函数的极值与导数常见题型归纳题模一：函数极值的概念与判定 1. 下列结论中正确的是（ ） A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，那么f （x 0）是极大值C.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，那么f （x 0）是极小值D.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＜0，右侧f′（x ）＞0，那么f （x 0）是极大值 2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点________个；有极小值点________个． 2. 已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为，且，那么下列情形不可能出现的是（ ） A.， B.是的极小值点 C.是的极小值点 D.是的极小值点题模二：具体函数的极值1. 下列函数中，0x =是极值点的函数式（ ） A.3y x =- B.2cos y x = C.sin y x x =- D.1y x=2. 函数f （x ）=14x 4-13x 3+x 2-2在R 上的极值点有（ ） A.3个 B.2个 C.1个D.0个3. 已知函数．求的极小值．4. 已知函数f （x ）=2f′（1）lnx -x ，则f （x ）的极大值为____．5. 已知函数f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1）的图象在点（1，f （1））处的切线垂直于y 轴． （1）求实数t 的值； （2）求f （x ）的极值．题模三：已知含参函数极值点求参数1.函数f （x ）=x 3+ax 2+3x -9，已知f （x ）在x=-3时取得极值，则a=（ ） A.2 B.3 C.4D.5()f x ()a b ，'()f x ()a b ，()f x ()a b ，()f x ()g x R ()f x ()g x 0x =0()()f x g x ≥x R ∀∈()()0f x f x ≤0x -()f x -0x -()f x -0x -()f x --()3213232f x x x x =-+()f x 题模精讲.2 设函数．若的两个极值点为、，且，求实数________．3. 若函数y=e 1a x -（）+4x （x∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是（ ）A.a ＞-3B.a ＜-3C.a ＞-13D.a ＜-134. 若函数321111()(1)3245f x a x ax x =-+-+在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .题模四：已知含参函数极值情况求参数范围1. 若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.(0,1)B.(,1)-∞C.(0,)+∞D.1(0,)22. 已知三次函数f （x ）=ax 3-x 2+x 在（0，+∞）上存在极大值点，则a 的范围是（ ）A.(0，13)B.(0，13]C.(-∞，13)D.(-∞，0)∈(0，13)3. 已知f （x ）=22(1)x bx --无极值，则b 的值为（ ）A.1B.2C.3D.44. 已知函数，，且有极值．求实数的取值范围．1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ A.y=x 3B.y=ln （-x ）C.y=xe -xD.y=x+2x2.关于函数()32f x x x x =-+，下列说法正确的是（ ）A.有极大值，没有极小值B.有极小值，没有极大值C.既有极大值也有极小值D.既无极大值也无极小值3. 已知函数f （x ）=（x 2+a ）•e x （x∈R ）在点A （0，f （0））处的切线l 的斜率为-3． （1）求a 的值以及切线l 的方程；（2）求f （x ）在R 上的极大值和极小值．4.已知函数f （x ）=（x 2+ax -2a 2+3a ）e x （x∈R ），若a∈R ，求函数f （x ）的单调区间与极值．5. 函数f （x ）=x 2+aln （1+x ）有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则实数a 的范围是()()326322f x x a x ax =+++()f x 1x 2x 121x x =a =()ln f x ax x =+(1)x e ∈，()f x a 随堂练习____．6. 已知函数y=ax 3+bx 2，当x=1时，有极大值3． （1）求a ，b 的值；（2）求函数y 的极小值．7. 设函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当为何值时，函数有极值？并求出极大值．8. 若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是____．9. 函数y=x 3-2ax+a 在（0，1）内有极小值，则实数a 的取值范围是（ ）A.（0，3）B.（0，32） C.（0，+∞） D.（-∞，3）10 已知f （x ）与g （x ）是定义在R 上的连续函数，如果f （x ）与g （x ）仅当x=0时的函数值为0，且f （x ）≥g （x ），那么下列情形不可能出现的是（ ） A.0是f （x ）的极大值，也是g （x ）的极大值 B.0是f （x ）的极小值，也是g （x ）的极小值 C.0是f （x ）的极大值，但不是g （x ）的极值 D.0是f （x ）的极小值，但不是g （x ）的极值11设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ）A.x=12为f （x ）的极大值点B.x=12为f （x ）的极小值点C.x=2为 f （x ）的极大值点D.x=2为 f （x ）的极小值点()()3211132f x x ax a x =-+-1a =()y f x =()00，a ()y f x =12 已知函数f （x ）=4x +a x -lnx -32，其中a∈R ，且曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=12x ． （∈）求a 的值；（∈）求函数f （x ）的单调区间与极值．13 已知函数，试讨论的极值 ．14已知函数（）．讨论在区间上的极值点．15 若函数f （x ）=21x ax ++在x=1处取极值，则a=____．16 如果函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，那么a = ，b = ．()ln f x ax x =+()f x ()2ln 2x f x a x =-1a >()f x ()1e ，答案解析题模一：函数极值的概念与判定 1.【答案】B 【解析】导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点，故A 错；如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，则函数先增后减，则f （x 0）是极大值； 如果在x 0附近的左侧f′（x ）＜0，右侧f′（x ）＞0，则函数先减后增，则f （x 0）是极小值； 故选B ．2.【答案】2；1【解析】从的图象可知在内从左到右的单调性依次为增→减→增→减， 根据极值点的定义可知在内只有2个极大值点，1个极小值点．3.【答案】D【解析】A 项，（）是的极大值点，不一定是最大值点，故不正确； B 项，是把的图象关于轴对称，因此，是的极大值点； C 项，是把的图象关于轴对称，因此，是的极小值点；D 项，是把的图象分别关于轴、轴对称，因此是的极小值点．题模二：具体函数的极值 1.【答案】B【解析】A ．230y x '=-<，所以无极值点；B ．2cos sin y x x '=-，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上0y '>，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上0y '<，所以0x =是极大值点；C ．