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高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1曲线与方程课件

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圆锥曲线PPT优秀课件

圆锥曲线PPT优秀课件
F1
.
F0 A2 x
其中 a2 b2 c2 , a 0,b c 0 ， F0 , F1, F2 是对应的焦点。 B1
（1）若三角形 F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
A1 A
B1B
，求
b a
的取值范围；
解：（1）∵F0（c，0）F1（0， b2 c2 ），F2（0， b2 c2 ）
①；
∵点 P1, P2 在双曲线上，∴点 P1, P2 的坐标适合方程①。
将 (3, 4
2
),
(
9 4
,
5)
分别代入方程①中，得方程组：
(4 2)2 a2
32 b2
25 a2
(
9)2 4 b2
1
1
将
1 a2
和
1 b2
1
看着整体，解得
a2 1
1 16
1
，
b2 9
∴
a 2 b2
16 即双曲线的标准方程为 y2
9
16
x2 9
1。
点评：本题只要解得 a2 ,b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a,b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
(4) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线， 9 16
且过点 (3,2 3) 。
解析：（4）设所求双曲线方程为 x2 y 2 ( 0) ，
3 m
5 n
1
定义，还要知道椭 圆中一些几何要素
所以，椭圆方程为 y2 x2 1 ． 与椭圆方程间的关
10 6
系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为

湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 椭圆的简单几何性质

湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 椭圆的简单几何性质

∵a-c≤|PF1|≤a+c,∴a-c≤ 3 ≤a+c,结合 0<e<1,可得3≤e<1.
故选 A.
规律方法
方法
求椭圆离心率的取值范围的两种方法
解读
适合题型
利用椭圆的几何性质,如:设P(x0,y0)为椭圆
几何法
x2
a2
+
y2
=1
b2
(a>b>0)上一点,则|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c
题设条件有明
+
2
=1
4
2
D.
6
2
C.
6
+
2
=1
36
+
2
=1
4
答案 A
+ = 10,
= 6,
解析 由题意可得 2 = 4√5, 解得 = 4,
= 2√5,
2 = 2 - 2 ,
2
因此,椭圆的标准方程为
36
故选 A.
+
2
16
=1.
2
4.已知椭圆 2
2
长与椭圆
21
.
答案
1
2


-

解析 由题意知直线 AB 的方程为 + =1,即 bx-ay+ab=0.
左焦点的坐标为 F(-c,0),则
|- + |
√ 2 + 2
=

√7
,
∴√7(a-c)=√2 + 2 ,∴7(a-c)2=a2+b2=a2+a2-c2=2a2-c2,
即 5a2-14ac+8c2=0,

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程
2
2
+
4 =1(x≠±1)
4
为
3
,则动点P的轨迹方程
.
分析 设出点P的坐标,将已知条件转化为斜率之积求解.
解析 因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为(1,-1).
设点 P 的坐标为(x,y),易知
化简得 x +3y
2
故动点 P
2
-1 +1 1
x≠±1,由题意得+1 ·-1 =-3,
线上.
规律方法 判断点与曲线位置关系的方法
如果曲线C的方程是f(x,y)=0,点P的坐标为(x0,y0).
点与曲线的位置关系
点的坐标特征
点P(x0,y0)在曲线C:f(x,y)=0上
f(x0,y0)=0
点P(x0,y0)不在曲线C:f(x,y)=0上
f(x0,y0)≠0
变式训练1
已知直线l:x+y+3=0,曲线C:(x-1)2+(y+3)2=4,若P(1,-1),则点P与l,C的关系
如果采用直接法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个参
数t,以此量作为参数(如涉及旋转时,常用角度作为参数;涉及两直线互相垂
直时,常用斜率作为参数等),分别建立点P的横、纵坐标x,y与该参数t的函
数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的标准方程F(x,y)=0.
变式训练5
[提醒]轨迹与轨迹方程的区别:
轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,求轨迹不但要求出轨迹方程,而且还要
说明方程的形状.
变式训练3
已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程

