2019高考数学二轮复习专题五函数与导数第15讲曲线的切线冲刺提分作业

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。

2023届全国高考数学复习：专题（曲线的切线方程）重点讲解与练习考点一 求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； 第二步，由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)ꞏ(x －x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． (2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．12 D ．1(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为 ．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝05．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝06．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为 ． 8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________． 9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝111．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1413．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．考点二 求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．(3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为 ．(4)(2019ꞏ全国Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1 (5)设曲线y ＝x ＋1x －2在点(1，－2)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．3 D ．－3(6)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．(7)已知函数f (x )＝x ＋a 2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是 ． (8)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．【对点训练】1．若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝ ； 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ ．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．参考答案【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． 答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0．(2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1答案 B 解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1．(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x答案 D 解析 法一 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0．因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法二 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法三 易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．答案 2x －y ＝0 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x ＋1，所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1．所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋lnx ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D 解析 根据y ＝e x 图象特征，y ＝e x 是下凸函数，又过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a ．故选D ．(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)答案 C 解析 设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上，∴y 0＝x 30－x 0＋3，∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3．∴切点P 为(1，3)或(－1，3)．(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e ，1) 解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1．故点A 的坐标为(e ，1)．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ．答案 (0，0) 解析 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0，∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A ．18B ．14C ．12D ．1答案 B 解析 ∵y ＝x －1x ＋1，∴y ′＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2　x ＋1　2，∴k ＝y ′|x ＝0＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x －0)，即y ＝2x －1，令x ＝0，得y ＝－1；令y ＝0，得x ＝12，故所求的面积为12×1×12＝14．(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ． 答案 2 解析 设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则0|x x y '＝＝12x x x x 0=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x 0－1x 0＝1．∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2． 【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 1．答案 C 解析 y ′＝3x 2－3，∴y ′≥－3，∴tan α≥－3，又α∈[0，π)，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，故 选C ．2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为 ．2．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案 y ＝3x 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝04．答案 D 解析 因为f (x )＝1－2ln x x f ′(x )＝－3＋2ln x x 2．又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3，故所求切线方 程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0．5．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝05．答案 C 解析 设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0．故选C ．6．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．6．答案 y ＝－12x ＋1 解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12．所以切线方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为 ． 7．答案 2x －y ＝0 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0，解得a ＝1，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________．8．答案 3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 解析 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0 ＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0．9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 9．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝110．答案 A 解析 因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，所以f ′(x )＝2f ′⎝⎛⎭⎫12x －2＋f （1）x ．令x ＝12得f ′⎝⎛⎭⎫12＝2f ′⎝⎛⎭⎫12 ×12－2＋2f (1)，即f (1)＝1．又f (1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12－2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝3，所以f ′(1)＝2f ′⎝⎛⎭⎫12－2＋f (1)＝6－2＋1＝5．所以曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝5(x －1)，即5x －y －4＝0．11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．11．答案 y ＝x 12 021 解析 函数f (x )＝ln(1＋x )，则f ′(x )＝11＋x，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴切线方程为y ＝x ．∴ ln2 022－ln2 021＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋12 021＝f ⎝⎛⎭⎫12 021，根据以直代曲，x ＝12 021也非常接近切点x ＝0．∴可以将x ＝12 021代入切线近似代替f ⎝⎛⎭⎫12 021，即f ⎝⎛⎭⎫12 021≈12 021． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1412．答案 D 解析 f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x－1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D ．13．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．13．解析 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4．∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0．(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20． ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20ꞏx －23x 30＋43． ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．14．解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6． 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6． 15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．15．解析 (1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增． (2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1)．因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0)．由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(1＋a )x ，y ＝x 3－x 2＋ax ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1－a . 所以曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标为(1，1＋a )和(－1，－1－a )． 考点二 求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．答案 13 解析 f ′(x )＝3ax 2＋1x ，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．答案 [2，＋∞) 解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0．又4x ＋1x ≥24x ꞏ1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2．∴a 的取值范围是[2，＋∞)． (3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为 ．答案 0 解析 依题意得f ′(x )＝a x ＋3bx 2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－1，f ′(1)＝1＋10－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1，a ＋3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．