cos 10y x '=-≤，所以无极值点；D ．210y x'=-<，所以无极值点．2.【答案】C 【解析】f′（x ）=x 3-x 2+2x=x （x 2-x+2），∈x 2-x+2＞0，∈x∈（-∞，0）时，f′（x ）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0； ∈x=0是函数f （x ）的极小值点． 故选：C ．.3【答案】极小值为．【解析】．列表如下：1 2 + 0 - 0 +单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，的极小值为． '()f x ()f x ()a b ，()a b ，0x 00x ≠()f x ()f x -()f x y 0x -()f x -()f x -()f x x 0x ()f x -()f x --()f x x y 0x -()f x --()223f =23212f x x x x x '=-+=--x ()1-∞，()12，()2+∞，()f x '()f x ()f x ()23f =4.【答案】2ln2-2【解析】由于函数f （x ）=2f′（1）lnx -x ，则f′（x ）=2f′（1）×1x-1（x ＞0），f′（1）=2f′（1）-1，故f′（1）=1，得到f′（x ）=2×1x -1=2xx-，令f′（x ）＞0，解得：0＜x ＜2，令f′（x ）＜0，解得：x ＞2， 则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数， 故f （x ）的极大值为f （2）=2ln2-2 故答案为：2ln2-25.【答案】（1）t=-2（2）f(x)极大值=4，f （x ）极小值=1+4ln2 【解析】（1）∈f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1），∈f '(x)=2(x+t)+41x +，∈函数f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1）的图象在点（1，f （1））处的切线垂直于y 轴，∈f '(1)=2(1+t)+42=0，解得t=-2．（2）由（1）知f '(x)=2(1)1x x x -+，x ＞-1，由f′（x ）＞0，得0＜x ＜1；由f′（x ）＜0，得-1＜x ＜0或x ＞1， ∈f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（-1，0），（1，+∞）， ∈f(x)极大值=f （0）=4，f （x ）极小值=f （1）=1+4ln2． 1.【答案】D 【解析】∵f′（x ）=3x 2+2ax+3，又f （x ）在x=-3时取得极值 ∈f′（-3）=30-6a=0 则a=5． 故选D2.【答案】9．【解析】．已知，从而，所以．3.【答案】B 【解析】因为函数y=e 1a x -（）+4x ，所以y′=（a -1）e 1a x -（）+4（a ＜1），所以函数的零点为x 0=11a -ln 41a-，因为函数y=e 1a x -（）+4x （x∈R ）有大于零的极值点，()()218622f x x a x a '=+++()()120f x f x ''==122118a x x ==9a =所以x 0=11a -ln 41a -＞0，即ln 41a-＜0， 解得：a ＜-3． 故选B ．4.【答案】15a --<或15a -+>或1a =【解析】即21()(1)04f x a x ax =-+-=有解.当–10a =时，满足.当–10a ≠时，只需2(1)0a a ∆=+->.题模四：已知含参函数极值情况求参数范围 1.【答案】D【解析】∵()2'36f x x b =-，由题意，函数'()f x 图象如右图．''(0)0,(1)0,f f ⎧<⎪∴⎨>⎪⎩即60,360,b b -<⎧∴⎨->⎩得102b <<．故选D 2.【答案】D【解析】由题意知，f′（x ）=3ax 2-2x+1，∈三次函数f （x ）=ax 3-x 2+x 在（0，+∞）上存在极大值点， ∈f′（x ）=3ax 2-2x+1=0有两个不同的正实数根或一正一负根， ∈当a ＞0时，此时3ax 2-2x+1=0有两个不同的正实数根， ∈44310203103a aa⎧⎪=-⨯⨯>⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，即0＜a ＜13，∈当a ＜0时，此时3ax 2-2x+1=0有一正一负根，只须∈＞0，即4-12a ＞0，∈a ＜13，∈a ＜0综上所述，a 的范围是(-∞，0)∈(0，13)故选D ．3.【答案】B 【解析】∵f′（x ）=32(1)2(2)(1)x x b x ----=32(1)(1)x b x -+--， ∈若函数f （x ）=22(1)x bx --无极值，则1-b=-1，∈b=2．故选B ．4.【答案】． 11e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，【解析】由求导可得，令，可得． ∵，∴，∴ 又因为所以，有极值，实数的取值范围为．1.【答案】D 【解析】由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项y=x 3单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值． 故选：D ．2.【答案】D【解析】∵()22123213033f x x x x ⎛⎫'=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，∴()f x 在R 上单调递增，∴既无极大值也无极小值，故选D ．3.【答案】（1）a=-3，3x+y+3=0 （2）极大值为6e -3，极小值为-2e 【解析】（1）f （x ）=（x 2+a ）•e x ∈f'（x ）=（x 2+2x+a ）•e x … 所以f'（0）=-3∈a=-3，…（4分）所以f （0）=-3，切线方程为3x+y+3=0；…（2）f （x ）=（x 2+a ）•e x ∈f'（x ）=（x 2+2x -3）•e x =（x+3）（x -1）e x ∈f'（x ）=0∈x=-3或x =1，…当x∈（-∞，-3），f'（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x∈（-3，1），f'（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x∈（1，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）单调递增，… 所以极大值为f （-3）=6e -3，极小值为f （1）=-2e ．…4.【答案】见解析 【解析】f′（x ）=[x 2+（a+2）x -2a 2+4a]e x令f′（x ）=0 解得x=-2a 或x=a -2以下分三种情况讨论．()ln f x ax x =+1()f x a x '=+1()0f x a x '=+=1a x=-(1)x e ∈，111x e ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，11a e ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，(1)x e ∈，()f x a 11e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，极大值x 11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1a -1e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f x '+0-()f x ↗↘随堂练习（1）若a ＞23，则-2a ＜a -2．