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浙江省2018年1月高等教育自学考试
微分几何试题
课程代码：10022
一、判断题(判断下列各小题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“╳”。每小题2分，共
12分)
1. 圆的曲率和挠率特征是k=1，τ=0。( )
2. 平面曲线的渐缩线就是平面曲线的曲率中心的轨迹。( )
3. 球面曲线的法平面通过球的中心。( )
4. I=2du 2+6dudv+3dv 2可以作为曲面的第一基本形式。( )
5. 伪球面的高斯曲率是正数。( )
6. 球面和平面上每一条曲线都是曲率线。( )
二、 填空题（每小题3分，共18分）
1. 向量函数r(t)具有固定方向充要条件是对于t 每一个值，r(t)与r ′(t)_____。
2. 曲面域的面积作为曲面的内蕴量是_____变换下的不变量。
3. 设曲面在点P 处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的_____。
4. 若曲面的第一基本形式为I=du 2+Gdv 2，则u 曲线是_____。
5. 曲面的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件是_____。
6. 根据高斯－波涅公式，伪球面上测地三角形的内角和大小关系是_____。（与π比较）
三、 完成下列各题（每小题5分，共30分）
1. 求曲线r(t)={t,3
t ,2t 3
2}在t=0处的副法向量。 2. 求椭圆r(t)={acost,bsint}在t=0处的曲率。
3. 求双曲抛物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的第一基本形式。
4. 设一个曲面的第一基本形式为I=du 2+(u 2+a 2)dv 2，求它上v 曲线的测地曲率。
5. 证明:曲面r={vcosu,vsinu,au+b}不是可展曲面。
6. 设s 为曲线Γ的弧长参数，作曲线Γ*:r *(s)=∫s 0β(s)ds 。证明：s 也是Γ*的弧长参数。
四、 完成下列各题（每小题10分，共40分）
1. 求曲线r(t)={t,2lnt,t
1}的挠率。
2. 证明曲线r(t)={1+3t+2t 2,2-2t+5t 2,1-t 2}为平面曲线，并求出它所在的平面方程。
3. 求曲面xyz=1上的脐点（主曲率相等的点）。
4. 证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}可与旋转曲面r={tcos θ,tsin θ,1t 2- }建立等距对应θ=arctanu+v,t=1u 2+.
序姓名准考证号复查科目复查结果备注 1 姚奕103379210000013 英语320 成绩复查无误仅查主观题部分 2 王怡103379210000022 英语327 成绩复查无误仅查主观题部分 3 涂晶晶103379210000063 英语308 成绩复查无误仅查主观题部分 4 刘亚会103379210000232 英语成绩复查无误仅查主观题部分 5 杨明斐103379210000265 英语成绩复查无误仅查主观题部分 6 奚路阳103379210000370 英语成绩复查无误仅查主观题部分 7 黄飞103379210000377 英语成绩复查无误仅查主观题部分 8 贾倩倩103379210000389 英语成绩复查无误仅查主观题部分 9 陈龙103379210000432 英语成绩复查无误仅查主观题部分 10 蒋宇飞103379210000449 英语成绩复查无误仅查主观题部分 11 袁堃103379210000510 英语成绩复查无误仅查主观题部分 12 章小永103379210000520 英语成绩复查无误仅查主观题部分 13 郑秋岚103379210000525 英语成绩复查无误仅查主观题部分 14 李珊103379210000708 英语成绩复查无误仅查主观题部分 15 虞晓霞103379210000736 英语成绩复查无误仅查主观题部分 16 袁芳103379210000737 英语成绩复查无误仅查主观题部分 17 张屹峰103379210000742 英语成绩复查无误仅查主观题部分 18 林珍珍103379210000775 英语成绩复查无误仅查主观题部分 19 郑乐斌103379210000845 英语成绩复查无误仅查主观题部分 20 郭罕奇103379210000856 英语成绩复查无误仅查主观题部分 21 张鸣頔103379210000882 英语成绩复查无误仅查主观题部分 22 任峰103379210000915 英语成绩复查无误仅查主观题部分 23 吴园园103379210000928 英语成绩复查无误仅查主观题部分 24 顾德强103379210001038 英语成绩复查无误仅查主观题部分 25 莫林其103379210001085 英语成绩复查无误仅查主观题部分 26 陈柏侠103379210001087 英语成绩复查无误仅查主观题部分 27 邵美娟103379210001176 英语成绩复查无误仅查主观题部分 28 黄晓峰103379210001255 英语成绩复查无误仅查主观题部分 29 