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2.6.2双曲线的几何性质学习目标核心素养1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)1．通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养．2．借助于几何性质的应用，提升逻辑推理，数学运算素养．我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a ，半虚轴长：b离心率 e ＝ca ∈(1，＋∞)渐近线y ＝±b a xy ＝±a b x思考1：能否用a ，b 表示双曲线的离心率？ [提示] 能. e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2． 思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ [提示] 有影响，因为e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2，故当ba 的值越大，渐近线y ＝ba x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．2．等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率e ＝2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等轴双曲线的离心率为2．( )(2)双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ．( )(3)离心率越大，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)√ 因为a ＝b ，所以c ＝2a ，所以e ＝ca ＝2． (2)× 由y 2a 2－x 2b 2＝1，得y ＝±a b x ，所以渐近线方程为y ＝±ab x ．(3)√ 由b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1(e ＞1)，所以e 越大，渐近线y ＝±ba x 斜率的绝对值越大．2．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线C [∵0＜k ＜a ，∴a 2－k 2＞0． ∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2．] 3．x 2－y 24＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12x C ．y ＝±4xD ．y ＝±14xA [双曲线x 2－y 24＝1焦点在x 轴上且a 2＝1，b 2＝4， ∴a ＝1，b ＝2，y ＝±ba x ＝±2x ．]4．已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为 ．x 24－y 212＝1 [∵e ＝c a ＝2，c ＝4，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝12，且焦点在x 轴上，故标准方程为x 24－y 212＝1．]5．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则其离心率为 ． 17或174[若双曲线焦点在x 轴上，依题意得，b a ＝4， ∴b 2a 2＝16，即c 2－a 2a 2＝16，∴e 2＝17，e ＝17． 若双曲线焦点在y 轴上，依题意得，ab ＝4． ∴b a ＝14，b 2a 2＝116，即c 2－a 2a 2＝116． ∴e 2＝1716，故e ＝174，即双曲线的离心率是17或174．]由双曲线的标准方程求其简单的几何性质22长、离心率和渐近线方程．[思路探究] 要将双曲线方程化成标准方程，然后由各个所求量的定义作答．[解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x ．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.[跟进训练]1．求双曲线x 23－y 24＝1的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程．[解] 由题意知a 2＝3，b 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＝3＋4＝7，解得a ＝3，b ＝2，c ＝7． 因此，双曲线的实轴长2a ＝23，虚轴长2b ＝4． 顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－7，0)，(7，0)． 离心率e ＝c a ＝73＝213，由于该双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±233x ．由双曲线的几何性质确定标准方程(1)过点P (3，－2)，离心率e ＝52；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)．[思路探究] (1)(2)中焦点位置不明确，应先讨论焦点位置；再根据已知条件求解，对于(2)也可以根据渐近线方程设双曲线的方程求解．[解] (1)依题意，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下：①若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由e ＝52，得c 2a 2＝54．① 由点P (3，－2)在双曲线上，得9a 2－2b 2＝1． ②又a 2＋b 2＝c 2，结合①②，得a 2＝1，b 2＝14． ∴双曲线的方程为x 2－y 214＝1．②若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有c 2a 2＝54，2a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2， 解得b 2＝－172(不合题意，舍去)． 故双曲线的焦点只能在x 轴上， ∴所求双曲线的方程为x 2－y 214＝1．(2)法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程为y ＝±43x ． ①当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 设标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4．∴双曲线的方程为x 294－y 24＝1．②当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 设标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43，12a 2－9b 2＝1，此方程组无解，∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1．法二：∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线． ∴设所求双曲线的方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)． 将点(－3,23)代入，得99－1216＝λ，即λ＝14，∴双曲线的方程为x29－y216＝14，即为x294－y24＝1．求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)．(4)与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．[跟进训练]2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．[解](1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ca＝135，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其标准方程为y 225－x 2144＝1． (2)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则ba ＝12．① ∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1． ②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12．③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1． ④ 由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32． ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1．与双曲线有关的离心率问题[1．求离心率的突破点是什么？[提示] 通过已知条件结合双曲线的几何性质建立等式关系． 2．如何求离心率的取值范围？[提示] 利用定义结合已知条件建立不等关系求解．【例3】 已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，求E 的离心率．[解] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN 中，|BN|＝a，|MN|＝3a，故点M的坐标为M(2a，3a)，代入双曲线方程得a2＝b2，所以e＝2．(变换条件)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若PF1⊥PF2且∠PF1F2＝30°，求离心率．[解]在直角三角形PF1F2中，由题设可知：|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以2a＝3c－c，e＝ca＝23－1＝3＋1．