2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.3双曲线的方程与性质的应用课件新人教A版

2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.3双曲线的方程与性质的应用课件新人教A版

则以定点B(1,1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝3(x－1)， 即为y＝3x－2． 代入双曲线的方程可得6x2－12x＋7＝0， 由Δ＝122－4×6×7＝－24＜0，得所求直线不存在， 以定点B(1,1)为中点的弦不存在．
1．求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标， 再利用两点间距离公式求弦长．
2)，分别与两条渐近线
y＝
3 3x
和
y＝－
3 3x
联立，求得
M(3，
3)，
N32，－ 23，所以|MN|＝ 3－322＋ 3＋ 232＝3．
角度 2 求双曲线的离心率 已知椭圆 C：x92＋y32＝1，双曲线 E：x92－by22＝1(b＞0)的左、
右顶点分别为 A，B，M 为椭圆 C 的上顶点，直线 AM 与双曲线 E 的右支 交于点 P，且|PB|＝2 21，则双曲线的离心率为________．
【答案】
15 3
【解析】椭圆 C：x92＋y32＝1 的上顶点 M(0， 3)，双曲线 E 的左、右
顶点分别为 A(－3,0)，B(3,0)，
则直线 AM：y＝ 33x＋ 3，过点 P 作 PC 垂直于 x 轴于点 C，如图，
点 P 在直线 AM 上，
故设
Px0 PC＝ 33x0＋ 3，BC＝x0－3，
此时，直线 l 方程为 y＝± 3x＋1； 当 3－k2≠0，即 k≠± 3，要使直线 l 与双曲线 E 有且仅有一个公共 点， 则 Δ＝(－2k)2－4(3－k2)(－4)＝0，解得 k＝±2， 此时，直线 l 的方程为 y＝±2x＋1． 综上所述，直线 l 的方程为 y＝± 3x＋1 或 y＝±2x＋1．
直线与双曲线位置关系的判断 一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0． (1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ab时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直 线与双曲线 C 相交于一点．

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 培优课 直线与椭圆的位置关系

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 培优课 直线与椭圆的位置关系
↓
作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开
↓
整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解
变式训练3
已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,
3
2
则该椭圆的离心率为
解析
2
设椭圆方程为 2

.
2
+ 2 =1(a>b>0),

直线x+2y-8=0与椭圆交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),因为P(4,2)为线段AB
2
2
2
1 2
x1+x2=- 5 ,x1x2=5(m -1).
所以|AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 =
2
4 2 4
2 -1)
(
25 5
2
=5
2(1 -2 )2 =
2[(1 + 2 )2 -41 2 ] =
10-82 .
所以当m=0时,|AB|最大,即被椭圆截得的弦最长,此时直线的方程为y=x.
21
由题意知 4
2

+ 12 =1= 42
+
1 -2
2
2 ,则
-
1 +2 1

· + =-4=kAB·kOM=,
= 1,
∵Δ=22+12=16>0,∴直线与椭圆相交.
1 2 3 4 5
2.直线 x+2y=m
A.2 2
2
与椭圆 +y2=1
4
B.± 2
只有一个交点,则实数 m 的值为( C )
C.±2 2

2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选择性

2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选择性
2
探究点三 利用抛物线的定义解决轨迹问题
【例3】 已知动点M(x,y)满足5 (-1)2 + 2=|3x-4y+2|,则动点M的轨迹是
(
)
A.椭圆 B.双曲线
C.直线 D.抛物线
答案 D
2
解析 方程 5 (-1) +
2
(-1) +
2 表示点
2 =|3x-4y+2|可化为
2
(-1) +
规律方法 定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以
及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后
结合有关曲线的定义作出判定.
变式训练2
一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是
.
答案 y2=8
解析 设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和
离之和最小,最小值为|AF|= √5 .
图①
(2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等.
如图②所示,
过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物
线于点P1.
由题意知|P1Q|=|P1F|,
所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
图②
规律方法 求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有
面宽为 2√6 米.
本节要点归纳
2
1
p=6;
若抛物线的标准方程为 x =-2py(p>0),则由(-3) =-2p×(-1),解得

