圆锥曲线与方程导学案

圆锥曲线与方程第1课时 曲线与方程1.经过(1,3).(2,5)的直线方程为 .2.与定点的距离等于定长的点的轨迹是 ．3.已知P 1(1,1).P 2(2,5)，则P 1 圆(x －1)2＋y 2＝1上，而P 2 圆(x －1)2＋y 2＝1上．（填在或不在）4.在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是 ；(2)以这个方程的解为坐标的点都是 ．那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做 ．5.如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，那么点P(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是什么？ 三．典型选讲例1分析下列曲线上的点与方程的关系：(1)求第一、三象限两轴夹角平分线l 上点的坐标满足的关系； (2)说明过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 与方程|x |＝2之间的关系．变式训练1 (1)过(0,1)P -且平行于x 轴的直线l 的方程是||1y =吗？为什么？ (2)设(2,0)A ，(0,2)B ，能否说线段AB 的方程是20x y +-=？为什么？例2已知方程22(1)10x y +-=．(1) 判断点(1,2)P -，Q 是否在此方程表示在曲线上；(2)若点(,)2mM m -在此方程表示的曲线上，求m 的值．变式训练2 已知方程22()()36x a y b -+-=表示的曲线经过点(0,0)O 和点(0,12)A -，求a 、b 的值．例3 曲线x 2＋(y －1)2＝4与直线y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，求k 的取值范围．若有一个交点呢？无交点呢？变式训练3 若曲线y ＝x 2－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，则实数m 的取值范围是________．四.小结对曲线与方程的定义应注意：(1)定义中的第一条“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的解的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)．(2)定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(3)定义的实质是平面曲线上的点集和方程f (x ，y )＝0的解集{(x ，y )|f (x ，y )＝0}之间的一一对应关系．曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求出曲线的方程．五.课堂即时练习1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )A ．y 2＝x 与y ＝xB ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x C.y ＋1x －2＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 2 2．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1).(－1，－1)D ．(0,0)3．设点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)，则在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上的点有________．4．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________． 六.课时作业1．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线 2．下列命题正确的是( )A ．方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线 B ．△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0 C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是 y ＝5D ．曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝03．曲线x 2＋y 2＋2Dx ＋2Ey ＋F ＝0与x 轴的两个交点位于原点两侧，则D ，E ，F 满足的条件是________．4．方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，2)与点N(32，n)均在曲线C上，则m=_______n=__________．5．方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？为什么？6.若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．第二章 圆锥曲线与方程 学习目标：1. 能写出求曲线方程的步骤．2．会求简单曲线的方程．重点难点：学习重点：求曲线的方程的一般步骤与方法．难点：根据题目条件选择合适的方法求曲线的方程．1．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出 ； (2)通过曲线的方程， ． 2．求曲线的方程的步骤(1)建立适当的坐标系，用 表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合 ； (3)用坐标表示条件p (M)，列出方程 ； (4)化方程f (x ，y )＝0为 ；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3.求曲线方程的步骤是否可以省略？ 三.典型选讲例1 如图已知点()01，F ，直线1:-=x l ，P 为平面上一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且⋅=⋅，求动点P 的轨迹C的方程.变式训练1 若把例1中的等式关系改为⋅=⋅,求动点P 的轨迹C 的方程.例2 长为4的线段的两个端点分别在x 轴.y 轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程．变式训练2 已知点A (－a,0)、B (a,0)，a >0，若动点M 与两定点A 、B 构成直角三角形，求直角顶点M 的轨迹方程．例3 已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A (0,0).B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．变式训练3 已知A (－2,0)、B (2,0)，点C 、D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)．求点D 的轨迹方程．四.小结1．如何理解求曲线方程的步骤(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴．建立适当的坐标系，会给运算带来方便．(2)第二步是求方程的重要的一个环节，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M 有关的等量关系，列出几何等式，此步骤也可以省略，直接将几何条件用动点的坐标表示.(3)在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“丢解”或“增解”． (4)第五步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x (或y )的取值予以剔除．2．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．3．要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围． 五.课堂即时练习1．若动点P 到点(1，－2)的距离为3，则动点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝9C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3 2．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x ＋y ＝5(x ≥0) C ．