求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝ca；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后利用e＝1＋b2a2求离心率．(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得ca或ba的范围，再求得离心率的范围．与渐进线有关的问题【例4】如图，已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．[思路探究]根据Rt△PF2F1中的边角关系及双曲线的定义可得a，b的关系，进而可求渐近线方程．[解]设F2(c,0)，(c＞0)，P(c，y0)，则c2a2－y20b2＝1，解得y0＝±b2a．∴|PF2|＝b2 a．在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|．①由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a．②由①②，得|PF2|＝2a．∵|PF2|＝b2a，∴2a＝b2a，即b2＝2a2．∴ba＝2．∴渐近线方程为y＝±2x．1．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为y＝±ba x，双曲线y2a2－x2b2＝1的渐近线为y＝±abx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．显然方法二较好，避免了讨论．3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x轴上；若λ＜0，则实轴在y轴上，再依据题设条件可确定λ．[跟进训练]3．双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形．求双曲线C的渐近线方程．[解]双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶点为120°的等腰三角形．可得c＝3b，所以c2＝3b2，即a2＋b2＝3b2，a2＝2b2，解得ba＝22，或ab＝2．所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x或y＝±22x．1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by ＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )A ．x 225－y 29＝1B ．x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1C ．x 2100－y 236＝1 D ．x 2100－y 236或y 2100－x 236＝1B [实轴长为10，虚轴长为6，所以a ＝5，b ＝3． 当焦点在x 轴上时，方程为x 225－y 29＝1；当焦点在y 轴上时，方程为y 225－x 29＝1．] 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±33x ，则双曲线的离心率为( )A ．32B ．233C ．74D ．55B [由双曲线的渐近线方程是y ＝±33x 知b a ＝33，所以b ＝33a ，所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋13a 2＝43a 2，所以e 2＝c 2a 2＝43，所以e ＝233．故选B ．] 3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±x 2，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是 ．x 216－y 24＝1或y 2－x 24＝1 [若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝12，2b ＝4，解得b ＝2，a ＝4，所以此时双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1；若双曲线的焦点在y 轴上，则a b ＝12，2b ＝4，解得b ＝2，a ＝1，所以此时双曲线的标准方程为y 2－x 24＝1．综上可知：该双曲线的标准方程是x 216－y 24＝1或y 2－x 24＝1．]点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．x 24－34y 2＝1 [双曲线右顶点为(a,0)，一条渐近线x －3y ＝0，∴1＝a 1＋3＝a 2．∴a ＝2， 又b a ＝33，∴b ＝233，∴双曲线方程为x 24－34y 2＝1．]5．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．求这两条曲线的方程．[解] 由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3．所以b ＝6，n ＝2．所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1．。
2．6.2 求曲线的方程[对应学生用书P40]在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(2，－3)，(4，－1)．问题1：求平面上任一点M(x，y)到A点的距离．提示：MA＝(x－2)2＋(y＋3)2.问题2：试列出到点A、B距离相等的点满足的方程．提示：MA＝MB，即(x－2)2＋(y＋3)2＝(x－4)2＋(y＋1)2.求曲线方程的一般步骤正确认识求曲线方程的一般步骤：(1)“建立适当的坐标系”所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴；其次，可以选曲线上的特殊点作为原点．(2)“设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)”．这一步实际上是在挖掘形成曲线的条件中所含的等量关系．(3)“列出符合p(M)的方程f(x，y)＝0.”这里就是等量关系的坐标化，完成这一步需要使用解析几何的基本公式及平面几何、三角等基础知识．(4)“化方程f (x ，y )＝0为最简形式”．化简时需要使用代数中的恒等变形的方法． (5)“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上”．这一步的证明是必要的．从教材内容看，这一步不作要求，可以省略，但在完成第(4)步时，所用的变形方法应都是可逆的，否则要作适当说明．[对应学生用书P41]直接法求曲线方程[例1]△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a >c >b ，且a ，c ，b 成等差数列，AB ＝2，求顶点C 的轨迹方程．[思路点拨]由a ，c ，b 成等差数列可得a ＋b ＝2c ；由a >c >b 可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB ＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解.[精解详析]以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C 点坐标为(x ，y )，由已知得AC ＋BC ＝2AB .即(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝4， 整理化简得3x 2＋4y 2－12＝0，即x 24＋y 23＝1.又∵a >c >b ，∴x <0且x ≠－2. 所以顶点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x <0且x ≠－2)． [一点通]1．“直接法”求曲线方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步，即：建系、设点→根据条件列方程→化简；2．其中“建系”是指建立适当的直角坐标系．所谓“适当”应使计算量较小，且所得的方程形式较简单．若坐标系建立不当，计算量就会大大增加，有时很可能得不到正确的结果．1．若将本例已知条件“a >c >b 且a ，c ，b 成等差数列”改为“△ABC 的周长为6且AB ＝2”，求顶点C 的轨迹方程．解：以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )， 由已知得AC ＋BC ＋AB ＝6.即(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝4. 化简整理得3x 2＋4y 2－12＝0，即x 24＋y 23＝1.∵A 、B 、C 三点不能共线， ∴x ≠±2.综上，点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．2．已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA ＋MB |＝OM ·(＋)＋2.求曲线C 的方程．解：由MA ＝(－2－x,1－y )，MB ＝(2－x,1－y )，得 |MA ＋MB |＝(－2x )2＋(2－2y )2，又OM ·(＋)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ， 由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2， 化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .定义法求曲线方程[例2]已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．[思路点拨]利用平面几何的知识，分析点P 满足的条件为抛物线，可用定义法求解． [精解详析]如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则KQ ＝1，所以PQ ＝r ＋1，又AP ＝r ＋1，所以AP ＝PQ ，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．∴p2＝2，∴p ＝4， ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .