第四章 根轨迹法
一、本章教学目的及要求:
掌握根轨迹的基本概念；掌握根轨迹方程、幅值条件和相角条件；
正确理解开环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义；
掌握控制系统根轨迹的绘制方法，熟练绘制根轨迹；
正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图；
能够运用根轨迹法对控制系统进行分析；明确闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系。
二、本章重点、难点
1.重点：根轨迹的绘制利用根轨迹分析控制系统
2.关键点：根轨迹方程，幅值条件，相角条件
3.难点：非最小相位系统和时滞系统根轨迹的绘制
三、本章内容
4.1 根轨迹的基本概念
4.2 根轨迹的基本法则
4.3 广义根轨迹
4.4 系统性能的分析
四、本章学时：8学时
五、本章学习方法
通过具体习题练习掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对根轨迹的大致图形。
4.1 根轨迹的基本概念
一．问题的提出
EMBED Equation.3
当K由0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹城根轨迹，不仅直观的表示了K 变化时间闭环特征根的变化，还给出了参数时闭环特征根在S平面上分布的影响。可判定系统的稳定性，确定系统的品质。
EMBED Equation.3
二、根轨迹与系统性能
EMBED Equation.3
三、 闭环零、极点与开环零、极点的关系
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
四．根轨迹方程
EMBED Equation.3
4.2 根轨迹的基本法则
上图所示系统的开环传递函数写成零、极的形式为：
EMBED Equation.3
则以k0为参数的根轨迹绘制规则如下：
【规则1】根轨迹的对称性
根轨迹对称与s平面的实轴
【规则2】根轨迹的分支数及其起点和终点
根轨迹的分支数：n条
起点：n个开环极点
终点：开环零点（包括无限开环零点）
【规则3】根轨迹在实轴上的分布
实轴上根轨迹段右侧开环零、极点数之和为奇数。
【规则4】根轨迹的渐近线
1、渐近线的倾角： EMBED Equation.3
渐近线与实轴的交点： EMBED Equation.3
或 EMBED Equation.3
【规则5】根轨迹的分离点和会合点
分离点、会合点：特征方程的重根点
求法：
重根法：系统的开环传递函数改写成： EMBED Equation.3 ，则特征方程为D(s)=A(s)+KB(s)=0 ,若方程出现重根，必须满足： EMBED Equation.3 ，即A(s)B?(s)-A?(s)B(s)=0
试探法： EMBED Equation.3
说明：由上式求出的分离点应检验，舍去不在根轨迹上的值；当没有开环零点时，上式的右侧应取零。
【规则6】根轨迹的出射角和入射角
出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角。
入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角。
出射角的计算： EMBED Equation.3 ，
其中： EMBED Equation.3
入射角的计算： EMBED Equation.3
【规则7】根轨迹与虚轴的交点
两种计算方法：
根据劳斯判据计算
具体方法：令劳斯表中s的奇数次所对应的行元素全为零，用此行的上一行构造辅助方程计算W值和对应的K值。
例题：已知一系统闭环特征方程为：
EMBED Equation.3
求特征根与虚轴的交点和对应的K值。
解：由上式列劳斯表：
s4 1 36 K
s3 8 80 0
s2 26 K
s1 8(260-k)
s0 K
由劳斯表可知，当劳斯表中的s1行的所有元素为零时，即8(260-K)=0 ；
由上一行构造辅助方程F(S)=26S2+K=0；
由上述两个方程联立求解，得到 EMBED Equation.3
这说明根轨迹与虚轴的交与 EMBED Equation.3 对应的K值为260。
用s=jw代入方程直接求解
具体做法：将S=jw代入特征方程，令实部和虚部分别为零，联立求解。
以上题为例，将S=jw代入特征方程，可得 EMBED Equation.3 ；令上式的实部和虚部分别等于零，得到方程组： ；求解可得 EMBED Equation.3
【规则8】特征方程根之和与根之积
若把系统的开环传递函写成如下形式： EMBED Equation.3
则当n－m≥2时，有下列两式成立： EMBED Equation.3
【规则9】根轨迹上一点s0对应的K值
EMBED Equation.3
例题1：设一单位负反馈系统如图所示，试绘制该系统的根轨迹。
解：系统的开环传递函数： EMBED Equation.3
1）开环零点：无；开环极点：0，－1，－2
2）系统有3条根轨迹分支，起点为开环极点（0，－1，－2）
3）实轴上根轨迹分布如图
4）渐近线：
与实轴的夹角： EMBED Equation.3
与实轴的交点： EMBED Equation.3
5）分离点：
EMBED Equation.3 →d1= -0.42 d2=-1.58(不在实轴根轨迹上，舍去)
6）根轨迹与虚轴的交点
将s=jw代入D(s)=s(s+1)(s+2)+k=0,得到方程组
解之可得：w＝±1.414；k＝6
完整的根轨迹图如下：
例题2：单位负反馈控制系统的开环传递函数为： EMBED Equation.3 ，试证明根轨迹的复数部分为一圆。
证明：由根轨迹的相角条件可知：arg(s+2)-arg(s)-arg(s+1)= ±π
令s＝σ＋jω代入上式，则得 EMBED Equation.3
即： EMBED Equation.3
上式等号两侧同时取正切，化简后得 EMBED Equation.3
这是一个圆的方程，问题得证。
下图为系统的根轨迹图。
EMBED PBrush
4.3 广义根轨迹
一、
参量根轨迹