答案 D 解析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1．∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3．故选D ．3．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)3．答案 C 解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C ．4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．4．答案 (－∞，2) 解析 由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x ．因为x ＞0，所以2－1x 2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ． 5．答案 2 解析 f ′(x )＝cos x ＋x ꞏ(－sin x )＋a cos x ＝(1＋a )cos x －x sin x ，∴f ′(0)＝1＋a ＝3，∴a ＝2． 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________． 6．答案 －1 －3 解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋a ，则由切线方程得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a ＋b ＝2×1－5，f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝ －1，b ＝－3．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．7．答案 2 解析 f ′(x )＝a ＋3x 2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y－(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e8．答案 C 解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1．设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1)．又y ′＝1x ，则1m ＝1，解得m ＝1．所以切点坐标为(1，2)，则2＝b ＋ln 1，得b ＝2．9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝ ； 9．答案 1 解析 y ′＝e x (ax ＋1＋a )，所以y ′|x ＝0＝1＋a ，则曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线方程为y＝(1＋a )x ＋1，又切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0，所以0＝(1＋a )×⎝⎛⎭⎫－12＋1，解得a ＝1． 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ ．10．答案 －274 解析 设切点坐标为(t ，2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t 3＋at ＋a t ＋1，即4t 3＋6t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝⎛⎭⎫－322＝0，解得a ＝－274．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．答案 A 解析 因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3．设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎨⎧ 3x 20－3＝a ，2x 30＝3a ，解得⎩⎨⎧ x 0＝3，a ＝6或⎩⎨⎧ x 0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ．12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．12．解析 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为y －53＝－1×(x －2)，即3x ＋3y －11＝0．(2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．13．解析 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1． (2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12．所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 14．解析 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1， 则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．。

函数与导数导数的应用不管文科还是理科一般作为高考的压轴题出现，出现在21题，难度比较大。

一般主要考查题型为证明不等式，恒成立问题，能成立问题，隐零点问题，双变量问题，求取值范围问题以及极值点偏移问题等，属于理解层次，对函数以及导数性质要求比较高。

类型一：利用导数解不等式例题1．1．已知()()ln 1f x ax x a x =+-，R a ∈．(1)若函数()f x 在()()22f ,处的切线的斜率为1ln 2+，求出()f x 的单调区间；(2)已知1a =，()()212g x f x x =-，求证：当1x >时，()()()211e 11x g x x x -'+-->-⎡⎤⎣⎦．【答案】(1)单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)证明见解析.【解析】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 1f x a x '=+，()2ln 211ln 2f a '=+=+，∴1a =，可得()ln 10f x x '=+>，1e x >，可得函数()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()ln 10f x x '=+<，∴10e x <<，函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，可得函数()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．(2)由（1）可得，当1a =时，()()2211ln 22g x f x x x x x =-=-，所以()ln 1g x x x '=-+，所以要证当1x >时，()()()211e 11x g x x x -'+-->-⎡⎤⎣⎦，即证()()21e1ln 1x x x -->-，只需证1e 111ln x x x x--->-，设()()11ln x F x x x -=>，∴()21ln 1ln x x F x x-+'=，设()()1ln 11m x x x x=-+>，∴()221110x m x x x x -'=-=>，∴()m x 在区间()1,+∞上是增函数，∴()()10m x m >=，即()0F x '>，∴()F x 在()1,+∞上是增函数．∵()()11e 11e1ln x x x F F x x x ----=>=-，∴只需证1e x x ->，设()()1e 1x G x x x -=->，∴()1e 10x G x -'=->，∴()G x 在()1,+∞上是增函数，∴()()10G x G >=，∴1e x x ->，∴()()()211e 11x g x x x -'+-->-⎡⎤⎣⎦．类型二：恒成立问题例题2已知函数()()1e xf x x ax =--．(1)当0a =时，求()f x 的极值；(2)若对[)0,x ∞∀∈+，()32f x a ≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)极小值(0)1f =-，无极大值(2)22e 2⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】(1)当0a =时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．所以()f x 有极小值(0)1f =-，无极大值．(2)由题得()e x f x x a '=-，[0,+)x ∈∞．①当0a ≤时，e 0x x >，0a -≥，故()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞上单调递增．所以min 3()(0)12f x f a ==-≥-，解得23a ≥（舍去）．②当0a >时，(0)0f a '=-<，()(e 1)0a f a a '=->，令()()e x g x f x x a '==-，则()()1e 0xg x x '=+>所以()'f x 在[)0,+∞上单调递增，故()'f x 在[)0,+∞上有唯一零点0(0,)x a ∈，且00e x a x =．当0[0)x x ∈，，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．所以0min 0000000013()()(1)e (1)12xa f x f x x ax x ax a x a x x ⎛⎫==--=--=--≥- ⎪⎝⎭，即001312x x --≥-，解得0122x ≤≤．又因为00e x a x =在01,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以22e 2a ≤≤．综上，a的取值范围为22e ⎤⎥⎣⎦．类型三：能成立问题（存在使成立）例题3已知函数()(1)e 1x f x x ax =---.(1)当0a >时，证明函数()f x 在区间(0,)+∞上只有一个零点；(2)若存在x ∈R ，使不等式()e 1f x <--成立，求a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2){0|a a <或}e a >【解析】(1)证明：当0a >时，()()e ,0,xf x x a x ∞'=-∈+，令()()()(),1e 0xg x f x g x x =+''=>，∴()e xf x x a '=-在(0,)+∞上为增函数，∵()()00,e 0af a f a a a ''=-<=->，∴()00,x a ∃∈，使()000e 0xf x x a '=-=，∴当()00,x x ∈时，()0f x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，因此，()f x 在()00,x 上为减函数，()f x 在0(,)x +∞上为增函数，当()00,x x ∈时，()()020f x f <=-<，当x >时，()()()211120f x x x ax x ax >-+--=-->，故函数op 在(0,)+∞上只有一个零点．(2)：当0a >时，()e ,x f x x a '=-，由（1）可知，()00f x '=，即00e x a x =，∴当0x x <时，()0f x '<，()f x 在0(,)x -∞上为减函数，当0x x >时，()0f x ¢>，()f x 在0(,)x +∞上为增函数，∴()()()()()0000220000000min 1e 11e e 11e 1x x x x f x f x x ax x x x x ==---=---=-+--，由00e xa x =，知00x >，设()()()21e 10xh x x x x =-+-->，则()()()2e 00x h x x x x '=--<>，∴()h x 在(0,)+∞上为减函数，又()1e 1h =--，∴当001x <<时，()0e 1f x >--，当01x >时，()0e 1f x <--，∴存在0x R ∈，使不等式()01f x e <--成立，此时00e e x a x =>；当0a =时，由（1）知，()f x 在(,0)∞-上为减函数，()f x 在(0,)∞+上为增函数，所以()()02e 1f x f ≥=->--，所以不存在x ∈R ，使不等式()e 1f x <--成立，当0a <时，取e 10x a+<<，即e 1ax -<--，所以()1e 1e 1xx ax ---<--，所以存在x ∈R ，使不等式()1f x e <--成立，综上所述，a 的取值范围是{0|a a <或}e a >．类型四：函数零点问题例题4已知函数()ln cos 2xf x x =+．求证：(1)()2212xf x x '>-；(2)当()0,πx ∈时，()f x 有且仅有2个零点．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)函数()ln cos 2xf x x =+定义域为(0,)+∞，求导得：()1sin 2f x x x '=-，令22()(12)2(sin )y xf x x x x x '=--=-，0x >，令()sin g x x x =-，0x >，则()1cos g x x =-'，当()0,x ∈+∞时，()0g x '≥，当且仅当2(N )x k k π*=∈时取“=”，()g x 在()0,∞+上单调递增，则当()0,x ∈+∞时，()()00g x g >=，即sin x x >，22()(12)2(sin )0xf x x x x x '--=->，所以()2212xf x x '>-.(2)记()()1sin 2x f x x xϕ'==-，则()21cos 2x x x ϕ'=--，当π(0,)2x ∈时，()0x ϕ'<，()f x '在π(0,)2上单调递减，π1()102πf '=-<，π31(06π2f '=->，则ππ(,62α∃∈，使得()0f α'=，则当(0,)x α∈时，()0f x '>，()f x 在(0,)α上单调递增，当π(,2x α∈时，()0f x '<，()f x 在π(,)2α上单调递减，π1π(ln 0222f =>，π1π(ln 06262f =+>，44(e )2cose 0f --=-+<，即41π(e ,)6x -∃∈，使得()10f x =，当π(,π)2x ∈时，令()21()cos 2h x x x x ϕ'==--，31()sin 0h x x x '=+>，则()x ϕ'在π(,π)2上单调递增，而π()02ϕ'<，()π0ϕ'>，则π(,π)2β∃∈，使得()0ϕβ'=，当π2x β<<时，()0x ϕ'<，当πx β<<时，()0x ϕ'>，则有()f x '在π(,)2β上递减，在(),πβ上递增，()π(02f f β''<<，()π0f '>，则(),πγβ∃∈，使得()0f γ'=，当π2x γ<<时，()0f x '<，当πx γ<<时，()0f x '>，即()f x 在π(,)2γ上递减，在(),πγ上递增，而π(02f >，()()π0f f γ<<，于是2π(,)2x γ∃∈，使得()20f x =，所以，当()0,πx ∈时，()f x 有且仅有2个零点.