[一点通]若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征．3．点P 与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：设d 是点F 到直线x ＝8的距离，根据题意，得PF d ＝12.由圆锥曲线的统一定义可知，点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，x ＝8为准线的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a2c＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 故点P 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.4.如图所示，已知点C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且MQ ·AP ＝0，AP ＝2AM .当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．解：圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2，∵MQ ·AP＝0，AP ＝2AM ，∴MQ ⊥AP ，点M 为AP 的中点，即QM 垂直平分AP . 连结AQ, 则AQ ＝QP ，∴|QC －QA |＝|QC －QP |＝CP ＝r ＝2.又|AC |＝22＞2，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1， 因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.代入法求曲线方程[例3] 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．[思路点拨]设出点P 、M 的坐标，用M 的坐标表示P 的坐标，再借助M 满足的关系即可得到P 的坐标所满足的关系．[精解详析]设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y .又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋(2y )2＝1.∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.[一点通]代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标(x ，y )来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线方程，由此即可求得所求动点坐标的轨迹方程．5．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ，若OQ ＝OM ＋ON ，求动点Q 的轨迹方程．解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ ＝OM ＋ON ，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y2.又因为点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4.即x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．6．已知曲线C ：y 2＝x ＋1，定点A (3,1)，B 为曲线C 上的任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA ＝1∶2，当B 点在曲线C 上运动时，求点P 的轨迹方程．解：设P 点坐标为(x ，y )，B 点坐标为(x 0，y 0)， 由BP ∶PA ＝1∶2，得PA ＝2BP ， 即(3－x,1－y )＝2(x －x 0，y －y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝2x －2x 0，1－y ＝2y －2y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －32，y 0＝3y －12.∵点B (x 0，y 0)在曲线y 2＝x ＋1上， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3y －122＝3x －32＋1.化简得：⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13. 即点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13.1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷．2．求曲线的方程常用的方法． (1)直接法； (2)定义法； (3)相关点代入法； (4)待定系数法等．[对应课时跟踪训练(十六)]1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________． 解析：设动点M (x ，y )，到两坐标轴的距离为|x |，|y |. 则|x |＝|y |，∴x 2＝y 2. 答案：x 2＝y 22．等腰三角形底边的两个顶点是B (2,1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是________．解析：设点A 的坐标为(x ，y )． 由已知得AB ＝AC ，即(x －2)2＋(y －1)2＝x 2＋(y ＋3)2. 化简得x ＋2y ＋1＝0.∵点A 不能在直线BC 上，∴x ≠1，∴顶点A 的轨迹方程为x ＋2y ＋1＝0(x ≠1)． 答案：x ＋2y ＋1＝0(x ≠1)3．已知两定点A (－1,0)，B (2,0)，动点P 满足PA PB ＝12，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，由已知得(x ＋1)2＋y2(x －2)2＋y 2＝12， 化简得：x 2＋4x ＋y 2＝0. 即(x ＋2)2＋y 2＝4. 答案：(x ＋2)2＋y 2＝44．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．解析：设P (x ，y )，由题知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.答案：4π5．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1∶2两部分，则Q 点的轨迹方程是________．解析：据题意，＝3OQ ，设P (x ′，y ′)，Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝3y ，又∵P (x ′，y ′)在2x ＋4y ＋3＝0上，∴2×(3x )＋4×(3y )＋3＝0，即2x ＋4y ＋1＝0， 即点Q 的轨迹方程为2x ＋4y ＋1＝0. 答案：2x ＋4y ＋1＝06．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，求点P 与Q (0，－1)连线中点M 的轨迹方程． 解：设P (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1.又P (x 0，y 0)在曲线y ＝2x 2＋1上， ∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2. ∴点M 的轨迹方程为y ＝4x 2.7．已知双曲线2x 2－2y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，P 为动点，若PF 1＋PF 2＝6，求动点P 的轨迹E 的方程．解：依题意双曲线方程可化为x 212－y 212＝1，则F 1F 2＝2.∴PF 1＋PF 2＝6>F 1F 2＝2，∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其方程可设为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由2a ＝6,2c ＝2得a ＝3，c ＝1. ∴b 2＝a 2－c 2＝8.则所求椭圆方程为x 29＋y 28＝1.故动点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.8.如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT 上移动，且·＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足＝＋.(1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 解：(1)由·＝(m ，3m )·(n ，－3n )＝－2mn . 得－2mn ＝－12，即mn ＝14.(2)设P (x ，y )(x >0)，由＝＋，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )，∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ，又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >0)．它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．。
2．4。