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆的标准方程

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆的标准方程

变式训练1
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a+c=10,a-c=4;
(2)焦点在x轴上,焦距为4,且椭圆过点(0,2);
(3)经过(-2,0),( √2 ,-1)两点.
解 (1)∵a+c=10,a-c=4,
∴a=7,c=3,
∴b2=a2-c2=72-32=40.
2
∴所求椭圆的标准方程为
49
2
+ =1
40
2
或
49
2
+ =1.
40
(2)根据题意,要求椭圆的焦点在 x 轴上,焦距为 4,则 c=2.
又椭圆过点(0,2),∴b=2,则有 a =b +c
2
2
2
=8,故椭圆的标准方程为
8
2
(3)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n),
4 = 1,
由
解得
2 + = 1,
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=25-9=16.
2
故动圆圆心的轨迹方程为
25
2
+ =1.
16
变式探究
本例题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程.
圆的条件是 m>n>0,其表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 n>m>0.
(2)若给出椭圆方程 Ax2+By2=C,则应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形

数学北师大选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 习题课1

数学北师大选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 习题课1

A.1������62 + ���9���2=1 B.1������62 + ���1���22=1
C.���4���2 + ���3���2=1
D.���3���2
+
������2 4
=1
解析:因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
反思感悟解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即 将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式Δ的符号决定位置关系.同 时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐 标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.
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直线与椭圆的位置关系问题 【例2】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 思维点拨:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建 立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式, 通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.
圆方程
������2 ������2
+
������������22=1
(a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二
次方程,记该方程的判别式为Δ.那么:若Δ>0,则直线与椭圆相交;若
Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.

圆锥曲线复习_课件(经典)

圆锥曲线复习_课件(经典)

a
由两渐近线互相垂直得 b ·(- b )=-1,即a=b.
从而e= c = a2 b2 = 2 . a a
a
a
10.若双曲线C的焦点和椭圆2x52

y2 5
=1的焦
点相同，且过点(3 2,2)，则双曲线C的
方程是 x2 y2 =1 .
12 8
由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在
x轴上，设双曲线C的方程为
(3)代入法(相关点法)：当所求动点M 是随着另一动点P(称之为相关点)而运动， 如果相关点P满足某一曲线方程，这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把 相关点代入曲线方程，就把相关点所满足 的方程转化为动点的轨迹方程；
(4)参数法：有时求动点应满足的几何 条件不易得出，也无明显的相关点，但却 较易发现这个动点的运动常常受到另一个 变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的 制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一 变量的变化而变化，我们可称这个变量为 参数，建立轨迹的参数方程；
c
从而 c2 ≥ 1,故 2≤ <c1,故e∈［ ,12 ).
a2 2
2a
2
方法提炼
1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点 的距离时，应利用定义求解.
2.求椭圆方程的方法，除了直接根据 定义法外，常用待定系数法.当椭圆的焦点 位置不明确，可设方程为 x2 + y2 =1(m＞
mn
0,n＞0),或设为Ax2+By2=1(A＞0,B＞0).
在定义中，当② 2a=|F1F时2|表示两条射 线,当③ 2a>|F1F2|时,不表示任何图形.
6.双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线:④
x2 y2 a2 b2

人教B版高中数学选修圆锥曲线与方程课件

人教B版高中数学选修圆锥曲线与方程课件

2 2
x2 b2
1(a＞b＞0)
的右顶点为A1, 0，过C1的焦点且垂直
长轴的弦长为1.
1 求椭圆C1的方程；
2设点P在抛物线C2：y x2 h(h R)上，C2在点P处的切
线与C1交于点M、N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标 相等时，求h的最小值.
(1)利用过焦点的垂直于长轴的弦长为 2b2 ； (2)写出过点P的切线方程，与椭圆联立，利用韦a达定 理及中点的横坐标相等，列出一个一元二次方程，用
直线的斜率k

b2 x0 a2 y0
；
在抛物线y2 2 px( p 0)中，以P(x0，y0 )为中点的弦所
在直线的斜率k p .
y0
以上公式均可由点差法可得．
5．解析几何与向量综合的有关结论
1给出直线的方向向量u (1，k)或u (m，n)，等价
于已知直线的斜率k或 n .
将上式代入椭圆C1的方程中， 得4x2 (2tx t2 h)2 4 0.
即4(1 t2 )x2 4t(t2 h)x (t2 h)2 4 0.①
因为直线MN
与椭圆C
有两个不同的交点，
1
所以①式中的1 16[t4 2(h 2)t2 h2 4]＞0.②