当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表： -所以f （x ）在（-∞，-2a ），（a -2，+∞）内是增函数在（-a ，a -2）内是减函数 函数f （x ）在x=2处取得极大值f （-2a ），且f （-2a ）=3ae -2a函数f （x ）在x=a -2处取得极小值f （a -2），且f （a -2）=（4-3a ）e a -2（2）若a ＜23则-2a ＞a -2当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表：函数f （x ）在x=2处取得极小值f （-2a ），且f （-2a ）=3ae -2a函数f （x ）在x=a -2处取得极大值f （a -2），且f （a -2）=（4-3a ）e a -2（3）若a=23则-2a=a -2函数f （x ）在（-∞，+∞）内单调递增，此时函数无极值5.【答案】（0，12）【解析】∵f （x ）定义域为（-1，+∞），又f′(x)=2x+1ax +，令f'（x ）=0，则2x+1ax +=0，∈函数在（-1，+∞）内有两个不同的实数根， ∈a=-2x （x+1），令y 1=a ，y 2=-2x （x+1）， 如图示：∈0＜a ＜12． 6.【答案】（1）a=-6，b=9（2）0 【解析】（1）y′=3ax 2+2bx ，当x=1时，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3， 即3203a b a b +=⎧⎨+=⎩，a=-6，b=9（2）y=-6x 3+9x 2，y′=-18x 2+18x ，令y′=0，得x=0或x=1当x ＞1或x ＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x ＜1时，y′＞0，函数单调递增． ∈y 极小值=y|x=0=0．7.1）；（2）．【解析】．（1）当时，，则曲线在点处的切线方程为； （2）显然，当时，即时函数有极值．1 + 0 - 0 +递增极大值点递减极小值点递增此时，函数极大值为．1+ 00 +递增极大值点 递减极小值点递增此时，函数极大值为 ． 综上，．8.【答案】[13，+∞）【解析】f′（x ）=3x 2+2x+m ，∈函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1在R 上无极值点， ∈f （x ）在R 上是单调函数，∈∈=4-12m≤0，解得m≥13，0y =()24(1)26=2223aa a f x a a -⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩极大值，，()()()2111f x x ax a x x a '=-+-=---⎡⎤⎣⎦1a =()00k f '==()y f x =()00，0y =11a -≠2a ≠2a <11a -<x ()1a -∞-，1a -()11a -，()1+∞，()f x '()f x ()y f x =()()2116f a a -=-x ()1-∞，()11a -，1a -()f x '-()f x ()y f x =()213f =-()24(1)26=2223a a a f x a a -⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩极大值，，故答案为：[13，+∞）．9.【答案】B【解析】根据题意，y'=3x 2-2a=0有解，所以a ＞0 23a 所以23a 所以023a 1 0＜23a ＜1 0＜a ＜3210【答案】C【解析】根据题意和图形知结合函数的图象分析：可得A ，B ，D 可能．当0是f （x ）的极大值时，不是g （x ）的极值是不可能的，选C ．11【答案】D【解析】∈f （x ）=2x+lnx ； ∈f′（x ）=-22x +1x =22x x ； x ＞2∈f ′（x ）＞0；0＜x ＜2∈f ′（x ）＜0．∈x=2为 f （x ）的极小值点．故选：D ．12【答案】（Ⅰ）54，（Ⅱ）函数f （x ）的单调递增区间为（5，+∞）； 单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值-ln5．【解析】（∈）∈f （x ）=4x +a x -lnx -32， ∈f′（x ）=14-2a x -1x， ∈曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=12x ． ∈f′（1）=14-a -1=-2，解得：a=54， （∈）由（∈）知：f （x ）=4x +54x -lnx -32，f′（x ）=14-254x -1x =22454x x x --（x ＞0）， 令f′（x ）=0，解得x=5，或x=-1（舍），∈当x∈（0，5）时，f′（x ）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x ）＞0，故函数f （x ）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值-ln5．13【答案】当时，函数不存在极值；当时，函数在处取得极大值．无极小值．【解析】函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+=． 当a≥0时，f'（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．当a ＜0时，由f'（x ）＞0，解得0＜x ＜-，此时函数递增．由f'（x ）＜0，解得x ＞-此时函数递减．此时函数在x=-处取得极大值．无极小值． 综上所述：当时，函数不存在极值；当时，函数在处取得极大值．无极小值．14【答案】的极小值点为【解析】，导数=， ≥e ，即a≥e 2时，在区间（1，e ）上单调递减，无极值点．②当＜e ，即1＜a ＜e 2时，在区间(1)上单调递减，在区间(，e)单调递增，则的极小值点为，无极大值点．15【答案】3【解析】f′（x ）=22222(1)x x x a x +--+=222(1)x x a x +-+． 因为f （x ）在1处取极值，所以1是f′（x ）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为316【答案】411-，【解析】22()32.(1)320,(1)110f x x ax b f a b f a b a =++=++==+++=′由已知得′，22334311.9a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩，，，联立解得或，当3a =-时，1x =不是极值点． 当411a b ==-，时满足题意．0a ≥0a <1x a=-()f x 1x 1ax x+1a 1a1a0a ≥0a <1x a=-()f x x a ()2ln 2x f x a x =-()a f x x x '=-2x a x-()()x a x a +-a ()f x ()f x a ()f x a a ()f x a。
第15讲双变量统一知识与方法常见的双变量问题,有如下几类:(1)极值点偏移问题;(2)拐点偏移问题;(3)双极值点问题;(4)零点差问题;(5)“恒成立”“能成立”双变量问题;(6)其他的双变量问题.本节主要研究(5)和(6)两类问题的处理方法,其他类型将在后面继续研究.对于一般的双变量问题,要灵活运用“消元”、“减元”、“换元”等操作手法,其核心思想就是化为单变量函数,研究函数的单调性、值域或最值.对于含有“恒成立”“能成立”等关键词的双变量问题,要正确翻译“恒成立”“能成立”等关键词,理解“任意”与“存在”的含义及区别,将问题进行正确转化,分析函数的值域即可解决.下面是一些常见“关键词”的翻译:1.不等式恒成立、能成立问题通常利用分离参数转化为求函数的最值：(1)∀x∈D,f(x)>a(f(x)⩾a)恒成立⇔f(x)min>a(f(x)min⩾a);∀x∈D,f(x)<a(f(x)⩽a)恒成立⇔f(x)max<a(f(x)max⩽a).(2)∃x∈D,f(x)>a(f(x)⩾a)能成立⇔f(x)max>a(f(x)max⩾a);∃x∈D,f(x)<a(f(x)⩽a)能成立⇔f(x)min<a(f(x)min⩽a).变量类函数恒成立、能成立问题(1)若f(x),g(x)的值域分别为A,B,则有:(1)∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2),则A⊆B;(2)∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2),则A∩B≠∅.