20182019高中数学第2章圆锥曲线与方程疑难规律方法学案苏教版选修21

圆锥曲线3．1 椭圆【考点透视】一、考纲指要1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力.二、命题落点圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力.【典例精析】例1：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值．解析:（1）设椭圆方程为22221(0),(,0)x ya b F c a b +=>>,则直线AB 的方程y x c =-代入22221x y a b+=,化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=． 令1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222212122,a c a c a bx x x x a b a b-+==++． 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线, 得 12123()()0y y x x +++=,又1122,y x c y x c =-=-，12121233(2)()0,2cx x c x x x x ∴+-++=∴+=．即222232a c c a b=+,所以223a b = ，c ∴==，故离心率c e a ==． （2）由（１）知223a b =,所以椭圆22221x y a b+=可化为22233x y b +=设(,)OM x y =,由已知得1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，1212,.x x x y y y λμλμ=+⎧⎪∴⎨=+⎪⎩(,)M x y 在椭圆上,2221212()3()3x x y y b λμλμ∴+++=，即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++= ① 由（1）知222212331,,222x x c a c b c +===， 222222212121212123,833()()a c ab x xc a bx x y y x x x c x c -∴==+∴+=+--2121222243()3393220.x x x x c cc c c =-++=-+=又222222112233,33x y b x y b +=+=代入①，得221λμ+=．故22μλ+为定值,定值为1 ．例2：如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M的距离d 的最小值．解析:（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0） 设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y xx设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d ，有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-例3：已知方向向量为)3,1(=的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C满足OM ON ⋅=cot∠MON≠0（O 为原点）.求直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解析:（1）直线:l y =- ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ②解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③ （2）设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=kkkkkkkxxxxkMN点O到直线MN的距离21|2|kkd+=．,cot634MONONOM∠=⋅||||cos0,OM ON MON⋅∠=≠||.632,634sin||||⋅∴=∴=∠⋅∴∆dMNSMONONOMOMN即).13(6341||6422+=+kkk整理得.33,312±=∴=kk当直线m垂直x轴时，也满足632=∆OMNS.故直线m的方程为,33233+=xy或,33233--=xy或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ONOM.所以所求直线方程为,33233+=xy或,33233--=xy或.2-=x【常见误区】解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点. 【基础演练】1．若焦点在x轴上的椭圆1222=+myx的离心率为21，则m= （）A．3B．23C．38D．322．设bababa+=+∈则,62,,22R的最小值是（）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-3．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A．2B．12C．2 D14．点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．31 C ．22 D ．21 5．已知B A ),0,21(-是圆221:()4(2F x y F -+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .6．如图所示, 底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截， 其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ．7． 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是 )0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足F ||1=点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2满足0||,022≠=⋅TF TF ．（1）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x aca F +=||1； （2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（1）证明：λ＝1－e 2； （2）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程； （3）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.9．设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.3．2 双曲线【考点透视】一、考纲指要熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 二、命题落点1．考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程，以及标准方程中a,b,c 之间的关系,两渐近线间的夹角的求法，如例1.2．双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例2;3．考查等边三角形的性质，焦点三角形公式及离心率公式，灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的运算，突出观察研究能力的考查，如例3.【典例精析】例1：已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º解析:双曲线的右焦点F(c,0)，右准线方程为x=c a 2,一条渐近线方程为y=a b x ，可得点A的坐标（ca 2，c ab），△O AF 的面积S △OAF =21OF│Y A │=21c ab c ⋅=21ab,又题意已知S △OAF =21a 2,所以a=b,两条渐近线间的夹角为900.答案： D 例2：已知双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53C．3D解析: 设M 到x 轴的距离为h，∵1,a b c ==∴ 又∵222121212012(2)MF MF MF MF c MFMF ⋅=⇒⊥⇒+==，由双曲线定义得22121212||224MF MF MF MF MF MF ⋅-=⇒+-=，再由1212121122MF F MF MF F F h S ⋅∆=⨯=⨯⋅，∴h =答案： C例3：已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+解析:令12(,0),(,0)F c F c -，边MF 1交双曲线于点N ，连结2F N 易知的边长，且点必在轴上，可得的坐标（0）又为正三角形由焦点三角形面积公式121122121290MF F F F C M y M MF F F N MF F NF =\\^\?\oV QV又又c又e=a12121222122222222cot21112222(1)21NF F NF F MF F F NF S b b S S C b b c a a c e Ð====鬃==-\=-\===+V V V Q Q Q答案： D例4.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.解析:如图所示， PF QF ⊥且PF QF =，2(,0)(,)a ab F c Pc c ,在PFQ ∆中MF =， OF OM -=． ① (PF = ②2,aO F c O M c== ③将②③代入①式化简得：a c e c a=== 答案:【常见误区】1．对双曲线离心率、双曲线渐近线等基本知识考察时, 应想法利用已知曲线构造等式,从而解出,c a 的比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例3、例4.2．解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考生常会忽视,如例1、例2.【基础演练】1．已知双曲线2239xy -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）AB C ．2D ． 42．设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±3．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，12||||||MF MF -是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是 （ ）A ．22121e e +=B ．22121e e -=C ．1112221=-e eD ．1112221=+e e5．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 6．以下几个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）7．已知双曲线22125144x y -=的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上求一点P ，使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由．8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为,A B ． （1）求证：P 在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．9．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由． （1）渐近线方程为20,20x y x y +=-=，（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P3．3 抛物线【考点透视】一、考纲指要掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质． 二、命题落点1．考察抛物线过焦点的性质,如例1;2．抛物线上张直角问题的探究, 考察抛物线上互相垂直的弦的应用，如例2;3．定值及定点问题是解几问题研究的重点内容,此类问题在各类考试中是一个热点，如例3.【典例精析】例1：设1122(,),(,)A x y B x y 两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线， （1）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围. 解析:（1）∵抛物线22y x=，即22y x=，∴14p =， ∴焦点为1(0,)8F（i ）直线l 的斜率不存在时，显然有12x x+=0;（ii ）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b, 即直线l ：y=kx+B ．由已知得：12121212221k bk y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩ 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F（2）设l 在y 轴上截距为b ，即直线l ：y=2x+b ，AB ：12y x m =-+．由2122y x m y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得2420x m x +-=，∴1214x x +=-，且10,32m ∆>>-即， ∴121211222164b m b y y x x ++=⋅+⇒+=-+，∴551916163232b m =+>-=． 所以l 在y 轴上截距的取值范围为9(,)32+∞例2： 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2x y =满足BO AO ⊥（如图所示）（1）求AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点） 的轨迹方程；（2）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由．解析: （1）∵直线AB 的斜率显然存在， ∴设直线AB 的方程为b kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，依题意得0,,22=--⎩⎨⎧=+=b kx x y xy b kx y 得消去由，①∴k x x =+21，② b x x -=21 ③∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即 0222121=+x x x x ，④由③④得，02=+-b b ，∴)(01舍去或==b b ∴设直线AB 的方程为1+=kx y∴①可化为 012=--kx x ，∴121-=x x ⑤， 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则33021k x x x =++= ⑥ ， 3232)(3022121+=++=++=k x x k y y y ⑦，由⑥⑦得 32)3(2+=x y ，即3232+=x y ，这就是AOB ∆的重心G 的轨迹方程．