2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的简单几何性质※2.焦半径与焦点弦[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求，学有余力的学生可选择性记忆］错误!抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，错误!过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P （x0,y0),焦点弦端点A(x1，y1),B(x2，y2），则四种标准形式下的焦点弦,焦半径公式为标准方程y2＝2px（p〉0）y2＝－2px（p>0)x2＝2py（p>0)x 2＝－2py(p>0）焦半径|PF||PF｜＝x0＋错误!｜PF｜＝错误!错误!－x0|PF｜＝错误!y0＋p2|PF｜＝错误!错误!－y0焦点弦｜AB|｜AB｜＝x1＋x2＋p｜AB|＝错误!p－x1－x2｜AB｜＝错误!y1＋y2＋p｜AB｜＝错误!p－y1－y2※3.通径［说明：此部分为拓展内容，大纲无要求]通过抛物线的焦点作垂直于对称轴交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2px（p>0)，由A错误!，B错误!，可得|AB｜＝2p,故抛物线的通径长为2p.1．判一判（正确的打“√"，错误的打“×"）（1）抛物线是中心对称图形．（)（2）抛物线是双曲线的一支，也有渐近线．( )（3）抛物线是轴对称图形．( ）答案（1)×（2）×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)（1)顶点在原点,对称轴为y轴且过点（4，1)的抛物线方程是_______________．(2)已知点（－2,3）与抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点的距离是5，则p ＝________。
(3）抛物线y＝2px2(p〉0)的对称轴为__________________________________．(4)（教材改编P72T3)过抛物线y2＝8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为________．答案（1)x2＝16y（2)4 (3）y轴（4）16解析(4)由抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），得直线的方程为y＝x －2.代入y2＝8x，得(x－2）2＝8x,即x2－12x＋4＝0.∴x1＋x2＝12,弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.探究1 抛物线的简单几何性质例1 （1)已知抛物线y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围;(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．［解］（1）抛物线y2＝8x，p＝4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为（0,0）,（2,0），x＝－2，x轴，x≥0. (2）椭圆的方程可化为错误!＋错误!＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即错误!＝3，∴p＝6。
2.6.2 求曲线的方程 2.6.3 曲线的交点学习目标 1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一 坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？ 答案 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法． (2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质． 知识点二 求曲线的方程的步骤 1．建系：建立适当的坐标系．2．设点：设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )． 3．列式：列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0. 4．化简：化方程f (x ，y )＝0为最简形式．5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 知识点三 曲线的交点已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0.f 2(x 0，y 0)＝0，(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．1．x 2＋y 2＝1(x ＞0)表示的曲线是单位圆．(×)2．若点M (x ，y )的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，则点M 在曲线f (x ，y )＝0上．(√)3．方程y ＝x 与方程y ＝x 2x表示同一曲线．(×)4．曲线xy ＝2与直线y ＝x 的交点是(2，2)．(×)类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2PA . 则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又PA ＝(x －2)2＋(y －0)2， 故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系； ②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程． 解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)． 类型二 相关点法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故ΔABC 重心的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝a x(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围．解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点． 设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝ax，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点． ∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0. 设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ， 代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <83.又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83. 反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定．跟踪训练3 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A ，B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1，x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1. 又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.1．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x 2－y 2＝1得x 2－(x ＋4)2－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－178，y ＝158.2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 2，则直线l 与椭圆的交点坐标为________．答案 (0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43 解析 因F 2(1,0)，l 方程为y ＝2x －2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝43，故所得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43. 3．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________．答案 x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1) 解析 设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________． 答案 x ＝32解析 设动点P (x ，y )，则x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6， 化简整理得x ＝32.5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP →＝3PM →，求动点P 的轨迹方程．解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.求解轨迹方程常用方法：(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．(4)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．一、填空题1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设中点的坐标为(x ，y )，则相应圆x 2＋y 2＝4上的点的坐标为(2x －4,2y ＋2)， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 答案π3或5π3解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π， 所以α＝π3或α＝5π3.3．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围为________． 