引入等效开环传递函数的概念
EMBED Equation.3
等效开环传递函数
注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭
环零点是不同的。
例4.5：设单位反馈系统的开环传递函数为
其中开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。
解：闭环特征方程
要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点
等效开环极点 SHAPE \* MERGEFORMAT
注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，
求解分母特征根的根轨迹方程为：
在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将W1(s)的零、极点画在 s 平面上，绘
制出k变化时的根轨迹。
SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT
二、附加开环零点的作用
1．附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。
设开环传递函数为
为附加开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当 时，表明不存在
有限零点。
令 为不同的数值:
（a）无开环零点；（b） ；（c）
（d）
2．附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。
结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性
和动态性能同时得到明显的改善。
SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT
三、零度根轨迹
在非最小相位系统，此时相角条件为
在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要
绘制相应的根轨迹，其相角条件为 ，具有这类相角条件的相轨迹称为：
零度根轨迹
EMBED PBrush
系统的闭环传递函数为： EMBED Equation.3
相应的特征方程为：1-G(s)H(s)=0 即 EMBED Equation.3
幅值条件：│G(s)H(s)│=1
相角条件：arg[G(s)H(s)]=±2kπ ,=0,1,2…
零度根轨迹的绘制规则：
【规则3＇】根轨迹在实轴上的分布
实轴上根轨迹段右侧开环零、极点数之和为偶数。
【规则4＇】根轨迹的渐近线
1、渐近线的倾角： EMBED Equation.3
渐近线与实轴的交点： EMBED Equation.3
或 EMBED Equation.3
【规则6＇】根轨迹的出射角和入射角
出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角。
入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角。
出射角的计算： EMBED Equation.3 ，
其中： EMBED Equation.3
入射角的计算： EMBED Equation.3
除上述３条规则外，
其余均与负反馈系统的根轨迹的绘制完全相同。
四、滞后系统的根轨迹
EMBED PBrush
系统的闭环传递函数为： EMBED Equation.3
相应的特征方程为： EMBED Equation.3
令s=σ+jω带入特征方程，得到根轨迹的相角条件和幅值条件。
幅值条件：|G(s)H(s)|e-τs=1/k
相角条件：arg[G(s)H(s)]=±(2k+1)π +τω ,k=0,1,2…
当τ＝0时，和原方式相同；当τ≠0时，幅值条件和相角条件均发生变化；当τ较小时， EMBED Equation.3 。
具体的绘制规则为：
【规则1】根轨迹的对称性
根轨迹对称于实轴
【规则2】根轨迹的分支数
无数多条分支
【规则3】根轨迹的起点、终点
起点：开环极点和σ＝－∞；终点：开环零点和σ=∞。
【规则4】实轴上的根轨迹
【规则5】渐近线
k=0时部分根轨迹的渐近线始于σ＝－∞处，对应的w值由下列两式决定：
n-m=奇数， EMBED Equation.3
n-m=偶数， EMBED Equation.3
k=∞时，部分根轨迹终止于σ=∞处，对应的w值为 EMBED Equation.3
【规则6】根轨迹的分离点
[A(s)e-τs] B?(s)-[A(s) e-τs ]?B(s)=0
【规则7】根轨迹与虚轴的交点
EMBED Equation.3
4.4 系统性能的分析
一 系统稳定性分析
主要有两类：1、非最小相位系统 如：
2、具有局部正反馈系统
例
EMBED Equation.3
其根轨迹为： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
0 EMBED Equation.3
0
14
二 瞬态性能分析和开环系统参数确定
1、 有β（闭环系统极点张角）→超前量
因β=cos—1ξ
2 、由闭环极点实部→调节时间
3 、由性能指标要求→闭环（主导）极点大致位置
4 、由瞬态性能指标→开换系统放大系数或其他参数
例 EMBED Equation.3
若要求闭环系统等位阶跃响应最大超调量≤18% ,试确定Kg。
解：分离点时Kg=17，Kg>240 闭环系统不稳定
由图查得：β≤60% 做β=60度直线，交点A，B为满足性能指标要求的闭环子系统主导极点： EMBED Equation.3
幅值条件： EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
由特性 ∑ EMBED Equation.3 =∑ EMBED Equation.3 =常数
EMBED Equation.3
-1.2-1.2+j2.1-j2.1+S3= -10
S3= -10+2.4= -7.6
S3为另一闭环系统实极点。
小结：根轨迹分析
作业：4-5
习题：
