以，()min 3333ln 242f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 因为113ln 224f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()363ln3f =-， 所以，()2111363ln 663ln 0244f f e ⎛⎫-=->->⎪⎝⎭，则()132f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为63ln3-. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题.。