（2）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+= 把②⑤代入上式，得 41||22+⋅+=k k AB ，设点O 到直线AB 的距离为d ，则112+=k d ，∴ 24||212+=⋅⋅=∆k d AB S AOB， ∴ 当0=k ，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 ．例3： M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB ． （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程.解析：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(k>0)， 则直线MF 的斜率为－k ，方程为200().y y k x y -=- ∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消200(1)0x ky y y ky -+-=得，解得20021(1),F F ky ky y x k k--=∴=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)． 所以直线EF 的斜率为定值．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=- 由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23,333(1)(1),333M E F M E F y y y y x x x x y y y y y y y y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122().9273y x x =-> 【常见误区】1．运算正确率太低, 这是考生在解解析几何问题中常出现的问题, 即会而不对. 2．抛物线中的焦点坐标与准线方程求解过程中常误求出二倍关系;3．定点与定值问题总体思路不能定位,引入参变量过多,没有求简意识,使问题复杂化.【基础演练】1．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 2．已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．632+B ．21C ．21218+D ．213．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．23 B ．23 C ．26 D ．332 4．抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．05．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 条.6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 7．抛物线以y 轴为准线，且过点(,)(0)M a b a ≠，证明：不论M 点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．8. 已知抛物线22(0)y px p =>，过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同两点,A B ，||2AB p ≤， （1）求a 取值范围；（2）若线段AB 垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值9．已知动圆过定点P(1,0),且与定直线:1l x =-相切,点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P,M 相交于A,B 两点.(i)问：△ABC 能否为正三角形？若能,求点C 的坐标；若不能,说明理由； (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点C 的纵坐标的取值范围.3．4直线与圆锥曲线的位置关系【考点透视】一、考纲指要1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题;3．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；4．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法.二、命题落点1．考查直线与椭圆相切、直线方程、直线到直线的距离等知识，如例1;2．考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定,如例2;3．考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，如例3.【典例精析】例1：设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4解析:如右图,根据题意易得AB ='l 与l 关系O 对称':220l x y ∴+-=设过圆上一点且平行与'l 的直线方程为'':l 2y x b =-+22244y x b y x=-+⎧⎨=-⎩联立得：228440x bx b -+-=若''l 与椭圆相切则0∆=可求得：b =±即'':20l y x +±=,''l 到'l<①''l 到'l>② 1122PAB S AB h ∆==⨯⨯，（h 为P 到AB 的距离），5AB =，h ∴=． 由①②式可知满足条件的点有两个.答案: B 例2：若直线mx+ ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,则m,n 满足的关系式为_______;以(m,n )为点P 的坐标,过点P 的一条直线与椭圆x 27+y 23=1的公共点有____个.解析: ∵直线mx+ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,∴3m 2+n2>3,解得0<m 2+n 2<3.∴m 27+n 23< m 23+n 23<1,即点P(m ,n )在椭圆内部,故过P 的直线必与椭圆有两个交点. 答案: 0<m 2+n 2<3,2.例3.已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（1）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（2）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标. 解析：（1）如图，设M 为动圆圆心，记,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，x =垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F与定直线2px =-的距离相等由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线∴轨迹方程为22(0)y px p =>；（2）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,x x ≠又直线OA 、OB 的倾斜角α、β满足α+β=4π，故0<α，β<4π． ∴直线AB 的斜率存在，否则OA 、OB 直线的倾斜角之和为π，从而设其方程为y kx b =+．显然221212,22y y x x p p==． 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=． 由韦达定理知121222,p pby y y y k k +=⋅=． (*) 由4παβ+=，得tantan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-． 将(*)式代入上式整理化简可得：22b p pk =+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=， ∴直线AB 恒过定点()2,2p p -．【常见误区】1．注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系;2．考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.向量的知识考生常不能灵活应用。

§圆锥曲线学习目标.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点，处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案＋是常数(大于)．梳理平面内到两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点，叫做焦点椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点或，拉开或闭拢拉链，拉链头经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考图中动点的几何性质是什么？答案－为一个正常数．思考若－＝，则动点的轨迹是什么？答案以为端点，向右边延伸的射线．等于常数绝对值平面内到两个定点，的距离的差的梳理(小于的正数的点的轨迹叫做双曲)线，两个定点，叫做双曲线的焦点焦距．，两焦点间的距离叫做双曲线的知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点和定直线，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点的轨迹．则动点的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点到定点和定直线距离相等，且不在上．梳理平面内到一个定点和一条定直线(不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做焦点抛物线的，定直线叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一圆锥曲线定义的理解例平面内动点到两点(－)，()的距离之和为，问取何值时的轨迹是椭圆？。

2.1 圆锥曲线学习目标：1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义．(重点、难点)2.通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义．(难点)[自主预习·探新知]教材整理圆锥曲线阅读教材P27～P28例1以上内容，完成下列问题．圆、两条相交直线、1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是椭圆、抛物线．、双曲线2．设P为圆锥曲线上任意一点，常数为2a(a>0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．( )(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( )(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．( )(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．( ) [解析] (1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√[合作探究·攻重难]C的轨迹；(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，交椭圆于A，B两点，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长.【导学号：71392047】[精彩点拨](1)由△ABC的周长为16，AB＝6得CA＋CB＝10，根据椭圆的定义知，点C在椭圆上；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．[自主解答](1)由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，又△ABC的周长为16，所以CA＋CB ＝16－6＝10＞6，由椭圆的定义可知，点C在以A、B为焦点的椭圆上，又因为A、B、C为三角形的顶点，所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个点)．(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．[解析] 根据椭圆的定义，应填必要不充分．[答案] 必要不充分图形？(1)|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|＝6；(2)(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2＝6.[精彩点拨]把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．[自主解答](1)∵|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则P点的轨迹为________，若|PA|－|PB|＝10，则P点的轨迹为________.【导学号：71392048】[解析] ∵|PA|－|PB|＝6<10时，∴P的轨迹为双曲线的一支．又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，∴P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线．[答案] 双曲线的一支一条射线M的轨迹．[精彩点拨]把条件式化为点M到点(1,2)与点M到直线3x＋4y＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．[自主解答]选定直线l：3x＋4y＋1＝0，定点F(1,2)，则M到l的距离为d＝|3x＋4y＋1|，MF＝(x－1)2＋(y－2)2.由题意知d＝MF，且F∉l，由抛物线定义知，M的轨5迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．3．点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．[解析] 由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．