(2)两个函数的最值问题(1)∀x1∈D,∀x2∈E,使得f(x1)>g(x2),则f(x)min>g(x)max;(2)∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)>g(x2),则f(x)min>g(x)min;(3)∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)>g(x2),则f(x)max>g(x)min.典型例题消元与换元在处理多变量问题时,我们可以分析变量之间的联系,通过代换的方法将其转化为单变量的问题,从而将较为复杂的函数转化为一个简单的函数来处理,实现从未知向已知的转化,顺利解决问题.【例1】设a,b >0,a ≠b ,求证:√ab <b−a ln b−ln a<a+b 2.【解析】不妨设b >a >0, (1)先证√ab <b−a ln b−ln a.要证√ab <b−aln b−ln a ,即证ln b −ln a <√ab,即证ln b a <√b a −√ab . 上式中今t =√ba ,则只需证明:2ln t <t −1t (t >1). 令f(t)=2ln t −t +1t (t >1),则f ′(t)=2t −1−1t 2=−t 2+2t−1t 2=−(t−1)2t 2<0,所以f(t)在(1,+∞)上单调递減,又f(1)=0,因此当t >1时,f(t)=2ln t −t +1t <0,即2ln t <t −1t (t >1)成立. 故ln ba <√ba −√ab . (2)再证b−a ln b−ln a <a+b 2.即证ln b −ln a >2(b−a)a+b,即证ln ba>2(b a−1)1+ba.令t =ba (t >1),则只需证明:ln t >2(t−1)1+t (t >1),设g(t)=ln t −2(t−1)1+t(t >1),g ′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0,所以g(t)在(1,+∞)递增,又g(1)=0,因此当t >1时,g(t)=ln t −2(t−1)1+t>0,即ln t >2(t−1)1+t成立,故b−a ln b−ln a <a+b 2.综上,√ab <b−aln b−ln a <a+b 2.【点睛】本题通过比值换元,把双变量不等式变为单变量不等式,从而可以轻松地构造函数解决问题.通过换元把双变量不等式变为单变量,是证明双变量不等式的基本方法. 本题的不等式称为对数平均不等式,两个正数a 和b 的对数平均定义:L(a,b)={a −bln a −ln b (a ≠b),a(a =b).对数平均与算术木平均,几何平均的大小关系:√ab ⩽L(a,b)⩽a+b 2.对数平均不等式在双变量不等式,特别是极值点偏移问题中有着重要的应用.【例2】已知函数f(x)=ae x (a ≠0),g(x)=12x 2.(1)当a =−2时,求曲线f(x)与g(x)的公切线方程;(2)若y =f(x)−g(x)有两个极值点x 1,x 2,且x 2⩾3x 1,求实数a 的取值范围.【解析】(1)当a =−2时,f(x)=−2e x ,设曲线f(x)上的切点为(x 1,−2e x 1),则切线方程为y +2e x 1=−2e x 1(x −x 1),设曲线g(x)上的切点为(x 2,12x 22), 则切线方程为y =12x 22=x 2(x −x 2),由两条切线重合得{−2e x 1=x 2,2e x 1(x 1−1)=−12x 22,则{x 1=0,x 2=−2,所以公切线方程为y =−2x −2. (2)y =f(x)−g(x)=ae x −12x 2,y ′=ae x −x ,因为x 1,x 2是y =f(x)−g(x)的极值点,所以ae x 1−x 1=ae x 2−x 2=0,所以a =x 1e x 1=x2e x 2. 令x 2=kx 1(k ⩾3),可得x 1e x 1=kx 1e kx 1,则x 1=ln kk−1. 设ℎ(x)=ln xx−1(x ⩾3),则ℎ′(x)=1−1x−ln x (x−1)2,令t(x)=1−1x −ln x(x ⩾3),则t ′(x)=1−x x 2<0,t(x)单调递减,得t(x)⩽t(3)=23−ln 3<0,所以ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减, ℎ(x)⩽ℎ(3)=ln 32,易知ℎ(x)>0,所以x 1∈(0,ln 32].今φ(x)=x e x,φ′(x)=1−x e x,则φ(x)在(−∞,1]上递增,所以a =x 1e x 1∈(0,√36ln 3]. 【点睛】当一个不等式中出现多个未知数,如何减少变元的个数就成为解决问题的关键.“减元”是在“消元”的思想下进行的,通过“消元”减少变量的个数,可使问题变得简单、易于解决.减元的常用手段有:换元、整体代入、消去常数等. 【例3】已知函数f(x)=ln x −ax . (1)讨论f(x)的单调性;(2)若x 1,x 2(x 1<x 2)是f(x)的两个零点. 证明:(i)x 1+x 2>2a ;(ii)x 2−x 1>2√1−eaa. 【解析】(1)f(x)定义域(0,+∞),f ′(x)=1x −a =1−ax x.则当a ⩽0时f(x)在(0,+∞)为增函数;当a >0时f(x)在(0,1a )为增函数,在(1a ,+∞)为减函数. (2)(i)原不等式等价于x 1+x 22>1a,因为ax 1=ln x 1(1),ax 2=ln x 2(2),由(2)−(1)得,a (x 2−x 1)=ln x 2−ln x 1则a =ln x 2−ln x 1x 2−x 1,则x 1+x 22>1a 等价于x 1+x 22>x 2−x1ln x 2−ln x 1(对数平均不等式)即证ln x 2−ln x 1>2(x 2−x 1)x 1+x 2,即证ln x 2x 1−2(x 2x 1−1)1+x 2x 1>0，设t =x 2x 1(t >1),设g(t)=ln t −2(t−1)1+t(t >1),则g ′(t)=1t−2(1+t)2=(t−1)2t(t+1)2>0,所以g(t)在(1,+∞)上为增函数.所以g(t)>g(1)=0,即ln x 2x 1−2(x 2x 1−1)1+x 2x 1>0,所以x 1+x 22>1a.(ii)设ℎ(x)=ln x x,则ℎ′(x)=1−ln x x 2.所以ℎ(x)在(0,e]上递增,在(e,+∞)上递减.因为a =ℎ(x)有两个不相等的实根,则0<a <1e 且1<x 1<e <x 2. 易证ln x <x −1对x ∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立(考试中需证明), 则ln 1x >1−x 对x ∈(0,1)恒成立,所以ax 1−1=ln x 1−1=lnx 1e>1−e x 1,因为x 1>0,所以ax 12−2x 1+e >0 又因为a >0,Δ=4−4ae >0,所以x 1<1a−√1−eaa或x 1>1a+√1−eaa. 因为0<x 1<e 且0<a <1e,所以x 1<1a−√1−eaa因为x 1+x 22>1a,所以x 1+x 22−x 1>1a−(1a−√1−eaa) 即x 2−x 1>2√1−eaa. 【点睛】将关于x 1,x 2的双变量问题等价转化为以x 1,x 2所表示的运算式作为整体的单变量问题,通过整体代换为只有一个变量的函数式,从而使问题得到巧妙的解决,我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想.这是解决双变量问题最重要、最一般的方法.变更主元对于题目涉及到的两个变元,已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动,求另一个变元的取值范围问题,这类问题我们称之为“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题,往往会利用我们习惯将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时,我们可以变更主元,“反客为主”,将另一个变量作为自变量,从而使问题得以解决,我们称这种方法为变更主元法.如下面【例】题.【例4】设函数f(x)=e2x−aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时,f(x)⩾2a+aln 2a.