x ＋y ＝5(y ≥0) D ．x ＋y ＝5(0≤x ≤5)3．若点M 到x 轴的距离和它到直线y ＝8的距离相等，则点M 的轨迹方程是________．4．直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是________．5．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(x ＋32)2＋y 2＝16．已知A (－1,0).B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为________．9．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为|PA |.|PB |.|PC |，且满足|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求P 点的轨迹方程．10.已知△ABC中，三边c>b>a，且a，b，c成等差数列，b＝2，试求点B的轨迹方程．第二章 圆锥曲线与方程1．椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，点 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距．121212呢？5．如何理解椭圆和圆之间的关系？ 三.典型选讲：例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．变式训练1 根据下列条件，求椭圆的标准方程. (1)坐标轴为对称轴，并且经过两点(0,2)A 和1(2B(2)（2）经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同的焦点.例2.命题甲：动点P 到两定点A .B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0且a 为常数)；命题乙：点P 的轨迹是椭圆，且A .B 是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 变式训练2 已知椭圆的两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.试求该椭圆的方程．例3.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．变式训练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．四.小结：1．椭圆的标准方程(1)所谓“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴．（2）椭圆的标准方程有两种形式，即22221(0)x y a b a b +=>>和22221(0)y x a b a b+=>>.这两种形式的方程表示的椭圆的相同点是它们的形状、大小相同，都有0a b >>，222a b c =+；不同点是椭圆在直角坐标中的位置不同，前者焦点在x 轴上，后者焦点在y 轴上 2．求椭圆标准方程时应注意的问题(1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a 2.b 2的具体数值，常用待定系数法．(2)当椭圆的焦点位置不明确（无法确定）求其标准方程时，可设方程为221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为221(0,0)Ax By A B +=>>，这种形式在解题中较为方便.五.课堂即时练习1．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 235＝1 C.x 236＋y 25＝1 D ．以上都不对 2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1.F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．103．椭圆x 216＋y 29＝1的焦距为________，焦点坐标为________．4．已知椭圆x 29＋y 2m 2＝1的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是________．5．已知椭圆16x 2＋25y 2＝400上一点到椭圆左焦点的距离为3，则该点到右焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．76．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距等于2，则m 的值为( )A ．3B ．5C ．3或5D ．87．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________.8．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF于P ，则动点P 的轨迹方程为________．9．已知椭圆8x 281＋y236＝1上一点M 的纵坐标为2.第二章圆锥曲线与方程学习目标：1.熟记椭圆的简单几何性质．2．清楚离心率对椭圆扁平程度的影响及其原因．重点难点：学习重点：椭圆几何性质的推导及简单运用．难点：性质的简单运用．焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性对称轴：对称中心：离心率3．a、b、c的几何意义是什么？三．典型选讲例1.求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长.焦距.焦点坐标.顶点坐标和离心率．变式训练1若将例1中椭圆方程改为“16x2＋25y2＝1”，应如何求解？例2.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率是23，长轴长是6（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 变式训练2 把例2(1)中“长轴长是6”改为“短轴长为5”；（2）中“焦距是6”改为“8”，结果如何？例3.过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若01260F PF∠=，则椭圆的离心率为______________________.变式训练3 如图，12F F、，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，则椭圆的离心率为____________________.四.小结1．椭圆的对称性(1)判断曲线关于x轴.y轴.原点对称的依据①若把方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称；②若把方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称；③若把方程中的x.y同时换成－x.－y，方程不变，则曲线关于原点对称．(2)椭圆关于x轴.y轴对称也关于原点对称对于椭圆标准方程，把x换成－x，或把y换成－y，或把x.y同时换成－x.－y，方程都不变，所以图形关于y轴.x轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．2．离心率与椭圆的形状的关系：离心率cea=，在椭圆中，0,01a c e>>∴<<,若设a不变，221c baa a==-,易见，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆.因此，离心率反映了椭圆的扁平程度.五.课堂即时练习1．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于( )A.12B.22C. 2 D．22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( ) A.x2144＋y2128＝1 B.x236＋y220＝1 C.x232＋y236＝1 D.x236＋y232＝13．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,4)，另一个顶点是(－5,0)，则椭圆的方程为________．4．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2两段，则椭圆的离心率是________．5．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )A.x216＋y29＝1或x29＋y216＝1 B.x225＋y29＝1或y225＋x29＝1C.