[答案] 抛物线[1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？【导学号：71392049】[提示]若PF1＋PF2＝6>4，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．2．抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？[提示]在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．[精彩点拨]根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．[自主解答]由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．4．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内有一定点B (3,0)，动圆M 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心M 的轨迹是椭圆.【导学号：71392050】[证明] 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )，∴圆心M 的轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆． [当 堂 达 标·固 双 基]1．已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝6，则点P 的轨迹是________． [解析] ∵PF 1＋PF 2＝6＞F 1F 2，∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆． [答案] 以F 1，F 2为焦点的椭圆 2．已知抛物线上一点P 到焦点F 的距离为32，则点P 到抛物线准线的距离为________． [解析] 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P 到准线的距离为32. [答案] 323．以F 1，F 2为焦点作椭圆，椭圆上一点P 1到F 1，F 2的距离之和为10，椭圆上另一点P 2满足P 2F 1＝P 2F 2，则P 2F 1＝________. [解析] 由椭圆的定义可知P 2F 1＋P 2F 2＝10. 又∵P 2F 1＝P 2F 2，∴P 2F 1＝5. [答案] 5 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，PM －PN ＝3，则动点P 的轨迹为________.【导学号：71392051】[解析] ∵MN ＝4，PM －PN ＝3<4，∴动点P 的轨迹为双曲线的右支．[答案] 双曲线的右支 5．动点P (x ，y )的坐标满足(x －5)2＋y2－(x ＋5)2＋y2＝4，试确定点P 的轨迹．[解](x －5)2＋y2的几何意义是点P 到定点A (5,0)的距离，(x ＋5)2＋y2的几何意义是点P 到定点B (－5，0)的距离，因此原式可化为PA －PB ＝4＜AB ＝10，故点P 的轨迹是以A，B为焦点靠近点B的双曲线的一支．。

§2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标 1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点双曲线的标准方程思考双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)两种形式的标准方程(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b 2＝c 2－a 2与椭圆中的b 2＝a 2－c 2相区别．1．方程x 2m －y 2n ＝1(m ·n ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)2．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .(×)3．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中，焦距为2c ，则a 2＝b 2＋c 2.(×)类型一 求双曲线的标准方程例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)方法一 椭圆y 225＋x 216＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程y 225＋x 216＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)； ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1 (1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.类型二 曲线方程的讨论例2 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m 2－2m －3＞0，解得m ＞5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．反思与感悟 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn ＜0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．跟踪训练2 (1)“3＜m ＜5”是“方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的_________条件．答案 充分不必要解析 (m －5)(m 2－m －6)＝(m －5)(m －3)(m ＋2)．①方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线⇒(m －5)(m 2－m －6)＜0，即(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0 ⇒3＜m ＜5或m ＜－2 ⇏3＜m ＜5，∴3＜m ＜5不是“x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的必要条件．②3＜m ＜5⇒(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0， 即(m －5)(m 2－m －6)＜0⇒x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线． ∴3＜m ＜5是x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1的充分条件．(2)讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k ＜9,9＜k ＜25，k ＞25，分别进行讨论． ①当k ＜9时，25－k ＞0,9－k ＞0，所给方程表示椭圆，此时a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．②当9＜k ＜25时，25－k ＞0,9－k ＜0，所给方程表示双曲线，此时a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)． ③当k ＞25时，所给方程没有轨迹． 类型三 双曲线的定义及标准方程的应用例3 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°， 所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2， 所以PF 1·PF 2＝64，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2 ＝12×64×32＝16 3. 引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ＝6，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，① 在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c )2＝100，②将②代入①得PF 1·PF 2＝32， 所以12F PF S＝12PF 1·PF 2＝16. 反思与感悟 求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF 1－PF 2|＝2a ；②利用余弦定理表示出PF 1，PF 2，F 1F 2之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体思想求出PF 1·PF 2的值； ④利用公式12PF F S ＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2求得面积． (2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12F 1F 2×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．同理可求得双曲线y 2a 2－x 2b2＝1中焦点三角形的面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF 1－PF 2|＝2a的变形使用，特别是与PF 21＋PF 22，PF 1·PF 2间的关系． 跟踪训练3 如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积．解 在△MF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝MF 21＋MF 22－2MF 1·MF 2·cos θ.①∵F 1F 22＝4c 2，MF 21＋MF 22＝(MF 1－MF 2)2＋2MF 1·MF 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2， ∴①式化为4c 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2(1－cos θ)， ∴MF 1·MF 2＝2b 21－cos θ，∴12MF F S ＝12MF 1·MF 2·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝b 2tan θ2.1．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (－1,1)解析 依题意得(1＋k )(1－k )>0，即(k ＋1)(k －1)<0，解得－1<k <1. 2．双曲线x 2k 2＋8－y 28－k 2＝1的焦距为________．答案 8解析 依题意得焦距为2k 2＋8＋8－k 2＝8.3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点． 令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4， 则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上， ∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.4．已知双曲线2x 2－y 2＝k (k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________． 答案 ±6解析 由题意知，k ≠0.当k >0时，方程化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝3k2，∴2×3k2＝6，解得k ＝6. 当k <0时，方程化为y 2－k －x 2－k2＝1，∴c 2＝－32k ，∴2×－3k2＝6，解得k ＝－6. 综上，k ＝－6或k ＝6.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，设M (x M ，y M )，将x M ＝5代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343.求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn <0.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋k －y 2b 2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，可设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)．一、填空题1．满足条件：a ＝2，且一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________________． 答案 x 24－y 212＝1解析 由一个焦点(4,0)知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，a ＝2，可得b 2＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.2．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a ＝________.答案 1解析 由题意知焦点在x 轴上，因此4－a ＝a ＋2， 所以a ＝1.经检验，a ＝1满足题意．故a ＝1.3．双曲线的焦点是(0，±6)，且过点A (－2，－5)，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 220－x 216＝1解析 由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝6. 设F 1(0，－6)，F 2(0,6)分别为双曲线的焦点， AF 1＝(－2)2＋(－5＋6)2＝5， AF 2＝(－2)2＋(－5－6)2＝55，根据双曲线的定义，2a ＝|AF 1－AF 2|＝45， 所以a ＝25，b 2＝c 2－a 2＝16， 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.4．若双曲线的两个焦点坐标分别是F 1(0，－5)，F 2(0,5)，双曲线上任意一点P 满足到两个焦点的距离之差的绝对值是6，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 29－x 216＝1解析 由题意得，焦点位于y 轴上，且c ＝5,2a ＝6，所以a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝16，因此所求双曲线的标准方程是y 29－x 216＝1.5．已知双曲线x 24－y 2m ＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m ＝________.