平面向量基本定理课件

基的是
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①e1,e2; ②e1,2e1; ③e1,2e2; ④e2,2e2. 解析由于e1,e2不共线,则e1,2e2不共线,所以①③中的向量组都可以 作为基;因为e1与2e1共线,e2与2e2共线,所以②④中的向量组都不能 作为基.故填②④.
答案②④
探究一
探究二
探究三
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对平面向量基本定理的理解
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答案①②③
反思感悟 平面向量基本定理是指平面内任一向量均可用平面内的
两个不共线向量线性表示,且表示方法是唯一的.
探究一
探究二
探究三
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答案B
探究一
探究二
探究三
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用基表示向量
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟 用一组基表示向量的注意事项 平面内任一向量都可用一组基来表示,在表示过程中,主要结合向 量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点: (1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基; (2)注意平面向量基本定理的应用; (3)注意a,b不共线,则0=0×a+0×b是唯一的; (4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系; (5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技能.
激趣诱思
知识点拨
平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内的任 一向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量 e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为{e1,e2}. 若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.在正交基下向 量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位 向量,则称这组基为标准正交基. 名师点析1.0向量不能与另外一个向量构成一组基.因为0与任一向 量是共线的. 2.平面向量的基不是唯一的.同一平面内的任何两个不共线的向量 都可以作为一组基.这组基一旦确定,平面内任何一向量都可以用 这一组基唯一表示.

所以34s＝1－23t，s＝3t ，
解得ts＝＝13590，，
所以O→P＝130a＋35b.
[母题变式] 若本例中“点 M 是 AB 上靠近 B 的一个三等分点”改为“点 M 是 AB 上靠近 A 的一个三等分点”，“点 N 是 OA 上靠近 A 的一个四分点”改为“N 为 OA 的 中点”，求 BP∶PN 的值．
[答案] AC
[规律方法] 对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则 不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一 线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b， 则xy11＝ ＝xy22， .
答案 ACD
题型二 用基底表示向量 [例 2] 如图所示，已知在▱ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 边的中点．若A→B ＝a，A→D＝b，试用{a，b}为基底表示向量D→E，B→F.
[解析] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C ＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－21b. B→F＝B→A＋A→D＋D→F ＝－A→B＋A→D＋12A→B＝b－21a.
解析 易得A→N＝31A→C＝13b，A→M＝12A→B＝12a， 由 N，E，B 三点共线可知，存在实数 m 使A→E＝mA→N＋(1－m)A→B＝31mb＋(1 －m)a. 由 C，E，M 三点共线可知，存在实数 n 使A→E＝nA→M＋(1－n)A→C＝12na＋(1－ n)b.
所以13mb＋(1－m)a＝21na＋(1－n)b， 由于{a，b}为基底，
结论
λ1＝λ2， μ1＝μ2
2．任意一向量基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不 共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2.在具体求 λ1，λ2 时有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求解．

e1 a
e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
h
4
平面向量基本定理
如果e 1、e 2 是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数 1、 2 使
a = 1e 1 + 2e 2 我们把不共线的向量e 1、e 2 叫做表
这一平面内所有向量的一组基底。
h
5
思考
（1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
特别的，若a与 e（1 e 2）共线，则有
2=0（ 1 =0），使得:
a = 1e 1 + 2e 2 .
h
Байду номын сангаас
8
例1：
已知向量 e 1 、e 2 求做向量-2.5 e 1+3 e 2
C
B
e2
e 12.5e1
A
h
3e2
·O
9
例2
且 如A图 B所 a 示 A，D， b， 平用 aA行 、 bB表 四 C的 示 CD M 边两 、 AM 形条 B 、 M对 C 、 M角D?线M 相 B，交
平面向量基本定理
h
1
回顾
1、向量加法的平行四边形 法则
2、共线向量的基本定理
2
h
设e 1 、e 2是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
h
3
OC = OM + ON = 1OA + 2OB

课堂篇·重点难点研习突破
研习 1 基底概念的理解 [典例 1] (多选)如果 e1，e2 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的 是( BC ) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量 B．对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2 的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量 λ1e1＋μ1e2 与 λ2e1＋μ2e2 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1 ＋μ2e2) D．若实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0 [思路点拨] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基底向量 e1 与 e2 不共线和平面内 向量 a 用基底 e1，e2 表示的唯一性求解．
第六章 平面向量及其应用
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
新课程标准
新学法解读
平面向量基本定理是本节的重点又是难点．为了
更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向 理解平面向量基
量的方向及模的大小作图观察 λ1，λ2 取不同值时 本定理及其意义.
的图形特征，得到平面上任意一个向量都可以由
[练习 1] 设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1； ③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是___③_____．(写出所有满足条件的序 号)
解析：①设 e1＋e2＝λe1，无解， ∴e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底； ②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0， 则12＋ ＋2λ＝λ＝00，， 无解， ∴e1－2e2 与 e2－2e1 不共线， 即 e1－2e2 与 e2－2e1 可作为一组基底； ③∵e1－2e2＝－21(4e2－2e1)，