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 D ．椭圆的方程无法确定 6．B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴的两个端点，O 为椭圆的中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则|PF 1||OB 2|的值是( )A. 2B.22 C.32 D.23第二章 圆锥曲线与方程一.1．双曲线的定义平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ．双曲线的定义可用集合语言表示为P ＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．12(2)如果去掉定义中的“的绝对值”，点的轨迹会变成什么？4．若已知双曲线的标准方程，如何判断焦点在哪一条坐标轴上？三．典型选讲例1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 4=a ，经过点)3104,1(A ；(2) 经过点)24,3(-，)5,49(.变式训练1 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程： （1）6=c ，经过点)2,5(-，焦点在x 轴上；（2）与双曲线141622=-y x 有相同的焦点，且经过点)2,23(.例2 在△ABC 中，已知||AB =A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，建立适当的坐标系，求定点C 的轨迹方程，并指明它表示什么曲线.变式训练2 已知圆2219:(3)4C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心的轨迹方程.例3.已知双曲线221916x y -=的左.右焦点分别为1F .2F ，若双曲线上一点P 使得1290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积.变式训练3 把本例中的“1290F PF ∠=”改为“1260F PF ∠=”，求12F PF ∆的面积．四.小结1．理解双曲线定义时应注意什么注意定义中的条件2a<|F1F2|不可缺少．若2a ＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；2a>|F1F2|，则动点的轨迹不存在．注意定义中的常数2a 是小于|F1F2|且大于0的实数．若a ＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线． 注意定义中的关键词“绝对值”．若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．2．待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．（2）设方程：根据上述判断设方程22221x y a b -=或22221(0,0)y x a b a b-=>>.(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c 的方程组．(4)得方程：解方程组，将a ，b ，c 代入所设方程即为所求．五.课堂即时练习1．(20XX 年高考宁夏卷)双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 32．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0),2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )A.x 25－y 24＝1B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1D.x 29－y 216＝1 3．已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________． 4．P 是双曲线x 2－y 2＝16的左支上一点，F 1，F 2分别是它的左，右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝________.5．已知椭圆C 1的离心率为35，焦点在x 轴上且长轴长为10，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 24－y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.x 252－y 242＝1D.x 242－y 252＝1 6．若双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点(5,0)的距离是15，则点P 到点(－5,0)的距离是( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或237．已知双曲线的焦距为26，a 2c ＝2513，则双曲线的标准方程是________．8．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的________条件．第二章圆锥曲线与方程3.不同的双曲线，渐近线能相同吗？其方程有何特点？三.典型选讲例1.求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标.焦点坐标.实半轴长.虚半轴长.离心率和渐近线方程，并作出草图．变式训练1 求以椭圆221169x y+=的两个定点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长.虚轴长.离心率及渐近线方程.例2.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点间距离为6，渐近线方程为32y x=±；（2）与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．变式训练2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：例3.已知1F，2F是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两个焦点，PQ是经过1F且垂直于x轴的双曲线的弦，如果290PF Q∠=，求双曲线的离心率.例4.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A.B两点，试问A.B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．变式训练4 过(4,0)的直线l与双曲线221169x y-=只有一个公共点，求直线l的方程.四.小结1．如何理解双曲线的渐近线(1)双曲线的渐近线是画双曲线草图时所必需的，它决定了双曲线的形状．（2）根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：一是利用焦点在x轴上的渐近线方程是b y x a =±，焦点在y 轴上的渐近线方程是a y x b=±；二是把双曲线标准方程中等号右边的1改为0，就得到双曲线的渐近线方程.2. 双曲线标准方程的常见设法（1）与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有共同渐近线的双曲线系的方程可表示为2222(0)x y a b λλ-=≠.（2）若双曲线的渐近线方程是b y x a=±，则双曲线系的方程可表示为2222(0)x y a b λλ-=≠.（3）与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点的双曲线系的方程可表示为2222221()x y b k a a k b k-=-<<-+; (4)等轴双曲线系的方程可表示为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．五.课堂即时练习1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝±23x C ．y ＝±94x D ．y ＝±49x 2．(20XX 年高考安徽卷)下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 3．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线的标准方程为________． 4．已知双曲线x 23－y 2m ＝1的离心率e ＝233，则实数m 的值是________． 5．