1、所示系统同时满足下述条件，限用根轨迹法
Xr（s） E(s) Xc(s)
（1）单位斜坡转入下的稳态误差 EMBED Equation.3
（2）阶跃响应无超调
试确定K1的数值
解 ：求K1应满足两个条件：稳定性，稳定误差； 阶跃响应要求
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
应 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
校验K1≥4时闭环系统稳定性
特征方程 ：D（S）= S（S+3）2 + K1=0
S3 +6S2 +9S+K1=0
S3 1 9
S2 6 K1
S1 （6×9-K EMBED Equation.3 ）/6
S0 K EMBED Equation.3
系统稳定条件 6×9-K EMBED Equation.3 >0 满足误差要求的K EMBED Equation.3
∴K EMBED Equation.3 <54 ∴4 ≤K EMBED Equation.3 ＜54
要求阶跃响应无超调，必须保证闭环特征根均为负实数，可由根轨迹法确定K EMBED Equation.3 值
EMBED Equation.3
开环极点： P1=0，P2，p3= -3
分离点： EMBED Equation.3
K EMBED Equation.3 = -s(s+3) 2 ,分离点 d= -1
d点对应的K 1值，d代入模方程 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
0 EMBED Equation.3
闭环特征根为负实根的K 1范围 0〈K1≤4
故综上,满足误差条件和阶跃响应 K1=4
2、已知控制系统开环传递函数
EMBED Equation.3
试绘制系统的根轨迹
解： 1 开环极点，0，-5，-20，-50
零点：-0.125
2 实轴上根轨迹（-0.125~-5）， （-20~-50）
3 渐进线 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3、确定分离点和会合点
本题中，零点，极点之间距离相差很大，如零点—0.125与极点9之间进相距0.125，而零点—0.125与极点—50之间却相差49.875，故可做如下简化： 在绘制原点附近的轨迹时，舍去远离原点的极点影响；在绘制远离原点的轨迹时，舍去零点和一个零极点影响。
求原点附近根轨迹和会合点
传递函数可简化为： EMBED Equation.3 0 EMBED Equation.3
略去远离原点的极点，原点处有二重极点，右侧无零点，
极点，其分离角±90度，
确定会合点
此时特征方程：S2 +KS +0.125K=0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
解之 S1= - 0.25 会合点;S2= 0 重极点分离点
ii）求远离原点的根轨迹和分离角
略去原点附近的开环 （零点-0.125和极点）
传递函数可化为：
K
S(S+5)(S+20)(S+50)
特征方程 ： jw
S(S+5)(S+20)(S+50)+K=0
K=-S(S+5)(S+20)(S+50)由
0 EMBED Equation.3
由 EMBED Equation.3
得 EMBED Equation.3
解之 S1= -2.26 , S2= -40.3
难题分析：
一、非最小相位系统 EMBED Equation.3
试绘制根轨迹，并确定使系统稳定的Kg范围
解：1 、起点：0，1，此处有根号
2 、终点：-1
3 、渐进线 θ=±60度 ±180度， -σ= -2/3
4 、分离点
dk1
= 0
ds
3s2 +10s3 +21s2 +24s-16=0
S1=0.45 S 2=-2.5
5 、交点 S(S-1)(S2 +4S+16)+Kg(S+1)=0
ω4 -12ω2 +Kg=0
-3ω2 +（Kg-16）ω =0
得ω =0，±2.56, ±1.56 , Kg=35.7,23.3
6、 EMBED Equation.3
23.3
二、已知负反馈系统 EMBED Equation.3 试绘制系统根轨迹,当在负实轴上有一个零点，即 EMBED Equation.3 ， 0≤ a ＜1，分析系统稳定性
解：原系统根轨迹
1. 开环极点 0，0，-1
2. 渐进线 EMBED Equation.3 ;σ= -1/3
3 分离点 K= -S2 （S+1）
由 EMBED Equation.3 , （3S2 +2S）= 0
分离点为S=0,对应 K=0,K为任何正值均不稳定
增加零点-a后
1 、开环极点 0，0，-1；零点-a ，（0≤a＜1＝
2 、渐进线 φ EMBED Equation.3 = ±90°σ= （-1+a）/2
可见加零点后，只要K>0x系统均能稳定。
病题分析：
设 非最小相位系统 EMBED Equation.3 ，试绘制系统根轨迹
症状1 ：
起点：0，-5； 终点：2
实轴上根轨迹[-∞，-5]，[0，2]
渐进线 EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3
j
K=0
-5 0 k→∞
病因：根轨迹方程理解不透,正负反馈学习时机械记忆
医治： EMBED Equation.3
根轨迹方程1+Gk（s）=0
PAGE
PAGE 1
EMBED PBrush
K1
1/S（S+3）2
-2
EMBED Equation.3
0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
G(s)
C(s)
R(s)
H(s)
K－3w2=0
2w－w3=0
EMBED PBrush
w4-36w2+K=0
w(80-w2)=0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
***[JimiSoft: Unregistered Software ONLY Convert Part Of File! Read Help To Know How To Register.]***