【解析】(1)f(x)=e2x−aln x的定义域为(0,+∞),所以f′(x)=2e2x−ax.(1)当a⩽0时,f′(x)>0恒成立,故f′(x)没有零点;(2)当a>0时,因为y=e2x为单调递增,y=−ax单调递增,所以f′(x)在(0,+∞)单调递增.又f′(a)>0,且b满足{0<b<a4,b<14,时,f′(b)<0,故零点存在性定理可知,f′(x)存在唯一的零点.综上所述,当a⩽0时,f′(x)没有零点;当a>0时,f′(x)存在唯一零点.(2)解法1:由(1)知,可设导函数f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+∞)单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0),由于2e2x0−ax0=0,所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln 2a⩾2a+aln 2a.故当a>0时,f(x)⩾2a+aln 2a.解法2:令g(a)=2a+aln 2a−e2x+aln x,g′(a)=2+ln 2a−1+ln x=1+ln 2+ln x−ln a.令g ′(a)>0,得a <2ex ;令g ′(a)<0,得a >2ex .所以函数g(a)在(0,2ex)上单调递增,在(2ex,+∞)上单调递减, 所以g(a)max =g(2ex)=4ex +2exln 1ex +2exln x −e 2x =2ex −e 2x . 再令ℎ(x)=2ex −e 2x ,ℎ′(x)=2e −2e 2x ,所以ℎ(x)在(0,12)上单调递增,在(12,+∞)上单调递减,ℎ(x)max =ℎ(12)=0. 所以g(a)max ⩽0.得证.【点睛】(1)在解题过程中,若以x 为自变量不好做,可以考虑变更主元;(2)变更主元后,要点睛意是对新变量求导.本题解法2中,构造g(a)后,a 才是自变量,而x 变成了参数.【例5】函数f(x)=e mx−1−ln x x,(1)若m =1,求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为m ,求m 的最小值. 【解析】(1)当m =1时,f(x)=e x−1−ln x x,f ′(x)=x 2e x−1+ln x−1x 2,令u(x)=x 2e x−1+ln x −1,易知u(x)在(0,+∞)上单调递增,且u(1)=0, 所以当x ∈(0,1)时u(x)<0,此时f ′(x)<0; 当x ∈(1,+∞)时u(x)>0,此时f ′(x)>0;所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞). (2)依题意可得:e mx−1−ln x x⩾m 恒成立,且等号能够取到.构造关于m 的函数g(m)=e mx−1−ln x x−m,g ′(m)=xe mx−1−1,令g ′(m)>0,得m >1−ln x x;令g ′(m)<0,得m <1−ln x x;所以g(m)在(1−ln x x ,+∞)上单调递增;在(−∞,1−ln x x)上单调递减,故g(m)⩾g (1−ln x x)=e1−ln xx⋅x−1−ln x x−1−ln x x=0.不等式g(m)⩾g (1−ln xx)=0中的等号可以取到,令ℎ(x)=1−ln x x,则ℎ′(x)=ln x−2x 2,易得ℎ(x)在(0,e 2)上单调递减,在(e 2,+∞)上单调递增,ℎ(x)min =ℎ(e 2)=−1e 2.所以m ⩾−1e2,故m 的最小值为−1e2.构造函数【例6】已知函数f(x)=(a +1)ln x +ax 2+1. (1)讨论f(x)的单调性;(2)设a <−1,如果对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)−f (x 2)|⩾4|x 1−x 2|,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=a+1x+2ax =2ax 2+a+1x,当a ⩾0时,f ′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a ⩽−1时,f ′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当−1<a <0时,令f ′(x)=0,解得x =√−a+12a.则当x ∈(0,√−a+12a)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增;x ∈(√−a+12a,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减.故当a ⩾0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a ⩽−1时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当−1<a <0时,f(x)在(0,√−a+12a)单调递增,在(√−a+12a,+∞)单调递减.(2)不妨设x 1⩾x 2,而a <−1,由(1)知f(x)在(0,+∞)单调递减, 从而任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)−f (x 2)|⩾4|x 1−x 2| 等价于任意x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 2)+4x 2⩾f (x 1)+4x 1(∗) 令g(x)=f(x)+4x ,则g ′(x)=a+1x+2ax +4,由于(∗)等价于g(x)在(0,+∞)上单调递减, 得g ′(x)=a+1x+2ax +4⩽0. 从而a ⩽−4x−12x 2+1=(2x−1)2−4x 2−22x 2+1=(2x−1)22x 2+1−2,故a ⩽−2.从而实数a 的取值范围是(−∞,−2].【点睛】本题通过分离变量x 1,x 2,将x 1,x 2分别移到不等式的两侧,得到同构式,根据同构式构造新的函数,得到新函数的单调性,利用导数即可解决问题.本方法在1.6章节有详细介绍. 【例7】已知函数f(x)=x −bx ,g(x)=2aln x .(1)若b =0,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求a 的值;(2)若a >0,b =−1,函数F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意x 1,x 2∈(0,1](x 1≠x 2),都有|F (x 1)−F (x 2)|<3|1x 1−1x 2|恒成立,求a 的取值范围;(3)若b =1,函数G(x)=f(x)+g(x),且G(x)有两个极值点x 1,x 2,其中x 1∈(0,13],求G (x 1)−G (x 2)的最小值.【解析】(1)若b =0,函数f(x)=x 的图象与g(x)=2aln x 的图象相切,设切点为(x 0,2aln x 0),则切线方程为y =2ax 0x −2a +2aln x 0,所以{2ax 0=1,−2a +2aln x 0=0,解得x 0=e,a =e 2.所以a =e 2. (2)当a >0,b =−1时,F(x)=x 2+1+2aln x,F ′′(x)=2x +2a x>0,所以F(x)在(0,1]递增.不妨设0<x 1<x 2⩽1,原不等式等价于F (x 2)−F (x 1)<3(1x 1−1x 2),即F (x 2)+3x 2<F (x 1)+3x 1.设ℎ(x)=F(x)+3x=x 2+1+2aln x +3x,则原不等式等价于ℎ(x)在(0,1]上递减,即ℎ′(x)=2x +2a x−3x 2⩽0在(0,1]上恒成立.所以2a ⩽3x −2x 2在(0,1]上恒成立.