答案 5 解析 因为c ＝4＋m ＝3，所以解得m ＝5.6．已知方程x 29－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (9，＋∞)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－k <0，k －3>0，解得k >9.7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 13解析 设PF 1＝d 1，PF 2＝d 2，则d 1＋d 2＝26，① |d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18.①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c22d 1d 2＝18－166＝13.8．与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线方程为________________．答案 x 23－y 23＝1解析 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上，∴设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又∵两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.① 又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，a b 由①②得，a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1. 9．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其左，右焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，PF 1＝2＋x ，PF 2＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以PF 2＋PF 1＝3－1＋3＋1＝2 3.10．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．答案 x 216－y 29＝1 解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 11．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．答案 1或5解析 由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，2若P 在双曲线的左支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF －2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF ＋2a )＝12(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.二、解答题12．设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a＝1(a >0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程．解 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a .①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4a .②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a .∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左，右焦点为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设MF 1＝m ，MF 2＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12F 1F 2·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 三、探究与拓展14．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m 的值为________． 答案 7或－2解析 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上时，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2.综上，m ＝7或m ＝－2.15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左，右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上， 且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23， 又F 1F 2＝25，所以在△MF 1F 2中，MF 1边最长，cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212MF 2·F 1F 2<0， 又因为∠MF 2F 1∈(0°，180°)， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。

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２．4.1 抛物线的标准方程[学习目标］１。

掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念。

２.会求简单的抛物线方程．知识点一抛物线的定义平面内到一个定点Ｆ和一条定直线l(F不在l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点Ｆ叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.知识点二抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y２=2px(p〉0)(错误!，0)ｘ=－p２y２＝-2ｐx(ｐ>0)(-p2，0）x＝错误!ｘ２=2py (p＞0)(0,错误!)ｙ=-错误!x2＝-２py (p>0）（0,－错误!)y=错误!思考(1)抛物线的标准方程y2=2px（p>０)中p的几何意义是什么?(２)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗?答案 (１）焦点到准线的距离.(2）不一定.当直线ｌ经过点F时,点的轨迹是过定点Ｆ且垂直于定直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线．题型一求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为（-2,0）；(2）准线为y＝－1；(3)过点A（2,3）;(4)焦点到准线的距离为错误!.解（1)由于焦点在x轴的负半轴上，且错误!=2,∴p=4，∴抛物线的标准方程为y2＝-8x。

第2章 圆锥曲线与方程1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值例1 线段AB ＝4，PA ＋PB ＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________．解析 由于PA ＋PB ＝6>4＝AB ，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A ，B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案52．求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________．解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知PF 1＋PF 2＝2a ＝10，所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝25，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝PF 2，解得PF 1＝PF 2＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(±3,0)． 答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“PF 1＋PF 2＝10”，即两个正数PF 1，PF 2的和为定值，结合基本不等式可求PF 1，PF 2乘积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标．3．求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 由已知，得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝1，F 1F 2＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1，① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② 将②代入①，得PF 1＝65.所以S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是335.点评 在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于PF 1，PF 2的方程组，消去PF 2可求PF 1. 从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．2 如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析 如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin60°＝3c .∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a＝23＋1＝3－1.答案3－1点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，则椭圆的离心率e ＝________.解析 如图所示，直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.∵点F 1(－c,0)到直线AB 的距离为b7，∴b7＝|－bc ＋ab |a 2＋b2， ∴7|a －c |＝a 2＋b 2，即7a 2－14ac ＋7c 2＝a 2＋b 2. 又∵b 2＝a 2－c 2，整理，得5a 2－14ac ＋8c 2＝0. 两边同除以a 2并由e ＝c a知，8e 2－14e ＋5＝0， 解得e ＝12或e ＝54(舍去)．答案 123．利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析 如图所示，切线PA ，PB 互相垂直，PA ＝PB.又OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OA ＝OB ， 则四边形OAPB 是正方形， 故OP ＝2OA ，即a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝22. 答案224．综合类例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，∠MF 2F 1＝15°，求椭圆的离心率．解 由正弦定理得2c sin90°＝MF 1sin15°＝MF 2sin75°＝MF 1＋MF 2sin15°＋sin75°＝2asin15°＋sin75°， ∴e ＝c a ＝1sin15°＋cos15°＝12sin60°＝63.点评 此题可推广为若∠MF 1F 2＝α，∠MF 2F 1＝β，则椭圆的离心率e ＝cosα＋β2cosα－β2.3 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明． 1．求动点轨迹例1 动圆C 与两定圆C 1：x 2＋(y －5)2＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ， 因为动圆C 与两定圆相外切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧CC 1＝r ＋1，CC 2＝r ＋4，即CC 2－CC 1＝3<C 1C 2＝10，所以点C 的轨迹是以C 1(0,5)，C 2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a ＝32，c ＝5，所以b 2＝914.故动圆圆心C 的轨迹方程为4y 29－4x 291＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥32. 点评 依据动圆与两定圆外切建立关系式，可得到CC 2－CC 1＝3<C 1C 2，从而判断出C 的轨迹是双曲线的一支，最后求出a ，b 即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支． 2．求焦点三角形的周长例2 过双曲线x 216－y 29＝1左焦点F 1的直线与左支交于A ，B 两点，且弦AB 长为6，则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是________．解析 由双曲线的定义知AF 2－AF 1＝8，BF 2－BF 1＝8， 两式相加得AF 2＋BF 2－(AF 1＋BF 1)＝AF 2＋BF 2－AB ＝16， 从而有AF 2＋BF 2＝16＋6＝22，所以△ABF 2的周长为AF 2＋BF 2＋AB ＝22＋6＝28. 答案 28点评 与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧．3．最值问题例3 已知F 是双曲线x 23－y 2＝1的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点M (4,2)，求PM＋PF 的最小值．解 设双曲线的左焦点为F ′， 则F ′(－2,0)， 由双曲线的定义知：PF ′－PF ＝2a ＝23，所以PF ＝PF ′－23， 所以PM ＋PF ＝PM ＋PF ′－23，要使PM ＋PF 取得最小值，只需PM ＋PF ′取得最小值，由图可知，当P 、F ′、M 三点共线时，PM ＋PF ′有最小值MF ′＝210，故PM ＋PF 的最小值为210－2 3.