类型五：双变量问题例题5．已知函数()()261cos 2f x x x π=--+，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(1)求()f x 的最小值；(2)证明：[]0,1m ∀∈，,2n ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式2(1cos )cos()1m n mn -+≥恒成立．【答案】(1)()min 0f x =(2)证明见解析【解析】(1)由题可知6()sin 22sin ,,2f x x x x πππ⎡⎤'=-+-∈⎢⎥⎣⎦．令()()g x f x '=，则2()2cos 22cos 2(12cos cos )2(2cos 1)(1cos )g x x x x x x x '=-+=-+=+-．令()0g x '=，得23x π=，当2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，即()f x '单调递增当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '单调递减．则()max 2336032f x f ππ⎛⎫''==⎪⎝>⎭，又6202f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭>，()60f ππ'=-<，所以存在02,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，()0f π=，故()min 0f x =．(2)由（1）知，()261cos 20nn π--+≥对任意的,2n ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即()261cos 2nn π-≥-对任意的,2n ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．要证2(1cos )cos()1n mn -+≥，只需证()62cos 10n m mn π⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭．令()()62cos 1n h n m mn π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，,2n ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()6sin 0h n m mn π⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭，即()h n 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()cos122m h n h m ππ⎛⎫≥=+- ⎪⎝⎭．令()cos12m m m πϕ=+-，[]0,1m ∈.则()1sin 22m m ππϕ'=-．令()1sin 22m k m ππ=-，[]0,1m ∈.则()2cos 042m k m ππ'=-≤在[]0,1上恒成立，则()1sin 22m k m ππ=-在[]0,1上单调递减，即()m ϕ'在[]0,1上单调递减．又()010ϕ'=>，()1102πϕ'=-<，所以()00,1m ∃∈，使得()00m ϕ'=．所以当()00,m m ∈时，()0m ϕ'>，()m ϕ在()00,m 上单调递增；当()0,1m m ∈时，()0m ϕ'<，()m ϕ在()0,1m 上单调递减．又因为()()010ϕϕ==，所以()0m ϕ≥，即cos102m m π+-≥在[]0,1上恒成立，即cos 1022m h m ππ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()()62cos 10n h n m mn π⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭恒成立故[]0,1m ∀∈，,2n ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式2(1cos )cos()1m n mn -+≥恒成立．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.类型六：极值点偏移问题例6已知函数1()(0)exa xf x x --=>（e 为自然对数的底数，a ∈R ）．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)若存在12x x ≠，满足()()12f x f x =42aa >+．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】(1)解：()1e e 11()()e ex x xx a x f x x a -⨯---=-'=.当0a ≤时，()0f x ¢³，所以()f x 在()0,+∞上单调增，无极值；当0a >时，令1()()0e xf x x a '=-=，得x a =，当()0,∈x a 时，()0f x ¢<；当(),x a ∈+∞时，()0f x ¢>；所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞单调递增．所以函数()f x 的极小值为()1e af a =-，无极大值.(2)解：由题（1）可知，当0a >时才存在12x x ≠，满足()()12f x f x =，不妨设120x a x <<<，设()()()(2)0g x f x f a x x a =--<<，则211()e ex a xa x x a g x -----=-()()()()222211e e e e e a x x a x a x g x x a a x x a -+⎛⎫-=-+-=- ⎪⎝⎭'，因为(0,)x a ∈，所以220,e e 0a x x a -<->，所以()0g x '<，所以()g x 在(0,)a 上单调递减，所以()()10g x g a >=，所以11()(2)0f x f a x -->，即11()(2)f x f a x >-故()()()2112f x f x f a x =>-，因为21,2x a a x a >->，又()f x 在(,)a +∞上单调递增，所以212x a x >-，所以122x x a +>，下面证明：2422a a a ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭；因为()()()()222222282242=0222a a a a a a a a a a ⎡⎤+--⎛⎫⎣⎦-≥ ⎪+⎝⎭++42a a ≥+，所以42aa >+42a a >+，得证.例7．已知函数1(),f x x a a a R x=--+∈.(1)若f （1）=2，求a 的值；(2)若存在两个不相等的正实数12,x x ，满足12()()f x f x =，证明：①1222x x a <+<；②2211x a x <+.【答案】(1)2；(2)证明过程见解析.【解析】(1)由(1)112f a a =--+=，化简得：13a a -=-，两边平方，解得：2a =.(2)不妨令12x x <，①当x a >时，11()f x x a a x x x=--+=-在()0,∞+上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数12,x x ，满足12()()f x f x =，舍去；当x a =时，1()f x a a=-为定值，不合题意；当x a <时，1()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由对勾函数知识可知：当1a ≤时，1()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,a 上单调递增，1()f x x x=-在(),a +∞上单调递增，两个分段函数在x a =处函数值相同，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数12,x x ，满足12()()f x f x =，舍去；当1a >时，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，且11()2f a a a a a a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，即分段函数在x a =处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数12,x x ，满足12()()f x f x =，则12,x x 有三种类型，第一种：1201x x a <<<<，显然122x x a +<，令()()()2h x f x f x =--，则()10h =，当()0,1x ∈时，()()()()()2221122222202222h x f x f x x x x x x x '''=+-=-++>-+>-+=--+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()h x 在()0,1x ∈单调递增，所以()()10h x h <=，即()()2f x f x <-，由于()10,1x ∈，所以()()112f x f x <-，又因为12()()f x f x =，所以()()212f x f x <-，因为211,21x x >->，而()f x 在()1,+∞上单调递减，所以212x x >-，即122x x +>，综上：1222x x a <+<；第二种情况：1201x a x <<<<，显然满足122x x +>，接下来证明122x x a +<，令()()()2g x f x f a x =--，则()0g a =，当()1,x a ∈时，()()()2221221101g x f x f a x x xx ''='=+-=-+++>，即()()()2g x f x f a x =--在()1,x a ∈单调递增，所以()()()()20g x f x f a x g a =--<=，又()11,x a ∈，所以()()112f x f a x <-，又12()()f x f x =，所以()()212f x f a x <-，因为2x a >，12a x a ->，()f x 在(),a +∞上单调递增，所以212x a x <-，即122x x a +<，综上：1222x x a <+<；第三种情况：1301x a x <<<<，由第一种情况可知满足122x x +>，由第二种情况可知：122x x a +<，则1222x x a <+<，综上：1222x x a <+<，证毕.②由①可知：当120x x a <<<时，由12()()f x f x =得：12121122a x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：22121211x x x x ++=，即222222211111111x x a a x x x ++=<<+++；当120x a x <<<时，2121112x a x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，整理得：1221112x x a x x +=+-，整理得：()()222112212122212222111244x a x a x x a x x x ax x x ---⎛⎫=--++=-+++≤+ ⎪⎝⎭，因为10x a <<，所以()2122114x a a -+<+，综上：2211x a x <+，证毕.类型七：导数隐零点问题例题8已知函数()()e ,ln xf x axg x ax x =-=-，其中a ∈R .(1)若0x >时，()()0f x g x ⋅>恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数()()()F x f x g x =+的最小值为m ，试证明：函数()eln x mG x x -=-有且仅有一个零点.【答案】(1)1e ea <<(2)证明见解析(1)由题意得e −B B −ln >0，因为当0x >时e >ln ，所以原不等式等价于e ln x ax x >>，当e x y =与=B 相切时，设切点(0,0)，则'=e ，所以切线的斜率=e 0=，又0=e 0，0=B 0，联立解得0=1，所以切线斜率e a=，同理当=ln 与=B 相切时，可求得切线斜率=1e ，因为e ln x ax x >>，所以1e ea <<(2)=+=e −ln ，则'(p =e −1，″e +12>0，所以'(p 在(0,)+∞上为增函数，又'(1)=e −1>0,'=e −2<0，所以'(p 在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，且0∈1，此时'(0)=e 0−1=0，即e 0=1，当∈0,0时，()0F x '<，则()F x 为减函数，当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，则()F x 为增函数，所以()F x 的最小值为=o 0)=e 0−ln 0=e 0−ln1e 0=1+0>2，令=e K −ln =0，整理得e −e ln =0，令op =e−eln ，则'(p =e−e，在(0,)+∞上为增函数，因为>2，所以'(1)=e −e <0,'(p =e −e=e 1−>0，所以'(p 在(0,)+∞上存在唯一零点1x ，且1∈1,，'(1)=e 1−e 1=0当∈0,1时，'(p <0，op 为减函数，当∈1,+∞时，'(p >0，op 为增函数，所以o 1)=e 1−e ln 1，因为e 1=e 1，所以1=−ln 1，即=1+ln 1，又=e 0−ln 0=1+ln 1，所以1+ln 1=1+ln 1，又函数=+ln 在(0,)+∞上为增函数，所以1=10，所以o 1)=e 1−eln 1=e 10−eln 1=e 10−0⋅ln1=e 10−1⋅e 10⋅ln1=10⋅e 10⋅0−=1⋅e 10⋅0+ln 0因为0+ln 0=0，所以o 1)=0，则o 1)≥0在(0,)+∞上恒成立，所以op =0有且仅有一个根=1，所以函数()eln x mG x x -=-有且仅有一个零点.解题技巧：1.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2.解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有:（1）方程法：直接解方程得到函数的零点；（2）图象法：直接画出函数的图象分析得解；（3）方程与图象法：令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解.3.利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由=0分离变量得出=，将问题等价转化为直线y a =与函数=的图象的交点问题.2极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。

切线的相关问题是历年高考中的热门考点，常在选填题中出现，偶尔也会出现在解答题中。

特别是近几年高考中关于公切线的相关考点出现较多。