设y =3x −2x 2,在(0,1]上递减,所以y min =3−2=1,所以2a ⩽1,又a >0,所以0<a ⩽12;(3)若,函数所以,由题意知是的两根, 所以,所以,数े ,所以, 当时,在上单调函数, 所以的最小值为, 1b =1()()()2ln G x f x g x x a x x=+=-+2221()(0)x ax G x x x++'=>12,x x 2210x ax ++=12122111111,2,,2x x x x a x a x x x =+=-==--()()()1211111111112ln G x G x G x G x x x x x x ⎤⎡⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--+⎥⎪⎢ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦11()2ln H x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222(1)(1)ln 1()21ln x x x H x x x x +-⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0,()H x H x '<10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦()H x 120ln31633H -⎛⎫=⎪⎝⎭即的最小值为. 任意存在分析值域【例8】已知函数.对于任意,意存在唯一的,使得成立,求实数的取值范围.【解析】题意等价于:设在上的值域为,则对任意,直线与在上的图象有且仅有一个交点,求实数的取值范围. 也就等价于:当“存在区间,使若函数在区间上单调,且此时函数在区间,上的值域恰好为在区间上的值㘺的子集”时,求实数的取值范围.下面,我们先求的值域:(i)当时,为上的增函数;(ii)当时,. ,即时,在上为增函数, 结合知,在上单调递增,所以. ②当,即时,在上为数函数,在上为增函数,结合(1)中的结论,在上若函数,在上为增函数.所以.时,即在上为数函数. 所以.综上所述，在的最小值为下面研究的值域:()()12G x G x -20ln 3163-2()|ln 1|,()||22ln 2(0)f x x a x g x x x a a =+-=-+->1[1,)x ∈+∞2[2,)x ∈+∞()()12f x g x =a ()f x [1,)+∞D k D ∈y k =()g x [2,)+∞a [2,)I ⊆+∞()g x I ()f x [1)+∞()g x I a ()f x e x 2()(ln 1),()f x x a x f x =+-[e,)+∞1e x <222()(ln 1),()2(0)a x a f x x a x f x x a x x-=--'=-=>12a 02a <()f x [1,e)(1)()f x [1,)+∞min ()(1)1f x f a ==+1e <222e a <<()f x ⎡⎢⎣⎫⎪⎭()f x ⎡⎢⎣⎫+∞⎪⎭min 3()ln 222a a a f x f ==-e2a 22e ,()a f x [1,e)2min ()()f x f e e ==2()|ln 1|(0)f x x a x a =+->[1,)+∞2min221,02,3()ln ,22e ,222e ,2e .a a a a f x a a a ⎧+<⎪⎪=-<<⎨⎪⎪⎩()g x ()22ln 2,,()||22ln 2()22ln 2,,x x a x a g x x x a x a x x a -+-⎧=-+-=⎨-+-<⎩则的图象如图所示,因为的定义域为,接下来我们只需将有效的图象弄清楚即可:①当时,则只需,得;②当,即时,则只需,即.令,显然为增函数,又,故,故. ③当,即可, (i)当时,只需,即.设,其中,则.故单调递增,又,所以恒成立,从而无解;(ii)当,只需,即, 因为为增函数,, 所以此时也无解.综上所送,实数的取值范围为. 【点睛】本题是等式型双变量问题,通过分析两个函数的值域加以解决.一般地,若的值域分别为,则有: ①,使得,则; ②,使得,则.()g x ()g x [2,)+∞02a <(2)1,622ln 21g a a a +--+52ln 2233a -22a a<<24a <<33(2)ln ,222ln 2ln 222222a a a ag a a a ----ln 22ln 20222a a a +--()ln 22ln 2(24)222a a a h a a =+--<<()h a (4)0h =()(4)0h a h <=24a <<22a 4a 242e a <3ln 2222a a a g a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭23ln 22ln 204222a a a a -++-<2()3ln 22ln 2m t t t t t =-++-2at =)()2()22ln 02,e m t t t t ⎡'=-+>∈⎣()m t (2)0m =()0m t 22e a 2e 2a g ⎛⎫< ⎪⎝⎭2222ln 2e 4a +-<222ln 224a a g ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭222min 2e e 22ln 2e 22a g g ⎛⎫⎛⎫==+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 52ln 2,433⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(),()f x g x ,A B 12,x D x E ∀∈∃∈()()12f x g x =A B ⊆12,x D x E ∃∈∃∈()()12f x g x =A B ⋂≠∅【例9】已知函数 （1）当时,求在区日上的最大值和最小值; (2)若在区间上,函数的图象恒在直线下方,求的取值范围.(3)设,当时，若对于任意,存在,使,求实数的取值范围.【解析】(1)当时,, , 令,解得:,令,解㥂:,所以在区间上是增函数,在上为减函数, 所以, 又, 所以; (2)令. , ①若,令,得柭侾,点, 当,即时, 在上有,在上有,在上有, 此时在区间上是增函数,并且在该区间上有,不合题意;当,即时,同理可知,在区间上，有,也不合题意；②若,则有, 此时在区间上恒有,从而在区间上是减函数; 要使在此区间上恒成号,21()ln .(R)2f x a x x a ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭0a =()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1,)+∞()f x 2y ax =a 219()()2,()26g x f x ax h x x bx =-=-+23a =1(0,2)x ∈2[1,2]x ∈()()12g x h xb 0a =21()ln 2f x x x =-+2(1)(1)11()x x x f x x x x x-+--+'=-+==()0f x '>01x <<()0f x '<1x >()f x 1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,e]max 1()(1)2f x f ==-2211e 1(e)1e 22ef f ⎛⎫=-->=- ⎪⎝⎭2min ()()12e f x f e ==-21()()22ln (0)2g x f x ax a x ax x x ⎛⎫=-=--+> ⎪⎝⎭(1)[(21)1]1()(21)2x a x g x a x a x x---'=--+=12a >()0g x '=1211,21x x a ==-211x x >=112a <<(0,1)()0g x '>()21,x ()0g x '<()2,x +∞()0g x '>()g x ()2,x +∞()()2(),g x g x ∈+∞211x x =1a ()g x (1,)+∞()((1),)g x g ∈+∞12a 210a -(1,)+∞()0g x '<()g x (1,)+∞()0g x <综上,当时,函数的图䝴恒在直线下方; (3)当时，由(2)中(1)知在上是增函数,在上是减函数, 所以对任意,都有, 又已知存在,使,即存在,鿇, 即存在 即存在,使. 因为, 所以,解得,所以实数的取值范围是. 【点睛】本题不等式型双变量问题，通过分析两个函数的最值加以解决. 一般地,①,使得,则;②,使得,则;③,使得,则【例10】设是函数的一个极值点.(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间； (2)设.若存在,使得,求实数的取值范围.【解析】(1),由,解得.