黄志盛103379210001256 英语成绩复查无误仅查主观题部分 30 柯泽慧103379210001259 英语成绩复查无误仅查主观题部分 31 梁越103379210001261 英语成绩复查无误仅查主观题部分 32 王金艳103379210001272 英语成绩复查无误仅查主观题部分 33 余苏苏103379210001284 英语成绩复查无误仅查主观题部分 34 吕菲103379210001339 英语成绩复查无误仅查主观题部分 35 杨悦103379210001363 英语成绩复查无误仅查主观题部分 36 冯亮103379210001383 英语成绩复查无误仅查主观题部分 37 黄舒涵103379210001384 英语成绩复查无误仅查主观题部分 38 章浩海103379210001414 英语成绩复查无误仅查主观题部分 39 乐益103379210001487 英语成绩复查无误仅查主观题部分 40 张璐103379210001536 英语成绩复查无误仅查主观题部分 41 马世龙103379210001566 英语成绩复查无误仅查主观题部分 42 吴华峰103379210001575 英语成绩复查无误仅查主观题部分 43 贾韦103379210001666 英语成绩复查无误仅查主观题部分
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。装。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。订。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。线。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 济宁学院继续教育学院《微分几何》考试试卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 1、 曲面上的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 . 2、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络面是 . 3、N M L ,,是曲面的第二类基本量，则02=-M LN 的点是曲面上的 . 4、球面{}θ?θ?θsin ,sin cos ,cos cos R R R r =→ 的第二基本形式为 . 5、圆柱螺线{}bt t a t a r ,sin ,cos =→ 的自然参数表示式为 . 二、选择题（每小题2分，共20分） 6、下列属于曲面内蕴量的是 （ ） A 、主方向 B 、共轭方向 C 、高斯曲率 D 、渐近方向 7、空间曲线在一点的密切平面上的投影近似于 （ ） A 、直线 B 、半立方抛物线 C 、立方抛物线 D 、抛物线 8、空间曲面在抛物点邻近的形状近似于 （ ） A 、双曲抛物面 B 、立方抛物线 C 、椭圆抛物面 D 、圆锥面 9、曲线()r r t =r r 在点()P t 处的挠率 （ ） A 、可正可负 B 、一定为负 C 、不可为负 D 、 一定为正 10、下列概念中,能刻画曲面上一点在某一方向上的弯曲性的是 （ ） A 、高斯曲率 B 、曲率 C 、挠率 D 、法曲率 11、曲面在一点处的高斯曲率a K =,平均曲率)(2a b b H ≥=,则曲面在该点处的主曲率为 ( ) A 、a b b -+2 B 、a b b --2 C 、a b b -+2, a b b --2 D 、无法知道 12、下列不是曲面的第一类基本量的是 （ ） A 、u u r r E →→?= B 、v u r r F →→?= C 、v v r r F →→?= D 、uv r n M → →?= 13、曲面(,)r r u v =r r 的曲纹坐标网的微分方程是 （ ） A 、0du dv -= B 、0du dv += C 、0dudv = D 、220du dv -= 14、单位向量函数)(t r → 关于t 的旋转速度等于 （ ） A 、)(t r →' B 、)(t r →' C 、)(t r → D 、)(t r → 15、过2C 类空间曲线上一点最贴近曲线的平面是 （ ） A 、切平面 B 、从切平面 C 、密切平面 D 、法面 三、计算题（每小题10分，共20分）
微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0
二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率