(20XX 年高考天津卷)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±22x D ．y ＝±12x第二章 圆锥曲线与方程第7课时 抛物线及其标准方程1．y ＝x 2＋2的最小值是 .2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴是 .3．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做 ．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ．6．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？三.典型选讲例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3，－4)；(2)焦点在x 轴上，且抛物线上一点A (3，m )到焦点的距离为5.变式训练1 设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12，试求点P 的轨迹方程.例2.(20XX 年高考辽宁卷)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为_______________. 变式训练2 本例中若将点(0,2)改为点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值． 例3.喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶部A 处，喷出的水流的最高点为B ，距地面5 m ，且与管柱OA 相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，求管柱OA 的长． 变式训练3 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x －2y －4＝0上． 四.小结 1．如何理解抛物线的定义 (1)抛物线的定义中有“一动三定”：一动点设为M ；一定点F 为焦点；一定直线l 叫做抛物线的准线；一个定值即点M 与点F 的距离和它到定直线l 的距离的比为1. (2)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性．故二者可相互转化，这是在解题中常用的． 2．不同的抛物线和它们的标准方程的区别和联系 (1)数形共同点：①原点在抛物线上；②对称轴为坐标轴；③准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一，即2p ④焦点到准线的距离均为p ； (2)数形不同点： ①对称轴为x 轴时，方程的右端为±2px ，左端为y 2；对称轴为y 轴时，方程的右端为±2py ，左端为x 2； ②开口方向与x 轴(或y 轴)的正半轴相同，焦点在x 轴(或y 轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x 轴(或y 轴)的负半轴相同，焦点在x 轴(或y 轴)的负半轴上，方程的右端取负号． 五.课堂即时练习 1．已知抛物线的焦点是(0，－14)，则抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝－y B ．x 2＝y C ．y 2＝x D ．y 2＝－x 2．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是( )A ．(0，132)B ．(132，0) C ．(0，－2) D ．(－2,0) 3．(20XX 年高考四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是________．4．以双曲线y 29－x 216＝1的焦点为焦点的抛物线的方程为________． 5．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716B.1516C.78D ．0 6．当a 为任何值时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过P 点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y 7．抛物线y 2＝2px (p >0)过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________．8．设抛物线的顶点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－1，则它的焦点坐标为________．9．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．第二章 圆锥曲线与方程第8课时 抛物线的简单几何性质一.3．从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？例1 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个三角形的边长． 变式训练1 已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆224x y +=相交的公共弦长等于. 例2 直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？ 变式训练2 求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．变式训练3 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且5||2AB p =，求AB 所在直线的方程.例3.如图，已知抛物线y 2＝4x 的一条焦点弦被焦点分成长为m .n 的两部分，求证：m ＋n ＝m ·n .四.小结：1．焦半径抛物线上一点与焦点F 的连线的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦半径||AF 0||2p AF x =+ 0||2p AF x =- 0||2p AF y =+ 0||2p AF y =- 相交(两个公共点或一个公共点)；相切(一个公共点)；相离(没有公共点)．下面对抛物线y 2＝2px (p >0)与直线的位置关系进行讨论：(1)直线的斜率不存在设直线方程为x ＝a .若a >0，直线与抛物线有两个交点；若a ＝0，直线与抛物线有一个交点(切点，原点)；若a <0，直线与抛物线没有交点．(2)直线的斜率k 存在①当k ＝0时，设直线方程为y ＝y 0，即直线平行于对称轴或与对称轴重合时，直线与抛物线相交且有一个交点．②当k ≠0时，设直线方程为：y ＝kx ＋b .将y ＝kx ＋b 代入y 2＝2px (p >0)消去y 得方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0.若Δ>0，直线与抛物线相交，有两个交点；若Δ＝0，直线与抛物线相切，有一个交点；若Δ<0，直线与抛物线没有交点，即相离．五.课堂即时练习1．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或22．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是________．4．抛物线y 2＝2x 上的两点A .B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________．5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．46．以抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦半径为直径的圆与y 轴的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定7．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB |＝43，则焦点到AB 的距离为________． 8．(20XX 年高考福建卷)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A .B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 9．动直线y ＝a 与抛物线y 2＝12(x －2)相交于A 点，动点B 的坐标是(0,3a )，求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程。