导数在高中数学中，作为解题工具具有很重要的地位，导数的几何意义为解决曲线的切线和公切线提供诸多便利。

本专题主要研究导数在切线中的相关运用，望能对同学们解决切线和公切线提供帮助。

【技巧精讲】专题目录【专题1】求切线方程（已知切点和未知切点） (5)【专题2】求切点（已知切线或斜率） (7)【专题3】求参数（未知切点，已知切线） (8)【题型4】切线的条数问题 (9)【专题5】切线与切线的关系 (10)【专题6】求公切线方程 (12)【专题7】求公切线的条数问题 (13)【专题8】与公切线有关的参数问题 (14)【专题9】切线的应用：距离问题 (16)【专题10】切线的应用：恒成立（存在）问题 (18)【专题11】切线的应用：零点（方程的根、交点）问题 (20)【提升训练】 (23)【高考再现】 (32)【专题1】求切线方程（已知切点和未知切点）【典例分析】1.（2022·江西高三月考）已知曲线31433y x =+．（1）求曲线在2x =处的切线方程；（2）求曲线过点()2,4的切线方程．【答案】（1）440x y --=；（2）440x y --=或20x y -+=．【详解】（1）∵2y x '=，∴在点()2,4P 处的切线的斜率24x k y ='==．∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x -=-，即440x y --=．（2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线的斜率020x x k y x =='=．∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅-+．∵点()2,4P 在切线上，∴2300244233x x =-+，即3200340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴()()()2000014110x x x x +-+-=，∴()()200120x x +-=，解得01x =-或02x =，故所求的切线方程为440x y --=或20x y -+=．【变式演练】1.（2022·河北高三模拟）已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，当0x >时，1()1x f x e -=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为___________.【答案】10x y -+=【详解】由()f x 是(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，当x ＜0时，0x ->,f （x ）＝-f （﹣x ）＝11x e ---+，则()1x f x e--'=，可得()1111f e-'-==，f （﹣1）＝0，故()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为y ﹣0＝（x +1），即x -y +1＝0，故答案为：10x y -+=．2．（2022·福建省连江县高三期中）（多选题）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列命题中，正确的有（）A．直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =B．直线l ：1x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C ：()21y x =+C．直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =D．直线l ：1y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x =【答案】AC【分析】根据“切过”的定义和导数的几何意义，以及利用导数求函数的最值逐一判断选项即可.【详解】A：由3y x =，得23y x '=，得()00f '=，直线0y =是曲线C 的切线，又当0x >时0y >，当0x <时0y <，满足曲线C 在(0,0)P 附近位于直线0y =的两侧，故A 正确；B：由于2(1)y x =+，得2(1)y x '=+，则()10f '-=，而直线:1l x =的斜率不存在，在点(1,0)P -处不与曲线C 相切，故B 错误；C：由于sin y x =，得cos y x '=，所以()01f '=，直线y x =是过点(0,0)P 的曲线的切线，又(,0)2x π∈-时sin ,(0,2x x x π<∈时sin x x >，满足曲线C 在(0,0)P 附近位于直线y x =两侧，故C 正确；D：由于ln y x =，得1y x'=，所以()11f '=，曲线在(1,0)P 处的切线为1y x =-，设()1ln g x x x =--，得()11g x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上有极小值也是最小值，为()10g =，所以1y x =-恒在ln y x =的上方，不满足曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，故D 错误.故选：AC．3.（2022·安顺市高二月考）已知1ln y x =+.（1）求曲线1ln y x =+在点(),2P e 处的切线方程；（2）求曲线1ln y x =+过原点()0,0O 的切线方程.【答案】（1）0x ey e -+=；（2）0x y -=.【详解】（1）由1ln y x =+求导得：1y x '=，当x e =时，1y e'=，由点斜式得曲线在点(),2P e 处的切线方程为()12y x e e-=-，即0x ey e -+=，所以曲线1ln y x =+在点(),2P e 处的切线方程0x ey e -+=；（2）由题意知，点()0,0O 不在曲线上，设切点为()00,1ln B x x +，由(1)知曲线1ln y x =+在点B 处切线斜率为01x ，切线方程为0001(1ln ))y x x x x -+=-，即001ln y x x x =+，而切线过点()0,0O ，即0ln 0x =，解得01x =，于是得所求切线方程为y x =，所以曲线1ln y x =+过原点()0,0O 的切线方程为0x y -=.【专题2】求切点（已知切线或斜率）【典例分析】1.（2022·玉林市高三期中）曲线3()2f x x x =+-在P 0处的切线垂直于直线114y x =--，则P 0的坐标为（）A．()1,0B．()2,8C．()1,0或()1,4--D．()2,8或()1,4--【答案】C【详解】曲线3()2f x x x =+-在P 0处的切线垂直于直线114y x =--，所以切线的斜率为4，依题意，令2()314f x x '=+=，解得1x =±，(1)1120,(1)1124f f =+-=-=---=-，故0P 点的坐标为()1,0和()1,4--，故选：C【变式演练】1.（2022·东莞市高三月考）已知曲线33y x x =+在点P 处的切线与直线153=+y x 平行，则点P 的坐标为（）A．(2,14)B．(2,14)--C．(2,14)或(2,14)--D．以上都不对【答案】C【详解】解：由题意可知：函数33y x x =+的导函数为'233y x =+ 过P 点的切线与直线153=+y x 平行∴23315x +=，解得2x =±当2x =时，322314y =+⨯=，此时切线方程为1415(2)y x -=⨯-，即1516y x =-；当2x =-时，3(2)(2)314y =-+-⨯=-，此时切线方程为1415(2)y x +=⨯+，即1516y x =+.所以点P 的坐标是（2，14）或（-2，-14）故选:C2．（2022·重庆高三模拟）曲线()2ln 2f x x x x x =+-+在点()()0,x f x ()00x >处的切线恰好经过坐标原点，则0x =___________.【答案】1【详解】()ln 2f x x x '=+，则()000ln 2k f x x x '==+则切线方程为()()()20000000ln 2ln 2y x x x x x x x x -+-+=+-，代入原点可得：220000000ln 2ln 2x x x x x x x --+-=--，即20020x x +-=，解得01x =（负根舍去）故答案为：1【专题3】求参数（未知切点，已知切线）【典例分析】1.（2022·安徽高三月考（理））直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则实数k =（）A．1-B．1C．2D．e【答案】B【详解】设切点坐标为()00,ln x x ，且()1y f x x ''==，所以0001ln 1kx x k x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以011x k =⎧⎨=⎩，故选：B.【变式演练】1．（2022·河北高三月考）若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实数b =________.【答案】4-【详解】由()()2ln 0f x x x =>，则()2f x x'=，设直线l 与曲线()2ln f x x =相切于点(),2ln m m ，则切线斜率()22k f m e m '===，所以1m e =，切点为1,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入直线l 方程得122e b e -=⨯+，4b =-.故答案为：4-.2．（2022·江苏高三开学考试）已知a b ，为实数，直线2y x a =-+与曲线e 1x b y +=-相切，则a b +=________.【答案】2【分析】设切点为()00,x y ，根据直线2y x a =-+与曲线e 1x b y +=-相切，求得切点代入直线方程求解.【详解】因为直线2y x a =-+与曲线e 1x b y +=-相切，设切点为()00,x y ，由e 1x b y +=-，则e x b y +'=，所以0e 1x b +=，即00x b +=，解得0x b =-，又00e 10x b y +=-=，所以切点是(),0b -，代入直线方程得02b a =--+，所以2a b +=，故答案为：2【题型4】切线的条数问题【典例分析】1.（2021·广东高三月考）过定点()1,P e 作曲线()0x y ae a =>的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是______．【答案】()1,+∞【分析】设切点为00(,)x x ae ，利用导数几何意义求得切线方程为00(1)x y ae x x =-+，由题意知00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，构造()(2)xeg x e x =-且2x ≠，利用导数研究单调性及值域，进而确定a 的范围.【详解】由x y ae '=，若切点为00(,)x x ae ，则00x y k ae '==>，∴切线方程为00(1)x y ae x x =-+，又()1,P e 在切线上，∴00(2)x ae x e -=，即00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，令()(2)x e g x e x =-，即原问题转化为()g x 与y a =有两个交点，而2(1)()(2)x e x g x e x -'=-，1、当2x >时，()0g x '>，()g x 递增，且lim ()0x g x -→+∞→，2、当21x >>时，()0g x '>，()g x 递增；当1x <时，()0g x '<，()g x 递减；∴()()11g x g ≥=，又lim ()x g x →-∞→+∞，12x <<时()0>g x 且2lim ()x g x -→→+∞，∴要使00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，即()1,a ∈+∞.故答案为：()1,+∞【变式演练】1．（2022·北京市高三期中）已知函数()()02af x x a x=+>，则曲线()y f x =过点()2,0P 的切线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【详解】设切点为A 00(,)x y ，直线AP 的斜率为k ,则0()f x k '=，又020()12af x x '=-，0200020000222224ax y x x a k x x x x ++===---，∴2004220x ax a +-=又方程2004220x ax a +-=的判别式为2432a a +，且0a >，∴方程2004220x ax a +-=有两个不同的解，∴曲线()y f x =过点(2,0)的切线有两条，故选：C.2．（2022·江北·高三期中）若过点(),2A a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是__________.【答案】2(e ,)+∞【详解】由题意得：()ln 1,(0)f x x x '=+>，设切点为00(,)x y ，所以切线的斜率0ln 1k x =+，又000ln y x x =，所以切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，因为点(),2A a a 在切线上，代入可得00002ln (ln 1)()a x x x a x -=+-，整理可得00ln 11x a x -=设ln 1(),(0)x g x x x -=>，则22ln ()xg x x-'=，令()0g x '=，可得2e x =，当2(0,e )x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，当2(e ,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以2max 21()(e )e g x g ==，因为过点A 与()f x 相切的直线有两条，所以方程00ln 11x a x -=有2个根，又当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →，所以2110ea <<，解得2e a >.故答案为：2(e ,)+∞【专题5】切线与切线的关系【典例分析】1.（2022·河北·高三二模）已知函数()cos 2sin 2f x ax b x c x =++，其中a ，b ，c ∈R ，2214b c +=，()f x '为()f x 的导函数．若存在12,x x R ∈使得()()121f x f x ''⋅=-成立，则a b c ++的最大值为______．【答案】2【详解】2214b c +=，∴可设1cos 2b θ=，1sin 2c θ=，()()()2sin 22cos 2sin 2cos cos 2sin sin 2f x a b x c x a x x a x θθθ'∴=-+=--=--，()11a f x a '∴-≤≤+，存在12,x x R ∈使得()()121f x f x ''⋅=-，()()1010111a a a a ⎧-<⎪∴+>⎨⎪-+≤-⎩，2110a a -<<⎧∴⎨≤⎩，0a ∴=，11cos sin 2224a b c b c πθθθ⎛⎫∴++=+=+=+ ⎪⎝⎭，∴当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，a b c ++取得最大值2.故答案为：2.