1、等距变换一定是保角变换 （×） 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√） 3、二阶微分方程 22 A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （×） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×） 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量 （√） 6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( × ) 8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( √ ) 9、LN-M 2不是内蕴量。 ( × ) 10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( √ ) 11、曲线→ r =→ r (s)为一般螺线的充要条件为(r &&ρ,r &&&ρ,....r ρ)=0 （√） 12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。（√） 13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。（×） 14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。（× ） 15、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。（√ ） 16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。( × ) 17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ( √ ) 18、球面曲线的主法线必过球心 （×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 20、曲面上的渐进网一定存在. （×） 21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 ( √ ) 22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。 ( × ) 23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 24、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 ( × ) 26、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 28、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( ╳ )
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
微分几何复 习题 一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是 。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足 的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量 为 。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为 。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量 为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方 程是 。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量 是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方 程是 。 11. 一曲线的副 法向量是常 向量，则这曲线的 挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点 处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线 方程是 。 14. 曲线的主法 向量的正向 总是指向 。 15. 空间曲线为 一般螺线的 充要条件是 它的副法向 量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是 正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是 。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是 。 19. 一般螺线的 曲率和挠率 的关系是 。 20. 曲率为0的 曲线是 , 挠率为0的 曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为 。
浙江工业大学 （学术型硕士）研究生培养方案 一级学科名称：信息与通信工程 一级学科代码：0810 二级学科名称： 二级学科代码： 归属学院：信息工程学院 学位点负责人：覃亚丽 浙江工业大学研究生院制