0)；
焦点在y轴上：ay22

x2 b2
1(a

0，b
0)．
3抛物线：开口向右时，y2 2 px( p 0)，开口向左
时，y2 2 px( p 0)，开口向上时x2 2 py( p 0)，开
口向下时x2 2 py( p 0)．
2．常用曲线方程设法技巧

2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选择性必修

2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选择性必修

2．已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，F1，F2 是它的焦点，过 F1 的直线
AB 与椭圆交于 A，B 两点，求△ABF2 的周长．
解：如图，因为|AF1|＋|AF2|＝2a， |BF1|＋|BF2|＝2a， 所以△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1| ＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a， 所以△ABF2的周长为4a．
2．椭圆x62＋y22＝1 的焦距为
A．2
B．3
C．2 3
D．4
【答案】D
【解析】由椭圆方程可知焦距 2c＝2× 6－2＝4．
()
微思考 定义中的常数不满足2a＞|F1F2|时点的轨迹是什么？ 【答案】提示：(1)当|PF1|＋|PF1|＝2a＜|F1F1|时，点P的轨迹不存
在．
(2)当|PF1|＋|PF1|＝2a＝|F1F2|时，点P的轨迹为以F1，F2为端点的线 段．
题型 3 与椭圆有关的轨迹问题
探究 1 用定义法求点的轨迹
已知△ABC 的周长为 20，且顶点 B(0，－4)，C(0,4)，则
顶点 A 的轨迹方程是 A．3x62 ＋2y02 ＝1(x≠0) C．2y02 ＋x62＝1(x≠0)
B．3y62 ＋2x02 ＝1(x≠0) D．2x02 ＋y62＝1(x≠0)
椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
项目 标准方程
焦点在 x 轴上 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
焦点在 y 轴上 ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
图形
焦点坐标 a，b，c的关系
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)
___(0_，__－__c_)_，__(_0_，__c)____

圆锥曲线与方程 课件 (共59张PPT)

圆锥曲线与方程 课件 (共59张PPT)

（2） 、已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
解析： 如图， 设点 M 的坐标为(x， y)， 由于点 M 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，则点 M 到点 F(4,0) 的距离与它到直线 l′：x＋4＝0 的距离相等，根据抛物线的定 义可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 l′为准线的抛物线， p 且 ＝4，即 p＝8. ∴点 M 的轨迹方程为 y2＝16x. 2
归纳总结
求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断 曲线类型再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果．
学以致用
x2 y2 P 是椭圆上任 F2 是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点， (1)F1、 a b 垂足为点 Q， 从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线， 一点， 则点 Q 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．椭圆 D．抛物线
问题探究 探究2： 直线与圆锥曲线的位置关系
例 2、 （1）设直线 l ：y ＝kx ＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离.
y＝kx＋1 解析 联立方程组 2 y ＝4x 整理得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当 k≠0 时，方程 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 为一元二次方程． ∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ，消去 y，
∵|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又∵动圆过点 A，∴|CM|＝|AM|，则|BM|＋|AM|＝6>4. 根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以点 B(－2,0) 和点 A(2,0)为 焦点的椭圆，其中，2a＝6,2c＝4，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 9 5