【变式演练】1．（2022·全国·模拟预测（理））已知,,a b c R ∈，且满足221b c +=，如果存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则a +的取值范围是（）A．[2,2]-B．[C．[D．[-【答案】B【详解】∵函数22()cos sin ,1f x ax b x c x b c =+++=，∴()cos sin sin()f x a c x b x a x ϕ=-'+=--，其中tan cbϕ=，则()[1,1]f x a a -+'∈，若存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则存在12,[1,1]k k a a ∈-+，使121k k =-，由2(1)(1)11a a a -+=-≥-，得0a =，则)a ϕθ+=+=+，其中tan θ=[a +∈；故选B．【专题6】求公切线方程【典例分析】1.（2022·重庆高三专题练习）若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则k b +=（）A．ln22-B．1ln22-C．ln212-D．ln22【答案】D【详解】设曲线2x y e -=上的点11(,)P x y ，2x y e -'=，121x k e -=；曲线1x y e =-上的点22(,)Q x y ，e x y '=，22x k e =；11122211x x x l y e x e x e ---∴=+-：，222221x x x l y e x e x e ∴=+--：121122222121x x x x x x e e e x e e x e ---⎧=∴⎨-=--⎩，2ln 2x ∴=-，2222111ln 21(ln 2)2222x x x k b e e x e ∴+=+-+=+--=．故选：D．【变式演练】1.（2022·安徽高三月考）已知曲线()f x =()()ln g x a x a R =∈相交，且在交点处有相同的切线，则该切线方程是__________．【答案】220x ey e -+=【详解】解:'()f x ='()ag x x=(0)x >．设两曲线的交点为00(,)x y ，则公切线有两种表达式：000()()()y f x f x x x '-=-和000()()()y g x g x x x '-=-，即0)y x x -=-和000ln ()a y a x x x x -=-．化简得y x =00ln a y x a x a x =+-．0a x =0ln a x a =-，联立解得2e a =，20x e =，将2ea =，20x e =代入y x =00ln a y x a x a x =+-中，得到公切线方程为122ey x e =+，即220x ey e -+=．故答案为:220x ey e -+=2.（2022·河北高三月考）（多选题）已知函数()()11x f x e e =+与()11x g x e e+=-的图象的公切线为l ，则（）A．l 的斜率大于12B．l 在x 轴上的截距为一2C．l 的斜率小于12D．l 在y 轴上的截距为2【答案】BC【详解】设切点分别为()1211211,1,,.xx P x e Q x e ee +⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()()11,x x f x e g x e -+'=='，所以11x e -=()1221112111x x x e e e e e x x ++⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=-，可得1211x x -=+，即122x x =+，则()121121111x x e e e e x x e+⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=-，所以()120,0,,2,0P e x Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以公切线方程为21y x e e -=，即20.x ey -+=所以选项BC 正确.故选：BC.【专题7】求公切线的条数问题【典例分析】1.（2022广西高三模拟）曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（）条公切线.A．1B．2C．3D．4【答案】B 【详解】设()010,x x e -是曲线()f x 图像上任意一点，()'1x f x e-=，所以()01'0x fx e -=，所以过点()010,x x e -的切线方程为()00110x x y e e x x ---=-，整理得()001101x x y e x x e --=⋅+-①.令()01'1x g x e x-==，解得011x x e -=，则()101g x x =-，所以曲线()g x 上过点()010,1xe x --的切线方程为：()()001101x x y x e x e ----=-，整理得010x y e x x -=⋅-②.由于切线①②重合，故()01001x x e x --=-，即()010010x x ex --⋅-=③.构造函数()()11x h x x e x -=--，则()'11x h x xe -=-，()()''11x h x x e -=+，故当1x <-时()()'''0,h x h x <递减、当1x >-时()()'''0,h x h x >递增，注意到当0x <时()'0h x <，且()'10h =，所以当1x <时()()'0,h x h x <递减，当1x >时，()()'0,h x h x >递增，而()()()22110,110,220h h h e e-=->=-<=->，根据零点存在性定理可知在区间()()1,1,1,2-各存在()h x 的一个零点，也即()h x 有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线()f x 和曲线()g x 有两条公切线.故选：B【变式演练】1.．已知函数21()44,()f x x x g x x -=-+=，则()f x 和()g x 的公切线的条数为A．三条B．二条C．一条D．0条【答案】A【详解】设公切线与()f x 和()g x 分别相切于点()()()()(),,,,24m f m n f n f x x =-'，()()()()()2,g n f m g x x g n f m n m--=-==''-'，解得222n m -=-+，代入化简得328810n n -+=，构造函数()()()32881,832f x x x f x x x +='=--，原函数在()22-00+33⎛⎫⎛⎫∞∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，极大值()200,03f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭极小值，故函数和x 轴有交3个点，方程328810n n -+=有三解，故切线有3条.故选A.【专题8】与公切线有关的参数问题【典例分析】1．（2022·眉山市高三开学考试）若两曲线y ＝x 2+1与y ＝a ln x +1存在公切线，则正实数a 的取值范围是______．【答案】（0，2e ]【详解】解：设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，对于y ＝x 2+1，y ′＝2x ，所以与曲线y ＝x 2+1相切的切线方程为：y ﹣（x 12+1）＝2x 1（x ﹣x 1），即y ＝2x 1x ﹣x 12+1，对于y ＝a ln x +1，y ′＝ax，所以与曲线y ＝a ln x +1相切的切线方程为y ﹣（a ln x 2+1）＝2a x （x ﹣x 2），即y ＝2a x x ﹣a +1+a ln x 2，所以122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，即有﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，由a ＞0，可得a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，记f (x )＝4x 2﹣4x 2ln x （x ＞0），f ′(x )＝8x ﹣4x ﹣8x ln x ＝4x （1﹣2ln x ），当xf ′(x )＞0，即f (x )在（0xf ′(x )＜0，即f (x )+∞）上单调递减，所以f (x )max ＝f）＝2e ，又x →0时，f (x )→0，x →+∞时，f (x )→﹣∞，所以0＜a ≤2e ．故答案为：（0，2e ]．【变式演练】1.（2022·福建龙岩市·高三模拟）已知函数()x f x xe =与()()2g x x ax a =+∈R 的图象在()0,0A 处有相同的切线，则a =（）A．0B．1-C．1D．1-或1【答案】C【详解】点()0,0A 在两函数图象上，()()1x f x x e '=+，()2g x x a '=+，根据题意可得()()00f g '='，即1a =.故选：C2.（2022·成都市·高三模拟）直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知函数2(),()ln ,f x x g x a x ==，其中0a ≠，若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为（）A．0a <B．1a <-C．02ea <<D．20a e<<【答案】C【详解】设曲线2()f x x =的切点为：2(,)s s ，2'()()2f x x f x x ⇒==，所以过该切点的切线斜率为'()2f s s =，因此过该切点的切线方程为：222()2y s s x s y sx s -=-⇒=-；设曲线()y g x =的切点为：(,ln )t a t ，'()ln ()a g x a x g x x =⇒=，所以过该切点的切线斜率为'()a g t t=，因此过该切点的切线方程为：ln ()ln a ay a t x t y x a a t t t-=-⇒=-+，则两曲线的公切线应该满足：2224(1ln )ln a s a t t ts a a t⎧=⎪⇒=-⎨⎪-=-+⎩，构造函数2'()4(1ln )(0)()4(12ln )h t t t t h t t t =->⇒=-,当12t e>时，'()0,()h t h t <单调递减，当120t e<<时，'()0,()h t h t >单调递增，所以函数有最大值为：12()2h e e =，当t e >时，()0h t <，当0t e <<，()0h t >，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为02e a <<.故选：C【专题9】切线的应用：距离问题【典例分析】1.（2022·海南高三）已知点(),P a b 为曲线()ln 21y x =+255a b -+5255a b -+(),P a b 到直线250x y -+=的距离，令2221x a y a =+'==，所以0a =，所以(),P a b 到直线250x y -+=252005555a b -+⨯-+==．故答案为：52.（2022江西高三模拟）已知a R ∈，b R ∈()()221ba b a e -+--2【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.()()221ba b a e -+--(),1a a -到点(),bb e 的距离，而点(),1a a -的轨迹是直线1y x =-，点(),bb e 的轨迹是曲线()x f x e =，则所求最小值可转化为曲线()x f x e =上的点到直线1y x =-距离的最小值，而曲线()x f x e =在直线1y x =-上方，平移直线1y x =-使其与曲线()x f x e =相切，则切点到直线1y x =-距离即为所求，设切点00(,)x x e ，()xf x e '=，由()001x f x e '==得00x =，切点为(0,1)则(0,1)到直线1y x =-距离d =【变式演练】1.（2022·河南开封·高三（理））在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线21y x x=+(0)x >上的一个动点，则点P 到直线y x =的距离的最小值是____________.【答案】22【详解】设21()(0)f x x x x =+>，则322121()2x f x x x x -'=-=，令()0f x '=，即3210x -=，解得42x =，当402x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当42x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.如图，画出函数大致图象以及直线y x =，当直线y x =的平行直线与曲线21(0)y x x x =+>相切时，切点P 到直线y x =的距离最小.设切点00(,)P x y ，切线斜率为k ，由3002021()1x k f x x -'===，解得01x =，即点(1,2)P .则点(1,2)P 到直线y x =的距离d 22.2．（2022.绵阳市高三期中）若实数a ，b ，c ，d 满足222(3)(2)0b a lna c d +-+-+=，的最小值为．【解答】解： 实数a ，b ，c ，d 满足222(3)(2)0b a lna c d +-+-+=，230b a lna ∴+-=，20c d -+=．分别设2()3(0)y f x lnx x x ==->，2y x =+．设直线2y x =+与曲线23(0)y lnx x x =->相切于点0(P x ，0)y ．则3()2f x x x '=-，0003()21f x x x '=-=，解得01x =，01y ∴=-．(1,1)P ∴-．∴点P 到直线2y x =+的距离d =的最小值为【专题10】切线的应用：恒成立（存在）问题【典例分析】1.（2022广东高三期中）已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x ≥+恒成立，则m 的取值范围为（）A．[]1,21e --B．(,21]e -∞-C．[]1,1e --D．(,1]e -∞-【答案】A【详解】解：因为()x f x a =，所以()ln x f x a a '=，又函数()f x 的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，所以0(0)ln 2f a a '==，解得2e a =，所以2()e x f x =，因为()f x mx x ≥+恒成立，所以2e x mx x ≥+恒成立．当0x =时，0e 0≥成立．当0x ≠时，令2e ()1x g x x =-，则22e (21)()x x g x x-'=．当1(,0)0,2x ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞和10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x >时，e 1xm x ≤-恒成立，所以2mine 112e 12x m g x ⎛⎫⎛⎫≤-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当0x <时，2e 1x m x ≥-恒成立，而2e ()11xg x x=-<-，所以1m ≥-．