一、学科简介 信息与通信工程学科是一个涉及应用数学、电子科学与技术、计算机科学与技术等学科，研究信息与通信系统及网络的组成原理、体系构架、应用协议、性能评估以及各类信息系统中信息的获取、变换、存储、传输、应用等处理环节的算法与体制、物理实现、性能评估、系统应用等内容，在国民经济和国防的电信、广播、电视、声纳、导航、遥感遥测、互联网等领域有着广泛的应用。 本学科自1984年开始进行“光纤传输及应用”的研究，其研究成果是国家科技委员会的国家科技成果重点推广计划，是国内较早从事光纤通信技术研究的单位之一。1998年获通信与信息系统二级学科硕士学位授予权，2003年获信号与信息处理二级学科硕士学位授予权，2006获信息与通信工程一级学科硕士授予权。目前，本学科是浙江工业大学“省重点高校建设计划”重点建设学科，建有浙江省通信网应用技术研究重点实验室，浙江省信号处理重点实验室，以及通信与信息系统、光纤通信与信息工程、智能系统与机器人三个研究所。本学科共有硕士生导师38人，其中教授15名，副教授20名。近5年来，本学科承担包括国家科技支撑计划、国家自然科学基金项目、浙江省自然科学基金及企业合同项目等共计100余项，部分研究成果达到国际先进水平，多项科研成果在产业化中获得应用和推广。在信号与通信工程领域国内外重要学术期刊和学术会议上发表学术论文200余篇。 本学科设有：通信与信息系统，信号与信息处理2个二级学科以及电子科学与技术相关方向。主要研究方向包括：
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 浙江工业大学国内A类学术期刊名录(2004版) 浙江工业大学重点期刊的评选根据国家科技部中国科技信息研究所编辑出版的《中国科技期刊引证报告》（CJCR）2003年中国科技论文统计源期刊，北京大学图书馆与北京高校图书馆期刊工作研究会联合编辑出版的《中文核心期刊要目总览》2000年第三版以及南京大学和香港科技大学联合编辑出版《中文社会科学引文索引》2003年来源期刊一览表，国务院学位委员会办公室，原国家教委研究生工作办公室确定的一级刊物目录，参考了清华大学、南京大学、北京大学、复旦大学、浙江大学、中国人民大学等学校的重点期刊目录，根据我校的校情制定了浙江工业大学国内A类学术期刊名录包括人文社科权威级学术期刊、B 类学术期刊。 注：带*号的学术期刊为人文社科权威级学术期刊 人文、社会科学 1. 中国社会科学(中、英文版)* 2. 中国社会科学评论(香港)* 3. 中国社会科学文摘* （全文刊登） 4. 新华文摘* 5. 哲学研究* 6. 心理学报* 7. 社会学研究* 8. 政治学研究* 9. 法学研究* 10. 经济研究* 11. 管理世界* 12. 新闻与传播研究* 13. 中国图书馆学报* 14.教育研究* 15. 体育科学* 16. 中国语文* 17. 外语教学与研究* 18. 外国文学评论* 19. 文学评论* 20. 历史研究* 21. 学术月刊 22. 马克思主义研究 23. 自然辩证法研究 24. 自然辩证法通讯 25. 心理科学 26. 世界宗教研究 28. 社会科学战线 29. 中国人口科学 30. 民族研究 31. 国际问题研究 32. 求是 33. 中共党史研究 34. 台湾研究 35. 中国法学 36. 中外法学 37. 政法论坛 38. 中国经济史研究 39. 数量经济技术经济研究 40. 经济学家 41. 世界经济 42. 世界经济与政治 43. 会计研究 44. 中国农村经济 45. 农业经济问题 46. 中国工业经济 47. 经济理论与经济管理 48. 财贸经济 49. 金融研究 50. 国际贸易问题 51. 管理科学学报 52. 科学学研究 53. 科研管理 54. 中国广播电视学刊 55. 中国出版 56. 大学图书馆学报 57. 情报学报 58. 图书情报工作 59. 档案学研究 60. 中国高等教育 61. 高等教育研究 62. 比较教育研究 63. 教育发展研究 64. 中国高教研究 65. 高等工程教育研究 66. 学位与研究生教育 67. 中国运动医学杂志 68. 中国体育科技 69. 北京体育大学学报 70. 文献 微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ， γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为: 一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满 足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。 浙江工业大学本硕博一体化人才培养 实施办法（试行） 第一章总则 第一条实施本硕博一体化人才培养，建立“本科生选拔、研究生培养、青年英才培育”的全链条、国际化人才培养体系，吸引一批优秀学子攻读本校博士学位、引导学生立志投身学术研究，是学校拔尖创新人才培养机制改革的重要举措，是实施人才强校战略的有力支撑。 第二条本硕博一体化人才培养目标定位是培养具有高度社会责任感、厚实专业基础、较强创新能力、宽广国际视野的拔尖创新型人才。 第三条本硕博一体化人才培养模式采用“3+1+X”模式，将本科与研究生教育贯通培养，即以攻读博士学位为目标，选拔一批优秀本科生从本科第四年开始，实行本科到博士的一贯制培养。 第四条招生学院须成立由学院领导、学科/学位点负责人、本科专业负责人和博士研究生导师代表组成的学院本硕博一体化人才培养领导小组，按照学校的工作部署及要求，负责本学院本硕博一体化人才培养方案制定、课程体系改革、学生培养和考核等工作。 第二章选拔工作 第五条学校根据教育部下达的推免生名额，结合当年博士研究生招生计划，由学校推免生遴选工作领导小组确定总名额。