所以,当时,当时, 在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)可知,当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减, 那么在区间上的值域是,而,那么在上的值域为.11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 2y ax =23a =()g x (0,1)(1,2)1(0,2)x ∈()17(1)6g x g =-2[1,2]x ∈()()12q x h x 2[1,2]x ∈2197266x bx -+-2213[1,2],23x bx x ∈+2[1,2]x ∈1323b x x +132516,([1,2])363y x x x ⎡⎤=+∈∈⎢⎥⎣⎦1623b 83b b 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x >min max ()()f x g x >12,x D x E ∀∈∃∈()()12f x g x >min min ()()f x g x >12,x D x E ∃∈∃∈()()12f x g x >max min ()()f x g x +>3x =()23()e ()z f x x ax b a -=++∈R a b a b ()f x 2250,()e 4x a g x a ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭12,[0,4]x x ∈()()121f x g x -a 23()(2)e x f x x a x b a -⎡⎤'=-+-+-⎣⎦(3)0f '=32b a =--233()(2)33e (3)(1)e x x f x x a x a x x a --⎡⎤'=-+---=--++⎣⎦4a <-4a >-()f x (,1)a -∞--(1,3)a --(3,)+∞0a >()f x (0,3)(3,4)()f x [0,4][min{(0),(4)},(3)]f f f 31(0)(23)e 0,(4)(13)e 0,(3)6f a f a f a -=-+<=+>=+()f x [0,4]3(23)e ,6a a ⎡⎤-++⎣⎦又在上是增函数, 所以在上的值域为, 由于,所以只须,且. 解得. 以实数的取值范围是. 【点睛】存在,使得"等价于“,而则要通过与的值域得到.强化训练1.已知函数,其中 (1)试讨论函数的单调性(2)在时,是否存在极值点?如果存在,不妨设为且,试判断与的大小并说明理由. 【解析】(1)因为,所以①当时,,所以的变化如下表:所以在单调迸减,在单调递增.②当时,即,所以的变化如下表: 225()e 4x g x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[0,4]()g x [0,4]2242525,e 44a a ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22251(6)042a a a ⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225(6)14a a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭0a >302a <a 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦12,[0,4]x x ∈()()121f x g x -()()¡± 12min 1f x g x -<()()12main f x g x -()f x ()g x 2()e 12,(,)x f x x ax ax x a =---∈∈R R e 2.71828≈()f x 12e a >()f x 12,x x 12x x <()()12f x f x +1e e+-2()e 12,x f x x ax ax a =---∈R ()()(1)e 2(1)(1)e 2x x f x x a x x a '=+-+=+-20a e 20x a ->,(),()x f x f x '()f x (,1)-∞-(1,)-+∞12ea =ln(2)1a =-,(),()x f x f x '所以在单调递增.③当时,即时, 当时,,所以,当时,;当时,;当时,,④当时,即时, 当时,,所以, 当时,;当时,. 所以在单调递增,单调递减,单调递增. 当时在单调减，在单调递增;当时在单调递增; 当时在单调递增,单调递减,单调䏲以; 当时在单调递增,单调递减,单调递增. (2).理由如下: 由(1)知有两个极值点:, 所以 令, 则, 令,则,令,()f x (,)-∞+∞ln(2)1a <-102ea <<ln(2)x a <e 20,10x a x -<+<ln(2)x a <()e 2(1)0x a x -+>ln(2)1a x <<-()e 2(1)0x a x -+<1x >-()2(1)0x e a x -+>ln(2)1a >-12e a >1ln(2)x a -<<e 20,10x a x -<+>()e 2(1)0x a x -+<1x <-()2(1)0x e a x -+>ln(2)a x <()2(1)0x e a x -+>()f x (,1)-∞-(1,ln 2)a -(ln 2,)a +∞20a ()f x (,1)-∞-(1,)-+∞12ea =()f x (,)-∞+∞102e a <<()f x (,ln 2)a -∞(ln 2,1)a -(1,)-+∞12ea >()f x (,1)-∞-(1,ln 2)a -(ln 2,)a +∞()()12e 1ef x f x ++<-1,()2ea f x >121,ln 2x x a =-=()()2121(1)(ln 2)2ln 2f x f x f f a a a a e+=-+=--+-211()2ln 2e 2e h a a a a a ⎛⎫=--+-> ⎪⎝⎭21()1ln 22ln 22e h a a a a ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭ln2t a =1t >-2()21(1)g t t t t =--+>-因为,且在上单调递减, 所以存在,使得, 即存在使得, 所以当时,,即时,使得, 当时,,即时,使得.当时,, 因为,所以. 设,因为在成立,所以在单调递增,所以,,所以. 2.已知函数,其中为实常数.(1)若当时,在区间[1,e]上的最大值为,求的值;(2)对任意不同两点,设直线的斜率为,若0恒成立,求的取值范围.【解析】(1)因为函数,所以, 因为,所以则,得, 当时,,当时,,所以在时,取最大值, 因为当时,在区间上的最大值为,所以当时，在区间上的最大值, 解得.当时,在区间上的最大值, 解得,不合题意;1(0)0,02g g ⎛⎫>< ⎪⎝⎭()g t (1,)-+∞0102t <<()00g t =010ln 22a <<()00h a '=01t t -<<()0g t >012ea a <<()0h a '>0t t <()0g t <0a a <()0h a '<12e a >()200000011()2ln 222ln 2e eh a h a a a a a a =--+-=--+010ln 22a <<012a <<()ln (1u x x x x =<()1ln 0u x x '=+>1x <<()ln u x x x =11()22e e h a <--+=--21e 1()1e e h a +<--=-()ln 1f x x ax =-+a 0a >()f x 1-a ()()()()1122,,,A x f x B x f x AB k 12x x k ++>a ()ln 1f x x ax =-+11(),0ax f x a x x x-'=-=>0a >()0f x '=1x a=10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<1x a =()f x 0a >()f x [1,e]1-101a<<()f x [1,e](1)ln111f a =-+=-2a =11e a ()f x [1,e]111ln 11f a a a a ⎛⎫=-⨯+=- ⎪⎝⎭e a =当时,在区间上的取大值, 不合题意;综上,.