点评 本题利用双曲线的定义对F 的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：(1)若将M 坐标改为M (1,1)，其他条件不变，如何求解呢？(2)若P 是双曲线左支上一动点，如何求解呢？ 4．求离心率范围例4 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，试求该双曲线离心率的取值范围． 解 因为PF 1＝4PF 2，点P 在双曲线的右支上， 所以设PF 2＝m ，则PF 1＝4m ，由双曲线的定义，得PF 1－PF 2＝4m －m ＝2a ， 所以m ＝23a .又PF 1＋PF 2≥F 1F 2， 即4m ＋m ≥2c ，所以m ≥25c ，即23a ≥25c ，所以e ＝c a ≤53.又e >1，所以双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.点评 本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a ，c 的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解．4 抛物线的焦点弦例1 如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，M 1，B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)AB ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2(焦点弦长与中点坐标的关系)；(3)AB ＝x A ＋x B ＋p ；(4)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x A x B ＝p 24，y A y B ＝－p 2；(5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A ，O ，B 1三点共线； (7)1FA ＋1FB ＝2p.以下以第(7)条结论为例证明： 证明 当直线AB 的斜率不存在， 即与x 轴垂直时，FA ＝FB ＝p ， ∴1FA ＋1FB ＝1p ＋1p ＝2p.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，并代入y 2＝2px ，∴⎝⎛⎭⎪⎫kx －kp 22＝2px ，即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0.由A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2，x A x B ＝p 24.∵FA ＝x A ＋p 2，FB ＝x B ＋p2， ∴FA ＋FB ＝x A ＋x B ＋p ，FA ·FB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ＋p 2＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p2(x A ＋x B ＋p )． ∴FA ＋FB ＝FA ·FB ·2p ，即1FA ＋1FB ＝2p.点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况．例2 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由FA →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.答案 65 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究． 1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法． 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围．解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线， ∴NA ＝NM .∴NC ＋NA ＝NC ＋NM ＝CM ＝2a >2＝AC ，∴N 的轨迹是以C ，A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆． 当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由(1)知a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )， ∴直线l 的方程为x －1＋yb ＝1，即bx －y ＋b ＝0.设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y x －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y2＋b ＝0，消去x 得y ＝4bb ＋1. ∵离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，∴14≤e 2≤34，即14≤1a 2≤34，∴43≤a 2≤4.∴43≤b 2＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b≤2，当且仅当b ＝1时取等号． 又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33时，y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]．2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、证明”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程．解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2， ∴d 22－d 21＝25， 即⎝⎛⎭⎪⎫|3x －2y ＋3|132－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －3y ＋2|132＝25， 化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65.点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可． 3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA ＝23，求椭圆的方程．解 椭圆的长轴长为6，cos ∠OFA ＝23，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， 所以OF ＝c ，AF ＝OA 2＋OF 2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.4．相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．分析 设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解 设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)， ∵点P 是线段QN 的中点， ∴N 点的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2， 即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.① 又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又∵点Q 在双曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. 点评 本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P ，Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解．5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．例5 已知点P 在直线x ＝2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A (1,0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程． 解 如图，设OP 的斜率为k ，则P (2,2k )．当k ≠0时， 直线l 的方程：y ＝－1kx ，①直线m 的方程：y ＝2k (x －1)．②联立①②消去k 得2x 2＋y 2－2x ＝0 (x ≠1)．当k ＝0时，点Q 的坐标(0,0)也满足上式，故点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠1)．6 解析几何中的定值与最值问题1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，求证：λ2＋μ2为定值．证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合， 则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a (y 1＋y 2)＝－b 2x 0a y 0， 又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 0＝－b 2a 2x 0.∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a 2，∵ON →∥a ，∴13＝b 2a2.∵a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2， 又直线方程为y ＝x －c .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0.∴x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2.又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. 又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点． 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1， 由题意知mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点． 2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．例3 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则PF ＋PA的最小值为________．解析 设右焦点为F ′，由题意可知F ′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，PF －PF ′＝4，∴PF ＋PA ＝4＋PF ′＋PA ，∴要使PF ＋PA 最小，只需PF ′＋PA 最小即可，PF ′＋PA 最小需P ，F ′，A 三点共线，最小值即4＋F ′A ＝4＋9＋16＝4＋5＝9.答案 9点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．例4 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解 设动点P 的坐标为(x ，y )， 由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋4k2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.7 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，∴x 1＋x 2＝2a3－a2，④ 把④代入③，得(2－a )·2a3－a2＝2， 解得a ＝32，经检验知满足Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＞0，∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在． 解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上， 设圆心的坐标是(－p ，p )(p >0)， 则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8， 由于O (0,0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4,0)．假设存在异于原点的点Q (m ，n )使QF ＝OF ，则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16且m 2＋n 2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125.3．直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x P ，y P )，则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m 1＋3k2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk.∵AP ⊥MN ，∴3k 2－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0)，故m ＝－3k 2＋12.由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0. 故当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l .8 圆锥曲线中的易错点剖析1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误例1 长为a 的线段AB ，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB 中点P 的轨迹方程．错解 如图所示，设A (0，y )，B (x,0)．由中点坐标公式可得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，连结OP ，由直角三角形斜边上的中线性质有OP ＝12AB ＝12a .故⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.正解 设中点P (x ，y )，A (0，m )，B (n,0)， 则m 2＋n 2＝a 2，x ＝n 2，y ＝m2，于是所求轨迹方程为x 2＋y 2＝14a 2.2．忽视定义中的条件而致误例2 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为________． 