综上，12e 1m ≤≤-一，所以m 的取值范围为[1,2e 1]--．故选：A2.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（）A．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11ae -=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am ma m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B 【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()0,ln ,0,x f x x x x ⎧=⎨>⎪⎩ ，若关于x 的不等式()e f x ax >-（e是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）A．21e 1,3e 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．21e 1,3e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭C．21e ,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．21e ,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】()e f x ax >-在R 上恒成立，等价于()f x 的图像恒在直线e y ax =-的上方，画出()0ln ,0x f x x x x ⎧=⎨>⎪⎩的图像：直线e y ax =-恒过定点()0,e -，当直线e y ax =-与ln y x x =，0x >相切时，设切点()000,ln P x x x ，求导得ln 1y x ¢=+，可得01ln k x =+，由0000ln e1ln x x x x ++=，解得0e x =，则切线的斜率为2.当直线e y ax =-与y =0x ≤相切时，直线e y ax =-与半圆()()22110x y y ++= 相切，1=，解得21e 2e a -=，由图可知，a 的取值范围是21e ,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭.故A，B，C 错误.故选：D.【专题11】切线的应用：零点（方程的根、交点）问题【典例分析】1.已知函数()f x 满足1()()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是．【答案】ln 31[,)3e【解析】试题分析：由题意知，ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，∵在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，∴函数ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩与y ax =在区间1[,3]3内有三个不同的交点，合图象可知，当直线y ax =与()ln f x x =相切时，ln 1x x x =，解得：x e =；此时1a e=；当直线y ax =过点(3,ln 3)时，ln 33a =；故ln 313a e≤<.【变式演练】1.已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________.【答案】11[,4e【分析】采用数形结合，先计算直线直线y ax =与曲线ln y x =相切时，a 的值，然后讨论114a e≤<，10,4<<a 104a <<的情况，最后判断可得结果.【详解】作出函数()y f x =的图象如图所示：先考虑直线y ax =与曲线ln y x =相切时，a 的取值，设切点为(,ln )t t ，对函数ln y x =求导得1y x'=，切线方程为1ln ()y t x t t -=-，即1ln 1y x t t =+-，则有1ln 10a tt ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得1t ea e =⎧⎪⎨=⎪⎩，由图象可知，当1a e=时，直线y ax =与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象没有公共点，在(1,)+∞有一个公共点，不合乎题意；当114a e≤<时，直线与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象没有公共点，在(1,)+∞有两个公共点，合乎题意；当104a <<时，直线y ax =与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象只有一个公共点，在(1,)+∞有两个公共点，不合乎题意；当0a ≤时，直线y ax =与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象只有一个公共点，在(1,)+∞没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为：11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.2.（2022.安徽高三模拟）已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，若22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，方程()()2f x k x =-有三个不同的根，则k 的取值范围为（）A．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦B．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由()()11f x f x +=-，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，由此可画出函数图像，而直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线，当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案【详解】因为()()11f x f x +=-，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称.当21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，则当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，()f x 的图像如图所示，直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线.当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点.当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，函数()()()2ln 2f x f x x =-=-，()12x f x '=-，设切点为()()00,ln 2x x -，切线的斜率012k x =-，则切线方程为()()0001ln 22y x x x x --=--，把点()2,0代入得02x e =-，所以1k e=-；当直线过点()22,2e -时，22k e =-，所以k 的取值范围为212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故选：C.【提升训练】1.（2022山西高三模拟）函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（）A．4B．2C．1D．12【答案】A【分析】设两个切点A ()11x y ，和B ()22x y ，，然后求函数的导函数(),()f x g x ''，由()g x 的导函数()g x '分析求解参数2a =，再由()f x 的导函数和公切线分析得出关于m 的方程组，求解即可得出答案.【详解】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =，所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x >，则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即得函数()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域上为增函数，又因()10h =，则可解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111mf '=+=+解得4m =.故选：A.2．（2022·广东）若过点()(),0a b a >可以作曲线33y x x =-的三条切线，则（）A．3b a <-B．333a b a a-<<-C．33b a a>-D．3b a =-或33b a a=-【答案】B【详解】233y x '=-设切点()3,3P m m m -，切线方程()()()32333y m m m x m --=--，切线过点()(),0a b a >，()()32333b m m m a m -+=--，整理得：322330m am a b -++=，由于可以作三条切线，所以关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，()32233g m m am a b =-++，()266g m m am '=-，令()2660g m m am '=-=，0m =或(),0m a a =>.函数()32233g m m am a b =-++的增区间为()(),0,,a -∞+∞，减区间为()0,a ，所以函数极大值()03g a b =+，极小值()33g m a a b =-++，关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，所以33030a ab a b ⎧-++<⎨+>⎩，所以33,33b a a b a a >-<<-.故选：B3.（2022·昭通高三月考）已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．12【答案】A【详解】解：函数23ln 14x y x =-+的定义域为()0,∞+，则32x y x '=-，设斜率为12的切线的切点为0(x ，0)y ，0(0)x >，所以003122x x -=，解得03x =或-2（舍去），所以切点的横坐标为3.故选：A.4.（2022·山东高二期末）已知函数()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =上的点到直线21y x =-+的最小距离为（）A．1C．5D．5【答案】B【分析】首先求0x >的解析式，根据条件求()2f x '=-的点，再求点到直线的距离的最小值.【详解】当0x <时，设点()11,P x y ，()11132f x x '=+=-，解得：115x =-，13ln 55y =--，此时点P 到直线21y x =-+的距离1d ==设0x >，0x -<，因为函数是偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，设点()22,Q x y ，()22132f x x '=-=-，解得：21x =，23y =-，此时点Q 到直线21y x =-+的距离2d ==因为21d d <，所以曲线()y f x =上的点到直线21y x =-+的最小距离为25d =.故选：B5.（2022陕西高考模拟）关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是A．tan αα>B．tan αα<C．tan αα=D．以上都不对【答案】C由题意作出y kx =与sin y x =在(3,3)ππ-的图象，如图所示：∵方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，最大的根是α.∴α必是y kx =与sin y x =在(2,3)ππ内相切时切点的横坐标设切点为()00,x y ，052,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0x α=，斜率0cos k x =则000sin cos cos tan y x x ααααα=∴=⋅∴=故选C.6.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（）A．0B．4C．0或-4D．0或4【答案】C【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可．【详解】设切点为000(,)x x x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)x y x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x e x e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =，故选C．7．函数()ln f x x =在点()()00,P x f x 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】试题分析:设切点分别为),(11y x P 或),(22y x P ,因x e x g xx f ==)(,1)(//,故211x e x k ==,由此可得k x k x ln ,121==,切线方程分别为)1(1ln kx k k y -=-和)ln (k x k k y -=-.由题设可得k k k k ln 1ln +-=+,即1ln )1(+=-k k k ,也即11ln -+=k k k ,由题意这个方程解的个数就是点P 的个数.在平面直角坐标系中画出函数k y ln =和函数11-+=k k y 的图象,结合图象可以看出两函数的图象有两个不同的正根,故切点的个数有两个,应选C.考点：导数的几何意义及函数的图象和性质的综合运用.8.已知ln 0a b -=，1c d -=，求22()()a c b d -+-的最小值________.【答案】2【详解】依题意得ln a b =，10d c -+=，则(),b a 是曲线ln y x =上的点，(),d c 是直线10x y -+=上的点，所以22()()a c b d -+-可看成曲线ln y x =上的点到直线10x y -+=上的点的距离的平方.直线10x y -+=的斜率为1，'1ln y x y x =⇒=，令'111y x x==⇒=，所以过曲线ln y x =上一点()1,0的切线与直线10x y -+=平行，点()1,0到直线10x y -+==因此22()()a c b d -+-的最小值为22=.故答案为：29.（2022·河北唐山市·高三模拟）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，若直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，则点M 的坐标是___________.