学校研究生招生工作领导小组负责各招生学院的录取名额分配。 第六条选拔条件及选拔过程按照《浙江工业大学本硕博一体化人才培养本科生遴选办法（试行）》执行。 第三章学籍管理 第七条入选本硕博一体化培养的学生，入选第一年为本科生，次年9月经资格审核合格后取得直接攻读博士研究生学籍，其学费、学籍等按照学校相应规定执行。 第八条入选本硕博一体化培养的学生，博士阶段原则上不得转专业。 第四章培养过程 第九条拟接收本硕博一体化培养学生的第一导师应具备该生在博士入学年份的博士研究生指导教师招生资格。 第十条入选学生经过双向选择后确定其导师（组），实行全程导师（组）制，导师（组）全程负责该学生的培养指导与教育管理工作。 第十一条入选学生应当在入选后的首个学期开课前，根据导师（组）的指导，按照“一人一策”的原则，制订个 ( )2 211 22222222221212u u 2222221u u 1.I I du sinh udv ,u=v u=v I du sinh udu =+sinh u du =cos h udu ,u=v A(u ),B(u )u 求曲率和挠率.（1）题1=解:求，，，，，，，，，/()（2）题2 ={}{ }{ }1212223123322112212222 ).r ),r r (1+t ),r 6a 0,6a ,(r r r )=216a k 1/[3a(1+t )],=k;(3).r a cos ,asin ,b k,;,,.r r r absin ,ab cos ,a ,r r k a /(a b ), =b /(a τθθθταβγθθτ?=?==-?=?=?=-?=?=++解：...，，，题3求圆柱螺线=的解：...{ }{ }{}1 2 1 1 12121 112121112b );=r /r -asin ,a cos ,b ,=(r r )/r r bsin ,b cos ,a =[(r r )r -(r r )r ]/[r r r ]cos ,-sin ,0. αθθγαβ θθβθθ=??=?=-????=-切向量, 主法u 222u u u uu u u uu u 3.(1) 1.r {(u)cos ,(u)sin ,(u)},(u)0,r ,r E=r r ='+',F=r r =0,G=r r r ,r ,r n [r r ]/L=n r =-[''''M=n r 0,N=n r [']/θθθθθθθθθθθ?θ?θψ??ψ??ψ?ψ?ψ =>?? ??== ?=? ?-?=?=题求的高斯曲率和平均曲率.解：求求23/2121222212xOz x=(z)z (u)u L=-M 0,N=F=M 0k L/E ''/[(1')],k N/G 1/[k k k -''/[(1')];H k +k '''(?ψ???????????==? ====-+==?==+-取平面上最初的曲线为得因为，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为高斯曲率平均曲率为=[1/2]()=[1+]/[223/222N T N N N N 222222*********')(2).r ucosv usinv bv k ,K,H.E=1,F=0,G=u +b ;L=0,L k E,M k F;M k F,N k G]0K b /[u +b ],K b /[u +b ];K K K b /[(u +b )],H [1/2](K +K )0..?+----=== -==- ==]. 题2 求正螺面={,,}的解:由题意得代入主曲率公式[解得（3）题3确定抛222200000T N N 12z a x +y .p ax q ay,r a,s 0,t a p q ,r a,s 0,t a E=1+p =1,F=pq=0,G=1+q 1,L=r /a M=s /N=t /a a-k ,0;0,a-k ]0K K ======?=====物面=()在（0,0）的主曲率解:由题意得=2,=222在(0,0)处=0,=022；2，，2代入主曲率公式得[22解得2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率” 4.k 0k r 0,r =0r =a(),r a b,b =0r =0,r =a()s ττγαγγγ?? ?? ? ? ≡≡=≡+≡???证明的曲线是直线;0的曲线是平面曲线.证：已知因而，由此得到常向量再积分=其中也是常向量，即得证;若0,则是固定向量,但是我们已知，因而有积分后得常数，所以曲线在一个平面上。 2019校友会中国四非大学排名，浙江工业大 学前三 2019年，中国哪些非“双一流、985工程、211工程和全国重点高等学校”等高校的综合实力最强、办学水平最高?哪些“四非”大学跻身2019中国大学排名100强行列? 2019年1月24日，由艾瑞深中国校友会网(https://www.doczj.com/doc/e410014447.html,)编制完成、科学出版社即将出版发行的《2019中国大学评价研究报告—高考志愿填报指南(校友会版)》最新公布2019中国重点大学排名150强、2019中国双一流大学排名、2019中国985工程大学排名、2019中国211工程大学排名、2019全国重点高校排名、2019中国部属大学排名、2019中国省属大学排名、2019中国副部级大学排名和2019中国“四非”大学排名等榜单。