错解 根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故填椭圆．正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为F 1F 2，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2. 答案 线段3．忽视标准方程的特征而致误例3 设抛物线y ＝mx 2(m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程． 错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m4.又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4. 故－m 4＝－2或－m4＝4.∴m ＝8或m ＝－16.∴抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.正解 由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .4．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例4 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且AF ＝5，求抛物线的标准方程．错解一 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)． 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝9，m ＝12. 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x . 当m <0时，点A 在第三象限， 抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)， 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p 2＋m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝－2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5＋34，m ＝5－342或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝5－34，m ＝5＋342(舍去)． 所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x . 综上所述，抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 错因分析 当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论.正解 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ， 则d ＝AF ＝p 2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝9，m ＝12， 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p 2－m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝－2pm ，p 2－m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝9，m ＝－12. 所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.9 圆锥曲线中的数学思想方法1．方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若AB ＝25，求椭圆的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0， Δ＝16－4(8－2b 2)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵AB ＝25，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25， ∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25， 即52·16－4(8－2b 2)＝25， 解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16.∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1. 2．函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法． 例2 若点(x ，y )在x 24＋y 2b2＝1(b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值． 解 ∵x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，∴x 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2≥0， 即－b ≤y ≤b .∴x 2＋2y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4＝－4b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 242＋4＋b 24.当b 24≤b ，即0<b ≤4时，若y ＝b 24，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为4＋b 24；当b 24>b ，即b >4时，若y ＝b ，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b .综上所述，x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋b 24，0<b ≤4，2b ，b >4.3．转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．例3 如图所示，已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x ＝12，P 是l 上任意一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在线段OP 上，且满足OQ ·OP ＝OR 2，当点P 在l 上运动时，求点Q 的轨迹方程．解 设P (12，y P )，R (x R ，y R )，Q (x ，y )，∠POx ＝α.∵OR 2＝OQ ·OP ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫OR cos α2＝OQ cos α·OP cos α. 由题意知x R >0，x >0，∴x 2R ＝x ·12.①又∵O ，Q ，R 三点共线，∴k OQ ＝k OR ，即y x ＝y R x R.②由①②得y 2R ＝12y 2x.③ ∵点R (x R ，y R )在椭圆x 224＋y 216＝1上，∴x 2R 24＋y 2R 16＝1.④ 由①③④得2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)，∴点Q 的轨迹方程是2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)．4．分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论．例4 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程． 分析 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．解 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)， 即x 24λ－y 2λ＝1(λ≠0)． 当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1. 当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1. 综上所述，所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. 5．数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．例5 在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设BC ＝m ，当三个角满足条件|sin C －sin B |＝12|sin A |时，求顶点A 的轨迹方程． 解 以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. 设点A 坐标为(x ，y )，由题设，得|sin C －sin B |＝12|sin A |. 根据正弦定理，得|AB －AC |＝m 2<m ＝BC . 可知点A 在以B ，C 为焦点的双曲线上．2a ＝m 2，∴a ＝m 4. 又c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2. 故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(y ≠0)．。

2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比ca 称为椭圆的离心率．记为：e ＝ca.(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋c .(c为椭圆的半焦距)(√)类型一 由椭圆方程研究其几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－712，0和⎝⎛⎭⎫712，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫±13，0，⎝⎛⎭⎫0，±14. 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，2c ＝12，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程． 解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. 当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝－32±7，与0＜b ＜12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 2＝22－2y 20＋y 2＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. 类型三 求椭圆的离心率例4 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，23b ， 且△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21.而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解． (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪训练4 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率． 解 若焦点在x 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26，∴e ＝c a ＝265；若焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106， ∴e ＝c a ＝10625＝265.故椭圆C 的离心率为265.1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________． 答案33解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，又∵0＜e ＜1，∴e ＝33.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________． 答案 x 2＋y 26＝1解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 又椭圆的焦点在y 轴上， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 答案 35解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ，又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32. 5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置． 2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状． 3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．4．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆可设为x 2a 2＋m ＋y 2b 2＋m＝1.一、填空题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________． 答案 14,4，357解析 先将椭圆方程化为标准形式，得x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为________． 答案 x 236＋y 216＝1解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10， 又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________． 答案5－12解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝ca ，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)．4．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 因为F 1F 2＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________． 