【答案】)【详解】设2(,)2a M a ，抛物线的焦点坐标1(0,)2F ，如图，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，∴圆心Q 的纵坐标为14，设1(,)4Q m ，直线MQ 与抛物线C 相切于点M 22x y ∴=导数122y x x '=⋅=，即在M处的切线斜率k a =即MQ 的斜率2124a k a a m-==-，即22124a a am -=-，即2124a am =+，得124a m a =+，即1(24a Q a +，1)4，||||OQ QM = 22221111()()()24422416a a a a a a ∴+-+-=++，即22221111()(()24422416a a a a a -++-=++得2219(4216a -=，得2131244a =+=或21312442a =-=-（舍)解得22a =．0a >，a ∴=，M 1)即M的坐标为，1)故答案为：，1)．10．（2022·广西·高三专题练习）已知函数()222,0()ln 1,0x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的不等式1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】12e a -≤≤【解析】画出函数()f x的图像，如图所示：关于x 的不等式1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立，等价于函数()y f x =的图像恒在直线12y ax a =+-的图像的下方，又直线12y ax a =+-恒过定点11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭当直线与()ln 1,0y x x =+>相切时，设切点()00,ln(1)P x x +，求导11y x '=+，可得0001ln(1)1211x x x ++=++，解得：1201=-x e ，则直线斜率为12e -，即12a e -=当直线与222,0y x x x =---≤相切时，此时由21222ax a x x +-=---整理得：23(2)02x a x a ++++=，令2(2)460a a ∆=+--=，解得a =a =所以由图像可知，实数a的取值范围是12e a -≤≤12e a -≤≤11．（2022·树德中学高三（理））已知函数()()()2221ln 21ln 2f x x x m x x m =++-+++，若存在实数0x ，使得()02f x ≤成立，则实数m 的可能取值为___________.【答案】1【解析】因为22222()(1)ln 2(1ln )2[(1)](ln )f x x x m x x m x m x m =++-+++=--+-，则看成点(),ln x x 到点()1,m m -的距离的平方，其中点(),ln x x 在函数()ln g x x =上，点()1,m m -在直线1y x =+上，由()ln g x x =，得()1g x x'=，令()1g x '=，则1x =，(1)0g =，设()1,0A ，所以函数()ln g x x =在点()1,0A 处的切线与直线1y x =+平行，所以点()1,0A 到直线1y x =+的距离，即点(),ln x x 到点()1,m m -的距离的最小值，点()1,0A 到直线1y x =+的距离为d ==()2f x ≥，过点()1,0A 且垂直直线1y x =+的直线方程为1y x =-+，由11y x y x =-+⎧⎨=+⎩，得01x y =⎧⎨=⎩，当且仅当10m -=，即1x =时，()2f x =，所以1m =.所以实数m 的所有可能取值为1，故答案为：1.12.（2022·沙坪坝·高三期中）已知函数2()2f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 23--=x x __________．【答案】0【分析】设公切线与()ln g x x =切于()22,ln x x ，利用导数的几何意义求出()f x 在()11,x y 处的切线方程21122=-+y x x x ，再把点()22,ln x x 代入化简消去2x ，可得结果【详解】解：设公切线与()ln g x x =切于()22,ln x x ，由()2f x x '=，1()g x x'=，则曲线()f x 在()11 ,x y 处的切线方程为()()2111 22-+=-y x x x x ，即21122=-+y x x x ，曲线()g x 在()22,ln x x 处的切线方程为22ln 1xy x x =+-，12212122ln 1x x x x ⎧=⎪∴⎨⎪-+=-⎩，得()211ln 23-=x x ，()211ln 230∴--=x x ，故答案为：0．13.（2022·陕西西安市·高三模拟（理））曲线()(ln )1f x x x x =++在点(1,(1))f 处的切线方程为__________.【答案】31y x =-【解析】根据求导法得出点(1,(1))f 处切线的斜率，再根据点(1,(1))f 的坐标，由点斜式得到该切线方程.【详解】()(ln )1f x x x x =++ ，()2()ln f x x x x ''∴=+1ln 2x x =++，(1)3f '∴=，又(1)1(ln11)12f =⨯++=，∴所求的切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-，故答案为：31y x =-.14．（2021·浙江高二期末）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则k =______，b =_____．【答案】21ln 2-【分析】求出两条曲线的导数，设出切点，根据斜率相等和切点在曲线上建立关系即可求解.【详解】由ln 2y x =+可得1y x '=，由ln(1)y x =+可得11y x '=+，设直线y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为()()1122,,,x kx b x kx b ++，则由导数的意义可得12111k x x ==+，得121x x =+，又切点也在两条曲线上，则()1122ln 2,ln 1kx b x kx b x +=++=+，两式相减得()()1212ln 2ln 1k x x x x -=+-+，即11ln 2ln 2k x x =+-=，则1ln 2b =-.故答案为：2；1ln 2-.15.（2022·四川·石室中学模拟预测（理））已知函数()()()ln 1,x f x x a x g x e =--=.（Ⅰ）（ⅰ）求证：()1g x x ≥+；（ⅱ）设()()()1h x f x g x =++，当()0,1x h x ≥≥时，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线12,l l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<.【答案】（Ⅰ）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）(],2-∞；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）（ⅰ）构造函数()()1xu x e x =-+，通过求导分析单调性，利用最值即可证明；（ⅱ）由()11x h x e a x =+-+'，当2a ≤时，利用()11111x h x e a x a x x =+-≥++-++'可得函数单调性从而知成立，当2a >时求导分析单调性找到反例知不成立，从而得解；（Ⅱ）设切线2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则22x y e =，()22222xy k g x e x =='=，可得1l 的的方程为11y k x x e==，设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y ，通过求导列方程可得1111ln 10x x e -+-=，令()11ln 1m x x x e=-+-，求导利用单调性即可证得.【详解】（Ⅰ）（ⅰ）证明：令()()1x u x e x =-+，则()1xu x e '=-，所以0x <时，()0u x '<，0x >时()0u x '>，所以()()00u x u ≥=，即()1g x x ≥+.（ⅱ）()()()()1ln 1xh x f x g x x ax e =++=+-+，()11x h x e a x =+-+'.a.当2a ≤时，由（Ⅰ）知1x e x ≥+，所以()1112011x h x e a x a a x x =+-≥++-≥-+'≥+，所以()h x 在［0，＋）∞上递增，则()()01h x h ≥=恒成立，符合题意．b．当2a >时，令()()t x h x ='，则()()()()222111011x xx e t x e x x +-=-=≥++'，所以()h x '在[)0,+∞上递增，且()020h a ='-<，则存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=.所以()h x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增；又()()001h x h <=，所以()1h x ≥不恒成立，不合题意．综合a，b 可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞．（Ⅱ）证明：设切线2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则22x y e =，()22222xy k g x e x =='=，所以21x =，2y e =，则22x k e e ==.由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e ==，1l 的的方程为11y k x x e==.设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y ，。

第1讲 曲线的切线1.若f(x)＝2xf′(1)＋x 2，则f′(0)＝________． 答案：－4 解析：因为f′(x)＝2f′(1)＋2x ，所以令x ＝1，得f ′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＝－4.2. (2018·启东中学)设函数f(x)＝xln x ，则点(1，0)处的切线方程是________． 答案：x －y －1＝0解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0.3. 若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________．答案：12 解析：因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.4. 曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则点P 的坐标为________．答案：(1，3)或(－1，3) 解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上．5. (2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x －1上，且在第三象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．答案：(－1，－1)解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴ 3x 2－1＝2，x ＝±1.∵点M 在第三象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)－1＝－1，∴点M 的坐标为(－1，－1)．6. (2018·通州中学)若函数f (x )＝2x ＋ln x 且f ′(a )＝0，则2a ln 2a＝________． 答案：－1解析：f ′(x )＝2x ln 2＋1x，由f ′(a )＝2aln 2＋1a＝0，得2aln 2＝－1a，则a ·2a·ln 2＝－1，即2aln 2a＝－1.7. 如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋3是曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线，若h (x )＝xf (x )，则h (x )的图象在x ＝1处的切线方程为________．答案：y ＝x ＋1 解析：由图象可知f (1)＝2，2＝k ×1＋3，k ＝－1.因为h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以h ′(1)＝f (1)＋f ′(1)＝2－1＝1.又h (1)＝f (1)＝2，所以h (x )的图象在x ＝1处的切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. 8. (2017·苏州模拟)已知直线x ＋y ＝b 是函数y ＝ax ＋2x的图象在点(1，m )处的切线，则a ＋b －m ＝________．答案：2 解析：由题意，m ＝a ＋2，m ＋1＝b ，又函数y ＝ax ＋2x的导函数y ′＝a －2x2，故切线的斜率为a －2，由a －2＝－1得a ＝1，则m ＝3，b ＝4，所以a ＋b －m ＝2. 9. 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________．答案：0 解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13.因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)．又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.10. (2018·常州期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．答案：1e解析：设直线方程为y ＝kx ，切点为A (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （x0）＝bx0＋ln x0＝y0＝kx0，f′（x0）＝b ＋1x0＝k ，从而有bx 0＋ln x 0＝kx 0＝bx 0＋1，解得x 0＝e ，所以k －b ＝1e.11. (2017·南通调研一)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x1x2的值是________．答案：43解析：由y ＝x 2得y ′＝2x ，切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.由y ＝x3得y ′＝3x 2，切线方程为y －x 32＝3x 2(x －x 2)，即y ＝3x 2x －2x 32，由⎩⎪⎨⎪⎧2x1＝3x22，x 21＝2x 32，得x1x2＝43.12. 已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 12. 已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1， 故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．13. 已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)．(1)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值；。