答案 [1，2)解析 在同一直角坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图象，如图所示，可得b 的范围为1≤b < 2.4．直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，则m 2的值为________． 答案 34解析 因为直线与椭圆只有一个交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，消去y 得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＋3＝0，所以由Δ＝(8m )2－12(1＋4m 2)＝16m 2－12＝0， 解得m 2＝34.5．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________． 答案 x 2＝4y解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|， 两边平方整理得x 2＝4y .6．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 2＋y 2＝1解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ).由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.7．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________． 答案 y 2＝4x解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )． 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2， 化简得y 2＝4x .8．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且PA →·PB →＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2－x 2＝2解析 设动点P 的坐标为(x ，y )， 则点Q 的坐标为(0，y )， PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.由PA →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2， 所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.9．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0.令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________． 答案33解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b2a，由椭圆定义得3b 2a＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2，则此椭圆的离心率e 为33. 11．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________． 答案 45°或135°解析 由y 2＝6x 得焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，设直线方程y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，y 2＝6x ，得k 2x 2－(6＋3k 2)x ＋94k 2＝0，设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝6＋3k2k2，∵弦长为12，∴6＋3k2k2＋3＝12，∴k ＝±1，∴直线的倾斜角为45°或135°.二、解答题12．在平面直角坐标系中，已知点F (0,2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 解 设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点， 因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则MF －MB ＝2， 即x 2＋(y －2)2－y ＝2， 整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2， 化简得y ＝18x 2，所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0)．13．已知线段AB ，B 点的坐标为(6,0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )， 点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋62，y ＝y12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y .由题知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以2y ＝(2x －6)2＋3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32.三、探究与拓展14．过点P (0,1)的直线与曲线|x |－1＝1－(1－y )2相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________． 答案 [22，4]解析 曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x <－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4]．1115．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若MN 和MQ 的比值等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解 连结ON ，OM ，则ON ⊥MN ，设M (x ，y )．∵圆的半径是1，∴MN 2＝OM 2－ON 2＝OM 2－1.由题意，MN MQ ＝λ(λ＞0)，∴MN ＝λMQ ， 即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2， 整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54， 该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2， 该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．。
2.6.2 求曲线的方程 2.6.3 曲线的交点学习目标 1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一 坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？ 答案 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法． (2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质． 知识点二 求曲线的方程的步骤 1．建系：建立适当的坐标系．2．设点：设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )． 3．列式：列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0. 4．化简：化方程f (x ，y )＝0为最简形式．5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 知识点三 曲线的交点已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0.f 2(x 0，y 0)＝0，(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．1．x 2＋y 2＝1(x ＞0)表示的曲线是单位圆．(×)2．若点M (x ，y )的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，则点M 在曲线f (x ，y )＝0上．(√)3．方程y ＝x 与方程y ＝x 2x表示同一曲线．(×)4．曲线xy ＝2与直线y ＝x 的交点是(2，2)．(×)类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2PA . 则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又PA ＝(x －2)2＋(y －0)2， 故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系； ②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程． 解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)． 类型二 相关点法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故ΔABC 重心的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝a x(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围．解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点． 设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝ax，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点． ∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0. 