答案 x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1解析 若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14，∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1.6．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P的纵坐标是________． 答案 ±32解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴， 因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3. 所以点P 和点F 2的横坐标都为3. 故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________． 答案2mm解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m m. 8．已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 答案 22解析 因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 9．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．答案 x 25＋y 24＝1 解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为A (1,0)，即c ＝1.设P ⎝⎛⎭⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 33解析 由题意可设PF 2＝m ，结合条件可知PF 1＝2m ，F 1F 2＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝3m 2m ＋m ＝33. 11．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案 34解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝3a 2－c 2c ＝12， 解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、解答题12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e ＝35. 13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ， ∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 三、探究与拓展14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，则椭圆的离心率为________． 答案 33解析 由F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，得EF 2EF 1＝F 2B F 1A ＝12， 从而a 2c －c a 2c ＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. 15．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。

第二章 圆锥曲线与方程学习目标1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．知识点一椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹标准 方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px 或y 2＝－2px 或x 2＝2py 或x 2＝－2py(p >0) 关系式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y ＝±b a x 或y ＝±ab x无限延展，没有渐近线 变量 范围 |x |≤a ，|y |≤b 或|y |≤a ，|x |≤b|x |≥a 或|y |≥ax ≥0或x ≤0或y ≥0或y ≤0对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个两个一个离心率 e ＝ca ，且0<e <1 e ＝ca ，且e >1 e ＝1决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小1．椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积为S ＝b 2tan α2.(2)焦点三角形的周长为L ＝2a ＋2c . 2．双曲线的焦点三角形焦点三角形的面积为S ＝b 2tanα2.知识点三求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． 1．定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．2．定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．3．定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．知识点四离心率1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．2．方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．知识点五直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．类型一圆锥曲线的定义及应用例1设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的左，右两个焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．跟踪训练1已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是____________．类型二圆锥曲线的性质及其应用例2(1)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线的斜率为______________． (2)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．反思与感悟有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．跟踪训练2已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________________________________．类型三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，37)满足MA ＝MB ，求直线l 的斜率k 的值．反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练3如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB →与n ＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．1．已知F 1、F 2是椭圆x 2k ＋2＋y 2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________．2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为__________．3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________．4．若抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离的和是5，则线段AB 的中点P 到y 轴的距离是________．5．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”思想，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题．提醒：完成作业第2章章末复习课答案精析题型探究 例1 2跟踪训练1直角三角形 例2(1)±22(2) 6 跟踪训练2⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 例3解(1)由题意知，PF 1＋PF 2＝2a ＝22，所以a ＝ 2. 又因为e ＝c a ＝22， 所以c ＝22×2＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)已知椭圆的右焦点为F 2(1,0)，直线斜率显然存在， 设直线的方程为y ＝k (x －1)，两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2. 所以AB 的中点坐标为(2k 21＋2k 2，－k1＋2k2)．①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为y －－k 1＋2k 2＝－1k (x －2k21＋2k 2)，因为MA ＝MB ，所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程，得 37＋k 1＋2k 2＝2k 1＋2k 2， 即23k 2－7k ＋3＝0， 解得k ＝3或k ＝36； ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意． 所以斜率k 的取值为0，3或36. 跟踪训练3解(1)因为2c ＝2， 所以c ＝1.又AB →＝(－a ，b )，且AB →∥n ， 所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1， 所以b 2＝1，a 2＝2.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1.(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部， 所以OP →·OQ →<0， 即x 1x 2＋y 1y 2<0.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1. 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0， 得m 2<23k 2＋23.依题意且满足(*)得，m 2<23，故实数m 的取值范围是(－63，63)． 当堂训练1.122.x 216＋y 212＝13.x 2－y 23＝1 4．25.3x ＋4y －13＝0。

2.6.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点曲线与方程的概念思考到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上(条件②，即完备性)，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3.(√)2．到y轴距离为2的点的直线方程x＝－2.(×)3．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线．(×)类型一 曲线与方程的概念例1 命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号) ①方程f (x ，y )＝0的曲线是C ； ②方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C ； ③f (x ，y )＝0是曲线C 的方程；④以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上． 答案 ②解析 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程f (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，给出下列命题： ①坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上； ②曲线C 上的点的坐标都不满足方程f (x ，y )＝0；③坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上； ④一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0. 其中判断正确的是________．(填序号) 答案 ④解析 “坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错． 类型二 点与曲线的位置关系例2 方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0表示的曲线经过点A (0，－3)，B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74，D (8,0)中的________个．答案 2解析 由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，∴A (0，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74不符合要求；将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可． 跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－25，2)是否在这个圆上．解 (1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以x 20＋y 20＝5，也就是x 20＋y 20＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x 20＋y 20＝25，两边开方取算术平方根，得x 20＋y 20＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点． 由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上． 类型三 曲线与方程关系的应用例3 判断下列结论的正误，并说明理由． (1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解 (1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误． (2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围． 