高考数学高分必做专题分享——导数-曲线的切线题型汇总一
曲线的切线问题，常考两种题型：
1、求曲线的切线方程；
2、求参数的值；
用到的知识点包括：
1、导数的几何意义：曲线在切点处的导数等于切线的斜率；
2、注意：“切点既在曲线上，又在切线上”的应用。

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2019年 高考数学 导数与函数 专题复习1.设函数xbax x f -=)(,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.2.设函数xbax x f -=)(，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.3.设函数(1)当a=2时，求f(x)的最大值； (2)令(0<x ≤3)，以其图象上任意一点P(x 0,y 0)为切点的切线的斜率k ≤0.5恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a=0时，方程mf(x)=x 2有唯一实数解，求正数m 的值．4.已知函数．(1)若a=0，直线y=kx 是曲线y=f(x)的切线，求实数k 的值；(2)若x 1,x 2是函数f(x)的两个极值点，且x 1<x 2，求f(x 1)的取值范围．5.设函数f(x)=lnx-0.5ax 2-bx.(1)当a=b=0.5时，求f(x)的最大值； (2)令，其图像上任意一点P(x 0,y 0)处切线的斜率k ≤0.5恒成立，求实数a 的取值范围.6.已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=e x -x+1.（a 为常数，e 为自然对数的底，）（1）当a=1时，求f(x)的单调区间； （2）若函数f(x)在区间上无零点，求a 的最小值；（3）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求a 的取值范围.7.已知函数f(x)=e x ln x-ae x(a ∈R).(1)若f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线与直线11+=x ey 垂直,求a 的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围.8.函数()ln xf x e a x b =--在点(1,(1))P f 处的切线方程为y=0.（1）求实数a ，b 的值； （2）求f(x)的单调区间；（3）1x ∀≥，22ln (ln )xxex x ke e+≤成立，求实数k 的取值范围.9.已知a 为实数，函数f(x)=a ·lnx ＋x 2-4x ．(1)当a=-6时，求函数f (x)的极值；(2)若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； (3)设，若存在x 0∈[1, e]，使得f(x 0)＜g(x 0)成立，求实数a 的取值范围．10.已知函数，，当a=2时，f(x)与g(x)的图象在x=1处的切线相同. （1）求k 的值；（2）令F(x)=f(x)-g(x)，若F(x)存在零点，求实数a 的取值范围.11.已知函数x x x x f 3231)(23+-=(x ∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.12.已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a ，b ∈R ，a<b).(1)当a=1，b =2时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)设x 1，x 2是f(x)的两个极值点，x 3是f(x)的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2.证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4.答案解析1.解析：(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,故2a-=,又f '(x)=a+,即有a+=,解得a=1,b=3.故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知, f '(x)=1+,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.2.3.解：4.解：5.解：6.解：7.8.解：9.解：10.解：11.解析：(1)由题意得f '(x)=x2-4x+3,则f '(x)=(x-2)2-1≥-1,即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,解得-1≤k<0或k≥1,故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).12.。

课时达标 第15讲[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、或者已知最值求参数等问题．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．一、选择题1．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A ．12B ．1C ．0D ．不存在3．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．184．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1，x ≤0，e ax ，x >0，在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫12ln 2，＋∞B ．⎣⎡⎦⎤0，12ln 2 C ．(－∞，0) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 25．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－116．(2018·河北三市联考二)若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝____.8．(2018·东北八校月考)已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为____.9．已知函数f (x )的定义域是[－1,5]，部分对应值如下表.f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的极小值为__0__.三、解答题10．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．11．已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．12．已知函数f(x)＝ax2－e x(a∈R，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)解关于x的不等式：f(x)>f′(x)；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．参考答案及解析课时达标 第15讲一、选择题1．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( D)A ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有根，故Δ＝(－4c )2－12>0，从而c >32或c <－32. 2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为(A) A ．12B ．1C ．0D ．不存在解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0，令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1， ∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值， 且f (1)＝12－ln 1＝12，故选A ．3．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( D)A ．15B ．16C ．17D ．18解析 x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2.令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18，故选D ．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1，x ≤0，e ax ，x >0，在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是(D)A ．⎣⎡⎭⎫12ln 2，＋∞B ．⎣⎡⎦⎤0，12ln 2C ．(－∞，0)D ．⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 2 解析 当x ∈[－2,0)时，因为f ′(x )＝6x 2＋6x ＝6x (x ＋1)，所以在[－2，－1)上f ′(x )>0，在(－1,0]上，f ′(x )≤0，则当x ∈[－2,0]时函数有最大值，为f (－1)＝2.当a ≤0时，若x >0，显然e ax ≤1，此时函数在[－2,2]上的最大值为2，符合题意；当a >0时，若函数在[－2,2]上的最大值为2，则e 2a ≤2，得a ≤12ln 2，综上可知a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 2，故选D ．5．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(A)A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ，显然f (0)>f (2)>f (－2)，∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37，故选A ．6．(2018·河北三市联考二)若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为(A)A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)． ∵函数f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3<b <1， 则由f ′(x )>0，得x <b 或x >2.由f ′(x )<0，得b <x <2， ∴函数f (x )的极小值为f (2)＝2b －43，故选A ．二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝__32__.解析 f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x ＝2和x ＝－2为其两个极值点，f (3)＝－1，f (－3)＝17，f (2)＝－8，f (－2)＝24，∴M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32.8．(2018·东北八校月考)已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为__4__.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.9．已知函数f (x )的定义域是[－1,5]，部分对应值如下表.f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的极小值为__0__.解析 由y ＝f ′(x )的图象知，f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表.所以f (x )的极小值为f (2)＝0. 三、解答题10．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝ e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1， 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1． (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )<0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0. 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 11．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值． 解析 (1)由f (x )＝x －1＋ae x ，得f ′(x )＝1－aex .由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a .x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．12．已知函数f (x )＝ax 2－e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)解关于x 的不等式：f (x )>f ′(x )；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，求实数a 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝2ax －e x ，f (x )－f ′(x )＝ax (x －2)>0. 当a ＝0时，无解；当a >0时，解集为{x |x <0或x >2}； 当a <0时，解集为{x |0<x <2}．(2)设g (x )＝f ′(x )＝2ax －e x ，则x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个根．g ′(x )＝2a －e x ，若a ≤0，g ′(x )<0恒成立，g (x )单调递减，方程g (x )＝0不可能有两个根；若a >0，则当x ∈(－∞，ln 2a )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(ln 2a ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． ∴g (x )max ＝g (ln 2a )＝2a ln 2a －2a >0，得a >e2.e故实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，＋∞.。