值得关注的是，在未能入选国家“全国重点高等学校”、211工程、985工程和“双一流”战略的“四非”大学中，有12所高校跻身2019中国大学排名百强行列，昆明理工大学、福建师范大学和浙江工业大学雄居2019中国“四非”大学排名前3甲。 报告显示，在未能入选国家“全国重点高等学校”、211工程、985工程和“双一流”战略的中国“四非”大学中，共有12所非中国重点大学跻身校友会2019中国大学排名100强，体现出较强的综合办学实力，未来几年有希望入选国家“双一流”建设高校名单。其中，昆明理工大学、福建师范大学、浙江工业大学、深圳大学、浙江师范大学、上海理工大学、杭州电子科技大学、扬州大学、天津师范大学、山西大学位列校友会2019中国“四非”大学排名前10强。除以上10所高校外，还有齐鲁工业大学和河北大学跻身全国百强行列。 校友会中国大学排名是目前中国最具影响力、权威性和公信力的大学排行榜之一，是与国家“双一流”建设方案及遴选标准、教育部学科评估指标体系吻合度最高的第三方大学评价领先品牌，至今已经连续17年发布中国大学排名。校友会2019中国大学排名共采用了教育教学质量、高层次人才、学科专业、高端科研成果、科研项目、科研基地、办学层次、社会声誉和国际影响等9大核心评价指标，涵盖300多项四级评价指标，是目前中国大学评价指标数量最多、最为系统全面的大学排名，基本覆盖国内外其他中国大学排名的高端质量指标。 微分几何第四版习题答 案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个 切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 浙江工业大学 关于研究生指导教师招生条件的规定（修订） 第一章总则 第一条为加强研究生指导教师（以下简称“导师”）队伍建设，提高研究生培养质量，结合我校实际情况，特制定本规定。 第二条各招生学院可根据本学院的具体情况制定不低于本规定 的标准，经学位评定分委员会审定后，报研究生院核准。 第二章基本要求 第三条计划招收博士、硕士研究生的人员，必须符合下列基本 条件： （一）热爱研究生教育事业，熟悉国家等有关研究生教育的政策 法规，具有高尚的科学道德和严谨的治学态度，为人师表，能认真履 行导师职责； （二）计划招收博士研究生的人员应具有高级职称，计划招收硕 士研究生的人员应具有博士学位或中级及以上职称； （三）积极参加学位点建设工作，认真完成有关任务； （四）当年6月30日（博士研究生导师：次年6月30日）至其退休 或合同终止日期的时间不少于培养一届研究生的要求。对批准的延聘 人员，其退休年龄按《浙江工业大学高级专家延长退休年龄管理办法》的规定执行； （五）能够为研究生提供充足的研究经费，并按时发放基本助研 津贴（津贴发放标准按照《浙江工业大学研究生助研津贴管理办法》执行）。 第三章学术成果要求 第四条计划招收博士研究生的人员，应是经遴选批准的博士生 指导教师或近五年科学研究业绩符合拟招生学位点所在学科的申报 教学科研型教授基本条件。近五年承担科研项目和取得学术成果的业绩，按所在学位点门类，具体要求如下（两方面条件需同时满足）：（一）工学、医学门类 1. 科研项目：主持在研Ⅴ类纵向项目或Ⅳ类及以上项目1项，且主持纵横向项目年均到校经费20万元；或主持横向项目年均到校经费60万元。 2. 学术成果：发表A类或列入JCR或中科院SCI期刊分区的期刊论文4篇；或在中央级出版社出版学术专著或研究生教材1部，并发表A类或列入JCR或中科院SCI期刊分区的期刊论文3篇。 （二）经济学、管理学门类 1. 科研项目：主持在研Ⅳ类及以上项目或全国教科规划教育部重点项目或省社科规划重大、重点项目1项，且主持纵横向项目年均到校经费10万元；或主持横向项目年均到校经费30万元。 2. 学术成果：发表A类、SSCI、或列入JCR或中科院SCI期刊分区的期刊论文3篇；或第一作者撰写的政策咨询报告2次被省级及以上政府部门采纳或得到省级及以上主要领导肯定批示或在中央级出版社出版学术专著或研究生教材1部，并发表A类、SSCI、或列入JCR 或中科院SCI期刊分区的期刊论文2篇。 第五条计划招收学术型硕士研究生的人员，应是遴选批准的硕士生指导教师或近五年科学研究业绩符合拟招生学位点所在学科的申报教学科研型副教授基本条件。近五年承担科研项目和取得学术成果的业绩，按所在学位点门类，具体要求如下（两方面条件需同时满足）： （一）工学、医学门类 1. 科研项目：主持在研项目1项，且主持纵横向项目年均到校经费6万元；或主持横向项目年均到校经费30万元。 2. 学术成果：发表A、B类或SCI、EI期刊论文4篇，其中A类或SCI、EI期刊论文至少1篇；或出版学术专著或研究生教材1部，并发表A、B类或SCI、EI期刊论文3篇，其中A类或SCI、EI期刊论文至少1篇。 （二）理学、农学门类 1. 科研项目：主持在研项目1项，且主持纵横向项目年均到校经浙江工业大学国内A类学术期刊名录
微分几何试题库
12-13(二)微分几何期末复习题
浙江工业大学本硕博一体化人才培养实施办法(试行)
第四版微分几何期末复习总结
2019校友会中国四非大学排名,浙江工业大学前三
微分几何第四版习题答案梅向明
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