高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计

高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计
因为 cos 2θ＝1－2sin2θ，所以13＝1－21a2，得 a2＝3. 又 c2＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 B.
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.
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的方程．
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第三章 圆锥曲线与方程
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[强化拓展] (1)定义中两个条件是轨迹的性质的体现．条件“曲 线上点的坐标都是这个方程的解”，它的含义是曲 线上没有坐标不适合方程的点，也就是说曲线上 所有的点都适合这个条件而毫无例外，这通常称 之为轨迹的纯粹性；而条件“以这个方程的解为坐 标的点都在曲线上”，它的含义是符合条件的点都 在曲线上而毫无遗漏，这通常称之为轨迹的完备 性．二者缺一不可．
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曲线与方程的概念问题 下列命题正确的是( ) A．方程y－x 2＝1 表示斜率为 1，在 y 轴截距为 2 的直线；
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B．△ABC三个顶点的坐标A(0,3)，B(－2,0)， C(2,0)；BC边上的中线方程为x＝0 C．到x轴距离等于5的点的轨迹方程是y＝5 D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点的充要条件 是m＝0
端挂起的缆线自然下垂近似成拋物线形．缆线两 端各离地面100 m，两端间的水平距离为400 m．现某人乘坐的空中客运缆车行走100 m处的 高度为70 m，那么，缆线的中点(即拋物线顶点) 最低处距地面的高度是多少呢？
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[提示] 以缆线所在平面内地面上水平线为 x 轴，过 缆线中点的铅直线为 y 轴，建立直角坐标系，设缆线 中点高度为 h(m)，设缆线所在的拋物线方程为 x2＝ 2p(y－h)(－200≤x≤200)． 因为点 A(200,100)、B(100,70)在拋物线上，代入方程 得21000022＝ ＝22pp17000－－hh，， 解方程组，得 h＝60(m)．故 缆线中点(即拋物线顶点)最低处高度为 60 m.
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方程的曲线与曲线的方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种 条件的点的集合或轨迹)上的点与一个__二__元__方__程___ 的实数解建立了如下的关系： (1)__曲__线__上__点__的__坐__标____都是这个方程的解； (2)__以__这__个__方__程__的__解__为__坐__标___的点都在曲线上． 那么这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线
[思路导引] 可从两个方面来判断，一方面以方程 的解为坐标的点是否都在曲线上，另一方面曲线 上点的坐标是否都是方程的解．
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[边听边记] 在A的方程中要求y≠2，因此漏掉 (0,2)；在B中BC边上的中线是线段x＝0(0≤y≤3)而 不是直线x＝0；在C中满足条件轨迹为y＝5或y＝ －5；对于D，当曲线过原点时，一定有m＝0，若 m＝0，则方程一定过原点，故选D. 答案： D
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(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲 线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0. (3)求曲线的方程的一般步骤 ①建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示 曲线上任意一点M的坐标； ②分析：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}； ③翻译：用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0； ④化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式； ⑤证明：说明以化简后的解为坐标的点都在曲线上．
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4．已知线段 AB，|AB|＝2，动点 M 满足||MMAB||＝2，
建立适当的直角坐标系，求动点 M 所满足的方程． 解析： 以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为坐
标原点建立直角坐标系．
∴A(－1,0)，B(1,0)，设 M(x，y)，
∵||MMAB||＝2，∴ xx＋ －1122＋ ＋yy22＝2.
整理得 x2＋y2－130x＋1＝0.
∴动点 M 满足的方程为 x2＋y2－130x＋1＝0.
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1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A．y2＝x 与 y＝ x B．y＝lg x2 与 y＝2lg x C.xy＋－12＝1 与 lg(y＋1)＝lg(x－2) D．x2＋y2＝1 与|y|＝ 1－x2
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解析： 考察每一组曲线方程中x和y的取值范围， 不难发现A、B、C中各对曲线的x与y的取值范围不 一致，故选D. 答案： D
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2．方程x2＋xy－x＝0表示的曲线是( )
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A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
解析： 方程化为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－
1＝0，故方程表示两条直线．
答案： C
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3．到两个坐标轴距离相等的点所满足的方程是 ________． 解析： 设点的坐标为(x，y)，则|y|＝|x|. 答案： |y|＝|x|
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§4 曲线与方程 4．1 曲线与方程
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某森林公园修建连接东、西两座高山的索道，两