(2)因为对任意不同两点,设直线的軼率为,若恒成立,所以, 所以, 所以在上是增函数,所以在上恒成立, 所以, 因为,所以, 当且仅当时,即, 所以. 所以的取值范围是.3.设函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的单调递减区间和极小值(其中为自然对数的底数)；(2)若对任意恒成立,求的取值范围.【解析】(1)由已知得. 因为曲线在点处的切线与直线垂直, 所以此切线的煂車为0.即,有,解得. 所以, 由㥂,由得.所以在上单调递减,在上单调递增,当时取得极小值. 1e a>()f x [1,e](e)lne e 12e 1f a a =-+=-=-2a =()()()()1122,,,A x f x B x f x AB k 120x x k ++>22111221ln ln 0x ax x ax x x x x --+++>-2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-2()ln m x x x ax =+-(0,)+∞1()20m x x a x'=+-(0,)+∞min 12a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >11222x x x x +⋅=12x x =x =22a a (-∞()ln ,R k f x x k x=+∈()y f x =(e,(e))f 20x -=()f x e ()()1212120,x x f x f x x x >>-<-k 21()(0)k f x x x x'=->()y f x =(e,(e))f 20x -=(e)0f '=210e e k -=e k =221e e ()(0)x f x x x x x-'=-=>()0f x '<0e x <<()0f x '>e x >()f x (0,e)(e,)+∞e x =()f x e (e)ln e 2ef =+=故的单调递减区间为,极小值为2.(2)条件等价于对任意(*)恒成立.设. 所以(*)等价于在上单调递减.由在上恒成立, 得恒成立. 所以(当且仅当时等号成立), 故的取值范围是. 4.已知函数. (1)当时,讨论的单调性; (2)设.当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.【解析】, 令.(i)当,当,函数单调递减;当时,,函数单调递增.(ii)当时,由,即,解得. 当时,时,函数单调递减; 时,,函上单调递减. 当时,当,函数单调遌当; 当,函数单调递增.综上所述:当时,函数在单调递减,单调递增;当时,函数在上调递减； 当时,在单调递减,单调递增, ()f x (0,e)()()1211220,x x f x x f x x >>-<-()()ln (0)k h x f x x x x x x=-=+->()h x (0,)+∞21()10k h x x x '=--(0,)+∞2211(0)24k x x x x ⎛⎫-+=--+> ⎪⎝⎭14k 12x =k 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1()ln 1(R)a f x x ax a x-=-+-∈12a ()f x 2()24g x x bx =-+14a =1(0,2)x ∈2[1,2]x ∈()()12f x g xb 222111(1)()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=>2()1(0)h x ax x a x =-+->0,()1(0)a h x x x ==-+>(0,1),()0,()0x h x f x ∈>'<()f x 1x >()0,()0h x f x <'>()f x 0a ≠()0f x '=210ax x a -+-=1211,1x x a==-102a <<1110,(0,1)x a->>∈()0,()0h x f x >'<()f x 11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0,()0h x f x >'<()f x 0a <110a-<(0,1),()0,()0x h x f x ∈>'<()f x (1,),()0,()0x h x f x ∈+∞<'>()f x 0a ()f x (0,1)(1,)+∞12a =()f x (0,)+∞102a <<()f x 1(0,1),1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)当时,在上是减函数,在上是增函数, 所以对任意,有, 又已知存在,使, 所以 又 当时,,与(*)矛盾; 当时,,时与(*)矛盾;当时,. 综上所䢑,实数的取值范围就是. 14a =()f x (0,1)(1,2)1(0,2)x ∈min 1()(1)2f x f ==-2[1,2]x ∈()()12f xg x ()221,[1,2](*)2g x x -∈22()()4([1,2])g x x b b x =-+-∈1b <min ()(1)520g x g b ==->[1,2]b ∈2min ()()40g x g b b ==-2b >min 117()(2)84,28g x g b b ==--b 17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
教学过程一、高考解读导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导二、复习预习基本初等函数的导数公式表（学生填写）三、知识讲解考点1 1深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数 x y ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′(x )=x y x ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式 )()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆ 2求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键考点21对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误2复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系四、例题精析例题1 已知1=，用导数的定义求y'。
yx【规范解答】11()x y x x x x x x ∆∆=-=-+∆+∆，)(1x x x x y ∆+-=∆∆，所以201lim x y y x x ∆→∆'==-∆。
【总结与思考】 利用导数的定义求函数()y f x =的导数的一般方法是：（1）求函数的改变量()()f f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()f f x x f x xx∆+∆-=∆∆； （3）取极限，得导数y '＝0lim x f x ∆→∆∆。
例题2求函数的导数 )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω【规范解答】22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γγ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x =f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′ =f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x =12+x x f ′(12+x ) 【总结与思考】本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数例题3已知函数()f x=32+++的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0，求x bx cx d函数()=的解析式。