设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ， 代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <83.又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83. 反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定．跟踪训练3 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A ，B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1，x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1. 又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.1．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x 2－y 2＝1得x 2－(x ＋4)2－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－178，y ＝158.2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 2，则直线l 与椭圆的交点坐标为________．答案 (0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43 解析 因F 2(1,0)，l 方程为y ＝2x －2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝43，故所得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43. 3．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________．答案 x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1) 解析 设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________． 答案 x ＝32解析 设动点P (x ，y )，则x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6， 化简整理得x ＝32.5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP →＝3PM →，求动点P 的轨迹方程．解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.求解轨迹方程常用方法：(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．(4)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．一、填空题1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设中点的坐标为(x ，y )，则相应圆x 2＋y 2＝4上的点的坐标为(2x －4,2y ＋2)， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 答案π3或5π3解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π， 所以α＝π3或α＝5π3.3．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围为________． 答案 [1，2)解析 在同一直角坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图象，如图所示，可得b 的范围为1≤b < 2.4．直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，则m 2的值为________． 答案 34解析 因为直线与椭圆只有一个交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，消去y 得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＋3＝0，所以由Δ＝(8m )2－12(1＋4m 2)＝16m 2－12＝0， 解得m 2＝34.5．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________． 答案 x 2＝4y解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|， 两边平方整理得x 2＝4y .6．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 2＋y 2＝1解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ).由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.7．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________． 答案 y 2＝4x解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )． 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2， 化简得y 2＝4x .8．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且PA →·PB →＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2－x 2＝2解析 设动点P 的坐标为(x ，y )， 则点Q 的坐标为(0，y )， PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.由PA →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2， 所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.9．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0.令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________． 答案33解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b2a，由椭圆定义得3b 2a＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2，则此椭圆的离心率e 为33. 11．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________． 答案 45°或135°解析 由y 2＝6x 得焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，设直线方程y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，y 2＝6x ，得k 2x 2－(6＋3k 2)x ＋94k 2＝0，设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝6＋3k2k2，∵弦长为12，∴6＋3k2k2＋3＝12，∴k ＝±1，∴直线的倾斜角为45°或135°.二、解答题12．在平面直角坐标系中，已知点F (0,2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 解 设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点， 因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则MF －MB ＝2， 即x 2＋(y －2)2－y ＝2， 整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2， 化简得y ＝18x 2，所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0)．13．已知线段AB ，B 点的坐标为(6,0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )， 点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋62，y ＝y12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y .由题知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以2y ＝(2x －6)2＋3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32.三、探究与拓展14．过点P (0,1)的直线与曲线|x |－1＝1－(1－y )2相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________． 答案 [22，4]解析 曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x <－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4]．文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