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0； ②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上； ③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0. 答案 ③2．已知方程9(x －1)2＋y24＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)①(－2,0) ②(1,2) ③(4,0) ④(3,1) 答案 ①③解析 将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.答案 －185或2解析 依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.所以m 的值为2或－185.4．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________． 答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， 即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0. 5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号) ①一条直线 ②一条射线 ③一条线段 ④不能确定答案 ②解析 方程y ＝3x －2表示的曲线是一条直线，当x ≥1时，它表示一条射线．2．曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，则下列四个点中在曲线C 上的是________．(填序号) ① (0,0) ②(7,15) ③(2,3) ④(4,4) 答案 ③解析 由y ＝2x －1(1<x <5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________． 答案 2解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)①y ＝a log a x ；②y ＝x 2；③y ＝log a a x；④y ＝3x 3. 答案 ③④解析 由y ＝log a a x＝x ，y ＝3x 3＝x ，得③④表示同一条曲线． 5．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是____________． 答案 点(1,2)解析 由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0，且y －2＝0，即x ＝1且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1,2)．6．若点M 到两坐标轴的距离的积为2016，则点M 的轨迹方程是________． 答案 xy ＝±2016解析 设M (x ，y )，则由题意得|x |·|y |＝2016， 所以xy ＝±2016.7．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，则“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 由(kx ＋1)2＝4x ，得k 2x 2＋2(k －2)x ＋1＝0， 则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2－4k 2＝16(1－k )>0， 得k <1且k ≠0，故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件． 8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有一个公共点，则k 的值为________．答案 ±54解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y24＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＝0， 即k ＝±54时，直线与椭圆有一个公共点． 9．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法： ①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0； ②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上； ④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．其中正确的是________．(填序号) 答案 ④10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________． 答案 4π解析 设P (x ，y )，∵PA ＝2PB ， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2， ∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， ∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0； ②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0. 答案 ③解析 对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的． 二、解答题12．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解 由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．证明 因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，y 0)＝0，故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解， 故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上． 三、探究与拓展14．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④xy＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________． 答案 ①解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程x y＝1. 15．方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。

2.1 圆锥曲线[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．思考1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答案不是，是线段F1F2.2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答案是双曲线一支．题型一椭圆定义的应用例1 在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC ＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.反思与感悟本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪训练1 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A 内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．证明 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )．∴圆心M 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．题型二 双曲线定义的应用例2 已知圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －2)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹．解 由已知得，圆C 1的圆心C 1(－2,0)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,0)，半径r 2＝3.设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆C 1相外切，所以MC 1＝r ＋1.①又因为动圆M 与圆C 2相外切，所以MC 2＝r ＋3.②②－①得MC 2－MC 1＝2，且2<C 1C 2＝4.所以动圆圆心M 的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．反思与感悟 设动圆半径为r ，利用动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得两个等式，相减后消去r ，得到点M 的关系式．注意到MC 2－MC 1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C 1与圆C 2相切于点(－1,0)，所以M 的轨迹不过(－1,0)．跟踪训练2 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝12sin A ，则顶点A 的轨迹是什么？解 因为|sin C －sin B |＝12sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝12BC ＝12m ，且12m <BC ， 所以点A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC 的两交点)．题型三 抛物线定义的应用例3 已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．解 方程可变形为x －2＋y －2|x ＋y ＋6|2＝1，∵x －2＋y －2表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离， 又由x －2＋y －2|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．反思与感悟若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．跟踪训练3 点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，则动点P的轨迹是__________________．答案椭圆或线段或不存在解析当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．2．已知△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A、B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．3．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________________．答案以O、A为焦点的椭圆解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆．4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小于1，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．5．到定直线x＝－2的距离比到定点(1,0)的距离大1的点的轨迹是________________．答案抛物线解析到定点(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以点的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线．1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线．2．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.3．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．4．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线．。

２018版高中数学第２章圆锥曲线与方程２.6．1 曲线与方程学案苏教版选修2－1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(20１8版高中数学第2章圆锥曲线与方程 2.6.1 曲线与方程学案苏教版选修2-１）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.６．1 曲线与方程［学习目标］１。

了解曲线和方程的概念.２.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义.知识点曲线的方程、方程的曲线如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f（x,y)＝0的解，且以方程f（x,ｙ）=０的解(x，ｙ)为坐标的点都在曲线Ｃ上,那么,方程f(x,y)=0叫做曲线C的方程,曲线Ｃ叫做方程f(x,y)=0的曲线．思考 (1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况?举例说明.(2)如果曲线C的方程是f(ｘ,y)＝0,那么点Ｐ(x０,y0）在曲线C上的充要条件是什么?答案 (1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,有可能扩大曲线的边界．如方程y=1－x2表示的曲线是半圆,而非整圆.(2)若点P在曲线Ｃ上,则f（x0，y0）=0；若f(x0,ｙ０）＝0，则点P在曲线C上,所以点P（ｘ，ｙ0)在曲线C上的充要条件是f（x0，y０）=0.０题型一曲线与方程的概念例1 (1）已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上,那么下列说法正确的是___＿_＿__.(填序号)①曲线C上的点的坐标都适合方程f（x,y)=0;②凡坐标不适合ｆ(x,y)＝０的点都不在曲线C上；③不在曲线C上的点的坐标必不适合ｆ（x,y)=0;④不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x,y）=0,有些不适合ｆ（ｘ,y）＝0。